Bernhard Riemann · 1826–1866

黎曼

用一条未证猜想，锁住全部素数

\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}

黎曼 ζ 函数 · 素数的秘密藏在零点的位置里

伯恩哈德·黎曼生于汉诺威乡村的牧师家庭，体弱而极度内向。他在哥廷根与柏林师从高斯、狄利克雷，1854 年的就职演讲《论作为几何学基础的假设》听众中真正听懂的只有高斯，据戴德金记载，一向吝于赞语的高斯在归途上罕见地大加称许；这篇讲稿后来成了爱因斯坦广义相对论的数学地基。

1859 年，他在一篇八页的论文里写下 ζ 函数，并抛出一个至今未决的猜想：非平凡零点都在临界线 Re(s)=1/2 上。黎曼本人还没来得及展开这套思想，便因肺结核在意大利湖畔去世，年仅三十九岁。

Bernhard Riemann 画像 · Wikimedia Commons，公有领域

生平

1826
生于汉诺威布列斯伦茨
父亲是路德宗牧师；幼年展现出惊人的心算能力。
1846
入哥廷根大学
原打算学神学，后转入数学；一度去柏林听狄利克雷、雅可比、施泰纳的课。
1851
博士论文
《单复变量函数一般理论的基础》，引入「黎曼面」。
1854
《论作为几何学基础的假设》
提出 n 维流形、度规与曲率张量；高斯的曲面论被推向任意维数。
1859
《论不超过给定值的素数个数》
引入 ζ 函数，提出黎曼猜想，并给出素数计数与 Li(x) 的精确联系。
1866
病逝于意大利塞拉斯卡
肺结核恶化；年仅三十九岁。

展品厅

绝大多数展品都可以亲手把玩——这是本馆的立馆之本；少数以叙述为主的，做成故事展签。

镇馆之宝 · 亲手玩

非欧三角形

同一个三角形，在球面上大于 180°，在马鞍面上小于 180°。

K > 0 \Rightarrow \alpha+\beta+\gamma > \pi

黎曼把高斯的曲面「内在几何」推广到任意维数：曲率不为零时，三角形内角和不再是 180°。弯曲时空的数学由此而来——GPS 的时间修正，就在使用这套几何。

拖动顶角宽度，实时看球面与双曲面的内角和偏离 180°

顶角 71°双曲半径 0.52

同一组顶角，放在球面上会「撑大」到超过 180°，放在马鞍面上会「塌缩」到不足 180°。欧氏几何的 180° 不是宇宙的默认值，而是曲率为零的特例。

素数计数与 ζ 函数

看似杂乱的素数，被一条光滑曲线从高处统率。

\pi(x) \sim \operatorname{Li}(x)

高斯曾猜测素数个数近似 x/ln x，黎曼给出更精密的 Li(x)，并用 ζ 函数的零点把误差写成一首交响曲。若所有非平凡零点都在 Re(s)=1/2，误差就被牢牢锁住。

范围 120

深色阶梯是真实素数个数 π(x)，金色光滑曲线是黎曼给出的近似 Li(x)。黎曼假设说的是：两者之差不会比 √x 大太多。

黎曼面

把 √z 的两个值粘成一张连续的曲面。

w = \sqrt{z}

多值函数曾是分析的噩梦。黎曼不把分支当作缺陷，而是铺成多层曲面；绕分支点一圈会滑到另一层，两圈才返回原处。复数函数因此变成几何。

割线方向 0°

√z 本来有两个值，黎曼把它们粘成一张连续曲面：绕原点转一圈会滑到另一片，转两圈才回到原位。

黎曼猜想

一张八页论文留下的悬念，一百六十年仍未解开。

\zeta(\tfrac12 + it) = 0

它是现代数学最著名的未解问题之一：ζ 函数的非平凡零点是否都在 Re(s)=1/2 上？数论、物理、随机矩阵纷纷在此交汇。千禧年大奖为它悬赏一百万美元。

实部 Re(s) = 0.50

画的是 |ζ(s)| 沿竖直线 s = σ + it 的取值。把 σ 拨到 1/2，曲线一次次精确地砸到 0—— 那些位置就是非平凡零点（14.13、21.02、25.01…）。σ 稍稍离开 1/2，曲线立刻整条抬起来，再也碰不到 0。黎曼猜想断言的正是：所有非平凡零点都恰好落在这一条线上。一百六十年无人能证，也无人能找出反例。

传承

他的工作没有留在十八世纪——每条链的终点，都是你今天正在使用的东西。

黎曼几何⟶广义相对论⟶GPS 定位与引力波天文学

黎曼面⟶复几何⟶从弦论到密码学的复杂分析

ζ 函数⟶解析数论⟶素数与密码学的深层规律

语录

「人们当然会希望对此有一个严格的证明；在几次徒劳的尝试之后，我暂时把它搁在一边了，因为对我研究的直接目标而言，它似乎并非必需。」
—— 1859 年论文中提出黎曼猜想之后的原话

「空间可以是无界的，却仍然是有限的。」
—— 1854 年《论作为几何学基础的假设》