Georg Cantor · 1845–1918
他数清了无穷，并发现无穷不止一种
格奥尔格·康托尔生于圣彼得堡，十一岁随家迁往德国。1867 年在柏林拿到博士学位，两年后到哈雷大学任教，此后一生没有离开过那所并不显赫的学校——他一直想去柏林，始终没能如愿。
1874 年，他证明了一件此前没人想过要问的事：实数比自然数「更多」。无穷原来分大小。1891 年他给出对角线法，一个短得惊人的论证。这些工作触怒了柏林的克罗内克，后者称他是「青年的腐蚀者」，长期阻挠他的发表与升迁。康托尔从 1884 年起反复陷入抑郁，1918 年在哈雷的疗养院去世。三十多年前被斥为疯话的东西，今天是每一本数学教科书的第一章。
父亲是丹麦裔商人；十一岁时全家迁往德国。
论文写的是不定二次方程，与他日后的方向毫无关系。
一待就是一辈子。他想去的柏林，克罗内克在那里。
研究三角级数展开的唯一性时，他被迫去追问「例外点的集合」长什么样——集合论就是从这个技术问题里长出来的。
第一次证明无穷有大小之分。这一年被视为集合论的诞生。
他给出一一对应，随即写信给德德金：「我看见了它，但我不相信它。」
一个短得惊人的论证。半个世纪后，哥德尔与图灵用同一招撬动了可判定性。
在疗养院去世。八年后希尔伯特说：没有人能把我们从康托尔为我们创造的乐园中赶出去。
绝大多数展品都可以亲手把玩——这是本馆的立馆之本；少数以叙述为主的，做成故事展签。
给我一张列全了实数的清单，我当场造一个不在上面的。
这是数学里最锋利的几个论证之一，短到几行就能写完：沿对角线取每个数的第 n 位，逐位改掉，造出的新数与清单上每一行至少差一位，因此不在清单里。清单再长也没用——实数根本排不成一列。半个世纪后，哥德尔的不完备定理与图灵的停机问题，用的是同一招。
自己编一张清单，看对角线数如何逐位躲开每一行
新造的数第 n 位，故意取得和第 n 行的第 n 位不同，所以它和第 n 行至少差这一位。 对每个 n 都成立，于是它和清单上每一行都不同——可这张清单本该列全了所有实数。 矛盾。换多少张清单都一样，实数根本排不成一列。 这个论证后来被哥德尔和图灵原样搬走，成了不完备定理与停机问题的骨架。
分数密密麻麻挤满数轴，却能一个不漏地排成一队。
在开始数之前，先得承认一件反直觉的事：任意两个分数之间还有无穷多个分数，可它们的总数并不比自然数多。沿着分母加分子的对角线之字形走，每个分数迟早会被点到名。有了这个对照，实数的「排不成队」才显出分量——不是所有无穷都排不成队，是实数排不成。
一条一维的线段，和一整个二维的正方形，点一样多。
1878 年康托尔构造出线段到正方形的一一对应：把点的坐标小数位交错拆开再合并即可。维度这个看似最结实的直觉，在「点的多少」面前失效了。他写信给德德金说：我看见了它，但我不相信它。
自然数与实数之间，还有没有别的无穷？
康托尔猜测没有，并为此耗尽后半生，始终未能证明。答案出人意料：哥德尔 1940 年证明它不会被推翻，科恩 1963 年证明它也不会被证明——它独立于现行公理。这不是一道没解出来的题，而是一道被证明「无法在这套规则里裁决」的题。
他的工作没有留在十八世纪——每条链的终点，都是你今天正在使用的东西。
「我看见了它，但我不相信它。」
—— 1877 年 6 月 29 日致德德金的信，原文为法语，说的是线段与正方形之间的一一对应
「数学的本质，恰恰在于它的自由。」
—— 《一般集合论基础》，1883