René Descartes · 1596–1650

笛卡尔

他把几何翻译成代数，从此曲线可以计算

Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0

一个方程装下全部圆锥曲线 · 是哪一种只看 B²−4AC 的符号

笛卡尔 1596 年生于法国图赖讷，那座小城今天就叫「笛卡尔」。他体弱，耶稣会学校特许他睡到中午再起——据说他一生最好的想法都是躺着想出来的。1618 年他在荷兰当兵，偶遇比他年长的荷兰人毕克曼，被后者用一道贴在街头的数学悬赏题勾住了。次年冬天在德国的一间暖房里，他做了三个梦，醒来自称看见了「一门奇妙科学的基础」。

1637 年，他把《方法谈》连同三篇附录一起出版，《几何学》是其中之一。他在这篇附录里做的事，是把几何问题整个搬进代数：给平面配上坐标，曲线就成了方程，作图就成了解方程。这不只是换个记号——他先证明了线段乘线段还是线段，一举拆掉希腊人「x·y 是面积、x⁴ 没有意义」的维数束缚，代数才第一次能自由地写任意次的式子。五十年后牛顿和莱布尼茨能在符号上做微积分，地基是在这里打的。

弗兰斯·哈尔斯绘 · 哥本哈根国立美术馆藏，Wikimedia Commons，公有领域。卢浮宫那幅流传更广，但一般认为是这幅的摹本。

生平

1596
生于图赖讷的拉艾
这座小城 1967 年改名为「笛卡尔」。
1618
在荷兰遇见毕克曼
被一道贴在街头的数学悬赏题勾住，从此转向数学。
1619
德国暖房里的三个梦
他自述由此看见「一门奇妙科学的基础」——后来兑现为解析几何。
1637
《方法谈》及三篇附录出版
附录之一《几何学》，解析几何的诞生之作。
1637
线段的乘法
《几何学》开篇：两条线段相乘得到的还是线段，维数束缚就此拆掉。
1637
符号法则
《几何学》第三卷：数一眼系数的符号，就得到正根个数的上界。
1649
应邀赴斯德哥尔摩
克里斯蒂娜女王要他清晨五点讲课——对一个睡到中午的人是致命安排。
1650
卒于斯德哥尔摩
抵达仅数月，死于肺炎。

展品厅

绝大多数展品都可以亲手把玩——这是本馆的立馆之本；少数以叙述为主的，做成故事展签。

镇馆之宝 · 亲手玩

一个方程装下所有圆锥曲线

阿波罗尼奥斯写了八卷来分别处理的三种曲线，在坐标里只差一个符号。

B^2 - 4AC \;\begin{cases} < 0 & \text{椭圆} \\ = 0 & \text{抛物线} \\ > 0 & \text{双曲线} \end{cases}

希腊人靠切割圆锥的角度来区分椭圆、抛物线、双曲线，各有各的定义、各有各的定理，阿波罗尼奥斯为此写了八卷书。笛卡尔之后，它们全塌缩成同一个二次方程 Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0，是哪一种只看判别式 B²−4AC：负是椭圆，零是抛物线，正是双曲线。连续拖动一个系数，椭圆会被拉成抛物线、再裂成双曲线——在纯几何里这是三个不同的对象，在代数里只是一个数过了零点。这就是解析几何真正在做的事：把几何问题翻译成代数问题，让代数替你思考。

拖动系数，看判别式过零点的那一瞬椭圆裂成双曲线

A = 1B = 0C = 0.32

阿波罗尼奥斯用八卷书处理圆锥曲线：椭圆、抛物线、双曲线各有各的定义、各有各的定理，因为它们是用不同角度切圆锥切出来的。 1637 年笛卡尔把它们全装进了同一个二次方程Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0，而是哪一种只看一个数：B² − 4AC。负是椭圆，零是抛物线，正是双曲线。拖动 C 从正拖到负，你会看见椭圆被拉长、拉成抛物线、再裂成双曲线—— 在希腊几何里这是三个不同的对象，在坐标里只是一个数过了零点。这就是笛卡尔真正做的事：把几何问题翻译成代数问题，让代数替你思考。

线段乘线段，还是线段

这一步拆掉了希腊人两千年的维数束缚，x⁴ 才第一次合法。

1 : b = a : ab

希腊人做代数背着一本维数的账：x·y 是面积，x·y·z 是体积，x⁴ 没有意义——因为空间只有三维，方程两边的次数必须对得上。丢番图、韦达都还在这个笼子里。笛卡尔在《几何学》开篇先钉一根单位线段，再用相似三角形定义 1 : b = a : ab，于是乘积仍然是一条线段。维数的账一笔勾销，从此可以写任意次的多项式，代数才脱离图形、变成能自由演算的符号系统。这是解析几何里最容易被略过、却最要紧的一步。

a = 2.40b = 1.80

《几何学》开篇第一件事，也是最容易被略过的一件事。希腊人做代数背着一本维数的账：x·y 是面积，x·y·z 是体积， x⁴ 没有意义——因为空间只有三维。方程两边的次数必须对得上，丢番图、韦达都还在这个笼子里。笛卡尔先钉一根单位线段，再用相似三角形规定 1 : b = a : ab，于是线段乘线段，得到的还是线段。维数的账一笔勾销。从这一刻起才可以写 x⁴、x⁵、任意次的多项式，代数才脱离图形、变成能自由演算的符号系统——牛顿和莱布尼茨后来能在符号上做微积分，地基是在这里打的。

笛卡尔符号法则

数一眼系数的正负，就知道有几个正根——一个根也不用解。

\#\{\text{正根}\} \le V(+,-,\ldots)

《几何学》第三卷。系数的符号变化了几次，正实根就不超过几个，而且相差偶数；把 x 换成 −x 再数一遍，就得到负根的上界。x³+x+1 的系数全为正，零次变化，所以它一个正根也没有——这句话不需要任何计算。法则有个容易漏掉的地方：正根是含重数数的，(x−1)²(x+2) 有两次符号变化、正根确实是 2 个，可图上在 x=1 只碰一下不穿过去。这类「不解方程也能知道方程的事」的结果从这里开始，一直长成后来的斯图姆定理和今天的实根计数算法。

x⁴ = 0x³ = 1x² = -6x = 11常数 = -6

《几何学》第三卷。只数一眼系数的符号变化，就得到正实根个数的上界—— 一个根也不用解。负根同理，把 x 换成 −x 再数一遍。试试 x³ + x + 1：系数全是正的，零次变化，所以它一个正根也没有，这句话不需要任何计算就能断定。法则有个容易漏掉的地方：正根是含重数数的，而且只保证「不超过变化数，且与它相差偶数」。点开 (x−1)²(x+2)：两次变化，正根确实是 2 个，可图上在 x=1 只碰一下不穿过去，肉眼只看得见一个。这类「不解方程也能知道方程的事」的结果，从这里开始，一直长成后来的斯图姆定理和今天的实根计数算法。

我们今天写代数的方式

x、y、z 是未知数，a、b、c 是已知数，右上角写指数——都是他定的。

翻开笛卡尔之前的代数书，你会看不懂：未知数用词语或缩写写，平方叫「正方形」，立方叫「立方体」，四次方要费劲解释。《几何学》里他一次性定下了今天的写法——字母表末尾的 x、y、z 表示未知数，开头的 a、b、c 表示已知量，指数写在右上角，等式两边用符号连接。这套记号一经采用就再没变过：你今天在纸上写下的每一个 x²，用的都是 1637 年那本书里的约定。记号不是小事——好的记号会替你思考，莱布尼茨后来对微积分符号的执着，走的正是这条路。

故事展签故事展签：一套用了近四百年、一笔没改的记号。

传承

他的工作没有留在十八世纪——每条链的终点，都是你今天正在使用的东西。

坐标与方程⟶曲线可以计算⟶牛顿、莱布尼茨的微积分

线段的乘法⟶任意次多项式合法⟶脱离图形的抽象代数

把几何画进坐标⟶函数图像⟶今天的每一张数据图与每一帧计算机图形

语录

「几何学上的一切问题都可以化归成这样的形式：只要知道某几条线段的长度，就足以把图作出来。」
—— 《几何学》第一卷开篇，1637 · 节译——整部解析几何的纲领就在这一句里

「我思故我在。」
—— 《方法谈》第四部，1637；法文原文 je pense, donc je suis，拉丁文 cogito, ergo sum 出自 1644 年的《哲学原理》