Évariste Galois · 1811–1832

伽罗瓦

二十岁，他把「解方程」变成了「看对称」

G \triangleright G_1 \triangleright \cdots \triangleright \{e\}

每一层的商群都交换 · 方程有根式解，当且仅当它的群能这样拆到底

伽罗瓦 1811 年生于巴黎近郊的拉雷讷堡，父亲是当地镇长。他两次报考综合工科学校，两次没考上——第二次是在父亲因政敌构陷而自杀后几天。他进了高等师范学校，又因公开撰文抨击校长在七月革命中的骑墙态度被开除。此后他是个共和派活动分子，两度入狱。1832 年 5 月 30 日清晨，他在一场至今说不清缘由的决斗中中弹，次日去世，二十岁。

他留下的东西不多，却把整个代数掉了个头。在他之前，人们问的是「五次方程的求根公式是什么」；他把问题换成了「这个方程的根之间有多少对称」——哪些置换保持根之间一切有理关系不变。这些置换构成一个群，方程能不能用根式解开，完全由这个群的结构决定。答案从「找不到公式」变成了「群拆不开」，而且对每一个具体方程都给得出判定。群、正规子群、有限域这些今天的基本词汇，多半是从他这里开始的。1846 年，刘维尔把他的手稿整理发表，距他去世已十四年。

阿尔弗雷德·伽罗瓦（其弟）凭记忆所绘，1848 · Wikimedia Commons，公有领域。版画上有「Galois 1848」与 A.G. 的签名。他生前唯一的画像作于 1826 年，画上是十五岁的他；这一幅作于他身故十六年后。

生平

1811
生于拉雷讷堡
巴黎近郊；父亲是镇长，母亲教他拉丁文与古典学。
1828
第一次报考综合工科学校落榜
他跳过了预备课程直接去考。次年再考，仍未录取。
1829
父亲自杀；第一篇群论论文送交科学院
手稿交到柯西手上。所谓「柯西弄丢了它」多半是后世误传——柯西当时建议他改写后重投。
1830
七月革命；大奖论文遗失
评审傅里叶在读完之前去世，稿子没能找回来。同年底他因抨击校长被高师开除。
1831
泊松退回他的论文
评语是「无法理解」，要他把论述写完整。这是他生前最后一次尝试发表。同年两度被捕。
1832 · 5 月 29 日
给舍瓦利耶的长信
决斗前夜，他整理批注旧稿并写下这封信。手稿边上留着一句「我没有时间了」。
1832 · 5 月 31 日
决斗次日去世
二十岁。决斗的缘由至今无定论。
1846
刘维尔整理发表
距他去世十四年，数学界才第一次读懂他写了什么。

展品厅

绝大多数展品都可以亲手把玩——这是本馆的立馆之本；少数以叙述为主的，做成故事展签。

镇馆之宝 · 亲手玩

可解性的阶梯

二次三次四次都拆得完，到五次那一格断了——公式也就断在那里。

G_i/G_{i+1} \text{ 交换}

伽罗瓦把「有没有求根公式」整个翻译成了群论问题：方程能用根式解开，当且仅当它的伽罗瓦群拆得到 1，且每一层的商群都是交换群。每一层商群对应开一次方，所以「拆得完」就是「一层层开方开得到底」。一般 n 次方程的群是 Sₙ：S₂ 拆成 2→1，S₃ 拆成 6→3→1，S₄ 拆成 24→12→4→1——配方法、卡尔达诺、费拉里三个公式的来历都在这里。到 S₅，拆一步到 A₅ 就再也拆不动了。阿贝尔先证明了五次方程无根式解；伽罗瓦给的是判据——换成任何一个具体方程，能不能解都由它自己的群说了算。

切换次数，看阶梯在第五级断掉

伽罗瓦把「有没有求根公式」整个翻译成了群论问题：方程能用根式解开，当且仅当它的伽罗瓦群拆得到 1，且每一层的商群都是交换群。每一层商群对应开一次方，所以「拆得完」就是「一层层开方开得到底」。二次、三次、四次都拆得完——这就是配方法、卡尔达诺公式、费拉里公式的来历。到五次，S₅ 拆一步到 A₅ 就再也拆不动了：A₅ 是单群，它的换位子群还是它自己。阶梯断在这里，公式也断在这里。阿贝尔先证明了五次方程无根式解；伽罗瓦给的是判据—— 换成任何一个具体方程，能不能解，都由它自己的群说了算。

A₅ 是单群

五次方程无解的全部理由，是一个能数出来的事实。

|A_5| = 1 + 12 + 12 + 15 + 20 = 60

阶梯为什么恰好断在五次？因为 A₅ 里找不出一个真正规子群，而这件事可以纯靠数数看出来。正规子群必须是若干个完整共轭类的并，必须含单位元，而且按拉格朗日定理阶要整除群阶。A₄ 的共轭类是 1+3+4+4：挑出 1 和 3 得到 4，4 整除 12，而且真的封闭——那就是克莱因四元群，所以 A₄ 不是单群，四次方程有公式。A₅ 的共轭类是 1+12+12+15+20：含单位元的每一种拼法，阶要么 1 要么 60，中间没有一个整除 60。一个真正规子群也拼不出来。你在演示里怎么点都拼不出来的这件事，就是五次方程无根式解的全部理由。

「五次方程没有公式」最后落在一件能数出来的事上。正规子群必须是若干个完整共轭类的并（共轭封闭），必须含单位元，而且按拉格朗日定理，它的阶要整除群的阶。 A₄ 的共轭类是 1+3+4+4：挑出 1 和 3 得到 4，4 整除 12，而且真的封闭——那就是克莱因四元群 V₄。A₄ 不是单群，所以四次方程有公式。A₅ 的共轭类是 1+12+12+15+20：含单位元的每一种拼法，阶要么 1 要么 60，中间没有一个整除 60。一个真正规子群也拼不出来——A₅ 是单群。阶梯断在这里。你在这一栏怎么点都拼不出来的这件事，就是五次方程无根式解的全部理由。

哪些换法什么也没打乱

伽罗瓦群，就是从有理数看过去「这些根有多分不清」。

\mathrm{Gal}(f) \le S_n

伽罗瓦的起点不是解方程，而是问：这些根之间，用有理数写得出来的关系有哪些？再看哪些置换把每一条这样的关系都换成另一条照样成立的关系。这些置换构成一个群。x⁴ − 10x² + 1 的四个根是 ±√2 ±√3，24 种换法里只有 4 种过关——恰好是「翻 √2 的号」与「翻 √3 的号」的四种组合。群小，说明根被有理关系管得很死；群大到 S₅ 那样，根之间几乎没有有理关系可依靠，方程也就没法用根式一层层剥开。这个「把研究对象换成它的对称群」的动作，此后被搬进了几何、拓扑、数论和物理，是二十世纪数学最常用的一招。

伽罗瓦的起点不是解方程，而是问：这些根之间，用有理数写得出来的关系有哪些？然后看哪些置换把每一条这样的关系都换成另一条照样成立的关系。这些置换组成一个群，度量的是「从有理数那边看过去，这些根有多分不清」。 x⁴ − 10x² + 1 的四个根是 ±√2 ±√3。24 种换法里只有 4 种过关—— 它们恰好是「翻 √2 的号」与「翻 √3 的号」的四种组合。群小，说明这些根被有理关系管得很死；群大到 S₅ 那样，根之间几乎没有有理关系可依靠，方程也就没法用根式一层层剥开。判定用的是 Q(√2,√3) 里的精确整数算术，不是浮点比较—— 每条关系成不成立是判定出来的，不是估出来的。

有限域：每一个二维码里都有他

他证明有限域的大小只能是素数的幂；一百多年后，这成了纠错码的地基。

|\mathbb{F}| = p^n

伽罗瓦证明了有限域的元素个数只能是素数的幂 pⁿ，而且每个 pⁿ 恰好对应一个域——这类域今天就叫伽罗瓦域。你扫的每一个二维码、每一张 CD、每一次卫星回传，纠错码底下跑的都是 GF(2⁸) 上的里德–所罗门码：八个字节编成十二格，任意八格就能唯一还原，所以遮掉四格照样一个比特不差。为什么非得是「域」？因为纠错要解方程、要做除法。模 256 的普通整数就不行——偶数没有逆元，插值到一半就除不动。能除，才能纠错。一个二十岁青年在纯粹好奇心下证的定理，一百二十年后变成了整个数字通信的地基。

伽罗瓦证明了：有限域的元素个数只能是素数的幂 pⁿ，而且每个 pⁿ 恰好对应一个域。这类域今天就叫伽罗瓦域。你手机扫的每一个二维码、每一张 CD、每一次卫星回传，纠错码底下跑的都是 GF(2⁸) 上的里德–所罗门码。 8 个字节编成 12 格，任意 8 格就能把信息唯一确定回来——遮掉 4 格照样一个比特不差。遮 5 格就还原不了：只剩 7 格，少于 8，这是理论上限，不是算法不够聪明。为什么非得是「域」？因为纠错要解方程、要做除法。点「换成模 256 的整数」看看：同一套插值会卡在某一次除法上，因为偶数在模 256 下没有逆元。能除，才能纠错。

决斗前夜的那封信

「我没有时间了。」——但他并不是那一夜才写出这套理论的。

流传最广的版本是：伽罗瓦在决斗前夜写下了整套群论。这不对，而且把真正的事情说小了。他的论文早在 1829、1830、1831 年就三次送交科学院：第一次交给柯西，柯西建议改写重投；第二次的大奖论文因傅里叶在读完前去世而遗失；第三次泊松审读后退回，评语是「无法理解」。1832 年 5 月 29 日夜里，他做的是整理批注这些旧稿，并给友人舍瓦利耶写下一封长信，把结果连同尚未证完的想法一并托付出去——手稿边上那句「我没有时间了」，写的是校订的时间，不是发现的时间。信里他请舍瓦利耶「公开恳请雅可比或高斯发表意见，不是关于这些定理是否正确，而是关于它们的重要性」。他等到的是十四年后刘维尔的整理发表。

故事展签故事展签：被退稿三次的二十岁青年，和一封托付后世的信。

传承

他的工作没有留在十八世纪——每条链的终点，都是你今天正在使用的东西。

根的置换群⟶群论⟶抽象代数与现代数学的通用语言

可解性判据⟶伽罗瓦对应：域与群一一对应⟶代数数论与算术几何

有限域 pⁿ⟶纠错码与密码学⟶二维码、CD、AES——每天都在跑

语录

「我没有时间了。」
—— 1832 年 5 月 29 日夜，写在手稿边上（Je n'ai pas le temps）——写的是校订的时间，不是发现的时间

「请公开恳请雅可比或高斯发表意见——不是关于这些定理是否正确，而是关于它们的重要性。」
—— 决斗前夜致奥古斯特·舍瓦利耶的信，1832