专题 · 9 环 · 6 环的主人不在馆里
无线通信
终点：手机里那颗基带芯片
馆里覆盖最薄的一条线，也是二十世纪数学落地最密集的一条。从「任何波形都能拆成正弦」到 5G 的信道编码，中间七个关键环节有五个的主人不在馆里。
缩略轴按先后排列，间距不表示年数；实心＝馆里有他，空心＝还没有。
- 1805
快速傅里叶变换算法
他为了从观测里插值出小行星轨道，写下了一套把离散傅里叶变换拆成小块递归算的办法——比库利与图基 1965 年那篇早一百六十年。手稿用拉丁文写成，生前没发表，要到 1866 年全集第三卷才印出来，那时已经没人看得懂它的意义了。
- 1822
任何波形都能拆成正弦的叠加变换
他造这把刀本来是为了切热传导。「任何函数」这句话当时被拉格朗日等人质疑得很厉害，而正是为了说清它到底对不对，十九世纪的分析才被逼着严格化。今天所有的调制、解调、滤波、压缩都从这一步开始。
- 1873
任何矩阵都能拆成「转一下、拉一下、再转一下」结构
贝尔特拉米1835–1900不在馆里
奇异值分解。他做的是双线性型的代数问题，若尔当次年独立得到同样的结果。一百三十年后它成了数据时代用得最多的一件工具，而在通信里它的用处是：多天线之间的信道是一个矩阵，把它分解开，几根天线就变成几条互不干扰的独立通道——这就是 MIMO。
- 1928
带宽决定了每秒能塞进多少个符号边界
奈奎斯特1889–1976不在馆里
研究电报速率时得到的结论：带宽 W 的信道每秒最多传 2W 个独立符号。反过来说，采样率只要到信号最高频率的两倍，就能把波形完整还原。
- 1948
噪声限制的是速度，不是可靠性边界
这是整个通信工程最重要的一句话。在他之前大家以为噪声越大、错得越多，只能靠加功率硬顶；他证明只要速率低于信道容量，错误率可以压到任意小。他证明了这种编码存在，但没有给出怎么造——此后五十年的编码理论都在追这个存在性证明。
- 1950
第一族能纠错、而不只是发现错的码结构
汉明1915–1998不在馆里
起因很实际：周末交给机器的作业，星期一回来发现因为一个错位全废了。汉明 (7,4) 码用四位数据加三位校验，能定位并纠正任意一位错。今天内存的 ECC 走的就是这一路。
- 1960
把一串字节当成有限域上的一个多项式结构
里德与所罗门里德–所罗门码不在馆里
伽罗瓦域派上用场的地方：多项式由它在若干点上的值唯一确定，多给几个点就能容忍其中几个是错的。光盘划一道口子照样能读、二维码被挡掉三成还能扫出来、旅行者号从太阳系边缘发回图像，靠的都是它。
- 1962
稀疏校验矩阵，逼近香农极限结构
加拉格1931–不在馆里
他的博士论文给出的低密度校验码，性能几乎贴住香农 1948 年画的那条线。可当时的硬件跑不动它的译码，论文被搁置了三十余年，直到 1996 年才被重新发现。今天 5G 的数据信道用的就是它。
- 2009
第一族被证明能达到香农极限的码边界
阿勒坎1958–不在馆里
极化码：把若干个相同的信道组合再拆开，让其中一部分变得极好、另一部分极差，然后只在好的那些上传数据。这是六十一年里第一次有人不靠随机性、而是构造性地够到香农那条线。5G 的控制信道用的是它。