无线通信

一根弦的振动，是几种简单振动的叠加变换

丹尼尔·伯努利1700–1782《一根弦同时发出好几个音》

他拿乐师作证：拨响的长弦里同时听得到十二度与大十七度。可每一种振动占多少他说不出来，欧拉在同一卷里就撰文反驳；把系数的求法做成一套办法，要等傅里叶。「把一个信号拆成一组固定的简单波形」这个念头，比傅里叶早半个世纪。

快速傅里叶变换算法

高斯1777–1855

他为了从观测里插值出小行星轨道，写下了一套把离散傅里叶变换拆成小块递归算的办法——比库利与图基 1965 年那篇早一百六十年。手稿用拉丁文写成，生前没发表，要到 1866 年全集第三卷才印出来，那时已经没人看得懂它的意义了。

任何波形都能拆成正弦的叠加变换

傅里叶1768–1830《用正弦波堆出方波》

他造这把刀本来是为了切热传导。「任何函数」这句话当时被拉格朗日等人质疑得很厉害，而正是为了说清它到底对不对，十九世纪的分析才被逼着严格化。今天所有的调制、解调、滤波、压缩都从这一步开始。

任何矩阵都能拆成「转一下、拉一下、再转一下」结构

贝尔特拉米1835–1900《任何矩阵都是：转一下、拉一下、再转一下》

奇异值分解。他做的是双线性型的代数问题，若尔当次年独立得到同样的结果。一百三十年后它成了数据时代用得最多的一件工具，而在通信里它的用处是：多天线之间的信道是一个矩阵，把它分解开，几根天线就变成几条互不干扰的独立通道——这就是 MIMO。

把 ±1 排成一个行两两正交的方阵结构

阿达马1865–1963《元素都不超过 1，行列式最大能有多大》

他问的是一件纯代数的事：元素都不超过 1 时行列式最大能有多大。答案是 n 的 n/2 次方，而且只在各行两两正交时取到。这样的方阵西尔维斯特 1867 年在 2 的幂阶上已经造过，他自己在文中写明了；他添的是「阶数必是 4 的倍数」、12 阶与 20 阶两个实例，以及那个至今没有答案的存在性问题。六十年后它成了一族码：每一行连同它的负行各当一个码字，32 阶给出 64 个码字、最小距离 16，纠得了七位错——1971 年水手九号从火星发回的照片走的就是这一族。

噪声也有频谱变换

维纳1894–1964《没有傅里叶变换的信号，也有谱》

噪声既不是周期的、能量也不有限，普通的傅里叶变换对它无话可说。维纳的办法是先求它与自己错开一段的时间平均，再变换这个平均。香农 1948 年说「白噪声」、说「信号与噪声的功率比」，量的都是这种谱；他在那篇的一条脚注里写，通信理论的许多基本哲学与理论都受惠于维纳。今天基带芯片估计噪底与信道，算的仍是功率谱。

冲激与梳子有了严格的意思语言

洛朗·施瓦茨1915–2002《发散的三角级数，也有了归宿》

通信教科书里有两句话天天在用：一个线性、不随时间变的系统，就是和它的冲激响应做卷积；采样就是乘上一把狄拉克梳子，而梳子的傅里叶变换还是梳子，所以频谱被搬出一串副本。δ 自亥维赛、狄拉克起一直被工程师与物理学家当工具用，却不是任何函数。他 1945 年把它写成作用在光滑函数上的泛函，同一篇里证明 Σ e^(inx) 在这个意义下收敛到那把梳子；1950 年起傅里叶变换在速降函数与缓增广义函数上都是自己到自己。基带芯片里的每一个数字滤波器、每一次采样与抗混叠，用的都是这套语言。

噪声限制的是速度，不是可靠性边界

香农1916–2001《噪声限制的是速度，不是可靠性》

这是整个通信工程最重要的一句话。在他之前大家以为噪声越大、错得越多，只能靠加功率硬顶；他证明只要速率低于信道容量，错误率可以压到任意小。他证明了这种编码存在，但没有给出怎么造——此后五十年的编码理论都在追这个存在性证明。

第一族能纠错、而不只是发现错的码结构

汉明1915–1998《把纠错变成几何：码字是立方体的顶点》

起因写在他 1950 年那篇的第一页上：机器夜里与周末无人看管地跑，查出一个错就把那道题扔下、接着做下一道。据后来一段录音访谈（汤普森 1983 年那本书所引），他说的是「既然机器查得出有错，为什么不能指出错在哪儿、再把它改掉」。办法在第 5 节：把码字放进 n 维立方体的顶点，「能纠几位错」从此变成「点与点隔得够不够远」。今天内存的 ECC 走的就是这一路。

快速傅里叶变换在机器上跑起来算法

图基1915–2000《把 N² 次乘加拆成 2N·log₂N 次》

高斯那一招被库利与图基重新写出来，登在《计算数学》上只有五页：N 拆成因子，下标写成几位数，乘加从 N² 次降到 2N·log₂N 次，而且就在原来那块存储里做完。1024 个点省下五十一倍，一百万个点省下两万六千倍，数字信号处理从此才算得起。手机基带里的 OFDM 解调，每一个符号都要做一次这种变换。