一帧画面，16.7 毫秒

左边是帧内的毫秒刻度。它是示意的——真实分配随场景、显卡与引擎天差地别， 这里只用来说清顺序，以及「总共就这么多时间」。

1. 0.0

   鼠标动了三个像素

   一帧的开始是一对数。鼠标报上来的位移、你在世界里的位置、屏幕上每个像素的地址——全都是「用一组数说清一个位置」。这件事 1637 年才有；在那之前，几何是画出来的，不是算出来的。

   笛卡尔·一个方程装下所有圆锥曲线
2. 0.3

   把这两个数变成一次转身

   引擎不会把姿态记成三个角度：机头朝天时那三个角会塌成两个，飞机再也转不出某些方向。它存的是四个数，而且乘法不可交换——正好对应「先偏航再俯仰」和反过来本来就是两个姿势。镜头从一个角度摇到另一个角度，中间那些帧由 slerp 沿球面补出来——它每一帧都要现算两个正弦，而数学库算正弦不查表，是把它展成一串幂次逐项加出来的：这条式子在十四世纪的喀拉拉就已经写下了。不过真正跑在芯片里的并不是那串级数：要把正弦压进四五项还保证误差够小，用的是「让最大偏差最小」的那一套——最好的那条多项式，标志是误差在整段区间上等幅地上下交替。而「多项式总归逼得上去」这件事本身，是 1885 年才被证成定理的：闭区间上的任何连续函数，都能被多项式一致逼近到你要的精度。这条线的起点在更早：喀拉拉那串级数是注在一本五世纪的书上的，而那本书里已经有一张二十四个值的半弦表，外加一条造表的差分规则——把正弦的二阶变化说成正比于它自己。表格与表格之间怎么补点，是另一件独立的事：唐代的历算碰上了它最别扭的一种——要补的两段本身不一样长，而补出来的那条曲线还得保证积回去分毫不差。镜头沿着一串关键帧移动时，位置在帧与帧之间怎么补，引擎里常用三次埃尔米特样条：每个关键帧上既给位置、也给速度，两段在接缝处连一阶导数也对得上，镜头不会在经过关键帧时顿一下——「连导数一起插值」是 1878 年一封信写成一条公式的。要是这一下转身来自手柄或头显，那两个数还得先滤一遍：陀螺仪会慢慢漂，加速度计会抖，两路读数按各自的不确定度加权揉成一个姿态，常用的正是 1960 年那个每来一个读数只改一次的递推。每一帧姿态只转一点点：引擎把角速度乘上帧长，当成一个无穷小的转动，再「重复无穷多次」取指数——一个连续的群由挨着恒等变换的那一小步决定，是 1874 年一篇十四页的短文里的话。反过来，要从位移算回一个角度就得求反正切，而它的级数在自变量大于 1 时根本不收敛；数学库的办法是先换成 π/2 减去倒数的那一个——1836 年一位中学教师正是拿这一对当例子，说明同一个超几何函数换一个自变量写，收敛就换一副样子。

   阿耶波多·一条规则，一张表，两者对不上一行·二十四个长短不等的气哈密顿·万向节死锁：三个角度不够用哈密顿·slerp：球面上最短的那条弧索菲斯·李·把一个无穷小变换重复无穷多次卡尔曼·每来一个读数，只改一次库默尔·换一个自变量，级数就换一副样子马德哈瓦·正弦写成一串加减切比雪夫·最好的多项式，误差是等幅摆动的魏尔斯特拉斯·七十岁那年的逼近定理埃尔米特·连导数一起对上
3. 1.1

   物理：速度和位置各推一步

   手雷在飞，箱子在塌。引擎要把加速度积分成速度、速度积分成位置，这正是流数法当年要算的东西。顺序还不能写反：先更新速度、再用新速度更新位置，能量才不会一路漏光。这个次序为什么管用，要从真实的运动说起：不加阻尼时，一团状态在（位置，速度）平面上怎么变形都行，面积却一点不变——1838 年有人证明了那个行列式恒等于 1；一加阻尼，面积就按指数缩小。而「这一刻走多快」这个问法本身也是有来历的：把一段时间里走过的距离除以那段时间，得到的是平均速度；要问此刻，就得把那段时间取到极短——十二世纪的印度历算为了算行星位置，已经把这两件事分开命名了。三百年后的撒马尔罕反过来问同一件事：表上每十天才有一行，中间那九天的速度怎么摊——答案是一列等差，公差由「摊出来的和要恰好等于表上那一段」定死，而且附了一条能当场验算的判据，与今天两个关键帧之间补间是同一个问题。更早的一张差分表在元代：1303 年一部书把「每天招多少兵」逐列相减，减到第四次为零，再拿每列的头一个数各乘一个垛积数相加，一次算出十五天的总数——今天补帧与外推里的前向差分公式，就是这张表。布娃娃的每一个关节、每一次接触都是一条约束，求解器这一步解的是「在满足约束的前提下让什么最小」——算出来的那个数就叫乘子。这一招的前身在 1743 年：把每一块「本来要怎么动」与「实际怎么动」之差单拿出来，要求这些差在约束上相互抵消，动力学就成了静力学。至于角动量凭什么守恒，答案是 1918 年给的——因为把整个系统转过任意角度，规则不变。箱子在空中翻滚的那几帧，引擎推的是欧拉写下的刚体转动方程；而这组方程一旦加上重力矩、再把一个点钉住，难度就换了个量级——能整个解出来的构形，一百多年里只找到三种，最后那一种是 1888 年找到的。至于这一步到底该怎么推：一步里多算几次斜率，就能换到更高的阶，这笔账 1901 年被算成了一组代数条件——四个函数值最多买到四阶，而那族里唯一只用四个的那条公式，一百多年来一直印在数值分析课本的同一页上。游戏引擎多半不买这笔账：它每帧只算一次力，图的是省和稳。手雷飞出去的那条弧，在 1537 年一本给炮手的书里被画成三段——先直线、再一段圆弧、最后竖直落下，作者还用一道二次方程算出了第一段有多长；九年后他自己改口：除了竖直上下，炮弹连一步也不走直线。每帧都让重力推一下速度，正是这句改口的意思。箱子与箱子碰没碰上，引擎问的常常是另一个形状：把 A 里每一点减去 B 里每一点，得到的仍是一个凸形，两块碰上当且仅当这个差里含着原点——GJK 算法就这么判。「两个形状逐点相加」这种运算，是二十世纪初拿来重新定义面积与表面积的。

   牛顿·微积分婆什迦罗二世·即时行度：行星这一刻走得多快兀鲁伯·一天一天摊回去，还能自己验算朱世杰·招兵十五日，四位并之哈密顿·相空间：能量为什么会漏刘维尔·一团状态跟着方程走，面积只听一个数拉格朗日·带着镣铐求极值达朗贝尔·失去的那一份，在杠杆上恰好平衡诺特·诺特定理：对称与守恒柯瓦列夫斯卡娅·一百年里的第三个闵可夫斯基·两个形状相加，面积的平方根也跟着加龙格·一步里算四次，能买到四阶塔尔塔利亚·直线、一段圆弧、再直直落下
4. 2.6

   这一枪打中了谁

   一条射线和一个球会不会相交，写下来就是一个一元二次方程：判别式小于零是没打中，两个根是进和出。九世纪那本书教的配方法，如今每秒要在显卡上跑几百万次。换成甜甜圈、换成一根弯管，次数就升上去了：三次的公式十六世纪才解开，而且带着一个怪处——三个根全是实的时候，它偏要你先绕一趟虚数。显卡上不绕这一趟，用的是把方程换成一个角的那种解法，一个反余弦就把根报出来了。再不行就改成迭代逼近——沿切线滑一步，再滑一步。而「射线碰上一个锥面」截出来的，正是椭圆、抛物线、双曲线三者之一——聚光灯的光锥打在墙上是哪一条，两千两百年前就分好了类。求交这件事本身还有个更早的说法：十一世纪就有人指出，方程的根就是两条曲线的交点——只是那时是拿它来解方程，如今反过来，是拿方程去求交点。这一路能走通，还欠着更早的一步：要对多项式本身动手术——配方、约分、开方——得先承认它是一个可以这么摆弄的对象。十一世纪的巴格达做的正是这件事，《算术之妙》里连「一个多项式怎么开平方」都写了出来。顺带还有一件今天写着色器的人天天在做的事：同一个几何条件，换一种说法就化成另一个方程——十三世纪杭州那本讲田亩的书里，同一块八百六十四步的田被换着问了八遍，八个方程各配一档解法，练的正是「怎么把话化成方程」。求交还有一步更早的判断：两条多项式方程有没有公共根，不必先解出来——1840 年有人把两组系数错开排成一个方阵，它的值为零就有；今天求两条参数曲线的交点，常常先算的就是这个方阵。

   花拉子米·把 x² + 10x = 39 摆成一个正方形阿波罗尼奥斯·一个圆锥，三条曲线奥马尔·海亚姆·用两条曲线解一个方程卡尔达诺·解三次方程韦达·不碰虚数，解开那道方程牛顿·牛顿法卡拉吉·一个多项式怎么开平方杨辉·同一块田，他问了八遍李冶·方田里的圆池：把方程画成条段西尔维斯特·两条方程有没有公共根，一眼看出来
5. 3.4

   船入水了

   浮力等于排开水的重量，这条两千两百年没变。难的是「排开了多少」：船体是一张三角网格，要算它水下那部分的体积，用的是把体积分换成边界上的面积分的那条定理。同一条定理还顺手给出质心和惯性张量——也就是它翻起来有多费劲。另一条路是按层切：吃水线以下每隔一点取一个横截面，面积乘厚度累加起来就是体积——依据是五世纪那句「幂势既同，则积不容异」，两个立体每一层的截面积都相等，体积就必然相等。浮筒、油桶、轮胎这类绕轴转出来的形状还有一条近路：体积等于截面积乘以截面重心转过的那一圈，截面长什么样都不用管——这句话四世纪就写在亚历山大里亚的一部书里。切得粗了差一点怎么办，有一个省力的办法：1712 年刊行的一部书把一个球切了三遍，厚度一次次减半，拿三个结果的差外推一步，差的那一点整个补齐，一分不差。

   阿基米德·浮力与王冠祖冲之·祖暅原理：幂势既同，则积不容异帕普斯·转一圈的体积，只看重心走了多远格林·边界上的一圈，等于内部的一片关孝和·球切成一百片，一分不差
6. 4.2

   敌人开始找路

   关卡被切成一张图：路点是顶点，走得通的地方是边。可走的地面本身是一片片多边形铺出来的，而「这个角色此刻站在哪一片里」每帧都要判一次——判法是从他脚下向外发一条射线、数它穿过那片多边形的边几次，奇数就在里面；这句话是 1887 年为证明「一条闭曲线把平面分成内外两块」写下的。「从这里到那里怎么走」是图论问题，而图论的第一篇论文写于 1736 年，为的是七座桥。要是改成「把所有巡逻点各走一次再回来」，那就换了一道题——那道题至今没有好办法。至于「哪一种办法更快」这句话本身凭什么有意义：两条增长曲线最终一定分得出高下，绝不会你追我赶永不见分晓——这是 1910 年才被写成定理的，而它有时要到一个七百万位的数那里才兑现。「最短的那条路」本身也可以写成一个线性规划：把每条边上走不走当成运量，起点运出一件、终点收进一件——1963 年丹齐格那本书第 17 章就把它放在「网络与转运问题」一章里、用单纯形法来解。

   欧拉·哥尼斯堡七桥问题哈密顿·二十面体游戏：走遍每个点哈代·谁跑得快是定死的，可要跑到一个七百万位的数那里才看得出来若尔当·一条闭曲线，把平面分成两块丹齐格·从西北角起步，八步运到最省
7. 5.0

   先把看不见的扔掉

   最终留在屏幕上的不到场景的百分之一，所以第一件事是剔除。要快就得让「位置相近的东西在内存里也相近」，办法是拿一条能走遍三维空间又从不乱跳的曲线给格子编号。这种曲线 1890 年就造出来了（皮亚诺先写出算式，第二年希尔伯特给了图），当时纯粹是为了回答一个问题：一根线能不能填满一个正方形。剔除本身则是一道是非题连着一道是非题：一个物体在不在视锥里，等于六个半空间判断全为真，而「把『且』写成乘法、把是非写成 0 和 1」是 1847 年定下来的规矩，显卡一帧要做上百万次。还有一半三角形不必等到视锥：背对着相机的那一面反正看不见。判法只要几次乘减——把三角形投到屏幕上，拿两条边做外积，带号的面积为正是正面、为负是背面。「面积带着正负号，因子一换号就反」，是 1844 年一本几乎没人读的书在序言里就讲明了的。

   希尔伯特·希尔伯特曲线皮亚诺·一根线，走遍整个正方形格拉斯曼·平行四边形，是两条边的乘积布尔·x 乘 x 还是 x波莱尔·一段接一段，跳到头
8. 5.9

   模型 → 世界 → 相机 → 屏幕

   每个顶点要连过四套坐标系，每一次都是一个矩阵——引擎不会让顶点挨个过四道关，而是先把四个矩阵乘成一个，再拿这一个去乘几十万个顶点。「一方块数可以像一个量那样相乘，只是次序不能换」，这句话是 1858 年一位在伦敦做律师的数学家写下的。矩阵的行列式告诉你这次变换把体积放大了几倍；要是它是负的，说明模型被镜像了，法线得跟着翻面，否则光会从物体里面照出来。反过来，要把一个模型的体积恰好放大一倍，缩放矩阵对角线上填的不是 2，而是 2 的立方根 1.259921——公元前三世纪有人为这个数造过一件器具，几块板在轨道里推到四点共线，就把它夹了出来。行列式第一次被写下来，是在 1693 年的一封信里。矩阵里那些 sin 与 cos 则更老：它们最早是一张表，半度一行，公元二世纪在亚历山大里亚造出来的。而「负数本身算不算数」这件事，定下来比它们都难——628 年有人用「财产」与「债」讲清了正负相乘，负负得正从此有了规矩。关卡编辑器里并排的顶视、前视、侧视几个窗口则是另一种投影：不透视，只往互相垂直的几个面上垂直地投——一个立体用两张这样的图就完全定下来，同一点在两张图上落在一条垂直于折线的线上，这是 1795 年在巴黎一所新办的师范学校里当成一门课来教的。

   莱布尼茨·一封信里的行列式凯莱·一个方阵，满足它自己的方程托勒密·弦表：三角学从这张表开始纳西尔丁·图西·两个圆一起转，转出一条直线婆罗摩笈多·财产与债：负数成了合法的数埃拉托色尼·倍立方：三块板夹出两个比例中项蒙日·两张图，定一个立体
9. 7.0

   这堵墙，真的是平的吗

   你的关卡默认是欧氏空间：平行的两堵墙永不相交，绕一圈回来朝向不变，三角形内角和是 180 度。这不是自然规律，是第五公设——一条两千三百年里没人证得出来的假设。有人还为它找过一个只花半页纸的理由：两角夹一边，三角形就定了，所以第三个角只能是前两个角的函数，因为那条边是长度、不是数，进不了角的式子——这个论证 1794 年写在一本当了一百年课本的几何书里，而它恰好等于假定「等比放大不改变形状」。传送门关卡之所以让人晕，正是因为它偷偷违反了这一条：那里的三角形内角和不再是 180 度。而「不再是 180 度」差多少并不是随便定的：差掉的那一点正比于三角形的面积，1829 年就算清楚了。这件事对做关卡的人是有用的——在负曲率的空间里，同样的角度对应的边长是定死的，你没法把一张地图等比放大，空间本身给了你一个绝对的尺度。顺带一条给引擎写墙的人看的：古人早就想过把「平行」定义成「处处等距」，听着比「永不相交」实在得多；可在这样的关卡里，一排等长的垂线，顶端连起来根本不是一条直线，它比脚下那条长出 cosh 倍。

   欧几里得·第五公设勒让德·第三个角，凭什么只由前两个角定黎曼·非欧三角形罗巴切夫斯基·三角形缺掉的那一点，就是它的面积波西多尼乌斯·他给平行线换了个定义，而那个定义就是第五公设
10. 8.0

    曲面其实没有曲面

    显卡只会画三角形。一个球、一根管子、一张脸，都是用足够多的平面片凑出来的；远了少凑几片，近了再割细，这就是 LOD。「割之又割，以至于不可割」是三世纪写下的八个字，说的正是同一件事：边数够多，多边形与圆之间就无所失矣。要把这句话变成一条经得起查的定理，办法比它别扭：不能说多边形最后变成了圆，只能说两者之差压得比任何给定的量都小——公元前四世纪的走法就是这样，而引擎判断「割到几片够了」用的正是同一个念头：投到屏幕上的差额小于半个像素，就不必再割。至于该割多细，还要看它在屏幕上占多大：离得远一倍，面积只剩四分之一，这条「线度之比的平方」就是当年那条圆与圆之比的定理。而「差额小于半个像素」量的其实是弦与弧中间那一截的高——今天叫弦高，古人叫矢：十一世纪有人给过一条由弦与矢求弧长的近似，弧约等于弦加上两倍矢的平方除以直径，矢越小越准。美术把一个模型减面之后，要量减掉的那一版离原版差多少，常用的是两个曲面之间「各取最远、再取较大者」的那个距离——它是 1914 年为任意两个点集定下的。

    刘徽·割之又割，以至于不可割豪斯多夫·两个形状之间有多远欧多克索斯·圆与圆之比，等于直径平方之比沈括·会圆术：由弦与矢求弧
11. 8.8

    把三维的表面摊成一张二维的图

    贴图之前要展 UV：曲面上的每个点对应图上的一个点。这样的一一对应必然存在——1878 年就证明了，线段上的点与正方形里的点一样多。可那个对应不连续，而贴图要的是连续的，于是代价躲不掉：曲面只要有弯曲，摊平就一定会拉伸，这是 1827 年那条定理的结论。美术把拉伸赶到看不见的地方，那些地方就叫接缝。而「拉伸了多少」并不是凭感觉说的：把展开看成一个映射，每一小块面积被放大的倍数就是它的行列式，引擎里那张红蓝相间的「纹理密度图」量的正是这个数。那么摊法该怎么挑？常用的一招是把「拉伸」写成一个能量，在边界钉死的所有摊法里去找让它最小的那一张——「在边界值相同的函数里取能量最小的那个」这句话来自十九世纪的位势论，当年还因为「最小值凭什么一定取得到」出过一场风波。另有一条更讲究的路：既然保角摊平做不到，就退一步要求「每一个无穷小的圆都被拉成形状一样的椭圆」，而这句话正好是一个方程——1867 年有人为了把复变函数搬到任意曲面上写下了它，今天的低失真展开与医学影像里的皮层摊平解的都是它。还有一件事只有摊过 UV 的人会遇到：把一块贴图镜像着用，那一片的切线空间就换了手性，所以引擎里每个顶点的切线都要多带一个 ±1 的分量，专门记「这里是不是反的」。手性能不能全局说清，本来就是曲面的一条性质——有的曲面上根本说不清，1882 年有人缝出过一个这样的面。切线本身也有一处躲不掉的麻烦：给一个球形的模型在每一点配一条连续变化、处处不为零的切线，是做不到的——1912 年那条「偶数维的球梳不平」说的就是这个，所以球上的切线场总得留一两个奇点，美术把它们藏在看不见的两极。反过来，有一样东西无论怎么摊、怎么揉都不变：一整块封闭的网格，把每个顶点处的曲率加起来，像球那样的总是 4π，带一个洞的总是 0。1944 年有人证明这件事在任意偶数维都成立，证法是在面上铺一个向量场，借斯托克斯公式把曲率全赶到场的零点上。

    康托尔·线段与正方形一样多高斯·绝妙定理狄利克雷·取最小的那一个雅可比·一小块面积，被放大了几倍贝尔特拉米·保角做不到的时候，退一步要求什么克莱因·走一圈回来，你成了自己的镜像布劳威尔·偶数维的球梳不平陈省身·曲率全被赶到了零点上
12. 10.0

    这个面朝不朝着光

    一次光照计算的核心只是一个内积：面的法线与光的方向差多少——而「一个粗糙表面看上去有多亮，正比于这个夹角的余弦」是 1760 年那本把「亮」第一次变成可量之物的书里的定律，所以引擎里那种不反光的漫射面至今叫朗伯面。正因为光只看朝向，才骗得过去——法线贴图把一张平三角形的朝向逐像素改掉，眼睛就以为那里坑坑洼洼。而「朝向与弯曲可以只在面内测量、不必参照外部空间」，本身就是那门几何的起点。镜面高光往哪个方向亮，按的是入射角等于反射角——公元一世纪就有人证明，这正是光能挑的最短的路。遇上玻璃和水就不止朝向了：光要在界面上拐一下，拐多少由两边的折射率定。这条定律不是从「路最短」推出来的，是从「最省时间」——1662 年有人这么算，理由是自然界不做无用功。今天渲染一块玻璃，逐像素算的就是这一条。那个内积本身也有来历：两条边与夹角定住第三条边，这件事《原本》第二卷早写成了面积，十五世纪的撒马尔罕才把它压成一条能直接代数字的式子——今天由两个向量求夹角，用的正是它的反解。真正的光还会在墙与墙之间来回弹：每弹一次都打一个折扣（表面的反射率小于 1），所以把「多弹一次」一遍遍算下去，一定收敛到唯一的一幅画面——这正是 1920 年那篇论文里「每一步都缩一截」的那条定理，同一篇还把这类方程的解写成了一个逐项衰减的级数，也就是今天全局光照按弹射次数展开的那一串。

    黎曼·度量：几何的第二层海伦·光走最短的那条路费马·光走最省时间的那条路兰伯特·他把光变成了可以量的东西阿尔·卡西·第三条边：法国课本里的「卡西定理」巴拿赫·每一步都缩一截，就一定停在一点
13. 11.0

    四面八方的环境光，压成九个数

    天光从每个方向来，不可能逐个方向存下来。办法是把「方向 → 亮度」这个函数摊在一组正交基上，只留前九项：低频留下，细节丢掉，反正环境光本来就柔和。这与把方波拆成正弦波是同一招；而「把函数看成无穷维空间里的一个向量」这个说法，是希尔伯特给的。

    希尔伯特·希尔伯特空间傅里叶·系数衰减多快，只看函数有多光滑
14. 12.0

    软阴影：往光源上撒一把点

    光源不是一个点，阴影才有软边。算法是在光源表面撒若干采样点，逐个看挡没挡住，再平均——把一个积分换成有限次采样的平均值，正是当年给积分下定义的那套办法反过来用。而这个平均值凭什么靠得住，是一条 1713 年写下的定理：撒得越密，平均值越贴住那个真正的期望。「撒点」这件事本身还有一层麻烦：显卡里的随机数是算出来的，不是真随机——第一个这么干的人自己说过，用算术造随机数字的人「都处在犯罪状态」，因为这种数迟早会开始打转。点还不能乱撒也不能撒成方格，要彼此不许太近；这种撒法用的是另一位的名字。这里还藏着一件与直觉相反的事：前面那条 1713 年的定理管的是彼此独立的采样，而引擎里真正在用的几种撒法——低差异序列、按上一条光路改一改再试的那一类——相邻两次是有意做成相关的。相关了还算不算数？算，1906 年有人专门为此造了一串首尾相连的试验来证明；变的只是「要撒多少点才够」，那个倍数由相邻两次咬得有多紧定。还有一种撒法不必挨个检查距离：每放一个点就转过同一个角，137.5 度，转出来的螺旋永远不会自己叠成行——那个角是把一整圈按黄金分割切开得到的，而黄金分割正是那串兔子数列相邻两项之比一上一下、越夹越紧要去的地方。至于「最均匀」到底长什么样：同样大的圆在平面上排成六角格时最省地方，填充率 90.69%，比排成方格的 78.54% 高出一截——这个问题最早是 1611 年一本讲雪花的小册子问出来的。还有一问排在这一切后面：一串数到底「够不够乱」，怎么说？1965 年给出的答案不问它从哪个分布里来，只问能把它印出来的最短程序有多长——压得动的就不算乱，而长度一定的串里绝大多数一点也压不动。画面上的噪点，其实就是这个平均值的方差；同样一批采样，换一种算法去估，方差可以差出一截——1920 年代有人算过，估一批数有多散，拿平均偏差去估只用上了约八成八的信息，八百个样本只抵另一种办法的七百个。反过来的问题也在这里：撒了 n 个点、挡住 k 个，真正的遮挡比例落在哪个范围里、有多大把握——够不够就此收手，还是再撒一批？这是 1763 年一篇遗稿问的问题，用一张桌子和两只球讲清的。

    柯尔莫哥洛夫·这一个串有多少信息贝叶斯·一张桌子，两只球费希尔·同一批数，丢掉了几成信息雅各布·伯努利·大数定律：摸多少次才算数马尔可夫·大数定律并不需要各不相干冯·诺依曼·他要的不是真随机，是查得了账的假随机开普勒·堆橙子的最好办法黎曼·黎曼积分勒贝格·竖着切与横着切塔比·伊本·库拉·他把底边按 1 : 3 : 5 : 7 切开泊松·稀有事件的定律斐波那契·相邻两项之比
15. 13.0

    烟雾和水花

    流体每推进一步都要解一次方程，把速度场里凭空冒出来的那部分压掉——那就是泊松方程。离散到网格上，它说的是每个格子的值等于四邻的平均，再减去源项。所以一次流体解算的内循环，其实是在反复求一个调和函数。这个循环什么时候算完？代码里写的是「两次迭代之差小于一个阈值就停」——那一行正是 1821 年那条判据的工程版本：不必知道极限是什么，也能断定它收敛。解出来的压强场还有一条直觉可以对照：稳定地流着的水里，流得快的地方压强低——1738 年一本书先把这件事算清楚，它问的是一只大桶接一根管子，管口开得越大、管里流得越快，管壁就受得越轻，细到一定程度甚至往里吸。烟雾画出来还要再做一件事：沿每一条视线把密度加起来，算透过去还剩多少光。CT 机做的是同一个积分的反方向——量到的是每条直线上的积分，要求的是密度本身；1917 年有人证明，一个平面上所有直线的这种积分拿全了，密度就定得出来。

    泊松·泊松方程：把源项加进去拉普拉斯·每一点都等于邻居的平均柯西·不知道极限是什么，也能断定它收敛丹尼尔·伯努利·管子变细的地方，水把管壁压得更轻拉东·由所有直线上的积分，定出整个函数斯托克斯·牛顿的漩涡差了一个力矩
16. 14.0

    泛光与景深：给画面上一层模糊

    真实的镜头为什么有景深？因为孔有大小：一个点穿过孔落下的是一块斑，孔越大斑越大——一千年前在暗室里做实验的人就记下过，墙上光斑的大小随孔而定。游戏里的相机本来是一个没有大小的针孔，处处清楚，要虚化就得自己补一道模糊。亮处发光、远处虚化，用的是同一个核：一口以像素为中心的钟。它还能拆成横一遍、竖一遍——两次一维模糊等于一次二维模糊，代价从 N² 降到 2N。这是这条钟形曲线独有的特权，换个形状就拆不开。落到像素上要的是一排整数权重，最省事的来源是那张三角形的某一行：1、4、6、4、1。行数往下走，它就越来越像那口钟——二项分布趋于正态，这件事 1733 年就写下来了，写在一份七页的拉丁文小册子里，只在朋友间传阅；那也是这条钟形曲线已知最早的一次露面。先模糊一遍再模糊一遍，半径不是相加、是平方相加——方差按次数累加，这正是布朗运动的一步一步：走了多久，方差就是多少。也正因为每一小步的平方加起来不趋于零，在布朗轨道上求导时要比链式法则多留一项。

    海什木·几盏灯，一个孔，一面墙棣莫弗·二项分布怎么变成那条钟形曲线高斯·正态分布帕斯卡·算术三角形伊藤清·链式法则多出来的一项
17. 14.2

    色调映射：把一万倍的亮度差压进 256 级

    渲染器算出来的亮度没有上限：阳光下的白墙比阴影里亮上千倍，屏幕每个通道却只有 256 级。按亮度平均切，暗部会挤成一团黑；得顺着眼睛切——眼睛判断亮暗看的是比例，暗处差一点就看得出，亮处差很多才察觉。色调映射和 sRGB 的伽马曲线做的都是这件事。最早按这个原则刻出来的一把尺子，是两千年前给星星分的六个等级：肉眼觉得每一等差得一样多，实际每一等亮两倍半。把「按比例」换成「按差」的那一步——比例相同的数，对应的数等差——是 1614 年一张正弦的对数表第一次印出来的。那条曲线在着色器里是逐像素算的，一帧就要算几百万次，写法一律是嵌套的：ax² + bx + c 写成 (ax + b)x + c，n 次多项式只要 n 次乘法，而不是 n(n+1)/2 次。这套写法今天叫霍纳法，中国的教科书叫它秦九韶算法——出处是 1247 年一本讲田亩、赋役与量雨的书。而秦九韶自己不是起点：再往上两百年，开封有人把开方摆成算筹上几行「乘下法入廉、乘廉入方」，逐位求根与嵌套求值本来就是同一套动作的两面。而那条曲线里的对数本身，着色器也是这样嵌套着算的：把数拆成 2 的若干次方乘一个接近 1 的数，后者用一条级数、从最高次那一项往回做「除了加、加了除」——1840 年代有人用二十层「尖锥」的面积这样算出了 ln 2 的前七位，每一步只用加法与除法。

    喜帕恰斯·一等星到六等星纳皮尔·两个点同时出发，对数是走出来的秦九韶·一位一位，把根定出来贾宪·随乘随加：一套动作开任意次方李善兰·对数：除了加，加了除
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    枪声、脚步、混响

    声音在内存里是一串采样点，在算法眼里是一堆频率。要压缩就把人听不见的那些扔掉，要做混响就把房间的冲激响应与它卷在一起。拆和拼用的是同一把刀；而这把刀的语言——把旋转写成一个指数——出自另一位。脚步声随机升降一两个半音免得听腻，升一个半音就是频率乘 2 的十二分之一次方：「一个比例的几分之几」，十四世纪才第一次被写成规则。至于声音怎么绕过柱子、拐过门框传到耳朵：把波前上每一点当成新的波源、再取它们的包络，这条画图的规矩是 1690 年写下的，今天的声学仿真与波束成形还在用。风声、雨声这类没完没了的环境音，调音色时看的是它的谱——一段不停、没有周期的声音本来没有傅里叶变换，它的谱是先算它与自己错开一段的平均、再变换出来的，1930 年才有人把这件事做严格。「冲激响应」也是同一类说法：房间对一声理想的拍手——一个 δ——怎么回答；可 δ 不是一个函数，它要到 1945 年才被说成「作用在光滑函数上的泛函」，从此卷积、求导对它都算得通。

    傅里叶·用正弦波堆出方波维纳·没有傅里叶变换的信号，也有谱图基·把 N² 次乘加拆成 2N·log₂N 次欧拉·欧拉恒等式奥雷姆·比例的比例：分数指数惠更斯·波前上每一点，都是新的波源洛朗·施瓦茨·δ 不是函数：它只回答作用在 φ 上得多少
19. 15.0

    发出去，路上丢了一个包

    联机对战每秒要发几十个包，丢包是常态。掺多少冗余才够，这件事 1948 年就有了答案：一条会出错的线有一个容量，只要传得比它慢，就存在一种编码能把出错概率压到任意接近零——而且速率不必一路降到零。不靠重传也能补回来的办法，是发出去之前先掺进冗余：把数据当成有限域上一个多项式的取值，丢掉几个点，剩下的点仍然把那个多项式定死。有限域是一个二十岁的人在决斗前夜整理出来的。至于这条连接本身：握手时协商密钥用的多半是椭圆曲线，而那条曲线上的加法之所以成群、之所以绕得回来，追到底是「把椭圆积分反过来看」那一步——那是另一个二十几岁就走了的人。掺冗余还有一条更朴素的分寸：一个会声张的错误，远比一个不声不响被改坏的包便宜——1950 年有人只多加了一位校验，就让码从「能纠一位」变成「能纠一位、并且看得出什么时候错了两位」。线路坏得厉害时还有一种更舍得的办法：拿一族行两两正交的 ±1 方阵，每一行连同它的负行各当一个码字——32 阶那一个给出 64 个码字、最小距离 16，六位信息换三十二位，纠得了七位错。这一族方阵出自 1893 年一个关于行列式最大能有多大的问题，1971 年水手九号就是靠它把火星的照片发回地球的。还有一件事在发送端：该发多快，是照丢包与延迟一路调的，可它看到的丢包都是一个往返以前的事——用晚到的读数去调节，回路就成了带时滞的方程。这种方程的特征根有无穷多个，没法一个个求；1942 年有人把「稳不稳」搬到虚轴上去判：看两条曲线的零点是不是一个隔一个。

    伽罗瓦·有限域：每一个二维码里都有他香农·噪声限制的是速度，不是可靠性阿贝尔·把积分反过来看汉明·再加一位，就多一种本事庞特里亚金·虚轴上两条曲线的零点要交替阿达马·元素都不超过 1，行列式最大能有多大
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    两台机器的同一帧，为什么会不一样

    锁步同步赌的是决定论：同样的初始状态加同样的输入，必然算出同样的结果——两百年前有人把这个信念推到过极端。可浮点数只有有限位，两台机器在最后一位上差了一点点，几百帧之后就是两个世界。这不是 bug，是对初值的敏感依赖，1890 年在三体问题里第一次被看清。它还留下过一份白纸黑字的证据：1963 年有人把自己那台机器打出来的前六千步印成了表，今天照同一个格式、同一个步长、同一个起点重跑，头三十一圈绕哪一边全都对得上，从第三十二圈起两份各走各的。而浮点数要冒充的那个「实数」，本身也是有来历的：它长期只能靠画一条线来指认，直到 1869 至 1872 那几年才被几个人各自建在算术上——其中一种办法是把有理数切成两堆，缝里站不下有理数时就在那儿添一个。至于那些浮点数本身长什么样，也有人从机器的角度算过一笔：它们的尾数并不均匀，首位是 1 的差不多占三成，而且乘除法只会把分布越推越像这个样子。「几百帧之后」里的那个「几百」也不是随口说的：两条差之毫厘的轨道分开得多快，1892 年就有人给它下了定义——拿解乘上 e 的 λt 次方，看乘积从趋于零翻成无界的那个 λ；他同时举了个例子说明这个量连极限都不一定存在，只能取上极限。

    拉普拉斯·拉普拉斯妖李雅普诺夫·那个数算得出来，可它不是一个极限庞加莱·三体问题与混沌洛伦茨·印在论文里的那张表，今天重跑一遍莱布尼茨·只用 0 和 1戴德金·缝里站不下有理数，就在那儿添一个汉明·浮点数的首位数字不是均匀的
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    交给显示器：为什么偏偏是 60

    一秒切成 60 份，掉帧时能干净地降成 30、20、15——因为 60 的因数多得离谱：2、3、4、5、6、10、12、15、20、30 全都整除得了。这种「因数特别多」的数有个名字，叫高度合成数，由一个从未受过正规训练的人在 1915 年系统研究。（60 这个数最初来自电网频率，但它这么好用，是因数说了算。）可这一帧凭什么一定会结束？没有哪个办法能事先判断一段代码会不会停下来——这是 1936 年证明的；再往前一步，一套规则只要够用，就连「自己不会出矛盾」这句话也说不出口。所以驱动根本不去判断，只拿秒表看着：一段着色器超时没交卷，就把它连同画面一起杀掉，屏幕黑一下再回来。这类「算不出来」并不只关乎代码：连一个整系数方程有没有整数解，都没有通用的判定办法，而那种方程三世纪就在解了。

    拉马努金·高度合成数图灵·停机问题哥德尔·系统证不了自己没毛病丢番图·一千七百年后，他的方程成了不可判定的例子