William Rowan Hamilton · 1805–1865
他刻在桥上的那行字，如今在每一台游戏机里转动
威廉·罗恩·哈密顿生于都柏林，三岁被送到特里姆的叔父家——那位教区牧师兼语言学家按自己的办法把他养成了神童，据说他十来岁时已能对付十来种语言。转向数学的契机是 1818 年的一场比试：美国心算神童泽拉·科尔本来都柏林表演，十三岁的哈密顿上去跟他比，输了，回家开始读书。十七岁那年他读拉普拉斯的《天体力学》，挑出其中一处错误，被引荐到皇家天文学家布林克利面前；布林克利的评语是，这个年轻人不是将会成为、而是已经是这个时代的第一流数学家。1827 年，学位还没拿到，他就被聘为三一学院的安德鲁斯天文学教授与爱尔兰皇家天文学家，二十二岁搬进敦辛克天文台，此后一生住在那里。
他做成的第一件大事在光学：一束光线的全部行为，可以由一个函数导出。1832 年他从这套理论里推出一个谁也没见过的现象——某些晶体会把一束光折成一个圆锥；劳埃德当年底就在实验室里把它做了出来。随后他把同一套想法搬进力学：一个函数 H，两组一阶方程。十九世纪的人把这看作拉格朗日力学的改写，直到量子力学开张，薛定谔方程里那个算符就叫哈密顿量。而他自己认为最要紧的是另一件事：复数可以写成一对实数，加减乘除样样对得上，在平面上转动自如——那么三维空间呢？他找了十三年三元数的乘法，儿子们记得每天早餐都要问一句「爸爸，你会乘三元数了吗」。1843 年 10 月 16 日，他陪妻子沿皇家运河去皇家爱尔兰学会开会，走到布鲁姆桥时忽然想通：三个数不够，要四个；而且必须放弃 ab = ba。他掏出小刀，把 i² = j² = k² = ijk = −1 刻上桥石。此后二十二年他几乎只做四元数，直到去世。「向量」与「标量」这两个词，就是他在这些工作里造的。
三岁起随叔父在特里姆长大，先被当成语言神童养，十三岁与心算神童科尔本比试落败后转向数学。
十七岁。皇家天文学家布林克利评语：这个年轻人不是将会成为、而是已经是这个时代的第一流数学家。
学位尚未拿到就受聘为安德鲁斯天文学教授，搬进敦辛克天文台，住到去世。
从他的光线系统理论推出：某些晶体会把一束光折成圆锥。劳埃德当年底做实验证实，他因此于 1835 年受封爵士。
一个函数 H 与两组一阶方程。七十年后，量子力学里那个算符沿用了他的名字。
十月十六日，寻找三元数乘法的第十三年。他放弃了交换律，用四个数解决了三维旋转。原刻痕早已不存，1958 年在桥上立了铭牌。
十二面体的二十个顶点各标一座城市，求一条每城恰过一次的闭路。他把它卖给伦敦玩具商得二十五英镑，玩具没卖动——今天它叫哈密顿回路，是 NP 完全问题。
六十岁。遗稿《四元数原理》次年由其子整理出版。
绝大多数展品都可以亲手把玩——这是本馆的立馆之本；少数以叙述为主的，做成故事展签。
把机头拉到 90°，三根转轴塌成两根。
用偏航、俯仰、滚转三个角度描述姿态，是最直觉的办法，也是几乎每个引擎最初都会选的办法。代价藏在一个特定姿势里：机头朝正上方时，最外层的偏航轴与最内层的滚转轴指向同一个方向，三层万向环有两层重合，能表达的转动从三维塌成二维——飞机在那一瞬间丢掉一个自由度，操纵杆推下去要么没反应，要么猛地翻一下。这不是程序写错了，是这套表示法自身的洞：把三个角速度换算成真实角速度的那个矩阵，行列式恰好是 cos(俯仰角)，在 ±90° 处归零。阿波罗飞船的惯性平台就只装了三个万向环（第四个太重，砍了），宇航员得盯着显示器上标出的禁区绕开它；迈克尔·柯林斯为此留下一句话：圣诞节送我第四个万向环吧。
拖动三个角度，看俯仰逼近 90° 时两个环如何重合、行列式如何归零
把俯仰拉到 ±90°，看最外层与最内层的环如何重合。同一个姿态换成四元数，只是一根轴加一个角——转到哪里都不会退化。
ij = k，而 ji = −k——乘法第一次不再可交换。
复数能把平面上的旋转变成一次乘法，这件事太好用了，所以人人都想把它搬到三维：找两个新的虚数单位，凑一个三元数。哈密顿找了十三年，找不到——今天知道那是不可能的，三维实除代数不存在。他在桥上想通的是两处让步：维数要四个，而乘法必须放弃交换律。代价换来的是一整套干净的规则：三个虚数单位排成一个圈，顺着箭头乘得正号，逆着乘得负号。旋转的合成从此就是四元数的乘法，而乘法不可交换，恰恰对应着「先偏航再俯仰」与「先俯仰再偏航」本来就是两个不同的姿势。
两个姿态之间怎么过渡？沿着球面走测地线。
镜头从一个角度摇到另一个角度、骨骼动画在两帧之间补间，要的都是「匀速、走最短路」。把两个四元数直接线性插值再归一化，方向是对的，快慢却不均——中段会明显拖慢。slerp 沿球面上的大圆走，转过的角度随 t 线性增长，看上去才是一次干净的转身。这里还有一个天天有人踩的坑：q 与 −q 表示同一个姿态（这是半角写法的代价），插值前若不检查两者的点积、必要时把其中一个取反，物体会绕远路转 350°，而不是就近转 10°——症状就是镜头偶尔猛地翻一整圈。
同一个步长，显式欧拉让摆越荡越高，辛欧拉不会。
哈密顿把力学改写成相空间里的一条流线：位置与动量地位对等，一个函数 H 决定整条轨迹，而 H 沿轨迹不变。这个写法今天最实在的用处是数值积分。物理引擎每帧要把速度和位置各推一步，最朴素的显式欧拉推一步就漏一点能量，而且符号固定——弹簧自己越弹越高，轨道慢慢旋出去，画面上就是「模拟炸了」。把两行代码换个顺序，先更新速度、再用新速度更新位置，就得到辛欧拉：它的单步误差并不更小，却保住了相空间的面积，于是能量只在一个常数附近振荡，永远不漂走。这就是为什么几乎每个引擎的积分器都是辛欧拉或 Verlet，而不是课本上那个最自然的写法。
欧拉走遍每条边，哈密顿走遍每个点——难度差着一个世界。
1857 年哈密顿做了个木头玩具：十二面体的二十个顶点各标一座城市，要求沿棱走一圈，每座城市恰好经过一次，回到起点。他把它卖给伦敦的玩具商，得二十五英镑，玩具没卖动。一百多年后这个问题变得要紧起来：欧拉的七桥问题（走遍每条边）有一条一眼可查的判据——奇度顶点不超过两个；而哈密顿的问题（走遍每个点）至今没有任何这样的判据，它是 NP 完全的，稍加变形就成了旅行商问题。两道题看上去只差一个字，一道在 1736 年就被判了死刑，另一道到今天还在悬赏一百万美元。
一度被当作失败品的东西，一百四十年后成了标准件。
哈密顿的晚年全押在四元数上，他相信这是描述空间的正确语言。泰特接着推，麦克斯韦写《电磁通论》时用的也还是四元数记号。转折在 1880 年代：吉布斯与亥维赛把四元数的乘积拆成两半——点积与叉积，扔掉那个别扭的四元结构，只留下三维向量。工程师觉得好用得多，两派在《自然》上吵了十几年，向量赢了，四元数在教科书里的位置从此接近一件失败的历史遗物。它其实一直没死：航天器的姿态解算绕不开万向节死锁，制导系统里它低调地用着。真正把它推回台前的是 1985 年 SIGGRAPH 上的一篇文章，Ken Shoemake 写了怎么拿四元数做旋转动画的插值——slerp 这个名字就出自那里。今天你打开的每一个三维引擎，姿态都存成四个数。
他的工作没有留在十八世纪——每条链的终点，都是你今天正在使用的东西。
「每天早餐，孩子们都会问：「爸爸，你会乘三元数了吗？」我只能摇摇头回答：「不会，我还是只会加和减。」」
—— 1865 年 8 月 5 日致其子阿奇博尔德的信，回忆 1843 年之前的那些年
「就在那里，我意识到：为了给三元组做计算，我们必须在某种意义上承认空间的第四个维度……电路仿佛接通，火花迸了出来。」
—— 1843 年 10 月 17 日致格雷夫斯的信，事发次日