公式墙 · 数学群星

欧几里得的代表式欧几里得约前325–约前265

\text{公理} \Rightarrow \text{定理} \Rightarrow \text{定理}

公理化方法 · 今天每一篇数学论文的骨架

第五公设欧几里得约前325–约前265

\alpha + \beta < \pi \Rightarrow \text{两线相交}

关掉它，勾股定理就倒了——非欧几何从这里开始。

素数有无穷多个欧几里得约前325–约前265

N = p_1p_2\cdots p_n + 1

给我一份有限的清单，我就造一个不在上面的素因子。

辗转相除法欧几里得约前325–约前265

\gcd(a,b) = \gcd(b,\, a \bmod b)

两千三百年，一步没改，今天每次握手都在跑。

阿基米德的代表式阿基米德约前287–前212

\frac{V_{\text{球}}}{V_{\text{外接圆柱}}} = \frac{2}{3}

球与外接圆柱的体积比 · 他要求刻在墓碑上的定理

穷竭法逼近 π阿基米德约前287–前212

n\sin\tfrac{\pi}{n} < \pi < n\tan\tfrac{\pi}{n}

用越来越多边的正多边形，把圆夹成一根越来越窄的管子。

球与外接圆柱阿基米德约前287–前212

V_{\text{球}} : V_{\text{柱}} = \frac{2}{3}

球放进刚好套住它的圆柱，体积比永远是 2:3。

抛物线弓形求积阿基米德约前287–前212

1 + \tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{16} + \cdots = \tfrac{4}{3}

历史上第一个被求和的无穷级数。

杠杆原理阿基米德约前287–前212

m_1 d_1 = m_2 d_2

距离乘以重量，就是撬动世界的力量。

浮力与王冠阿基米德约前287–前212

V = \frac{m_{\mathrm{Au}}}{\rho_{\mathrm{Au}}} + \frac{m_{\mathrm{Ag}}}{\rho_{\mathrm{Ag}}}

浸入水中的物体，受到的浮力等于它排开的水重。

阿基米德螺线阿基米德约前287–前212

r = a\theta

匀速转动的轮子，匀速离开圆心——画出的就是它。

割之又割，以至于不可割刘徽约225–约295

S_{2n} < S < S_{2n} + (S_{2n} - S_n)

割圆术：只用内接多边形，他也把圆夹住了——顺带把「无限接近」说清楚。

算筹摆成方阵，一列一列消掉刘徽约225–约295

\begin{cases} 3x + 2y + z = 39 \\ 2x + 3y + z = 34 \\ x + 2y + 3z = 26 \end{cases}

解线性方程组的消元法——比高斯早一千五百年。

他造出这个立体，然后承认自己算不出来刘徽约225–约295

V_{\text{球}} : V_{\text{牟合方盖}} = \pi : 4

「敢不阙疑，以俟能言者」——两百年后，祖冲之父子接住了它。

两根竿子，量出够不着的高与远刘徽约225–约295

h = \frac{g \cdot d}{a_2 - a_1} + g

《海岛算经》第一题：不上岛，算出岛有多高、离你多远。

花拉子米的代表式花拉子米约780–约850

x^2 + 10x = 39

《还原与对消之书》里的头一道题 · 他没有符号可用，只能把它摆成一个正方形

把 x² + 10x = 39 摆成一个正方形花拉子米约780–约850

x^2 + bx = c \;\Rightarrow\; \left(x + \tfrac{b}{2}\right)^2 = c + \tfrac{b^2}{4}

「配方法」这个名字不是比喻——他真的在配一个方。

数字变成可以照着做的步骤花拉子米约780–约850

1947 = 1 \times 10^3 + 9 \times 10^2 + 4 \times 10^1 + 7 \times 10^0

同一道乘法，罗马数字要另想办法，位值制只要一张九九表。

笛卡尔的代表式笛卡尔1596–1650

Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0

一个方程装下全部圆锥曲线 · 是哪一种只看 B²−4AC 的符号

一个方程装下所有圆锥曲线笛卡尔1596–1650

B^2 - 4AC \quad\begin{cases} < 0 & \text{椭圆} \\ = 0 & \text{抛物线} \\ > 0 & \text{双曲线} \end{cases}

阿波罗尼奥斯写了八卷来分别处理的三种曲线，在坐标里只差一个符号。

线段乘线段，还是线段笛卡尔1596–1650

1 : b = a : ab

这一步拆掉了希腊人两千年的维数束缚，x⁴ 才第一次合法。

笛卡尔符号法则笛卡尔1596–1650

\#\{\text{正根}\} \le V(+,-,\ldots)

数一眼系数的正负，就知道有几个正根——一个根也不用解。

微积分牛顿1643–1727

\frac{d}{dx}\!\int_a^x f(t)\,dt = f(x)

用「无限逼近」驯服变化与曲线，一套同时处理速度、斜率与面积的通用语言。

微积分基本定理牛顿1643–1727

\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)

求面积与求切线，是同一件事的正反两面。

万有引力牛顿1643–1727

F = G\,\frac{m_1 m_2}{r^2}

苹果落地与月亮绕行，是同一条定律的两个侧面。

为什么必须是平方反比牛顿1643–1727

F \propto r^{-2} \iff \text{轨道闭合}

指数稍稍挪开，椭圆就再也合不拢。

牛顿法牛顿1643–1727

x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}

沿着切线滑下去，一步步逼近方程的根。

广义二项式定理牛顿1643–1727

(1+x)^{\alpha} = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{\alpha}{k} x^k

把 (1+x)ⁿ 的展开从正整数推广到分数与负数。

莱布尼茨的代表式莱布尼茨1646–1716

d(uv) = u\,dv + v\,du

乘积法则 · 1675 年 11 月的手稿，∫ 与 d 这两个记号也是在那几页里第一次出现

记号也是一种发明莱布尼茨1646–1716

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}

牛顿写 ẏ，他写 dy/dx——一百年后，赢的是记号。

只用 0 和 1莱布尼茨1646–1716

1011_2 = 8 + 2 + 1 = 11

1679 年的手稿；1703 年发表时，他在后面附了《易经》的六十四卦。

π 的最漂亮也最慢的式子莱布尼茨1646–1716

\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots

1 − 1/3 + 1/5 − 1/7 + ⋯ 收敛到 π/4；漂亮，但慢得没法用。

一封信里的行列式莱布尼茨1646–1716

\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc

1693 年他告诉洛必达：方程组有没有解，算一个数就知道。

欧拉恒等式欧拉1707–1783

e^{i\pi} + 1 = 0

五个最重要的常数——e、i、π、1、0——在一行等式里相遇。

多面体公式欧拉1707–1783

V - E + F = 2

任何凸多面体，顶点数减棱数加面数恒等于 2。

欧拉乘积公式欧拉1707–1783

\sum_{n\ge1}\frac{1}{n^s} = \prod_{p\ \text{素数}}\frac{1}{1-p^{-s}}

左边只认整数，右边只认素数，两边永远相等。

欧拉定理与 φ 函数欧拉1707–1783

a^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod n

网上支付的安全，压在这一行同余式上。

变分法与最速降线欧拉1707–1783

\frac{\partial L}{\partial y} - \frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial y'} = 0

不是在一族曲线里挑最优，而是在所有曲线里挑。

巴塞尔问题欧拉1707–1783

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}

全体平方数倒数之和，答案里竟藏着圆周率。

拉普拉斯的代表式拉普拉斯1749–1827

\nabla^2 V = 0

每一点都等于邻居的平均 · 位势论、调和函数与整个数学物理的底座

不管从哪里出发，加起来都是同一条钟形曲线拉普拉斯1749–1827

\frac{S_n - n\mu}{\sigma\sqrt{n}} \to \mathcal{N}(0,1)

这就是正态分布在现实里无处不在的原因。

把微分方程变成一道代数题拉普拉斯1749–1827

\mathcal{L}\{y'\} = sY(s) - y(0)

求导变成乘 s；然后看一眼极点，就知道系统长什么样。

每一点都等于邻居的平均拉普拉斯1749–1827

u(\text{中}) = \tfrac{1}{4}\sum u(\text{邻})

所以一块平衡的板子内部，不会凭空冒出一个热点。

傅里叶的代表式傅里叶1768–1830

f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos nx + b_n\sin nx\right)

任何函数都能写成正弦与余弦的叠加 · 这句话当年没能通过评审

用正弦波堆出方波傅里叶1768–1830

\text{峰值} \to \tfrac{2}{\pi}\mathrm{Si}(\pi) = 1.17898

堆得出来——但跳跃处那个 8.95% 的凸起，加多少项都去不掉。

热方程：他造这把刀是为了切热傅里叶1768–1830

u(x,t) = \sum_n b_n e^{-n^2 t}\sin nx

换到正弦基底上，方程就散架成一堆互不相干的一阶方程。

系数衰减多快，只看函数有多光滑傅里叶1768–1830

b_n \sim n^{-1},\quad n^{-2},\quad \ldots

JPEG 和 MP3 敢把高频整条丢掉，靠的就是这一条。

少年的求和高斯1777–1855

1+2+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}

十岁的高斯把 1+2+⋯+100 首尾配对，几秒钟报出 5050。

《算术研究》与同余高斯1777–1855

a \equiv b \pmod{n}

「时钟算术」——只看余数的运算，奠定现代数论。

代数基本定理高斯1777–1855

\deg p = n \;\Rightarrow\; p \text{ 有 } n \text{ 个复根}

每个复系数多项式都有根——而这件事的骨头是拓扑的。

二次互反律高斯1777–1855

\left(\tfrac{p}{q}\right)\left(\tfrac{q}{p}\right) = (-1)^{\frac{p-1}{2}\cdot\frac{q-1}{2}}

两个素数互相「看得见对方的平方」——答案被绑死了。

正态分布高斯1777–1855

\varphi(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}

误差与随机背后的钟形规律。

泊松的代表式泊松1781–1840

P(k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}

稀有事件的定律 · 机会极多、每次都极不可能，次数就服从它

稀有事件的定律泊松1781–1840

\lim_{n\to\infty} \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}

被马踢死这件事毫无规律可言，可它发生的次数严丝合缝。

判断守恒，只要算一个括号泊松1781–1840

\frac{df}{dt} = \{f, H\}

1925 年狄拉克把它换成对易子——量子力学的骨架就是这套东西。

他用来反驳波动说的那个荒谬推论泊松1781–1840

I_{\text{轴上}} = I_{\text{无遮挡}}

圆盘影子的正中央是亮的——而且亮得跟没挡时一样。

格林的代表式格林1793–1841

u(x) = \int G(x, y)\, f(y)\, dy

先解出一个点源的响应，剩下的全是叠加 · 今天这个 G 就叫格林函数

先解一个点，再把一切叠起来格林1793–1841

u(x) = \int_0^1 G(x,y) f(y)\, dy

格林函数——今天费曼图上每一条内线，画的都是它。

「势」这个词是他造的格林1793–1841

\mathbf{F} = -\nabla V

一个标量装下整个矢量场——三份账压成一份。

边界上的一圈，等于内部的一片格林1793–1841

\oint_C L\,dx + M\,dy = \iint_D \left(\tfrac{\partial M}{\partial x} - \tfrac{\partial L}{\partial y}\right) dA

描一圈轮廓就量出面积——求积仪就是这么工作的。

伽罗瓦的代表式伽罗瓦1811–1832

G \triangleright G_1 \triangleright \cdots \triangleright \{e\}

每一层的商群都交换 · 方程有根式解，当且仅当它的群能这样拆到底

可解性的阶梯伽罗瓦1811–1832

G_i/G_{i+1} \text{ 交换}

二次三次四次都拆得完，到五次那一格断了——公式也就断在那里。

A₅ 是单群伽罗瓦1811–1832

|A_5| = 1 + 12 + 12 + 15 + 20 = 60

五次方程无解的全部理由，是一个能数出来的事实。

哪些换法什么也没打乱伽罗瓦1811–1832

\mathrm{Gal}(f) \le S_n

伽罗瓦群，就是从有理数看过去「这些根有多分不清」。

有限域：每一个二维码里都有他伽罗瓦1811–1832

|\mathbb{F}| = p^n

他证明有限域的大小只能是素数的幂；一百多年后，这成了纠错码的地基。

黎曼的代表式黎曼1826–1866

\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}

黎曼 ζ 函数 · 素数的秘密藏在零点的位置里

非欧三角形黎曼1826–1866

K > 0 \Rightarrow \alpha+\beta+\gamma > \pi

同一个三角形，在球面上大于 180°，在马鞍面上小于 180°。

素数计数与 ζ 函数黎曼1826–1866

\pi(x) \sim \operatorname{Li}(x)

看似杂乱的素数，被一条光滑曲线从高处统率。

黎曼面黎曼1826–1866

w = \sqrt{z}

把 √z 的两个值粘成一张连续的曲面。

度量：几何的第二层黎曼1826–1866

ds^2 = \sum_{i,j} g_{ij}\,dx^i dx^j

同一张平面，换一把尺子，几何就变了。

黎曼积分黎曼1826–1866

\overline{S}(P) - \underline{S}(P) \to 0

他给的不是切法，是一条「什么叫可积」的判据。

黎曼猜想黎曼1826–1866

\zeta(\tfrac12 + it) = 0

一张八页论文留下的悬念，一百六十年仍未解开。

显式公式：零点如何写出素数黎曼1826–1866

\psi(x) = x - \sum_{\rho}\frac{x^{\rho}}{\rho} - \ln 2\pi - \tfrac{1}{2}\ln(1-x^{-2})

零点是频率，素数是音色。

康托尔的代表式康托尔1845–1918

|\mathbb{R}| > |\mathbb{N}|

无穷不止一种 · 实数比自然数「更多」

对角线法康托尔1845–1918

d_n \ne a_{nn}

给我一张列全了实数的清单，我当场造一个不在上面的。

有理数可数康托尔1845–1918

|\mathbb{Q}| = |\mathbb{N}|

分数密密麻麻挤满数轴，却能一个不漏地排成一队。

庞加莱的代表式庞加莱1854–1912

\dot{\mathbf{x}} = F(\mathbf{x})

动力系统 · 描述一切随时间演化的通用语言

三体问题与混沌庞加莱1854–1912

\delta(t) \sim \delta_0\, e^{\lambda t}

初始条件差之毫厘，轨道最终失之千里。

回归定理庞加莱1854–1912

\forall\, U \ni x,\ \exists\, n>0:\ T^n x \in U

等得够久，它还会回来。

拓扑与可收缩环庞加莱1854–1912

\chi = V - E + F

不看长度、角度，只看形状「挖了几个洞」。

诺特的代表式诺特1882–1935

\partial_\mu j^\mu = 0

诺特定理 · 每一条连续对称，都换来一个守恒量

诺特定理：对称与守恒诺特1882–1935

L = x\dot{y} - y\dot{x}

每一条连续对称，都换来一个守恒量。

对称的群诺特1882–1935

|D_n| = 2n

所有让图形保持原样的操作，本身就是一个结构。

同调群诺特1882–1935

H_1 = \ker\partial_1 / \operatorname{im}\partial_2

球面与射影平面的贝蒂数都是 0，群却分得开。

拉马努金的代表式拉马努金1887–1920

p(n) \sim \frac{1}{4n\sqrt{3}}\, e^{\pi\sqrt{2n/3}}

哈代–拉马努金渐近公式 · 把分拆数的爆炸式增长算准到个位

圆周率的级数拉马努金1887–1920

\frac{1}{\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{9801}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(4k)!\,(1103+26390k)}{(k!)^4\,396^{4k}}

一项换八位小数，而且是稳定地换。

分拆数 p(n)拉马努金1887–1920

p(4) = 5

把 n 拆成若干正整数之和，有多少种拆法？

分拆同余拉马努金1887–1920

p(5n+4) \equiv 0 \pmod 5

每隔五个，p(n) 必定被 5 整除。

嵌套根式拉马努金1887–1920

\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{\cdots}}}} = 3

一层套一层，永远套下去，结果是个整整齐齐的 3。

罗杰斯–拉马努金恒等式拉马努金1887–1920

\sum_{n\ge 0}\frac{q^{n^2}}{(1-q)\cdots(1-q^n)} = \prod_{n\ge 0}\frac{1}{(1-q^{5n+1})(1-q^{5n+4})}

一个管间距，一个管余数，数出来永远一样多。

高度合成数拉马努金1887–1920

d(n) > d(m)\quad \forall\, m < n

约数最多的数，长相被卡得极死。

τ 函数与拉马努金猜想拉马努金1887–1920

|\tau(p)| \le 2p^{11/2}

值跳得毫无规律，却被一条界死死罩住。