公式墙

拿边去量对角线，剩一段；再拿剩下的去量边……这件事永远停不下来，而且每一轮剩下的图形，和上一轮一模一样。

把两边各放大任意多倍，再拿同一个整数去卡——只要每一次都倒向同一侧，就是同一个比。

在圆里嵌多边形，边数每翻一倍，剩下的空隙就少掉一半以上——任何差额都会被挤没。

德谟克利特先说出了这个数。阿基米德说，第一个证明它的是欧多克索斯。

同速反转的两个球让行星在天上走出一条马蹄线。可要它退行，sin i 必须大过会合周期与黄道周期之比——金星怎么调都过不了这一关。

关掉它，勾股定理就倒了——非欧几何从这里开始。

给我一份有限的清单，我就造一个不在上面的素因子。

两千三百年，一步没改，今天每次握手都在跑。

用越来越多边的正多边形，把圆夹成一根越来越窄的管子。

球放进刚好套住它的圆柱，体积比永远是 2:3。

历史上第一个被求和的无穷级数。

距离乘以重量，就是撬动世界的力量。

浸入水中的物体，受到的浮力等于它排开的水重。

匀速转动的轮子，匀速离开圆心——画出的就是它。

在两条已知线段之间插进两个数，使四个数成连比——插出的第一个，就是把立方体加倍的那条棱；他用三块能滑动的板把它推了出来。

夏至正午，赛伊尼的日晷没有影子，亚历山大里亚的碗形日晷上，影子占了碗壁大圆的 1/50；两城相距五千斯塔德，地球一圈就是二十五万。

托勒密量出两回归线之间在 47°40′ 与 47°45′ 之间，说这与埃拉托色尼的比大致相同，约为子午圈的 11/83——而 11/83 恰是落在这个区间里分母最小的分数。

转动切面的角度：椭圆变成抛物线，再裂成双曲线。

亏了叫椭圆，正好叫抛物线，盈了叫双曲线——说的是面积，不是形状。

到两点的距离之比固定，动点画出的是一个圆——不是别的什么。

他问「哪条线最短」，答案是法线；而所有法线又包出了一条新曲线。

把椭圆斜着切，一对直径的平方和永远不变，围出的平行四边形面积也不变。

角宿一离秋分点，一百五十多年前是 8°，他量是 6°。星没有动，是春秋分点在往回退。

春季 94½ 日、夏季 92½ 日——只凭这两个数，他解出了地球偏离太阳圆轨道中心多远。

北边全食，南边只遮住五分之四——两地之间那一千公里，就是量月亮的尺子。

肉眼觉得每一等差得一样多，其实每一等亮两倍半——星等从一开始就是一把对数尺。

他说是 103049。这个数的来历，两千一百年后才有人看懂。

一个角配一段距离，48 乘 5000 得 240000 斯塔德——只比真值小百分之五。可那是两个错几乎抵消的结果，而他自己偏取了另一个数。

日轮的圆取地球大圆的一万倍，赛伊尼那个三百斯塔德的无影圈给出日面的大小——算出来太阳是地球的三十九倍，古代所有答案里最接近的一个。

「处处等距」听起来比欧几里得的「永不相交」清楚得多。可等距的那条线在非欧几何里根本不是直线——它比脚下那条直线长 cosh 倍。

日周期与月周期他记对了：潮跟着月亮的时角走，朔与望时最大。年周期他猜夏至最大，而按太阳的赤纬该是春秋分——这一条他自己守了几天也没看出来。

他把「热得住不了人」那一带收窄到两回归线之间的十一分之二十一，又指出真正的焦土是回归线下那两条窄带——因为太阳在那里要停十七天。

量地的人手里往往只有三条边的长度。他给了一条不用量高的面积公式。

√720 开不尽。从 27 起，取 27 与 720/27 的平均，得 26⅚——一步就只差 1/36。

镜面上可选的反射点有无数个，光挑的那一点让总路程最短——那里入射角恰好等于反射角。

绕着山走一圈直角折线，东西、南北各自加一加、减一减，隧道的方向就定了。

半度一行，从半度排到一百八十度，精确到小数点后五位。

圆内接四边形：两条对角线的积，等于两组对边的积之和。

火星每两年会在天上倒退一次。用两个圆就能把这件事画出来。

把偏心距一分为二，圆周运动就逼近了椭圆——差只剩几角分。

他把地球算小了六分之一，又把欧亚拉长了四十度——两个错凑到一起，大西洋就窄了一半。

两数和 20、积 96——他不设 x 和 y，而设 10 加 x 与 10 减 x。

在「全用话说」和「用字母写」之间，还有过一种中间状态。

同一个方程，允许分数就有无穷多解，只认整数就可能一个也没有。

童年占六分之一，又过十二分之一长出胡须……他活了多少岁？

在曲线上找到一个有理点，拿直线去截它，截出来的还是有理点。

割圆术：只用内接多边形，他也把圆夹住了——顺带把「无限接近」说清楚。

解线性方程组的消元法——比高斯早一千五百年。

「敢不阙疑，以俟能言者」——两百年后，祖冲之父子接住了它。

《海岛算经》第一题：不上岛，算出岛有多高、离你多远。

到四条直线的距离两两相乘，两个积之比保持不变，点走出的是一条圆锥曲线——帕普斯说到这里就停了，作法等了一千三百年。

能单独铺满平面的正多边形只有三种，周长相同时六边形最大——帕普斯说，蜜蜂知道这一点。

平面图形绕轴转一圈，体积等于面积乘以重心走过的圆周——今天叫古尔丁定理，帕普斯早一千三百年写下了它。

在鞋匠刀里一个挨一个塞进圆，第 n 个圆的圆心离底边，正好是它自己直径的 n 倍。

3.1415926 < π < 3.1415927——他不报一个数，报的是一个区间。

分母小于一万六千的分数里，再没有比它更接近 π 的了。

两个立体，每一层的截面积都相等，体积就必然相等——刘徽等的那个人来了。

冬至点每年悄悄挪一点，他是第一个把这件事算进历书的人。

十九年七闰用了八百年，他把它换掉了——年长的误差小了七倍半。

他给了造半弦表的差分规则，也给了那张表；照规则一路算下去，末项落在 0，而表上写的是 7。

粉碎法：两个除数辗转相除，商排成一条链，再从底下往上乘加——解一次不定方程的通法。

他把 1582237500 写成一个梵文词。辅音管数值，元音管位数，两个九位一共排到十的十八次方。

由他一劫里那个自转数折出来的一日长度，是 23 时 56 分 4.101 秒——与今测的星际日差 0.002 秒。

日月的真实大小与远近他全错了，而凡是能被观测校住的量——视直径、地影的宽度——都对到百分之几。

在他之前零只是一个占位的圈；从他起，零是一个可以参与加减乘除的数。

负负得正这条规则，第一次被写下来是在 628 年。

四条边给定，面积就定了——但只有当四个顶点恰好落在一个圆上时。

两个能写成两平方和的数，乘起来还能——而且有两种写法。

他写道：一个人若能在一年之内解出这道题，他就是数学家。

四张八尺表沿一条南北线摆开，量出来的不是「地有多大」，是「北极高一度，地上要走多远」。

同一套影差公式，拿四站里不同的两站去代，算出的天高从一万四千里到近四万里——差了两倍半。

冬至那一气十四天半，夏至那一气十六天——两段不一样长，中间怎么逐日补？他给了一条今天叫二次内插的式子。

太阳离天顶一度，八尺表的影子一寸三分七厘九——这张逐度给值的表，今天叫正切表。

分母是从《易》里推出来的，可它得同时装下朔望月与回归年——月差零点二六秒，年长了整三分钟。

「配方法」这个名字不是比喻——他真的在配一个方。

同一道乘法，罗马数字要另想办法，位值制只要一张九九表。

两个数，各自把真约数加起来，得到的正是对方。这样的一对古人只知道一个；他给出了造下一对的法则，并且证明了它。

自顶点作两条线，割出两个与原三角形相似的小三角形——两条边上的正方形，就等于底边上的两个长方形。

上和下和把弓形夹住，这不稀奇；稀奇的是分点不等距——不是为了逼得更快，是为了加得出来。

而半轴 a 与 b 的椭圆，与半径 √(ab) 的圆一样大——在他的语言里，面积要用另一个面积来说。

等臂天平上它两边抵消，杆秤上不行。他写了一部书处理它，全书立在一条引理上。

1³+2³+⋯+n³ 等于 (1+2+⋯+n)²。他的证法是把边长 1+2+⋯+n 的正方形一层层剥开——剥下的每一层，正好是一个立方数。

财、立方、财财、财立方……名字是一个个拼出来的，序号却是加出来的。只看名字，看不出它在做加法。

先定最高次那一项，再逐项往下定。与开一个数的平方根是同一套手续，只是每一位换成了一项。

√8 + √18 = √50，可 √2 + √3 无论如何写不成一个根号。分界只在一处：ab 是不是平方数。

暗渠得有坡才流得动，坡大了又会把渠底冲垮。通常取 1:1000 到 1:1500——三公里只降两米半，画在剖面图上不到半个像素。

光源和眼睛位置已定，镜子是圆的，光在哪一点反射？他借一条双曲线作了出来；九百多年后才有人证明，光靠直尺和圆规作不出。

遮住哪一盏灯，暗处墙上就只少哪一块光——光沿直线走，交叉而过也互不混淆。

一块抛物线弓形绕底边转一圈，体积是外接圆柱的 8/15——算到这一步，先得知道 1⁴ + 2⁴ + … + n⁴。

直角三角形两条直角边上各画一个半圆，露出来的两弯新月加起来，正好等于那个三角形。

还要能被 7 整除。他给了两个答案，721 与 301——前一个里藏着一条七百多年后才被证明的定理。

开立方一百八十六万〇八百六十七得一百二十三——全程只有乘和加，而且开几次方都是同一套动作。

那张三角形的数表画出来不是为了数组合——每一行左边都标着它是开几次方要摆的廉。

三个平方、三条廉、一个隅——六十万加十二万加八千，正好是增乘那一步减掉的七十二万八千。

上二下十二、共十一层的一堆坛子是 649 个；照刍童的体积公式算只有 630 又 2/3——他补上的正是那 18 又 1/3。

径十步的圆割去二步，他算得弧长八步四尺，真值约九步一尺四寸——而割到半圆时，这条式子正好还原出「周三径一」。

十九路的棋盘一共 3³⁶¹ 局，是个 173 位数；他说「大约连书万字」若干个——传本作五十二，照数算只有四十三。

一子一子地三因要乘三百六十一次，一行一行地乘法要十八次，他的最径捷的一法：自乘一次，再乘五次。

一夫背米六斗，供一个兵走十八日；三夫也只到三十一日——再加人，多出来的路一次比一次短。

抛物线配一个圆，交点的横坐标就是三次方程的根。

没有负数，也就没有移项——挪一个项，就换了一个方程。

33 年 8 闰。这部 1079 年的历，比五百年后的格里历还准一点。

他把平行公设的三种可能分开来查，比萨凯里早六百年——然后划掉了两种。

要开到任意次方，就得先有三角形的任意一行——这两件事在他那里是同一件。

x² − 61y² = 1 的最小解是个十位数；盲目搜索要数到两亿多，这套办法转七步就到。

一群蜜蜂、一根被风折断的竹子、一只扑向蛇的孔雀——课本可以是这样写的。

把「一段时间走了多少」换成「此刻走多快」，并写下相当于 sin 的导数的那条式子。

婆罗摩笈多在这一格上栽了跟头，五百年后他接上一句——而这一句也只对了一半。

边长 c 的正方形里摆四个直角三角形，中间剩下的那块就是全部的证明。

同一道加法，两种写法：一种能在纸上列竖式，一种不能。

一对兔子，一年之后有多少对？这道题在书里只占一页。

一项除以前一项，一上一下，越夹越紧。

找一个平方数，加 5 和减 5 之后还都是平方数。

x³+2x²+10x=20。他报出的数，小数点后十位一位不差。

出西门南行四百八十步有树，出北门东行二百步看见它——城有多大？他设半径为天元一，四步列出一条方程，开出一百二十步。

方田中间挖了一个圆池，池外还剩十三亩七分半，田边到池边四面各二十步。《益古演段》先用天元术列出一条式子，再画一张九宫格，告诉你式子里每一项是哪几块地。

小圆直径等于大圆半径，大圆转一角、小圆反着转两倍——边上那一点只在一条直径上来回走，离圆心 2r·cos θ。

三个比都等于外接圆的直径。有了它，「两角一边」一步解完；「两边一对角」却可能有两个三角形。

平面上三个角只定形状；球面上三个角一给，三条边就定死了——换到极三角形上，三个角变成了三条边。

大衍求一术——一次同余方程组的通法，任意一组除数都管用，比高斯的《算术研究》早五百五十四年。

正负开方术：高次方程的逐位求根法，他解到十次；里面那套嵌套乘法，比霍纳早五百七十二年。

与海伦公式逐位相同的一条式子——两边各自独立地写下它，隔着一千二百年。

北门外三里有棵树，出南门往东走九里回头正好看见它——城的直径是九里。

已知最早的雨量换算题之一。他先把话说在前头：器形不同，接到的雨就不一样。

十六个字，把洛书摆了出来——图是几千年的老图，做法是他写下来的。

把乘数凑成 1 开头，乘法就变成加法——他为这件事写了三卷书，末卷还列了六百道现成的。

底面七个的三角垛是八十四个——他给的口诀是三个数相乘再六除，而那正是贾宪三角的第四条斜线。

长三十六步、阔二十四步、积八百六十四步——换八种问法，就得到八个不一样的方程。

句、股、弦、黄方带句股弦各设一元，四个式子摆进同一张算筹格子，一元一元消掉，最后剩一条 4u² − 7u − 686 = 0。

3 + 4 + 5 + 2 = 14，自乘得 196 步——他把这个平方切成十六段画出来，说「考图认之，其理显然」。

茭草垛每层一束一束地加；把它的各层总数再摞一次，就是三角垛；再摞一次、再摞一次——他一路推到第五种，并给每一种写出一次算完的开方式。

底边是时间，竖线是速度，面积就是路程——匀加速的梯形翻过一个三角形，就成了矩形。

每一项都趋于零，和却没有尽头。按 2 的幂分组，每组都不小于二分之一。

「2:1 的一半」是 √2 : 1。他第一次给这种分数次的比例定下写法——3:2 却不是 2:1 的任何几分之几。

两个周期之比是分数，天空就会回到原样；是无理数，就永远回不去。他论证后一种可能大得多。

加二十一项，再补一个修正项——裸级数要加三十多亿项才能这么准。

sin θ = θ − θ³/3! + θ⁵/5! − ⋯；要算 90° 的正弦，七项就准到小数点后八位。

同一条反正切级数，起点挪一下，二十二项就顶得上原来的两千亿项。

众神、眼、象、蛇、火……十一个词读出 2827433388233，除以九千亿就是 π。

从 3°45′ 起每隔 3°45′ 一个值，最大偏差 0.61「三」——折成小数是一亿分之五。

他要的精度是：拿这个 π 去算一个直径六十万倍地球的圆，周长错不过一根马鬃。倒推下来，多边形得切到 3 × 2²⁸ 边。

三倍角公式反过来读就是一个三次方程。他把它改写成「x 等于一个含 x 的式子」，从零开始代，代六轮就够。

《算术之钥》的例题是 44240899506197 开五次方。分组、试商、平移——与三百年前中国的增乘开方术是同一套手续。

九位六十进制小数正好抵十六位十进制：60⁹ = 1.0078 × 10¹⁶。他把结果两边各写一遍，欧洲要到一百五十八年后才有同样的写法。

两边一角求第三边。这件事《原本》第二卷早已写成面积，图西把它整理成解三角形的办法，他压成了一条能直接代数字的式子。

抄来的 27 条里，有 23 条与托勒密的黄经差一模一样。而那笔改正多算了十三分——有人把回历年的个数当成了太阳年。

行星表每十天才有一行。把这一段的行度摊成逐日递增的速度，递增量只能取 2Δ/(n+1)——而他给的三条规则其实是同一条。

每一角分一行、给到小数点后九位的正弦表有五千四百行。独立算的只有 5′ 的倍数那 1045 行，其余是二次内插补的。

他一辈子没开过一炮，却说炮口抬到矩尺第六点最远——有人拿钱在野地里赌了一把。

他把弹道画成三段，还用一步二次方程算出了第一段有多长；九年后他自己说，炮弹连一步都不走直线。

一低一高两个仰角能打中同一点——他说这件事「古人今人都没有说过、想过」。

三段，三种三次方程；最后一段写着「一千五百三十四年，在大海环绕的那座城」。

每个兵左右占三尺、前后占七尺：人数排成方的，地上就是一根长条。

两个立方根加减一下，就是那个根。希腊人卡在二次，这里过去了。

他没有符号代数可用，这条公式是搬着立方体搬出来的。

他写下了 5±√−15，然后说：这东西精妙到了无用的地步。

方程明明有三个实根，公式偏要你先绕一趟虚数。

第一本系统算概率的书，是一个赌了四十年的人写的。

同一道题，换一组数：左边那句话整句要重写，右边一个字都不用动。

把三个根随便调换顺序，系数一个也不变。

1593 年，欧洲第一次有人用一个无穷的式子把 π 写了出来。

同一个方程，卡尔达诺必须绕道虚数，他把它变成了一个角。

范·罗门向全欧洲抛出一道四十五次方程，他看一眼就报出了答案。

一个点匀速走；另一个点越走越慢，速度与剩下的路成正比。前一个走过的路，就是后一个剩下那段的对数。

造表的第二步他写：「你会发现（倘若你没算错）末项是 9995001.222927。」该是 .224804——差在第十位，整张表的对数因此都小了千万分之 3.7 上下。

每一分一行，左边读一个角，把书倒过来从右边读它的余角；中间那栏是两边之差，正好是正切的对数。

第二定律好懂，可它带来一个方程——那个方程解不出来。

周期的平方比着半长轴的立方——一条从数据里看出来的定律。

他一生最得意的那个模型是错的，可正是它把他送到了第谷门下。

水手堆炮弹的方式就是最优解——这句话花了三百八十七年才被证明。

他觉得酒商的量法在骗人，算完发现那把尺正好卡在最优处。

阿波罗尼奥斯写了八卷来分别处理的三种曲线，在坐标里只差一个符号。

这一步在欧洲拆掉了希腊人两千年的维数束缚，x⁴ 才算合法。

数一眼系数的正负，就知道有几个正根——一个根也不用解。

n 大于 2 时，xⁿ+yⁿ=zⁿ 没有整数解。他说证明写不下。

假设有一组解，就能造出更小的一组——而正整数不能一直变小。

先加一个小量 E，约掉它，再把它当成零——这就是求导。

不是最短的路，是最省时间的路——折射定律由此推出。

p 是素数时，a 的 p−1 次方除以 p，余数总是 1。

一场没打完的赌，赌本该怎么分才算公道？

每个数是它上面两个数之和——一张表，装着三件不同的事。

999999 加 1，六个轮子一齐翻——这一下是机械做的，不是人做的。

一边轻轻一按，另一边就抬起一辆车；而山顶上的水银柱比山下矮三寸。

普通的摆，摆得大就慢一点；换成摆线，快慢一模一样。

一条画图的规矩，把折射、反射与衍射一起解释掉了。

伽利略看见它、又看见它消失，四十多年没人说得清；惠更斯用一句字谜给出了答案。

木星的卫星食提前或推迟，早晚差出二十二分钟——那不是卫星不准，是光在路上。

他把「期望」写定成一个可以交易的价格：你愿意花多少钱买下这个机会。

用「无限逼近」驯服变化与曲线，一套同时处理速度、斜率与面积的通用语言。

求面积与求切线，是同一件事的正反两面。

苹果落地与月亮绕行，是同一条定律的两个侧面。

指数稍稍挪开，椭圆就再也合不拢。

沿着切线滑下去，一步步逼近方程的根。

把 (1+x)ⁿ 的展开从正整数推广到分数与负数。

牛顿写 ẏ，他写 dy/dx——一百年后，赢的是记号。