Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī · 约780–约850

花拉子米

代数与算法这两个词，一个来自他的书名，一个来自他的名字

x^2 + 10x = 39

《还原与对消之书》里的头一道题 · 他没有符号可用，只能把它摆成一个正方形

他的名字里，「花拉子米」是个地名：花拉子模，咸海南边的一片绿洲，今天在乌兹别克斯坦。关于他本人的记载少得可怜，生卒年都是「约」。可以确定的是他在巴格达工作，供职于哈里发马蒙的「智慧宫」——九世纪那里正把希腊、波斯、印度的典籍成批译成阿拉伯文，是当时世界上最大的一处知识集散地。

约 820 年，他写下《还原与对消计算概要》。书里没有一个符号：没有 x，没有等号，连数字都是用词写出来的，「一个平方加它的十个根等于三十九迪拉姆」——这就是 x² + 10x = 39。他给出解法的步骤，然后画一个正方形来证明这步骤为什么对。书名前半的 al-jabr（还原）指把负项移到等号另一边补回成正的，后半的 al-muqābala（对消）指两边消去同类项；前一个词经拉丁语进入欧洲，成了 algebra。他还写过一本讲印度数字的书，阿拉伯文原本失传，只剩十二世纪的拉丁译本，开头第一句是「Dixit algorizmi」——花拉子米说。中世纪的欧洲就把「按位值制照步骤算」这整套做法叫 algorism，几百年后写成 algorithm。一个人的书名和名字，变成了两门学科的名字。

《印度数字算术》拉丁译本首页，剑桥大学图书馆 MS Ii.6.5，十二世纪 · Wikimedia Commons，公有领域。花拉子米没有画像传世，这本书的阿拉伯文原本也已失传；页面第一行写着「Dixit algorizmi」——花拉子米说。algorithm 这个词就是从这里长出来的。

生平

约780
约生于花拉子模一带
咸海以南，今乌兹别克斯坦希瓦附近。生平记载极少，生卒年都只能推。
约813–833
在巴格达的智慧宫
哈里发马蒙在位期间。他在这里做天文、地理与计算，序言里说是马蒙对学问的爱好鼓励他写那本书。
约820
《还原与对消计算概要》
代数的第一本系统著作。全书无符号，方程用日常语言叙述，解法用几何图形证明。书的后半是遗产分配的算题。
约825
《印度数字算术》
把印度的十进位值制与零介绍进阿拉伯世界。阿拉伯文原本已佚，只存拉丁译本。
约830
《地球形貌》
修订托勒密的地理：重定了两千余处地名的经纬，把托勒密多算的地中海长度改了回来。
约850
约卒于巴格达
无确切记载。
1145
《代数》译成拉丁文
切斯特的罗伯特在西班牙译出。algebra 一词从此进入欧洲各语言。
1202
斐波那契《计算之书》
把印度—阿拉伯数字带进欧洲商界。此后三百年，欧洲一直在为「算盘派还是笔算派」争吵。

展品厅

绝大多数展品都可以亲手把玩——这是本馆的立馆之本；少数以叙述为主的，做成故事展签。

镇馆之宝 · 亲手玩

把 x² + 10x = 39 摆成一个正方形

「配方法」这个名字不是比喻——他真的在配一个方。

x^2 + bx = c \;\Rightarrow\; \left(x + \tfrac{b}{2}\right)^2 = c + \tfrac{b^2}{4}

没有符号的时候，怎么证明一条解方程的步骤是对的？花拉子米的办法是画出来。「一个平方加它的十个根等于三十九」：画一个边长 x 的正方形，那是「平方」；在它的两条邻边上各贴一个宽 5 的长方形，两块合起来是 10x，那是「十个根」。现在这个 L 形的面积等于 39，而它缺一个角——边长 5 的小正方形，面积 25。把角补上，整个图形成了一个边长 x+5 的完整正方形，面积 39 + 25 = 64。于是 x + 5 = 8，x = 3。他在书里写的步骤和这张图逐字对应：「把根的数目折半，得五；自乘，得二十五；加到三十九上，得六十四；开方得八；减去根数之半五，余三。」这就是今天中学课本里的配方法，一路整理下去就是求根公式。他只解出正根——负数在他的世界里还不存在，一个负的边长没法画。

拖动系数，看那个缺角怎么被补上

根的数目 b = 10数 c = 39

默认那组数就是他书里的头一道题：「一个平方加它的十个根，等于三十九迪拉姆」，答案是三。「配方法」不是比喻——他真的在配一个方： L 形的面积是 c，缺的那个角是 (b/2)²，补上就成了边长 x + b/2 的完整正方形。右边五步是他书里的原话，与这张图逐字对应；一路整理下去，就是今天的求根公式。他只给正根：负数在他的世界里还不存在，一个负的边长没法画出来。

数字变成可以照着做的步骤

同一道乘法，罗马数字要另想办法，位值制只要一张九九表。

1947 = 1 \times 10^3 + 9 \times 10^2 + 4 \times 10^1 + 7 \times 10^0

印度数字真正的发明不是那十个字形，而是位值制加上零：同一个符号放在不同的位上代表不同的量，空位用 0 占住。它带来的东西是决定性的——计算可以被拆成一串固定的、机械的小步骤，谁都能照着做，不需要懂原理，也不需要一副算盘或一把算筹。罗马数字做不到这一点：MCMXLVII 加 DCCCLXV，没有可以逐位对齐的竖式，得靠算板或者记忆一堆特例。花拉子米那本讲印度数字的书，教的正是这套「照着做」的加减乘除开方。它的拉丁译本第一句「Dixit algorizmi」把他的名字带进了欧洲，而这套逐位照做的方法被叫作 algorism——今天这个词是 algorithm。计算机能算数，前提是算法可以被写成一串不必理解的指令；这件事第一次成立，就在位值制上。

被乘数 47乘数 26

印度数字真正的发明不是那十个字形，而是位值制加上零：同一个符号放在不同的位上代表不同的量，空位用 0 占住。它带来的东西是决定性的——计算可以被拆成一串固定的、机械的小步骤，谁都能照着做，不需要懂原理，也不需要一副算盘。花拉子米那本讲印度数字的书教的正是这个；它的拉丁译本第一句「Dixit algorizmi」把他的名字带进了欧洲，这套逐位照做的方法于是被叫作 algorism，后来写成 algorithm。计算机能算数，前提正是算法可以写成一串不必理解的指令。

一个没有负数的世界，要把二次方程分成六类

写不出 ax² + bx + c = 0 —— 因为系数不许是负的，也不许是零。

今天一条求根公式管住所有二次方程，靠的是允许系数取负、取零。花拉子米两样都没有：他的「数」只能是正的，方程的两边也必须都是实实在在的一堆东西。于是同一件事必须拆成六类分别处理——平方等于根、平方等于数、根等于数、平方加根等于数、平方加数等于根、根加数等于平方。前三类是简单情形，后三类各有一套步骤和一张几何证明图；而「平方加数等于根」这一类还要分情况讨论，因为它可能有两个正根、一个、或者一个也没有。这不是笨，是缺工具：负数在印度已经被婆罗摩笈多写进算法（628 年），但要被普遍当成合法的数、能当系数用，欧洲还得等八百年。看这六类怎么在负号出现之后塌缩成一条公式，大概是理解「记号也是一种发明」最快的路。

故事展签故事展签：六类方程各有各的图；把负数放进来，六张图合成一张。

algebra 与 algorithm

一个来自书名，一个来自他的名字——而 al-jabr 的本意是接骨。

al-jabr 的字面意思是「接回去、复原」。在方程里，它指把一个负项从这边挪到那边、补成正的：3x − 2 = 10 变成 3x = 12。这个词的日常用法是接骨——直到近代，西班牙语里的 algebrista 还同时指代数学家和接骨师，塞万提斯笔下就出现过。al-muqābala 是「对置、对消」，两边同类项抵消。1145 年切斯特的罗伯特把这本书译成拉丁文，书名的前半留了下来，成为 algebra。另一条线来自他的名字：他讲印度数字那本书的拉丁译本，开头第一句是「Dixit algorizmi」——「花拉子米说」。中世纪欧洲于是把用印度数字逐位照做的算法叫 algorism，与用算板的 abacism 相对，两派吵了三百年。algorism 后来受希腊语 arithmos（数）影响，写成了 algorithm。九世纪巴格达的一个人，一本书的名字给了代数，他自己的名字给了算法——这两个词今天每天被念上千万遍，而念的人大多不知道那是一个地名和一个人。

故事展签故事展签：一个地名变成一个人名，一个人名变成一门学科。

传承

他的工作没有留在十八世纪——每条链的终点，都是你今天正在使用的东西。

《还原与对消》与配方法⟶求根公式与符号代数⟶今天每一本代数课本

Dixit algorizmi⟶algorism：按位值制逐位照做⟶algorithm 与计算机科学

把印度数字带进阿拉伯世界⟶斐波那契《计算之书》带进欧洲⟶全世界通用的 0–9

语录

「真主赐予信士的长官马蒙的那份对学问的爱好……鼓励我写一部关于「还原」与「对消」的简明之作，只收算术里最简易、最有用的那部分——人们在继承、遗产、分割、诉讼与贸易中，在彼此的一切往来中，在丈量土地、开凿沟渠与几何计算中，时时需要的那些。」
—— 《还原与对消计算概要》序言，约820 · 据罗森 1831 年英译本转译。代数最初是为分遗产和量土地而写的

「花拉子米说：让我们向我们的主宰、我们的护佑者，献上应得的赞美。」
—— 《印度数字算术》拉丁译本开头第一句（Dixit algorizmi: laudes deo rectori nostro atque defensori...），剑桥大学图书馆 MS Ii.6.5 · 阿拉伯文原本已佚；这一句里的 algorizmi，就是 algorithm