Gottfried Wilhelm Leibniz · 1646–1716

莱布尼茨

微积分的另一个发明者——今天你写的 d 与 ∫ 都是他的

d(uv) = u\,dv + v\,du

乘积法则 · 1675 年 11 月的手稿，∫ 与 d 这两个记号也是在那几页里第一次出现

戈特弗里德·威廉·莱布尼茨 1646 年生于莱比锡。父亲是大学里的道德哲学教授，在他六岁那年去世，留下一屋子书——他自学拉丁文，把那间书房读完了。十五岁入莱比锡大学，二十岁写出《论组合术》：把概念拆成基本要素，再用组合算出来。莱比锡以他太年轻为由不肯授法学博士，他转投阿尔特多夫，答辩后对方当场请他留校任教，他谢绝了。此后五十年，他的正式头衔一直是外交官、图书馆员与宫廷史官；数学、逻辑、物理、地质、法学、神学，全是在这些差事的缝隙里做的。

1672 年他作为外交使节到巴黎，遇见惠更斯，这才真正开始学数学，那年他二十六岁。四年之内他把微积分建了起来：1675 年 11 月的手稿里第一次出现了 ∫ 与 d——∫ 是拉丁文 summa（和）的长写 S，d 取自 differentia（差）。1684 年他在《博学学报》上发表《一种求极大与极小值的新方法》，全文六页，比牛顿的《原理》早三年；牛顿更早想出流数法，却一直不发表。此后两国为「谁先」争了三十年，1712 年皇家学会那份判牛顿优先的裁决报告，实际上是牛顿自己匿名写的。代价是英国数学界抱着牛顿的点记号孤立了一百年，而欧陆用莱布尼茨的 d 与 ∫ 一路推到欧拉与拉普拉斯。1716 年他在汉诺威去世，送葬的只有他的秘书。

克里斯托夫·伯恩哈德·弗兰克绘，约1695 · 布伦瑞克赫尔佐格·安东·乌尔里希博物馆藏 · Wikimedia Commons，公有领域。

生平

1646
生于莱比锡
父亲是莱比锡大学的道德哲学教授，在他六岁时去世。那间书房成了他的学校。
1666
《论组合术》
二十岁。把概念拆成基本要素再组合起来——他一生想造的那套「推理演算」的第一版。
1672
出使巴黎，遇见惠更斯
此前他几乎没学过数学。惠更斯给了他一份书单，四年后他有了微积分。
1673
带着计算器去伦敦
向皇家学会展示能做四则运算的步进计算器，当选会员。机器一共只造出两台。
1675
第一次写下 ∫ 与 d
11 月的手稿。同几页上还有乘积法则 d(uv) = u dv + v du，他先写错过一次，划掉重来。
1679
二进制手稿
只用 0 与 1 记数，加法只剩「逢二进一」。他没有立刻发表，压了二十四年。
1684
《新方法》发表于《博学学报》
微积分第一次公开，六页，比《原理》早三年。两年后又发表了积分的部分。
1693
致洛必达的信
用带编号的系数写下方程组有解的条件——后来叫行列式，比克拉默早五十七年。
1712
皇家学会裁定牛顿优先
《通信集》的裁决报告由牛顿本人匿名撰写，他还亲自审定了委员会名单。
1716
卒于汉诺威
七十岁。宫廷正随国王去了伦敦，送葬的只有他的秘书。

展品厅

绝大多数展品都可以亲手把玩——这是本馆的立馆之本；少数以叙述为主的，做成故事展签。

镇馆之宝 · 亲手玩

记号也是一种发明

牛顿写 ẏ，他写 dy/dx——一百年后，赢的是记号。

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}

牛顿和莱布尼茨都做出了微积分，但只有一个人的记号活了下来。∫ 是拉丁文 summa 的长写 S，d 取自 differentia，两个字母就把「求和」与「求差」这对互逆运算摆在了纸面上。真正的好处在链式法则上看得最清楚：换元时 dy/dx = (dy/du)·(du/dx)，中间那个 du 像分数一样约掉——它不是分数，可这个记号让你按分数的直觉去做，做出来是对的。牛顿的点记号 ẏ 表达不出「对谁求导」，遇到多个变量就得另找说法。英国数学界出于民族感情抱着点记号不放，孤立了整整一百年；欧陆用 d 与 ∫ 推出了欧拉、拉格朗日和拉普拉斯。一套记号能值一百年，这件事本身值得记住。

拖动 x，看 dy/du、du/dx、dy/dx 三个微分三角形怎么把中间那一项约掉

x = 1.10Δx = 0.500

牛顿和莱布尼茨都做出了微积分，只有一个人的记号活了下来。看这三个面板：里面一步的增量 Δu，在左图里是竖边，在中图里是横边，是同一条线段。于是把两个差商乘起来，Δy/Δu × Δu/Δx 里的 Δu 就这么约掉了，剩下 Δy/Δx—— 这一步不需要任何极限，它就是分数约分。把 Δx 拖到很小，割线并到切线上，三个商分别变成 dy/du、du/dx 和 dy/dx，而那个约分照样成立。这就是链式法则，也是为什么 dy/dx 这个写法让人「按分数的直觉去做，做出来是对的」。牛顿写 ẏ 与 ẋ，记号里没有「对谁求导」这件事，也就没有这条直觉；英国数学界出于民族感情抱着点记号不放，孤立了一百年。试着把 x 拖到 u 的极值附近再把 Δx 调大：Δu 会变成 0，那时候「约掉 Δu」不合法——链式法则的严格证明正是卡在这一点上，绕开它要多花半页纸。

只用 0 和 1

1679 年的手稿；1703 年发表时，他在后面附了《易经》的六十四卦。

1011_2 = 8 + 2 + 1 = 11

十进制没有任何数学上的理由，它只是因为人有十根手指。莱布尼茨 1679 年写下的这份手稿把记数法推到最省的一端：只用 0 和 1，加法只剩「逢二进一」，乘法只剩「移位与相加」——一个连齿轮都做得出来的运算表。他压了二十四年才发表，1703 年那篇《二进制算术解说》后面附了一张《易经》六十四卦图，是传教士白晋从北京寄给他的：六爻的阴阳，正好是六位二进制。他把这当作自己那套「一切都能由 0 与 1 造出来」的旁证。两百四十年后，香农把布尔代数接到继电器上，二进制成了每一台计算机的底层——今天你看的这个页面，最后也是这样一串 0 和 1。

十进制 = 170

十进制没有任何数学上的理由，它只是因为人有十根手指。莱布尼茨 1679 年的手稿把记数法推到最省的一端：只用 0 和 1，位值是 2 的幂，反过来求就是「除二取余、倒着读」。切到「加法」看看代价换来了什么：十进制要背九十九条加法表，二进制的加法表只有四条，唯一会传播的东西是进位——这就是它做得成机器的原因，一根导线只要分得清通和断。他把这份手稿压了二十四年，1703 年才发表；文末附了一张伏羲六十四卦次序图，是传教士白晋从北京寄给他的。阴爻记 0、阳爻记 1，自下而上读成六位二进制，六十四卦排出来正好是 0 到 63——右下角那一栏画的就是这件事。他把它当作自己那个信念的旁证：一切都能由 0 与 1 造出来。两百四十年后香农把布尔代数接到继电器上，这句话成了字面意义上的真的。

π 的最漂亮也最慢的式子

1 − 1/3 + 1/5 − 1/7 + ⋯ 收敛到 π/4；漂亮，但慢得没法用。

\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots

1673 年前后莱布尼茨发现：所有奇数的倒数交替加减，加到最后是 π/4。式子简单得像玩笑——圆周率竟然藏在奇数里。可它慢得离谱：误差大约是 1/N，要算到小数点后十位得加两百亿项，比阿基米德两千年前的多边形还差。这不是缺点，是交错级数的一般规律：部分和在真值上下来回跳，每跳一次幅度小一点，误差不超过下一项。反过来，正因为它在真值两侧跳，把相邻两个部分和取平均就能立刻快一大截——这一招叫欧拉变换，重复几次，二十项就能顶原来的几万项。（顺带一提，这个级数在印度早三百年就被马德哈瓦写下过，格雷戈里 1671 年也独立得到，所以更公道的名字是马德哈瓦–格雷戈里–莱布尼茨级数。）

N = 24

所有奇数的倒数交替加减，加到最后是 π/4。式子简单得像玩笑——圆周率竟然藏在奇数里；可它慢得离谱：部分和在 π 两侧来回跳，跳一次幅度只小一点，误差大约是 1/N。要准到小数点后十位，得加两百亿项。这不是缺陷，是交错级数的一般规律：误差不超过下一项，右栏那个「下一项」就是当前误差的保证书。真正好玩的在后面：正因为部分和在真值两侧跳，把相邻两个部分和取平均，误差就抵掉了大半。点「相邻平均 1 次」看灰线怎么被拉直，再点 3 次—— 二十来项就顶得上原来的几万项。这一招叫欧拉变换，今天算慢收敛级数还在用。顺带说一句名字：这个级数马德哈瓦在十四世纪的喀拉拉学派就写下过，格雷戈里 1671 年也独立得到，更公道的叫法是马德哈瓦–格雷戈里–莱布尼茨级数。

一封信里的行列式

1693 年他告诉洛必达：方程组有没有解，算一个数就知道。

\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc

解线性方程组本来是个体力活，消元消到底才知道有没有解。莱布尼茨在 1693 年给洛必达的信里做了一件新事：给每个系数编上两个下标（他写 10、11、12 这样的数对，正是今天 a₁₀、a₁₁ 的样子），然后把它们按一个固定的方式乘起来相加——得到的那一个数是零，方程组就退化。这就是行列式，比克拉默的法则早五十七年，比高斯早一个多世纪；那封信没有发表，直到 1850 年才被人翻出来。行列式还有一层几何意思：ad − bc 就是两个列向量张成的平行四边形的**有向面积**，为零正意味着两个向量压成了一条线——方程组的两条直线也就平行了。三维里它是体积，n 维里它是体积的推广，今天你在换元积分里写的雅可比行列式还是这个东西。

a = 3b = 1c = 1d = 2

解方程组本来是体力活：消元消到底才知道有没有解。 1693 年莱布尼茨给洛必达写信，做了一件新事——把系数按固定方式乘起来相加，得到一个数；这个数为零，方程组就「不可能」。那就是行列式，比克拉默的法则早五十七年，比高斯早一个世纪；可惜信没发表，1850 年才被人翻出来。两幅图是同一件事的两种说法：左边 ad − bc 是两个列向量张成的平行四边形的有向面积（把 a、c 调成 b、d 的倍数，看它怎么压成一条线），右边同一组系数当方程组，那一刻两条直线正好平行——面积没了，交点也没了。负号不是错：它表示两个向量的左右次序反了过来，三维里就是左手系与右手系的差别，今天你在换元积分里写的雅可比行列式还带着这个符号。

第一台会乘除的机器

帕斯卡的机器只会加减；他加了一根阶梯轴，于是机器会乘了。

帕斯卡 1642 年造出的加法机只会加减。莱布尼茨想让机器会乘除，1673 年他带着样机去了伦敦皇家学会。关键零件是一根**阶梯轴**：圆柱面上排着九根长短递增的齿，把它沿轴滑到第 n 档，转一圈就恰好拨动结果轮 n 格——一次转动完成一次「加 n」。乘法于是变成「转几圈、进一位、再转几圈」，除法反过来。这个零件后来就叫莱布尼茨轮，一直用到 1970 年代的 Curta 计算器。机器本身并不成功：一共只造出两台，进位机构常常卡住，一台在哥廷根的阁楼上躺到 1879 年才被人发现。但那个念头留下了——他说，让杰出的人像奴隶一样耗在计算上，是不值得的。

阶梯轴拨到 7乘数 34

帕斯卡 1642 年的机器只会加减。莱布尼茨要让机器会乘除，关键零件是这根阶梯轴：圆柱面上排着九根长短递增的齿。把读出的小齿轮沿轴滑到第 s 档，转一整圈，恰好有 s 根齿够得着它——结果轮就前进 s 格。一次转动等于一次「加 s」，而 s 就是拨在轴上的那个数字。于是乘法变成「在个位档转几圈、把手柄移一位、再转几圈」，除法反着来。点「转一圈」看齿怎么扫过小齿轮，再对着算式把 7 × 34 转完。（真机每一位数字一根阶梯轴，八位数就是八根；这里只画一根，所以被乘数限成一位数，道理是一样的。）机器本身并不成功：一共只造出两台，进位机构常卡住，有一台在哥廷根的阁楼上躺到 1879 年才被发现。但这个零件活了下来，叫莱布尼茨轮，一直用到 1970 年代的 Curta。

谁先发明了微积分

两个人各自想到，争了三十年；输的是英国数学。

牛顿大约在 1665–1666 年就有了流数法，但不发表；莱布尼茨 1675 年独立做出微积分，1684 年发表。两人早年还通过信，牛顿在信里用字母易位的密码藏了自己的结论——按当时的规矩，那是为了留证据而不泄露内容。1699 年一位牛顿的支持者公开指控莱布尼茨剽窃，争论就此点燃。1712 年皇家学会成立委员会裁决，判牛顿优先——委员会名单是会长牛顿定的，那份《通信集》的裁决报告也是牛顿本人匿名写的，他后来还匿名给自己的报告写了书评。莱布尼茨 1716 年在争论未息时去世。今天的共识是两人各自独立发明，且莱布尼茨的记号更好。真正的代价落在英国：出于民族感情，英国数学界坚持牛顿的点记号一百年，而欧陆用 d 与 ∫ 一路走到欧拉、拉格朗日、拉普拉斯。优先权之争没有赢家，只有一个被记号拖住的世纪。

故事展签故事展签：两个人可以各自想到同一件事——这在数学史上是常态，不是丑闻。

传承

他的工作没有留在十八世纪——每条链的终点，都是你今天正在使用的东西。

d 与 ∫ 的记号⟶伯努利兄弟与欧拉的分析学⟶今天每一本微积分教科书

二进制算术⟶布尔代数与开关电路⟶所有数字计算机

特征普遍语言与推理演算⟶弗雷格、罗素的形式逻辑⟶可计算性与形式化数学

步进计算器与阶梯轴⟶机械计算器的两百年⟶Curta，直到 1970 年代

语录

「让杰出的人像奴隶一样，把时间耗在计算这种苦工上，是不值得的——只要用上机器，这活儿交给谁都能做得可靠。」
—— 《算术机器》手稿，约1685 · 说的是他自己那台步进计算器

「一旦做成这件事，两个哲学家再有争执，就不必比谁嗓门大，正如两个会计师那样：他们只需拿起笔，坐到石板前，彼此说一句——让我们算一算。」
—— 《发现的技艺》，1685 · 那句拉丁原文是 Calculemus