Siméon Denis Poisson · 1781–1840

泊松

概率、力学、电学、光学——四个领域各留下一个以他命名的东西

P(k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}

稀有事件的定律 · 机会极多、每次都极不可能，次数就服从它

泊松 1781 年生于皮蒂维耶。家里本想让他当外科医生，可他手笨，学徒生涯很快结束。1798 年他考进综合工科学校，拉普拉斯和拉格朗日几乎立刻注意到了他。1806 年，他接下傅里叶去格勒诺布尔当省长后空出的教席。此后三十多年，他写了三四百篇论文，几乎每一个他碰过的领域都留下了一个以他命名的东西。

这些名字今天分散在四个完全不同的角落：概率论里的泊松分布、静电学里的泊松方程、分析力学里的泊松括号、弹性力学里的泊松比，还有光学里那个他本想用来反驳波动说、结果却成了波动说最漂亮证据的泊松亮斑。他在物理上偏保守，怀疑过菲涅耳的波动说，也审掉过伽罗瓦的论文（评语是「无法理解」）——可他每一次站在错的一边，都恰好把对的一方往前推了一步。

弗朗索瓦–塞拉芬·德尔佩什石版画，据布瓦伊原作 · Wikimedia Commons，公有领域

生平

1781
生于皮蒂维耶
家里本想让他学外科，他手太笨，没学成。
1798
考进综合工科学校
十七岁。拉普拉斯与拉格朗日很快注意到他。
1806
接任综合工科学校教授
接的正是傅里叶去格勒诺布尔当省长后空出来的位子。
1809
泊松括号
写在关于行星摄动的论文里。df/dt = {f,H}——判断守恒量从此变成一道代数题。
1813
泊松方程
ΔV = −4πρ。拉普拉斯方程描述空处，他把源项加了进来。
1818
亮斑
他用「圆盘影子正中央该是亮的」来反驳菲涅耳。阿拉果去做了实验，斑就在那里。
1831
退回伽罗瓦的论文
评语是「无法理解」，要求补全论证。那是伽罗瓦生前最后一次投稿。
1837
《判决概率的研究》
泊松分布出自这本书。他自己更看重书里的司法统计，反倒是那个分布传了下来。
1840
卒于索镇
一生约三四百篇论文。

展品厅

绝大多数展品都可以亲手把玩——这是本馆的立馆之本；少数以叙述为主的，做成故事展签。

镇馆之宝 · 亲手玩

稀有事件的定律

被马踢死这件事毫无规律可言，可它发生的次数严丝合缝。

\lim_{n\to\infty} \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}

机会极多，每一次都极不可能——「一共发生几次」服从什么分布？答案是二项分布在 n→∞、p→0、np=λ 固定时的极限，而极限里只剩 λ 一个参数：n 是多少、p 是多少统统不重要，只有乘积重要。这正是它好用的地方，因为现实里你往往数得出「平均多少次」，却说不清「试了多少次、每次多大概率」。最著名的验证来自博尔特凯维奇 1898 年：普鲁士十个军团二十年间被马踢死的人数，200 个「军团-年」，λ = 0.61，泊松预测 108.67 / 66.29 / 20.22 / 4.11 / 0.63，实测 109 / 65 / 22 / 3 / 1。今天的排队论、保险精算、放射性计数、网络流量，用的都是这一条。

推 n 看二项塌成泊松，再看普鲁士骑兵那组数据

n = 8λ = 2.5

1837 年《关于判决概率的研究》。泊松要处理的是这样一类问题：机会极多，每一次都极不可能，那么「一共发生几次」服从什么分布？答案是二项分布在 n→∞、p→0、np=λ 固定时的极限，而极限里只剩 λ 一个参数——n 是多少、p 是多少统统不重要，只有它们的乘积重要。这正是它好用的地方：现实里你往往数得出「平均多少次」，却说不清「试了多少次、每次多大概率」。点第二栏看那个著名的验证：博尔特凯维奇统计了普鲁士十个军团二十年间被马踢死的人数，λ = 0.61，泊松预测 108.67 / 66.29 / 20.22 / 4.11 / 0.63，实测 109 / 65 / 22 / 3 / 1。被马踢死这件事本身毫无规律可言，可它发生的次数严丝合缝。今天的排队论、保险精算、放射性计数、网络流量，用的都是这一条。

判断守恒，只要算一个括号

1925 年狄拉克把它换成对易子——量子力学的骨架就是这套东西。

\frac{df}{dt} = \{f, H\}

泊松把「这个量守不守恒」变成了一道纯代数题：算 {f,H}，是零就守恒。因为 df/dt = {f,H}——不用解方程，不用积轨道。能量对任何势都守恒；角动量对任何中心力场都守恒；而龙格–楞次矢量只有平方反比时才守恒，多出来的这个守恒量把近日点钉死了，所以只有平方反比的轨道闭合，换成 1/r^2.3 就开始进动。诺特把守恒与对称联系了起来，泊松括号则给了这件事一台计算器。1925 年狄拉克读到这套东西，把 {A,B} 换成 [Â,B̂]/iℏ——量子力学里的对易子，就是泊松括号。这座桥比量子力学早架了一百多年。

泊松把「这个量守不守恒」变成了一道纯代数题：算一个括号 {f, H}，是零就守恒，不是零就不守恒。因为 df/dt = {f, H}——不用解方程，不用积轨道。表里的两列数字必须对上，这就是这条恒等式的字面意思。能量对任何势都守恒；角动量对任何中心力场都守恒；而龙格–楞次矢量只有平方反比时才守恒。多出来的这个守恒量把近日点钉死了，所以只有平方反比的轨道闭合。把幂次挪到 2.3 试试：括号立刻非零，轨道就开始进动。 1925 年狄拉克读到这套东西，把 {A, B} 换成 [Â, B̂]/iℏ——量子力学里的对易子，就是泊松括号。这座桥是泊松在 1809 年前后架的，比量子力学早了一百多年。

他用来反驳波动说的那个荒谬推论

圆盘影子的正中央是亮的——而且亮得跟没挡时一样。

I_{\text{轴上}} = I_{\text{无遮挡}}

1818 年科学院悬赏征解光的本性，菲涅耳交了波动说的论文。评委席上的泊松顺着菲涅耳自己的公式推下去，得到一个足以宣判死刑的结论：圆盘的影子正中央应该是亮的，亮度和完全不挡时一样。荒唐，所以波动说是错的。另一位评委阿拉果去做了实验——斑就在那里，菲涅耳拿了奖。为什么？把圆盘外的波前按「到轴上那一点的距离」分层，每层的贡献沿这个距离积起来只剩两个端点的边界项：积分只认边缘，不认中间挡掉了多少。挡住圆心那一块，轴上的振幅一点没少。这个斑今天叫泊松亮斑，也叫阿拉果亮斑——一个用来反驳的推论，成了支持它的最漂亮的证据。

圆盘半径 1.5 mm

1818 年科学院悬赏征解光的本性，菲涅耳交了一份波动说的论文。评委席上的泊松顺着菲涅耳自己的公式推下去，得到一个在他看来足以宣判死刑的结论：一个圆盘的影子正中央应该是亮的，而且亮得跟完全不挡时一样。荒唐——所以波动说是错的。另一位评委阿拉果去做了实验。亮斑就在那里。菲涅耳拿了奖。影子里除了正中央那一点，其余地方确实是暗的；只有轴上那一点，亮度和完全不挡时一模一样。为什么？把圆盘外的波前按「到轴上那一点的距离」分层，每层的贡献沿这个距离积起来，只剩两个端点的边界项——积分只认边缘，不认中间挡掉了多少。挡住圆心那一块，轴上的振幅一点没少。这个斑今天叫泊松亮斑，也叫阿拉果亮斑：一个用来反驳的推论，成了支持它的最漂亮的证据。

泊松方程：把源项加进去

拉普拉斯方程管空处，他管有东西的地方。

拉普拉斯方程 ΔV = 0 描述的是没有源的地方，它有个漂亮性质：解的最大值和最小值一定在边界上，内部不可能凭空冒出一个「热点」。泊松把源项加了进来：ΔV = −4πρ。有电荷的地方、有质量的地方、有热源的地方，方程就变成这一条。这看似只是右边多了一项，实际上把整个位势论从「描述空无一物的空间」变成了「描述真实的物质分布」。它和格林那件展品正好接得上：泊松方程的格林函数，就是格林那顶帐篷的三维版本——先解一个点源，再把电荷分布看成无数个点源叠起来。今天从静电场求解、引力势、半导体器件仿真到计算机图形里的泊松融合，跑的都是这个方程。

故事展签故事展签：右边多了一项，位势论从此描述真实的物质。

他常常站在错的一边

但每一次都恰好把对的一方往前推了一步。

泊松在物理上偏保守。他怀疑菲涅耳的波动说，于是推出了那个「荒谬」的亮斑——结果亮斑成了波动说的铁证。1831 年他审读伽罗瓦的论文，退回时写的是「无法理解」，要求补全论证——那是伽罗瓦生前最后一次投稿，第二年他就死于决斗。他对傅里叶级数的严格性也一直存疑，可他自己后来大量地用它。这一栏不是要把他写成挡路的人：他是那个时代最有分量的分析家之一，四个领域各留下一个以他命名的东西，这不是运气。真正值得记的是另一件事——一个足够诚实的怀疑者，会把自己的怀疑推到能被实验检验的地步。泊松推出了那个可以去看一眼的结论，阿拉果就去看了。科学能自我纠正，靠的正是这种人。

故事展签故事展签：怀疑推到能被检验的地步，就是科学。

传承

他的工作没有留在十八世纪——每条链的终点，都是你今天正在使用的东西。

泊松分布⟶排队论与随机过程⟶保险精算、放射性计数、网络流量

泊松括号⟶哈密顿力学的代数结构⟶狄拉克的对易子与量子力学

泊松方程⟶位势论与偏微分方程⟶场的仿真、器件设计与计算机图形

语录

「人生只有两件好事：做数学，和教数学。」
—— 阿拉果在悼词中转述（la vie n'est bonne qu'à deux choses : à faire des mathématiques et à les professer）

「无法理解。」
—— 1831 年他与拉克鲁瓦联名审读伽罗瓦论文后的评语；他们要求作者把论证补完整。那是伽罗瓦生前最后一次投稿