Liu Hui · 约225–约295
他给一本算题集补上了证明，也第一个把「无限接近」说清楚
关于刘徽这个人，可靠的记载只有一句话。《隋书·律历志》记：「魏陈留王景元四年，刘徽注《九章》。」景元四年是公元 263 年——这是他一生唯一确定的时间坐标。生年卒年、籍贯、做过什么官，一概不知，连他是不是当时的官方历算人员都只能猜。
他动手的那本《九章算术》，是一部积累了几百年的算题集：二百四十六道题，每道题给一个「术」，也就是一条照做就能算出答案的口诀，但一句也不说凭什么。刘徽做的事，是一条一条去问「凭什么」。他在自序里写下自己的办法——「析理以辞，解体用图」：道理用话讲清楚，形体用图拆开。于是《九章》里那些口诀第一次有了证明：圆面积公式来自割圆，负数第一次有了明文的加减法则，解线性方程组的消元法被讲透，旧的球体积公式被他证明是错的。他还嫌书里测量的部分不够用，自撰九道题附在卷末，唐代把它单独抽出来，就是《海岛算经》。同一个世纪，亚历山大里亚的希腊数学正在熄灭；在东边，一个人独自把一本工具书变成了一门有证明的学问。
生年、籍贯均不可考。近代学者据书中方言与度量推测他活动于今山东一带，仍是推测。
《隋书·律历志》：「魏陈留王景元四年，刘徽注《九章》。」关于他唯一可靠的年份。
从正六边形一路对折到 192 边形，得 π ≈ 3.14——后世称「徽率」。他还给出了 3927/1250 ≈ 3.1416。
证明旧的球体积公式是错的，造出两圆柱正交所围的立体，却算不出它的体积，于是把疑问留着。
算筹摆成方阵，一列一列消元；消元必然出现负数，于是有了世界上最早的负数加减法则。
两次测望，量不可达的高与远。唐代抽出单行，因第一题「今有望海岛」而名《海岛算经》。
无任何记载。
祖冲之父子以「幂势既同，则积不容异」算出牟合方盖，球体积随之而定。这段话保存在李淳风给《九章》作的注里。
李淳风等注释「算经十书」，《九章算术》与《海岛算经》成为唐代官学的课本，一直用到宋。
绝大多数展品都可以亲手把玩——这是本馆的立馆之本；少数以叙述为主的，做成故事展签。
割圆术：只用内接多边形，他也把圆夹住了——顺带把「无限接近」说清楚。
阿基米德用内接和外切两道篱笆夹住圆，刘徽只用了里面那一道。他先看出多余的部分能被框住：多边形的每条边之外还剩一段「余径」，以边乘余径，「幂出觚表」——那一圈小长方形一定盖得住圆与多边形之间的缝。于是他得到一个单边的夹逼：S(2n) < S < S(2n) + [S(2n) − S(n)]。边数每翻一倍，缝隙就缩到四分之一，从六边形割到 192 边形，π 就定在 3.14 上，这个值后世叫「徽率」。真正划时代的是他写在旁边的那句话：「割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。」这是中国数学第一次把取极限说成一件可以说清楚的事——比欧洲的极限概念早了一千四百年。也正是靠它，《九章》那条「半周乘半径」的圆面积公式，第一次有了证明。
解线性方程组的消元法——比高斯早一千五百年。
《九章》第八章叫「方程」，讲的正是今天的线性方程组：三种谷物、三次称量，问每种一捆多重。做法是把系数用算筹摆成一个方阵——一列一个方程，与今天的增广矩阵一模一样，只是列写而非行写——然后用「直除」：拿一列反复减另一列，直到某个位置变成空位，也就是消元。刘徽把这套步骤讲透了，并指出可以先用一列去乘另一列再相减，省掉反复减的力气。这就是高斯消元法。它还逼出了另一件事：消着消着必然出现「不够减」，于是《九章》给出了正负数的加减法则「同名相除，异名相益」，刘徽注明用红筹表正、黑筹表负——这是世界上最早的负数运算法则，比印度的婆罗摩笈多早三百多年，比欧洲普遍接受负数早一千三百年。
点一下消一步，看算筹方阵一列一列变成空位
这是高斯消元法，比高斯早一千五百年。系数摆成方阵，一列一个方程—— 与今天的增广矩阵一模一样，只是列写而非行写；「遍乘」是整列同乘一个数， 「直除」是一列反复减另一列，直到某格空掉。刘徽把这套步骤讲透了， 并指出可以先乘后减，省掉反复减的力气。它还逼出了另一样东西：消着消着必然「不够减」， 于是《九章》给出了正负数的加减法则——「同名相除，异名相益」， 刘徽注明红筹表正、黑筹表负。这是世界上最早的负数运算。
「敢不阙疑，以俟能言者」——两百年后，祖冲之父子接住了它。
《九章》原文用的球体积公式，等于把 π 取成 3 再错上加错。刘徽一眼看出不对，并且找到了症结：书里默认「球外接圆柱与球的体积比」等于「圆外接正方形与圆的面积比」，可这在三维里不成立。他于是造了一个立体来替换那个圆柱——正方体内两个正交的内切圆柱，它们相交的部分，他叫「牟合方盖」。妙处在于：在任何一个高度上横切，牟合方盖的截面都是正方形，球的截面是它的内切圆，面积比恒为 4 : π。所以球体积 = (π/4) × 牟合方盖体积，只要知道牟合方盖，球就定了。可牟合方盖本身的体积他算不出来。他没有含糊过去，而是写下：「欲陋形措意，惧失正理。敢不阙疑，以俟能言者。」——怕说错，宁可把疑问留着，等一个说得清的人。两百年后来了：祖冲之与儿子祖暅用「幂势既同，则积不容异」——两个立体每一层的截面积都相等，体积就必然相等——把它算了出来。这条原理欧洲要等到 1635 年的卡瓦列里。
《海岛算经》第一题：不上岛，算出岛有多高、离你多远。
《九章》勾股章讲的是能走到跟前的测量。刘徽嫌不够，自撰九题附在书末，第一题就是：海上有座岛，望得见上不去，怎么知道它多高、多远？办法是立两根等高的表，一前一后隔开一段距离，各自后退到眼睛、表顶、岛顶三点成一线的位置，量下退了多少步。两次测望之差把未知的距离消掉了：岛高 = 表高 × 表距 ÷ 退步之差 + 表高，岛远 = 前表退步 × 表距 ÷ 退步之差。关键在「重差」两个字——测一次不够，测两次，让差值替你消去够不着的那一段。他在序里说，这法子上可量日：立两表于洛阳，同日正午量影长，就能推出太阳有多远、多大。（他算出的数当然是错的，因为当时默认大地是平的；但方法本身没有错，后来的三角测量、乃至今天的视差测距，走的是同一条路。）
同一个世纪，希腊的证明传统正在熄灭；在东边，一个人独自把它点着了。
《九章算术》是一本了不起的工具书，但它的写法是「问—答—术」：给一道题、给一个答案、给一条口诀。口诀对不对，为什么对，一个字也没有。刘徽做的事，是给这二百四十六道题背后的每一条术找出理由。他在自序里说明了办法：「又所析理以辞，解体用图，庶亦约而能周，通而不黩，览之者思过半矣。」——道理用话讲清楚，形体用图拆开；这样简约却周全，通达而不啰嗦，读的人自己就能想明白一大半。这是一种和欧几里得不同的证明观：欧几里得从公理往下推，刘徽是拿着一套已经在用的算法，向上追问它凭什么成立。两条路都通向同一件事——数学不只是算得对，还要说得清。有意思的是时间：他注《九章》是 263 年，此时亚历山大里亚的希腊数学已近尾声，丢番图差不多是同代人，而《原本》要再过一千三百年才会由利玛窦和徐光启译入中文。两个证明传统各自独立地长了出来，谁也不知道谁。
他的工作没有留在十八世纪——每条链的终点，都是你今天正在使用的东西。
「割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。」
—— 《九章算术注》卷一 方田章 圆田术注，约263 · 中国数学里第一次把「取极限」说清楚
「欲陋形措意，惧失正理。敢不阙疑，以俟能言者。」
—— 《九章算术注》卷四 少广章 开立圆术注 · 牟合方盖的体积他没算出来，就把疑问留着，等一个说得清的人——两百年后，祖冲之父子接住了
「又所析理以辞，解体用图，庶亦约而能周，通而不黩，览之者思过半矣。」
—— 《九章算术注》自序 · 道理用话讲清楚，形体用图拆开