David Hilbert · 1862–1943

希尔伯特

他给二十世纪的数学列了一张问题清单，也给它打了地基

\|f\|^2 = \sum_{n=1}^{\infty} |\langle f, e_n \rangle|^2

希尔伯特空间 · 无穷维里的勾股定理

大卫·希尔伯特生于柯尼斯堡——欧拉走过那七座桥的城市。1888 年，二十六岁的他解决了困扰代数学界二十年的不变量有限基问题，可他的证明不给出任何一组基，只证明基必然存在。戈尔丹当场判它出局：「这不是数学，这是神学。」三十年后，这条被斥为神学的路成了整个抽象代数的走法——把它走到底的人是诺特。

1895 年克莱因把他请到哥廷根，此后哥廷根成了世界的数学中心。1899 年他重写欧几里得：《几何基础》把两千年来靠图形直觉偷偷溜进去的假设一条条揪出来，补成一套真正封闭的公理。1900 年在巴黎，他给新世纪列了二十三个问题，并宣告「数学中没有 ignorabimus」——没有我们注定不可知的事。这份信念在 1930 年的柯尼斯堡被他说成了那句「我们必须知道，我们必将知道」，如今刻在他的墓碑上。而就在前一天，同一座城市里，二十四岁的哥德尔第一次宣布了不完备定理。1933 年纳粹清洗掏空了哥廷根，他在此后的孤寂中活了十年，下葬时送行的人不足十位。

佚名摄，1907 · Wikimedia Commons，公有领域

生平

1862
生于柯尼斯堡
与闵可夫斯基、胡尔维茨在同一座城市求学，三人终生互为镜子。
1888
不变量基定理
只证明有限基存在，不给出构造。戈尔丹：「这不是数学，这是神学。」
1895
受克莱因之邀赴哥廷根
此后四十年，哥廷根是世界数学的中心，「打起背包，到哥廷根去」。
1899
《几何基础》
重建欧几里得：补上被图形直觉掩盖的公理，并证明这套公理相容且彼此独立。
1900
巴黎：二十三个问题
给二十世纪列出的研究提纲。「数学中没有 ignorabimus。」
1915
把诺特请到哥廷根
学部以性别为由拒授她任教资格，他反问：这里是大学，不是澡堂。
1930
「我们必将知道」
柯尼斯堡告别演说。前一天，哥德尔在同城首次宣布不完备定理。
1943
卒于哥廷根
纳粹清洗后的哥廷根已无数学可言；送葬者不足十人。

展品厅

绝大多数展品都可以亲手把玩——这是本馆的立馆之本；少数以叙述为主的，做成故事展签。

镇馆之宝 · 亲手玩

二十三个问题

1900 年，他把整个二十世纪要干的活开了一张单子。

巴黎国际数学家大会上，他讲了十个问题，印出来是二十三个。这不是一份猜想集，而是一份提纲：每一题都指着一个当时还没有名字的领域。一百二十多年过去，大部分已被攻下，攻下它们的人多半因此成名；也有几题至今开着口——第八题里的黎曼猜想就在那儿。还有一题（第六题：物理学的公理化）与其说未解，不如说问得太大。

点开任意一题，看它问的是什么、如今是什么下场

已解 13部分 5未解 3问得太大 2

第 8 题　素数问题未解

黎曼猜想、哥德巴赫猜想、孪生素数猜想都在这一题里。一百二十多年过去，三个都还站着。

他在会上只讲了十题，印出来是二十三题。一百二十多年后，三题仍然完全开着（第 8、12、16），两题问得太大以致无所谓解不解。攻下其余那些题的人，多半因此在数学史上留了名——这份单子本身就是二十世纪的一张地图。

希尔伯特曲线

一根线，真的能走遍一个正方形的每一点。

[0,1] \twoheadrightarrow [0,1]^2

康托尔证明了线段与正方形的点一样多，可他造出的对应是撕碎的——邻近的点会被扔到天各一方。希尔伯特 1891 年补上了缺的那一半：一条连续的曲线，逐阶加密，极限恰好铺满整个正方形。「维数」这个词从此非重新定义不可。今天它还在替你干活：图像压缩与数据库索引把二维坐标压成一维时，用的就是这条曲线——因为它保住了「挨得近的还挨得近」。

阶数 3

康托尔证明了线段与正方形的点一样多，但他造的对应是撕碎的。希尔伯特这条曲线是连续的：一维上挨着的两点，在正方形里也挨着。今天图像压缩和数据库索引把二维坐标压成一维时用的正是它——沿这根线切一刀，切出来的仍是一块连在一起的区域。

希尔伯特旅馆

客满的旅馆，照样住得下新客——哪怕来的是无穷多位。

|\mathbb{N}| = |\mathbb{N}| + 1 = |\mathbb{N} \times \mathbb{N}|

有无穷多间房，且每间都住了人。再来一位客人怎么办？让每位住客往后挪一间，1 号房就空出来了。来了无穷多位呢？让第 n 位住客搬到第 2n 间，所有奇数号房全空。「客满」和「住不下」在无穷这里不是一回事——这正是康托尔那句「部分可以与整体一样多」的旅馆版。可同一间旅馆装不下所有实数：那需要的房间数是另一个量级。

三次搬迁分别是 n → n+1、n → 2n、以及按「车号 + 座号」之字形重排。每一次都是一个具体的对应表，谁去哪一间都写得出来——「住得下」从来不是一句宽慰，而是这张表。可这家店装不下所有实数：那张表一造出来，对角线就能变出一位没有房间的客人。

桌子、椅子、啤酒杯

把「点、线、面」换成任意三样东西，公理照样成立。

欧几里得说「点是没有部分的东西」，那是在描述，不是定义——真正在起作用的是公理，不是那句描述。希尔伯特把话挑明：只要一堆对象和它们之间的关系满足这套公理，它就是一个几何，管它们叫点、线、面还是桌子、椅子、啤酒杯。这不是俏皮话而是方法：他正是靠换掉「点」的解释，才第一次证明了公理彼此独立——想证明某条公理不能由其余推出，就造一个满足其余、唯独违反它的模型。

点两个点，看它们共有的那条线。

七个点、七条线，每条线上有三个点，每个点上过三条线。换一套叫法，图一动不动，两条公理也一条不差——因为公理管的是关系，不是名字。希尔伯特正是靠这一手证明了公理彼此独立：想说某条公理推不出来，就造一个满足其余、唯独违反它的模型。

希尔伯特空间

把勾股定理搬到无穷多个方向上去。

\|f\|^2 = \sum_{n=1}^{\infty} |\langle f, e_n \rangle|^2

傅里叶把函数拆成正弦波，可「拆出来的系数到底算什么」拖了一百年没人说清。希尔伯特研究积分方程时给出了答案：把函数看成无穷维空间里的一个向量，正弦波是这个空间里互相垂直的坐标轴，系数就是它在各轴上的投影。于是勾股定理照搬：函数长度的平方，等于全部系数的平方和。冯·诺依曼后来用这套语言给量子力学写下公理——态是这个空间里的向量，可观测量是空间上的算子。

取前 5 项

正弦基在 x = 1 处一律为零，所以蓝线在右端永远够不着 f(1) = 1——加再多项也一样。可右边的能量条仍在补齐：希尔伯特空间里的「收敛」是长度意义上的，不承诺处处相等。顺带一提，那条能量曲线奔向的 Σ1/n² = π²/6，正是欧拉当年算出来的巴塞尔问题。

「这不是数学，这是神学」

他证明了那组基一定存在，却说不出它是什么。

I = (f_1, \dots, f_r)

不变量的有限基问题，戈尔丹本人用几十页算式才啃下一个特例。1888 年希尔伯特给出普遍解，办法却是反证：假设没有有限基，便能造出一条无限升的理想链，而这不可能——所以有限基存在。整个证明不产出任何一个基元素。戈尔丹的判词流传至今：「这不是数学，这是神学。」（他晚年补了一句：我确信连神学也有它的好处。）这场争执划下了现代数学的一道分水岭：存在性证明就是证明。三十三年后，诺特把这条路的尽头写成了一句话——升链条件。

故事展签故事展签：一个不给出答案的证明，如何成了整个抽象代数的走法。

传承

他的工作没有留在十八世纪——每条链的终点，都是你今天正在使用的东西。

二十三个问题⟶二十世纪的研究纲领⟶至今仍有数题未解

希尔伯特空间⟶冯·诺依曼的量子力学公理化⟶信号处理与机器学习

公理化与元数学纲领⟶哥德尔不完备定理、图灵机⟶可计算性与计算机

不变量基定理⟶诺特的抽象代数⟶现代代数几何

语录

「必须永远可以用「桌子、椅子、啤酒杯」来代替「点、线、面」。」
—— 布卢门塔尔《生平》记其 1891 年在柏林车站候车室语，收于《希尔伯特全集》第三卷，1935

「我们必须知道，我们必将知道。」
—— 1930 年 9 月 8 日柯尼斯堡告别演说结语，电台录音存世；亦刻于其墓碑

「哥廷根的数学？那里已经没有数学了。」
—— 1934 年答纳粹教育部长鲁斯特问，见 Reid《希尔伯特》1970