航天

轨道是椭圆，扫过的面积随时间均匀增长语言

开普勒1571–1630《走得有快有慢，扫过的面积却一样》

第谷留下的火星数据有八分弧对不上圆轨道，他没有把这八分抹掉。今天算一个航天器什么时候到某个位置，解的仍是他那条超越方程。

一条平方反比定律，推出全部三条轨道定律语言

牛顿1643–1727《为什么必须是平方反比》

二体问题有解析解，这是航天里唯一一件能写成闭式的事。此后所有的工作，都是在处理「不止两个物体」和「不是质点」带来的偏差。

求一条曲线，使某个积分取极值最优

欧拉1707–1783《变分法与最速降线》

变分法把「哪条路最好」变成一个能解的方程。两百年后的最优轨迹设计，用的还是欧拉—拉格朗日方程这条主干。

飞这一段要多久，与轨道长什么样无关算法

兰伯特1728–1777《飞这一段要多久，与轨道长什么样无关》

转移时间只取决于两个端点到焦点的距离之和与它们之间的弦长。这条定理反过来用，就是「给定出发点、到达点和飞行时间，求那条轨道」——今天所有的轨道转移、交会对接都要解这个问题。

一本没有图的力学书语言

拉格朗日1736–1813《一本没有图的力学书》

他在序里夸口说全书找不到一张图。把力学写成纯分析之后，约束条件才能作为方程处理——今天的多体动力学仿真器仍按这条路子搭。三体问题的五个平动点也是他给的。

三个数不够，要四个结构

哈密顿1805–1865《万向节死锁：三个角度不够用》

用三个欧拉角表示姿态，会在某些角度上丢掉一个自由度，这就是万向节死锁——阿波罗 11 号的惯性平台真的撞上过。四元数没有这个毛病，今天航天器和无人机的姿态全用它存。

空气也有黏性：物体在流体里受的阻力，从这组方程算起语言

斯托克斯1819–1903《牛顿的漩涡差了一个力矩》

纳维–斯托克斯方程是今天计算流体力学的底本：火箭穿过大气时的阻力、级间分离时的气动载荷、一级落回时栅格舵上的力，都要拿它（或它的简化）去算。纳维、泊松、圣维南先后推出过同一组方程；斯托克斯 1845 年那篇推导最干净，并拿它解了圆筒之间与圆管里的流动。

三体问题没有那种解，而且解会乱起来边界

庞加莱1854–1912《三体问题与混沌》

他本来想证明太阳系稳定，得奖的论文印出来之后他自己发现错了，自费收回重印——改正之后的结论是相反的。轨道预报有一个时间尺度上的天花板，就是从这里来的。

不解方程，也能判断它稳不稳语言

李雅普诺夫1857–1918《不解方程，也能判断它稳不稳》

造一个沿着轨迹只会减小的正函数，就能断定系统收敛——不必把解写出来。他自己在序言第二段写明要的就是这个：会积分的时候问题当然不难，难的是不依赖积分也能解决。从火箭的姿态回路到无人机，从电源环路到今天证明优化算法收敛，用的都是这一招。

不解方程，一步一步把轨道推出去算法

龙格1856–1927《一步里算四次，能买到四阶》

轨道方程绝大多数写不出解析解，只能一步一步往前推。龙格 1895 年把求积的老办法搬了过来——中点的值还不知道，就先用欧拉走半步猜出来；库塔 1901 年把它推到四阶，一步算四个函数值，误差是步长的四次方。今天从深空探测的定轨到发动机内流场的仿真，跑的还是这条一百多年没换过的式子；他们在同一篇里留下的另一件东西同样没换过：拿大步长与小步长的结果是否相符来决定这一步该信到第几位。

与其硬算，不如随机采样数一数不确定

冯·诺依曼1903–1957《他要的不是真随机，是查得了账的假随机》

构想是乌拉姆 1946 年病中打牌时想到的，冯·诺依曼把它变成了机器上跑得动的东西。一枚火箭上天之前要回答的不是「标称弹道长什么样」，而是「把风、推力偏差、传感器噪声各自的分布撒进去，落点会散成什么样」——这件事没有闭式，只能把整条弹道随机跑上几万遍数一数。今天的弹道散布分析、故障树与可靠性评估都是这么做的。要紧的是那些随机数本身也得是算出来的：现场没法摇骰子，而且出了事要能一模一样地重跑一遍。

在一堆不等式围出来的地方，找最好的那个角最优

丹齐格1914–2005《沿着多面体的棱往上爬》

线性规划与单纯形法，起于 1947 年美国空军的计划工作：先把「按规矩排计划」改成写出一个要最大或最小的目标，再交给机器解。最优控制的连续问题一离散，推力的上下界、终点的位置与速度都成了一条条不等式，燃料最省就成了这样一道题；2007 年那一环解的二阶锥规划是它的推广，今天用内点法求解，而「约束写成不等式、目标交给求解器」这套提法是从这里开始的。

扰动之后，哪些轨道还留得住结构

柯尔莫哥洛夫1903–1987《扰动之后并不是全乱》

庞加莱那一环给的是坏消息：三体不可积，轨道会乱。这一环是另一半——只要频率随轨道真的在变，加一个足够小的扰动之后，整个区域除去一块测度任意小的集合，仍然由不变环面铺着。哪些留得住有判据：频率被有理数逼近得「反常地好」的那些先碎。今天判断一个轨位能不能长期停住、算行星际的低能转移轨道，以及粒子加速器里束流能存多久，问的都是这件事。

推力该什么时候开、什么时候关最优

庞特里亚金1908–1988《推力什么时候反过来》

最大值原理 1956 年先以「假设」发表在一篇三页的短札里（与学生玻尔强斯基、甘克列利泽合写），两年里由学生补出证明。它把「在约束下求最优控制」变成一个能解的两点边值问题；要紧的是控制受「舵只能打到头」这类不等式约束时，魏尔斯特拉斯的旧判据不成立，而它仍成立。由此得出一个反直觉的结论：最优的推力程序常常只取两个极端，要么全开、要么全关。同一时期贝尔曼从另一条路给出动态规划。