Johannes Kepler · 1571–1630

开普勒

他把天上的圆丢掉了——只因为有八分弧对不上

T^2 = a^3

第三定律 · 周期的平方比着半长轴的立方，六颗行星一条不差

开普勒 1571 年生于施瓦本的魏尔城，早产，幼年出天花留下一双坏眼睛——终生看不清星星的人，却把星星算清楚了。1589 年他进蒂宾根大学读神学，在那里从教师梅斯特林口中听到哥白尼；1594 年被派去格拉茨教数学，两年后写出第一本书《宇宙的奥秘》，主张六颗行星的轨道之间恰好嵌得下五种正多面体。这个模型是错的，可它把他领到了正确的地方：1600 年他去布拉格投奔第谷，第二年第谷去世，他接下帝国数学家的位子，也接下了第谷几十年的观测数据。

接下来的三十年，他一件件拆掉了两千年的假设。1609 年《新天文学》给出前两条定律——行星走的是椭圆，太阳在一个焦点上；连太阳与行星的那条线，相等时间扫过相等面积。1619 年《世界的和谐》给出第三条：周期的平方比着半长轴的立方。他还顺手做了别的事：1604 年的《天文学的光学部分》第一次说清视网膜成像与光照的平方反比，1611 年造出比伽利略更好用的望远镜、并在一本讲雪花的小册子里提出了堆球最密的猜想，1615 年为了算酒桶的容积写下一本积分学的前身，1627 年用对数编成《鲁道夫星表》——那张表的精度比前人高出两个数量级。他一生在瘟疫、战乱与欠薪里搬来搬去，母亲被控为女巫时他回去打了六年官司；1630 年他死在雷根斯堡，去讨一笔积欠的薪水。牛顿的引力律要解释的，正是他留下的这三条。

佚名绘，1620——画上题着「献给斯特拉斯堡图书馆」 · 史密森学会藏照片，公有领域

生平

1571
生于魏尔城
12 月 27 日。早产，幼年天花伤了眼睛与手。
1589
进蒂宾根读神学
在梅斯特林那里第一次听说哥白尼的体系。
1596
《宇宙的奥秘》
六颗行星之间嵌五种正多面体。模型是错的，但它让第谷注意到了他。
1600
去布拉格投奔第谷
第二年第谷去世，他接任帝国数学家，也接手了那批观测数据。
1604
《天文学的光学部分》
视网膜成像、针孔成像、光照的平方反比。同年他看见了那颗超新星。
1609
《新天文学》
前两条定律。副标题写着「据火星的运动推得，以第谷·布拉赫的观测为凭」。
1611
雪花与望远镜
《六角形的雪花》里提出堆球最密的猜想；《折光学》给出两片凸透镜的望远镜。
1615
《酒桶的新立体几何》
为了核酒商的量法，把体积拆成无穷多薄片来算——微积分的前身之一。
1615
母亲被控为女巫
官司打了六年，1621 年她获释，几个月后去世。
1619
《世界的和谐》
第三定律写在第五卷。他说：这本书等一百年才有读者也无妨。
1627
《鲁道夫星表》
用上了刚问世的对数，精度比前人高两个数量级；1631 年水星凌日按它预报的时刻发生。
1630
卒于雷根斯堡
去讨一笔积欠的薪水，病死途中，五十八岁。

展品厅

绝大多数展品都可以亲手把玩——这是本馆的立馆之本；少数以叙述为主的，做成故事展签。

镇馆之宝 · 亲手玩

走得有快有慢，扫过的面积却一样

第二定律好懂，可它带来一个方程——那个方程解不出来。

M = E - e \sin E

行星离太阳近时走得快，远时走得慢。开普勒发现的规律干净利落：连太阳与行星的那条线，在相等的时间里扫过相等的面积。演示里把一圈分成十二等份，每一份的面积都现算，扇形有胖有瘦，数值却一样到小数点后好几位。麻烦藏在下一步。天文学家要的是「给定时刻，行星在哪儿」，而面积定律给的是「给定位置，过了多久」，要反过来用。把它写出来就是开普勒方程：M = E − e·sin E。M 是均匀流逝的时间（平近点角），E 是位置（偏近点角）。已知 E 求 M 是一行算术；已知 M 求 E——这个方程解不出来。它不是难解，是没有初等解：三角函数和多项式混在一起，没有有限的式子能把 E 表示成 M 的函数。开普勒自己的办法是猜一个再改一个，一轮轮逼近；今天的做法是牛顿迭代，演示里把每一轮的值都印出来，火星那样的偏心率四五轮就收敛到双精度。这是人类第一次在实用问题上撞见「写不出来只能算出来」，此后它成了常态：轨道、潮汐、导航，凡是要从时间反推位置的地方，跑的都是这个循环。今天每一颗卫星的星历计算里，这个方程每秒钟要被解上千次。

拖时间看扇形有胖有瘦、面积却一样；右边是开普勒方程一轮轮收敛的过程

时间（一圈的 18%）偏心率 e = 0.60

行星离太阳近时走得快，远时走得慢，可连线在相等时间里扫过的面积一样大。画面上十二块扇形有胖有瘦，面积却相等——那十二个数是沿轨道把每块切成两百多个三角形累加出来的，不是套公式写上去的。麻烦在下一步：天文学家要的是「给定时刻，行星在哪儿」，而面积定律给的是反过来的对应。写出来就是开普勒方程 M = E − e·sin E——它没有初等解，三角函数与多项式混在一起，没有有限的式子能把 E 写成 M 的函数。开普勒自己靠一轮轮试算，今天用牛顿迭代，火星那样的偏心率四轮就到双精度。这是人类第一次在实用问题上撞见「写不出来，只能算出来」；今天每一颗卫星的星历、每一次变轨，跑的还是这个循环。

把六颗行星摆成一张表

周期的平方比着半长轴的立方——一条从数据里看出来的定律。

\frac{T^2}{a^3} = \text{常数}

第三定律不是从原理推出来的，是从一张表里看出来的：他把每颗行星的周期与到太阳的距离并排列出，试了各种组合，最后发现周期的平方与距离的立方成正比。用今天的数据核一遍，六颗行星的 T²/a³ 全部落在 1.0000 附近，最大偏差不到万分之九；把 1781 年发现的天王星与 1846 年发现的海王星也加进来，仍然落在同一条线上——一条 1619 年从六个数据点看出来的规律，管住了两百年后才被发现的行星。演示把它画成双对数图：横轴 lg a、纵轴 lg T，八个点几乎严丝合缝地落在一条斜率 3/2 的直线上（最小二乘拟合出来是 1.4999）。更漂亮的是把木星的四颗伽利略卫星也画上去：它们自己也排成一条斜率 3/2 的直线，只是整条线平移了——因为常数里装着中心天体的质量。同一条定律，换一个中心，换一条平行线。这正是后来「称量天体」的办法：量出周期与距离，就能反推出中心那个东西有多重。牛顿 1687 年证明，这条定律是平方反比引力的必然结果。

第三定律不是推出来的，是从一张表里看出来的：周期的平方比着半长轴的立方。用今天的数据核一遍，六颗行星的 T²/a³ 全落在 1.0000 附近，最大偏差不到万分之九；把 1781 年才发现的天王星、1846 年才发现的海王星加进来，仍然在同一条线上—— 一条从六个数据点看出来的规律，管住了两百年后才被发现的行星。更漂亮的是木星的四颗卫星：它们自己也排成斜率 3/2 的一条线，只是整条平移了，因为常数里装着中心天体的质量。它们的 T²/a³ 是 1047.35，而太阳质量与木星质量之比是 1047.56——两个数几乎一样，不是巧合。今天称量恒星、行星乃至黑洞，用的就是这一条：量出周期与距离，反推中心有多重。牛顿 1687 年证明，这条定律是平方反比引力的必然结果。

五个正多面体装不下太阳系

他一生最得意的那个模型是错的，可正是它把他送到了第谷门下。

\frac{R_{\text{外}}}{R_{\text{内}}}

1596 年，二十五岁的开普勒相信自己看破了造物的图纸：土星与木星的轨道球之间正好嵌得下一个立方体，木星与火星之间是正四面体，火星与地球之间是正十二面体，地球与金星之间是正二十面体，金星与水星之间是正八面体。正多面体只有五种，行星之间的间隔正好五个——在他看来，这解释了「为什么行星不多不少是六颗」。演示把这个模型逐层核一遍：每一种正多面体的外接球与内切球之比是一个定数（立方体与正八面体都是 √3 = 1.732，正四面体是 3，正十二面体与正二十面体都是 1.258），拿它与今天测得的轨道半长轴之比对照，五层的偏差分别是 5.7%、12.1%、17.4%、9.0%、7.3%。以十六世纪的数据看，这已经算「相当接近」，何况模型还许诺了一个理由；以今天的数据看，它只是巧合。真正要紧的是接下来发生的事：为了把模型做得更准，他需要更好的观测，于是写信给第谷；第谷回信邀他同住。错的模型把他送到了对的数据面前，而那批数据要了他二十年，最后拆掉的恰恰是这个模型——轨道根本不是球，是椭圆。

1596 年，二十五岁的开普勒相信自己看破了造物的图纸：土星与木星之间嵌一个立方体，木星与火星之间是正四面体，往里依次是正十二面体、正二十面体、正八面体。正多面体只有五种，行星之间的间隔正好五个——在他看来，这解释了「为什么行星不多不少是六颗」。拿今天的数据逐层核一遍：五层的偏差是 5.7%、12.1%、17.4%、9.0%、7.3%。以十六世纪的数据看，这已算「相当接近」，何况模型还许诺了一个理由；以今天的眼光看，它只是巧合。真正要紧的是接下来发生的事：为了把模型做得更准，他需要更好的观测，于是写信给第谷——错的模型把他送到了对的数据面前，而那批数据最后拆掉的恰恰是这个模型：轨道根本不是球，是椭圆。

堆橙子的最好办法

水手堆炮弹的方式就是最优解——这句话花了三百八十七年才被证明。

\frac{\pi}{3\sqrt{2}} = 0.74048\ldots

1611 年开普勒写了一本贺年小册子《六角形的雪花》，从「雪花为什么总是六角」一路问到「同样大的球怎么堆最省地方」。他给出的答案是水手堆炮弹、果贩堆橙子的那种堆法：一层摆成六角，下一层坐进凹坑里。他说这种堆法「最紧密，再没有别的排列能塞进更多的球」——没有给证明。这就是开普勒猜想。二维的情形容易看清：正方形摆放的填充率是 π/4 = 0.7854，六角摆放是 π/(2√3) = 0.9069，演示里两种摆法并排，数字现算。三维要难得多：面心立方与六方最密堆积都给出 π/(3√2) = 0.74048，体心立方只有 0.6802，简单立方更低，只有 0.5236；随便倒进罐子里摇一摇，大约是 0.64。难点在于「再没有别的排列」这半句——可能的排列有无穷多种，而且局部看更密的排法确实存在，只是拼不成整体。1998 年黑尔斯给出证明，核心是把问题化成几千个非线性优化，用计算机逐个验；审稿人花了四年说「百分之九十九确信」。黑尔斯于是又花了十一年，把整个证明写成机器可以检查的形式，2014 年完成——这是形式化证明第一次啃下一个真正的老猜想。

1611 年开普勒写了一本贺年小册子《六角形的雪花》，从「雪花为什么总是六角」一路问到「同样大的球怎么堆最省地方」。他的答案是水手堆炮弹、果贩堆橙子的那种堆法：一层摆成六角，下一层坐进凹坑里。他说这样最紧密，再没有别的排列能塞进更多的球—— 然后就没有证明了。这就是开普勒猜想。二维的情形容易看清：正方形摆放 78.54%，六角摆放 90.69%，画面上那块金框就是算这个比例用的基本格。三维要难得多，难在「再没有别的」这半句：可能的排列有无穷多种，而且局部更密的排法确实存在，只是拼不成整体。1998 年黑尔斯把它化成几千个非线性优化问题、用计算机逐个验过，审稿人花了四年，最后只肯说「百分之九十九确信」。黑尔斯于是又花十一年，把整个证明改写成机器可以检查的形式，2014 年完成——那是形式化证明第一次啃下一个真正的老猜想。

酒桶：极值附近是平的

他觉得酒商的量法在骗人，算完发现那把尺正好卡在最优处。

\frac{h}{d} = \sqrt{2}

1613 年开普勒在林茨买酒，看见酒商量酒的办法是把一根尺从桶侧的口斜插到对面的底边，读出长度就报出容积。他不服气：桶有胖有瘦，同样长的斜线可以装不同的酒。于是他算了一遍。把桶近似成圆柱：斜线长 s 固定，高 h 与直径 d 可变，容积 V = π(d/2)²h，而 s² = (h/2)² + d²。消去 d 得 V = πh(s² − h²/4)/4，求导为零，解出 h = 2s/√3，此时 h/d = √2。算完他发现两件事。第一，奥地利酒桶的形状确实非常接近这个最优比例——那把尺没有骗人，因为它量的正是最优形状。第二件更重要：「极值附近，函数是平的」。h/d 从 1.3 变到 1.5，容积只差不到半个百分点；就算偏到 1.2 或 1.7，也还有九成七以上。所以即使桶做得不那么标准，斜线量法的误差也很小。这条「极值附近一阶项消失」的观察，被他写进 1615 年的《酒桶的新立体几何》，比费马的极值法早二十年，比牛顿与莱布尼茨早半个世纪。今天每一本微积分课本里「极值点处导数为零」的几何图景，就是这一桶酒。

h / d = 1.41

1613 年开普勒在林茨买酒，看见酒商量酒的办法是把一根尺从桶侧的口斜插到对面底边，读出长度就报容积。他不服：桶有胖有瘦，同样长的斜线可以装不同的酒。于是他算了一遍。把桶近似成圆柱，斜尺长固定，容积在 h/d = √2 处最大。算完他发现两件事：第一，奥地利酒桶的形状确实非常接近这个比例，那把尺没有骗人；第二件更要紧——极值附近，函数是平的。h/d 从 1.3 变到 1.5，容积只差不到半个百分点；偏到 1.2 或 1.7 也还有九成七以上。所以桶做得不那么标准，斜线量法的误差依然很小。这条观察写进 1615 年的《酒桶的新立体几何》，比费马的极值法早二十年，比牛顿与莱布尼茨早半个世纪；今天微积分课本里「极值点处导数为零」的那张图，画的就是这一桶酒。

那八分弧

两千年的圆周，是被八分弧的误差顶掉的。

开普勒接手第谷的火星观测时，用的仍是圆：一个偏心圆加一个均衡点——这套办法从托勒密传下来，馆里托勒密那件展品说得很清楚，它其实已经逼近了椭圆，精度相当高。他前后算了七十多轮，终于凑出一个圆轨道，在经度上与第谷的观测只差两分弧，这在当时已经好得没话说。可换一组位置再验，误差冒到了八分。八分弧是什么概念：满月的视直径是三十分，八分弧约等于满月的四分之一，肉眼几乎分辨不出——而第谷的仪器能稳定到两分以内。所以他知道，这不是第谷量错了。《新天文学》第十九章里他写下那段有名的话：既然神赐给我们第谷这样一位一丝不苟的观测者，我们就该感谢他，并设法找出真正的轨道；仅仅这八分弧，就为我们指出了重修整个天文学的道路。接下来的事就是重修：他试了卵形，试了别的曲线，最后在 1605 年认出那是椭圆。这一栏想留下的不是「他很执着」，而是另一件事——「标准是被仪器的精度顶上去的」。第谷把观测做到两分，才使得八分成为一个不能忍受的数字；在此之前的两千年里，圆一直够用，因为没有人量得那么准。

故事展签故事展签：八分弧，约等于满月视直径的四分之一。

传承

他的工作没有留在十八世纪——每条链的终点，都是你今天正在使用的东西。

三条行星定律⟶牛顿：它们都是平方反比的推论⟶今天每一次轨道计算与变轨

开普勒方程 M = E − e sin E⟶从时间反推位置只能迭代⟶卫星星历与导航芯片里的那个循环

第三定律里的那个常数⟶常数装着中心天体的质量⟶称量恒星、行星与黑洞的标准办法

堆球最密的猜想（1611）⟶黑尔斯 1998 年的计算机证明⟶2014 年完成形式化——机器能检查的证明

酒桶的极值问题（1615）⟶极值附近一阶项消失⟶微积分里的求极值与今天的最优化

《天文学的光学部分》（1604）⟶视网膜成像与光照的平方反比⟶近代光学与眼镜、相机的成像理论

语录

「仅仅这八分弧，就为我们指出了重修整个天文学的道路。」
—— 《新天文学》（1609）第二部分第十九章。原文说的是：既然神赐给我们第谷这样一位一丝不苟的观测者，就该感谢他，并设法找出真正的轨道

「骰子已经掷下，这本书写成了——是让当代人读，还是让后人读，我都不在乎。它等上一百年才等到一个读者也无妨，毕竟神自己等了六千年，才等到一个看懂他作品的人。」
—— 《世界的和谐》（1619）第五卷序言，写在他发现第三定律之后

「我的目标是说明：天上这台机器不像一个有灵性的活物，倒像一座钟。」
—— 1605 年 2 月 10 日致赫尔瓦特·冯·霍恩堡的信；他接着说，其中几乎所有形形色色的运动都由一种极简单的力引起