Christiaan Huygens · 1629–1695

惠更斯

他要的是一口在海上也走得准的钟，于是顺手把摆线、概率与光都算了一遍

T = \pi \sqrt{\frac{r}{g}}

摆线上的等时性 · 从哪儿放手都一样快到底，与振幅无关

惠更斯 1629 年生于海牙的一个外交与文学世家。父亲康斯坦丁是荷兰执政的秘书，也是诗人，笛卡尔是家里的常客——十六岁的惠更斯把自己的几何习作寄给笛卡尔看过。他在莱顿学法律，同时跟范·斯霍滕学数学；二十出头就开始自己磨镜片，1655 年用自制的望远镜发现了土星最大的卫星，第二年解开了困扰伽利略四十多年的谜：土星那对时有时无的「耳朵」，是一圈不与本体相接的扁环。

此后四十年，他做的事看似散，其实都绕着同一个目标：一口在海上也走得准的钟。要钟走得准，摆的周期就不能随振幅变，于是他证明了摆线是等时曲线，并用摆线形的「腮」去约束摆绳；由此又推出渐屈线、振荡中心与离心力公式，全部写进 1673 年的《摆钟论》——那是《原理》之前最重要的一本力学书。1657 年他写下第一本印出来的概率论小册子，把期望定义成「一场赌局值多少钱」；1690 年的《光论》提出波前上每一点都是新的子波源，用它推出了折射定律，也解释了冰洲石的双折射。1666 年起他在巴黎科学院，1672 年教过一个二十六岁的德国人数学——那人叫莱布尼茨。1695 年他死于海牙；遗著《宇宙理论》里，他认真讨论别的行星上会不会有人。

卡斯帕·内切尔绘，1671 · Wikimedia Commons，公有领域

生平

1629
生于海牙
4 月 14 日。父亲康斯坦丁是执政的秘书与诗人，笛卡尔是家中常客。
1655
发现土卫六
用自己磨的镜片装出的望远镜。他把这件事也写成了字谜发表。
1656
解开土星的「耳朵」
字谜写着：它被一个环围绕，薄、平、与本体不相接触、对黄道倾斜。
1657
《论赌博中的计算》
第一本印出来的概率论著作。「期望」这个概念在这本书里被写定。
1657
摆钟
同年申请专利。此前最好的钟每天差一刻钟，摆钟把误差压到十秒上下。
1659
摆线是等时曲线
从任意高度放手，到底所用时间相同——他因此用摆线形的「腮」去约束摆绳。
1666
去巴黎
法国科学院创院院士，此后十五年住在巴黎。
1672
教莱布尼茨数学
那年莱布尼茨二十六岁，来巴黎办外交，随后几年里学会了他此后要用的全部工具。
1673
《摆钟论》
等时曲线、渐屈线、振荡中心与离心力 v²/r 都在这一本里。《原理》之前最重要的力学书。
1690
《光论》
波前上每一点都是新的子波源；由此推出折射定律，并解释冰洲石的双折射。
1695
卒于海牙
遗著《宇宙理论》1698 年出版，认真讨论别的行星上会不会有居民。

展品厅

绝大多数展品都可以亲手把玩——这是本馆的立馆之本；少数以叙述为主的，做成故事展签。

镇馆之宝 · 亲手玩

从哪儿放手，都同时到底

普通的摆，摆得大就慢一点；换成摆线，快慢一模一样。

y = \frac{s^2}{16r} \quad \Rightarrow \quad T = \pi \sqrt{\frac{r}{g}}

伽利略以为摆是等时的：摆得大一点小一点，来回一次的时间都一样。这个说法只在小角度下近似成立。演示里把同一条圆弧上三颗珠子从不同高度放开，到底的时间明显不同——二十度放手是 0.5054 秒，五十度是 0.5265 秒，八十五度是 0.5807 秒，前后差了近一成五。对钟来说这是致命的：摆幅会随发条松紧、随温度变，钟就跟着快慢不定。惠更斯 1659 年找到了那条真正等时的曲线：「摆线」——一个圆沿直线滚动时，圆周上一点画出的轨迹。把它倒过来当作滑道，从任意高度放手，到底的时间完全相同。道理可以一眼看穿：沿摆线量弧长 s（从最低点算起），高度正好是 s²/(16r)，于是恢复力与 s 成正比——这就是简谐振动，而简谐振动的周期与振幅无关。四分之一周期是 π√(r/g)，取 r = 1 米是 1.0030 秒；演示里三颗珠子的到底时间都是 1.00303 秒，小数点后五位一致。他接着做了更漂亮的一步：要让摆锤走摆线，只需在摆绳两侧各放一片摆线形的「腮」——因为摆线的渐屈线还是摆线。这是「渐屈线」这个概念第一次派上用场。

同一高度并排放手：圆弧上的珠子先后到底，摆线上的三颗同时到

时间 0.868 秒

伽利略以为摆是等时的——摆幅大一点小一点，来回一次的时间都一样。这只在小角度下近似成立：演示左边，圆弧上三颗珠子从不同高度放手，到底的时间明显不同（20° 放手 0.5054 秒，85° 放手 0.5807 秒）。对钟来说这是致命的，因为摆幅会随发条松紧与温度变化。惠更斯 1659 年找到了真正等时的那条曲线：摆线—— 一个圆沿直线滚动时圆周上一点画出的轨迹。倒过来当滑道，沿曲线量的弧长 s 与高度满足 y = s²/(16r)，恢复力正比于 s，于是运动是严格的简谐振动，周期与振幅无关：π√(r/g)。他接着做了更漂亮的一步：要让摆锤走摆线，只需在摆绳两侧各放一片摆线形的「腮」，因为摆线的渐屈线还是摆线——「渐屈线」这个概念第一次派上用场，就是在这里。

波前上每一点，都是新的波源

一条画图的规矩，把折射、反射与衍射一起解释掉了。

\frac{\sin i}{\sin r} = \frac{v_1}{v_2}

光是什么？牛顿说是粒子，惠更斯说是波。1690 年的《光论》里他给出一条作图规矩，今天叫惠更斯原理：「波前上的每一点都可以看作一个新的子波源」，下一时刻的波前就是所有子波的公切面（包络）。这条规矩看着朴素，威力却很大。演示里把它用在两种介质的界面上：上面的介质里子波每一步走 v₁，下面走 v₂；同一段时间里下面的子波走得短，包络就被扳向法线一侧。量一量入射角与折射角，sin i / sin r 恰好等于 v₁/v₂——这就是折射定律。请注意它给出的是一个可以被检验的预言：「光在密介质里应当走得更慢」。牛顿的粒子说要解释同样的折射，必须假设光在水里更快。1850 年傅科在实验室里量出水中光速更慢，这场争论才算了结。惠更斯还用同一条规矩解释了冰洲石的双折射——他假设晶体里还有一支椭球形的子波，于是一束光进去分成两束。今天从声呐、地震波到天线设计，画波前用的仍是这条两百多年前的规矩。

入射角 42°v₂ / v₁ = 0.67

光是什么？牛顿说是粒子，惠更斯说是波。1690 年的《光论》里他给出一条画图的规矩，今天叫惠更斯原理：波前上的每一点都可以看作一个新的子波源，下一时刻的波前就是所有子波的公切面。把它用在两种介质的界面上：下面走得慢，同一段时间里子波走得短，包络就被扳向法线一侧—— 量一量入射角与折射角，sin i / sin r 恰好等于 v₁/v₂，这就是折射定律。要紧的是它给出一个可以被检验的预言：光在密介质里应当更慢。牛顿的粒子说要解释同样的折射，必须假设光在水里更快。 1850 年傅科在实验室里量出水中光速更慢，这场争论才算了结。惠更斯还用同一条规矩解释了冰洲石的双折射；今天从声呐、地震波到天线设计，画波前用的仍是这条两百多年前的作图法。

土星的「耳朵」是一圈环

伽利略看见它、又看见它消失，四十多年没人说得清；惠更斯用一句字谜给出了答案。

B(t) = \arcsin\left(\sin 26.73^\circ \cdot \sin\frac{2\pi t}{29.46}\right)

1610 年伽利略把望远镜对准土星，看见它两侧各有一个附属物，他说土星「有三个身体」。两年后再看，那对「耳朵」不见了；又过两年，它们回来了。这件事困扰了天文学家四十多年。惠更斯 1655 年用自己磨的镜片装出更好的望远镜，第二年给出答案：土星被一圈「薄的、平的、与本体不相接触、对黄道倾斜的环」围着。环随土星公转而改变朝向：正对我们时最开阔，侧对我们时薄得看不见——伽利略那两年看见的「消失」，正是环平面扫过地球的时刻。演示按这个模型走：土星绕日一圈 29.46 年，自转轴倾斜 26.73 度，于是环的张角在 ±26.7 度之间来回，每 14.7 年穿越一次零点。把年份拖到 1612，环正好侧对——伽利略看见的就是那一次。惠更斯当年没有直接公布结论，而是发表了一串字母的字谜（这是那个年代占先权的通行做法），三年后才在《土星系统》里解开：Annulo cingitur, tenui, plano, nusquam cohaerente, ad eclipticam inclinato。

年份 1628.0

1610 年伽利略把望远镜对准土星，看见它两侧各有一个附属物，说土星「有三个身体」；两年后那对「耳朵」不见了，再过两年又回来。这件事困扰了天文学家四十多年。惠更斯 1655 年用自己磨的镜片装出更好的望远镜，第二年给出答案：土星被一圈薄的、平的、与本体不相接触、对黄道倾斜的环围着。环随土星公转改变朝向，正对我们时最开阔，侧对我们时薄得看不见—— 伽利略看见的「消失」，正是环平面扫过我们视线的时刻。演示按这个模型走：绕日一周 29.46 年，轴倾 26.73°，于是每 14.7 年穿越一次。惠更斯当年没有直接公布结论，而是先发表了一串字母的字谜（那个年代占先权的通行做法），三年后才在《土星系统》里解开：Annulo cingitur, tenui, plano, nusquam cohaerente, ad eclipticam inclinato。

光速第一次有了数字

木星的卫星食提前或推迟，早晚差出二十二分钟——那不是卫星不准，是光在路上。

c = \frac{2 \times \text{日地距离}}{\text{延迟}}

木卫一每 42.5 小时被木星食一次，时刻本该像钟表一样准。1676 年罗默发现它不准：地球靠近木星的那几个月，食提前；远离的那几个月，食推迟，前后差出约二十二分钟。他给出的解释是：这二十二分钟是光穿过地球轨道直径所多花的时间。惠更斯 1690 年在《光论》里接过这个数，配上当时刚测出的日地距离，第一次算出了光速——按他的说法，光每秒钟走十六又三分之二个地球直径，换成今天的单位约二十一万公里每秒。这个数只有真值的三分之二，而错的地方不在日地距离（卡西尼 1672 年量的已经相当准），在那二十二分钟：今天测得的穿越时间是 16.6 分。演示让你分别拨这两个输入——延迟和日地距离——看结果怎么变：拨到 16.6 分与今天的日地距离，出来的就是 29.98 万公里每秒。要紧的不是他算错了多少，而是「光速第一次成了一个有限的、可以量的数」。在此之前，包括笛卡尔在内的许多人认为光的传播是瞬时的。

延迟 22.0 分日地距离 1.400 亿公里

木卫一每 42.5 小时被木星食一次，时刻本该像钟表一样准。1676 年罗默发现它不准：地球靠近木星的那几个月，食提前；远离的那几个月，推迟，前后差出约二十二分钟。他的解释是：这段差值是光穿过地球轨道直径多花的时间。惠更斯 1690 年在《光论》里接过这个数，配上当时刚测出的日地距离，第一次算出了光速——按他的说法，光每秒走十六又三分之二个地球直径，约合二十一万公里每秒。这个数只有真值的三分之二，而错的地方不在日地距离（卡西尼 1672 年量的已经相当准），在那二十二分钟：今天测得的穿越时间是 16.6 分。演示里两个输入都可以拨，拨到今天的数就得到 29.98 万公里每秒。要紧的不是他算错了多少，而是光速第一次成了一个有限的、可以量的数—— 在此之前，包括笛卡尔在内的许多人认为光的传播是瞬时的。

一场赌局值多少钱

他把「期望」写定成一个可以交易的价格：你愿意花多少钱买下这个机会。

E = \frac{p \cdot a + q \cdot b}{p + q}

1655 年惠更斯到巴黎，听说了帕斯卡与费马通信讨论的那些赌局问题，却没拿到他们的解法。回国后他自己重做了一遍，1657 年写成《论赌博中的计算》——「第一本印出来的概率论著作」，此后半个世纪里它就是这门学问的教科书。他的出发点不是「概率」，而是「价格」：如果我有同等的机会得到 a 或得到 b，那么这个机会对我值 (a+b)/2，因为我可以和另一个人订一个公平的对赌合同，把它换成这个确定的数。由此推出一般的公式：p 次机会得 a、q 次机会得 b，价值就是 (pa+qb)/(p+q)。这正是今天的期望值，而「期望」（expectatio）这个词也是从这本书传下来的。演示里可以自己调一局赌博的赔付与机会数，左边按他的办法算出价格，右边用固定种子的随机数真抽一万次看平均值往哪儿走——两个数会越走越近，而「为什么一定会靠近」要再等半个世纪，由雅各布·伯努利的大数定律回答，馆里那件展品讲的正是它。书末他留了五道题给读者，其中第五题（赌徒破产问题）后来被伯努利、棣莫弗反复咀嚼，成了随机过程的起点。

机会 3 : 2赔付 a = 7赔付 b = 2抽 10000 次

1655 年惠更斯到巴黎，听说了帕斯卡与费马通信讨论的赌局问题，却没拿到解法。回国后他自己重做了一遍，1657 年写成《论赌博中的计算》——第一本印出来的概率论著作，此后半个世纪都是这门学问的教科书。他的出发点不是「概率」，而是价格：如果我有同等机会得到 a 或 b，这个机会值 (a+b)/2，因为可以订一个公平的对赌合同把它换成这个确定的数；一般地，p 次机会得 a、q 次机会得 b，值 (pa+qb)/(p+q)。这正是今天的期望值，而「期望」这个词也是从这本书传下来的。右边用固定种子真抽一万次：运行平均越走越贴近那条虚线。至于「为什么一定会靠近」，要再等半个世纪，由雅各布·伯努利的大数定律回答—— 馆里他那件展品讲的正是这件事。书末惠更斯留了五道题给读者，其中赌徒破产问题后来被反复咀嚼，成了随机过程的起点。

海上的那口钟

他把钟做准了，可船一晃，摆线的「腮」就没用了。

十七世纪的航海有一个要命的问题：经度。纬度看星高就行，经度却要比较「船上的时刻」与「出发港的时刻」——差一小时就是十五度。这需要一口在海上也走得准的钟。惠更斯的摆钟把陆地上的误差从每天一刻钟压到十秒上下，于是他理所当然地想到海上：1662 年起，他的钟被装上船试航了好几次。结果并不好。船的摇晃让摆幅忽大忽小，摆线形的「腮」在纸面上完美，在甲板上却因为摩擦与绳子的伸缩失效；风浪一大，钟干脆停摆。他后来改用弹簧游丝、又试过三角摆，都没有真正解决。这道题最终由英国钟表匠哈里森在 1761 年用完全不同的思路解决——不是摆，是弹簧与精巧的补偿装置，H4 在八十一天的航程里只差五秒。所以这一栏留下的是另一件事：「一个理论上完美的解，可能在真实的甲板上一无是处」。惠更斯从这道题里得到的东西却没有白费——为了让钟走准，他证明了等时曲线、发明了渐屈线、算出了离心力，这些都写进了《摆钟论》，而牛顿正是从那本书里拿走了离心力的公式。

故事展签故事展签：一口在陆地上准到十秒的钟，到了海上停摆。

传承

他的工作没有留在十八世纪——每条链的终点，都是你今天正在使用的东西。

摆线是等时曲线（1659）⟶渐屈线与摆钟的「腮」⟶微分几何里的渐屈线与渐伸线

离心力 v²/r（1659 得出，1673 发表）⟶牛顿据此算平方反比⟶今天每一次弯道与轨道的受力计算

惠更斯原理：子波的包络⟶菲涅耳补上相位与干涉⟶衍射计算、天线设计、地震波与声呐成像

《论赌博中的计算》（1657）⟶期望值成为概率论的第一块砖⟶保险定价、期望效用与今天的风险计算

罗默的二十二分钟⟶他算出第一个光速数字⟶光速成为可测的物理常数，最终成为米的定义

摆钟（1657）⟶航海经度与天文授时⟶石英钟与原子钟：把时间做准这条路的起点

语录

「它被一个环围绕：薄、平、与本体不相接触、对黄道倾斜。」
—— 1656 年以字谜形式发表（aaaaaaa ccccc d eeeee g h iiiiiii llll mm nnnnnnnnn oooo pp q rr s ttttt uuuuu），1659 年在《土星系统》里解开。拉丁原文：Annulo cingitur, tenui, plano, nusquam cohaerente, ad eclipticam inclinato

「如果我有同等的机会得到 a 或得到 b，那么这个机会对我值 (a+b)/2。」
—— 《论赌博中的计算》（1657）命题一。他的论证是造一个公平的对赌合同，把不确定的机会换成一个确定的价格

「光是以球面波的方式传开的：发光体上每一个小区域都是一个中心，从那里发出它自己的波。」
—— 《光论》（1690）第一章。下一时刻的波前，就是这些子波的公切面