Nicole Oresme · 约1320–1382

奥雷姆

他把「变化」画成了一块面积，比笛卡尔的坐标早三百年

s = \frac{v_0 + v_1}{2}\, t

平均速度定理 · 约 1350 年，巴黎 · 他用一个翻过来的三角形证完

奥雷姆约 1320 年生于诺曼底，出身不详，多半并不富裕：1348 年他以神学生的身份出现在巴黎大学纳瓦拉学院的名册上，那是专收清寒学生的学院。1356 年他当上了学院院长。十四世纪中叶的巴黎是欧洲的学问中心，也是黑死病刚刚扫过的城市；他在这里写下了几乎全部数学著作，而且大多只是手稿，印刷术还要再等一百年。他后来成了太子、也就是未来的查理五世的顾问。国王请他把亚里士多德的《伦理学》《政治学》《经济学》《论天》译成法文，他译的时候造了一大批法语词，其中不少今天还在用。1377 年他出任利雪主教，五年后死在那里。

他的数学总是从一个具体的疑问长出来。一个变化的量能不能画出来？他让底边代表时间、竖线的高低代表那一刻的强度，于是匀加速成了梯形，走过的路成了面积——用一个翻过来的三角形就证完了平均速度定理，三百年后伽利略画的是同一张图。一个无穷的和能不能没有尽头？他把 1 + 1/2 + 1/3 + … 按 2 的幂分组，每组都不小于 1/2，于是证明它加不到头。比例能不能取一半？他给「比例的几分之几」定下写法和规则，这就是分数指数；顺着这条路，他又论证天体运动的周期比多半是无理数，天空不会精确重演，占星术的精确预言无从谈起。他还写了一部《论货币》，说钱不是国王的私产，暗中降低成色等于偷窃。1377 年的《天与地之书》里，他把「地球在转」的每一条反驳都驳倒了，最后却说自己仍相信是天在转。

《天球论》卷首插图 · 法国国家图书馆 fr. 565 第 1 叶正面，约 1400–1420 年，Wikimedia Commons，公有领域。《天球论》是他用法文写的天文入门书。画中他坐在书桌前写字，旁边立着一架浑天仪。这幅画作于他去世后一代人，谈不上写生，但是为他的书画的，比后世任何想象画都离他更近。

生平

约1320
生于诺曼底
出生地多半在卡昂附近，确切地点与年份都没有记载。
1348
巴黎大学纳瓦拉学院
以神学生身份出现在名册上。纳瓦拉学院收的是家境清寒的学生。
约1350
《论质与运动的构形》
把强度随时间或位置的变化画成图形：底边是「经度」，竖线是「纬度」。
约1350
《欧几里得几何问题集》
调和级数发散的证明就在这里。手稿直到二十世纪才被整理出版。
约1350
《比例算法》与《论比例的比例》
分数次的比例第一次有了写法与运算规则。
1356
纳瓦拉学院院长
同一年取得神学硕士（一说为博士）学位。
约1358
《论货币》
法国钱币成色一改再改的年代。他说货币属于共同体，君主私改成色是一种盗窃。
1360年代
未来的查理五世的顾问
查理 1364 年即位。此后几十年法国钱币相对稳定，史家常把这一点与他的主张联系起来。
1370
法译《伦理学》
奉查理五世之命。随后又译了《政治学》《经济学》，为此造了大批法语新词。
1377
《天与地之书》；出任利雪主教
译注亚里士多德的《论天》，在注里论证地球的周日自转无法被驳倒。
1382
卒于利雪
7 月 11 日。葬在利雪主教座堂。
1543
哥白尼《天体运行论》
地球自转与船上看岸的比方又出现了一次。没有证据表明哥白尼读过奥雷姆。
1638
伽利略《两门新科学》
第三天定理一证明匀加速的路程，画的是同一个三角形与矩形。
1650
门戈利重新证明调和级数发散
此时奥雷姆的证明已在手稿里躺了三百年。1689 年伯努利兄弟又证了一遍。

展品厅

绝大多数展品都可以亲手把玩——这是本馆的立馆之本；少数以叙述为主的，做成故事展签。

镇馆之宝 · 亲手玩

把变化画成一块面积

底边是时间，竖线是速度，面积就是路程——匀加速的梯形翻过一个三角形，就成了矩形。

s = \frac{v_0 + v_1}{2}\, t

十四世纪的学者已经在争论「运动的快慢怎么度量」。牛津默顿学院的几位计算者在 1330 年代用文字推出了一条规则：从静止匀加速走一段时间，路程等于一直按中点那一刻的速度走同样长的时间。几页文字，不好懂。奥雷姆在《论质与运动的构形》里换了一个办法：画出来。他让一条底边代表时间（他叫「经度」），在每一刻竖一根线，线的高低代表那一刻的速度（他叫「纬度」）——这两个词借自地理，今天的坐标就是这两根轴。于是匀速是一个矩形，匀加速是一个梯形，路程就是整块图形的面积。平均速度定理立刻一目了然：把梯形上面多出来的三角形，沿中点翻下来，正好补上左下角缺的那一块，梯形变成了高度等于中点速度的矩形。同一种画法还能处理无穷：苏伊塞思问过，前一半时间速度为 1、下一个四分之一为 2、再下一个八分之一为 3……一直下去，总共走多远？竖着算是一个无穷级数 Σ n/2ⁿ；奥雷姆把这块阶梯横着切成一层层，每层面积依次是 1、1/2、1/4……一眼就看出总和是 2。他没有写方程，也没有把曲线当成代数对象，这一步要等笛卡尔；但「拿一张图表示一个量怎样随另一个量变化，面积有意义」这个念头，是他先有的。三百年后伽利略证明落体走过的路程与时间的平方成正比，《两门新科学》第三天定理一画的，还是这个三角形和矩形。

选匀速、匀加速或阶梯，看面积怎样等于路程，两辆车怎样同时到达

起始速度 1末速度 5

奥雷姆把一个变化的量画成一张图：底边是时间，每一刻竖一根线，线的高低是那一刻的速度。这样一来，走过的路程就是整块图形的面积。匀加速画出来是一个梯形—— 把上面那个三角形沿中点翻下来，正好补成一个矩形，于是路程等于「中点速度 × 时间」。牛津的计算者们用几页文字才推出来的平均速度定理，他一张图就证完了；三百年后伽利略证落体定律，用的还是这张图。点「阶梯」：同一种画法还能把一个无穷级数横着切开，看出它加起来正好是 2。

调和级数加不到头

每一项都趋于零，和却没有尽头。按 2 的幂分组，每组都不小于二分之一。

1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots = \infty

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … 每一项都越来越小，小到趋于零。那么加起来有没有尽头？直觉说有：几何级数 1 + 1/2 + 1/4 + … 也是项越来越小，它的和就是 2。奥雷姆在《欧几里得几何问题集》里给出了否定的回答，证明只用一个念头：按 2 的幂分组。第一组 1/3 + 1/4，两项都不小于 1/4，所以合起来不小于 1/2；下一组 1/5 到 1/8，四项都不小于 1/8，合起来也不小于 1/2；再下一组八项，每项不小于 1/16，还是不小于 1/2……分多少组，就有多少个 1/2，要多大有多大，所以这个和没有尽头。今天每一本微积分教材讲级数发散，第一个例子就是它，证法也几乎一字不改。这个结论难在反直觉：「项趋于零」不足以让和收敛，差一点点的速度就是有限与无限的分界——1/n² 的和是有限的，1/n 的就不是。它发散得又极慢：要加到一万两千三百六十七项，和才第一次超过 10；要超过 100，得加大约 10⁴³ 项。奥雷姆的证明留在手稿里，没有流传开；1650 年门戈利、1689 年伯努利兄弟都各自重新证了一遍，并不知道十四世纪已经有人做过。

分几组 4（16 项）

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … 每一项都在变小、趋于零，和却没有尽头。奥雷姆的证明只用一个念头：按 2 的幂分组。1/3 + 1/4 不小于 1/4 + 1/4 = ½；1/5 到 1/8 这四项不小于四个 1/8，也是 ½；下一组八项，还是不小于 ½……要多少个 ½ 就有多少个，所以加不到头。拖滑块看每组实际加出来多少——都略大于那根 ½ 的刻度线。它涨得慢得出奇：加到 10 要一万两千多项。这个证明在他的手稿里躺了三百年，1650 年和 1689 年又被人各自重新发现。

比例的比例：分数指数

「2:1 的一半」是 √2 : 1。他第一次给这种分数次的比例定下写法——3:2 却不是 2:1 的任何几分之几。

\left(2:1\right)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2} : 1

中世纪的学者把「比例」当成一种能相加的量：先放大一倍、再放大一倍半，合起来是放大三倍，他们说 2:1 加 3:2 等于 3:1——今天看，这其实是乘法。既然能加，就能问「一半」：2:1 的一半，是那个自己跟自己合起来正好等于 2:1 的比例，也就是 √2 : 1；2:1 的三分之二，是 2 的 2/3 次方。奥雷姆在《比例算法》里第一次给这类分数次的比例定下写法和运算规则，实际上就是分数指数的运算律，比后来通行的写法早了两百多年。他在《论比例的比例》里又往前走了一步：有的比例是另一个比例的几分之几，有的根本不是。比如 3:2 就不是 2:1 的任何分数次，因为 2 的任何分数次幂都不会等于 3/2。音乐里天天撞见这件事：八度是 2:1，纯五度是 3:2，钢琴的十二平均律把八度均分成十二份，每份是 2 的 1/12 次方，于是五度只能取 2 的 7/12 次方，比纯五度低 2 音分；分成 53 份能逼近到 0.07 音分，可永远差一点。十二个纯五度叠起来，总比七个八度多出 23.46 音分——这个「毕达哥拉斯音差」，就是 3:2 与 2:1 不可公度的声音。

分子 p = 7分母 q = 12

中世纪把「比例」当成能相加的量：先放大一倍、再放大一倍半，合起来是放大三倍——其实是相乘。那「2:1 的一半」是什么？是自己跟自己合起来正好等于 2:1 的那个比例，也就是 √2。奥雷姆第一次给这种「比例的几分之几」定下写法与运算规则，这就是分数指数。他还看出，有的比例根本不是另一个比例的几分之几：纯五度 3:2 不是八度 2:1 的任何分数次。拖分母试试：12 份时差 2 音分，53 份时差 0.07 音分，可永远差一点——十二个纯五度叠起来，总比七个八度多出 23.46 音分。钢琴只好取「平均律」，每个五度都悄悄调低一点。

天空会不会重演

两个周期之比是分数，天空就会回到原样；是无理数，就永远回不去。他论证后一种可能大得多。

\frac{\omega_1}{\omega_2} \notin \mathbb{Q}

占星家相信天空隔一段时间会精确回到原样——所谓「大年」，那时一切星位重合，历史跟着重演，所以星位可以用来精确预言。奥雷姆拿数学来审这件事。两个天体沿圆周转，快的每追上慢的一次叫一次「合」。如果两者的转速之比是分数 p/q，合只会发生在圆上有限几个位置，然后一遍遍重复，整个天空确实会回到原样；如果比值是无理数，合的位置永远不重复，迟早把整个圆铺满，天空再也回不到任何一刻的样子。那么天上的周期比到底是哪一种？没人量得出来——任何观测都有误差，分数和无理数挨得再近也分不开。奥雷姆在《论天体运动的可公度与不可公度》里给出一个带着概率味道的论证：随手取一批比例，其中能互相公度的很少，不可公度的多得多，所以天体运动多半不可公度。结论是天空不会精确重演，精确的占星预言也就不可能。这是一个非常早的「几乎所有的数都是无理数」式的论证，也是拿数学去拆一门伪学问的早期例子。他在《占卜之书》里还直接批评占星术，说它让君主做出糟糕的决定。有意思的是，他并不否认天体对地上有影响，他否认的是算得准。

两个天体在同一个圆上转，快的每追上慢的一次，就在圆上相合的地方记一个点。转速之比是分数 p/q 时，点只有有限几个，此后一遍遍重复——天空隔一段时间就回到原样，占星家说的「大年」、「历史会重演」才有着落。比值是无理数时，点永不重复，迟早铺满整个圆。奥雷姆的论证是：随手取两个比例，不可公度的可能远大于可公度，所以天体运动多半不可公度，天空不会精确重演，精确的占星预言也就无从谈起。对比 13/8 和黄金比：两个数只差 0.007，测量上几乎分不出来，可前者只有 5 个合点，后者一个也不重复。

地球也许在转

他把「地球自转」的反驳一条条驳倒，然后说：人人都认为是天在转，我也这么认为。

1377 年，奥雷姆奉查理五世之命把亚里士多德的《论天》译成法文，并在译文里夹了大段自己的评注，合成《天与地之书》。其中一章讨论：每天转一圈的，是整个天，还是地球？他先说明，光凭观测分不出来——就像坐在一条船上看另一条船，分不清是它在退还是自己在进；天向西转一圈，与地向东转一圈，地面上的人看到的星空每一刻都一样。接着他逐条驳反对意见。有人说地球要是转，往上射的箭该落在射手西边；他答，箭、空气和射手都随地球一起转，所以箭落回原处。有人说圣经里写着太阳停住；他答，圣经是照着常人的说法讲话。他还加了一条正面的理由：让一个小小的地球每天转一圈，比让整个巨大的天球每天转一圈要简单得多。论证到这里，天平完全倒向地球自转。然后他写道：然而人人都认为、我也认为，是天在动而不是地在动。他说这番论证的用处，是让那些想用理性攻击信仰的人看到，理性自己也可能被带到相反的地方。一百六十多年后，哥白尼走完了另一半，用的也有船与岸的比方；不过没有证据表明哥白尼读过奥雷姆的书。同一本书里还有一个后来很有名的比方：上帝造好天之后让它自己运行，就像一个人造好一座钟，让它自己走下去。

左边，地球不动，整个天球每天向西转一圈；右边，天球不动，地球每天向东自转一圈。看下面两条——站在地上的人看到的星空每一刻都一模一样。奥雷姆 1377 年在《天与地之书》里一条条推下去：光凭观测，谁也证明不了是天在转而不是地在转。有人说地球要是转，往上射的箭该落在西边——他答，箭、空气和人都跟着地球一起转，就像坐在船上的人分不清是自己在走还是岸在退。他把所有反驳都驳倒了，最后却写道：人人都认为是天在动，我也这么认为。一百六十多年后哥白尼走完了另一半，但没有证据表明他读过奥雷姆。

钱不是国王的

暗中降低钱币的成色，比放高利贷还坏——十四世纪一位主教这样对国王说。

十四世纪中叶，法国王室缺钱缺得厉害：百年战争打起来了，1356 年普瓦捷一战国王约翰二世被英军俘虏，赎金高得离谱。王室最方便的办法是改钱：收回旧币，铸成含银更少的新币，面值不变，差价就进了国库。那些年法国钱币的成色改了又改，有时一年改好几次。奥雷姆在《论货币》里正面反对这件事。他的论证从货币是什么讲起：钱是为了交换方便而发明的工具，属于使用它的整个共同体，不属于君主；君主在钱上盖印，只是替大家担保成色与分量。既然如此，暗中减少成色就是拿走了别人的东西，是一种盗窃，而且比高利贷更坏——高利贷至少是对方自愿的。他还分析了后果：官定的金银比价一旦定得不合实际，价值被低估的那种好钱就会被人熔掉或运出国去，市面上只剩坏钱。这就是后来所谓「劣币驱逐良币」，比格雷欣早两百年，因此有人把它叫奥雷姆—格雷欣定律。他也不主张钱永远不能改，而是说真有必要时，应当由共同体来决定，而不是君主一人。查理五世即位后，法国的钱币有过相当长一段稳定时期，不少史家认为奥雷姆的主张起了作用。一百多年后，哥白尼也写过一篇论铸币的文章（1526），提出了几乎一样的观点。

故事展签故事展签：一篇论货币的小册子，说出了「劣币驱逐良币」。

传承

他的工作没有留在十八世纪——每条链的终点，都是你今天正在使用的东西。

构形图：时间为底，强度为高⟶伽利略用同一个三角形证落体定律⟶笛卡尔的坐标与今天的每一张函数图

面积＝路程⟶牛顿与莱布尼茨：积分是面积，导数是斜率⟶微积分基本定理

调和级数按 2 的幂分组⟶门戈利与伯努利兄弟的重证⟶级数收敛的比较判别法

「比例的几分之几」⟶沃利斯与牛顿把它写成 a 的 p/q 次方⟶十二平均律与 2 的 1/12 次方

不可公度的天体运动⟶「几乎所有比值都是无理数」⟶遍历理论与圆周旋转

《论货币》：钱属于共同体⟶哥白尼与格雷欣的铸币论⟶「通货膨胀是一种隐性税」

语录

「然而人人都认为、我自己也认为，是天在动而地不动……尽管有上面那些相反的理由。」
—— 《天与地之书》第二卷第二十五章，1377 · 前面几页他刚把「地球自转」的反驳全部驳倒

「这就好比一个人造好了一座钟，让它自己走下去、一直走下去。」
—— 《天与地之书》，1377 · 说上帝造天之后天自己运行。「宇宙是一座钟」这个比方后来成了机械论的标志

「我认为，君主自称有权改动钱币，其主要和最终的原因，是为了从中获利。」
—— 《论货币》，约 1358 · 英译本转译