Diophantus of Alexandria · 约200–约284
在他之前，方程是解题的手段；从他起，方程本身成了题目
关于丢番图这个人，可靠的只有三件事：他住在亚历山大里亚，写了一部《算术》，年代大约在三世纪中叶——他引用过公元前二世纪的许普西克勒斯，又被四世纪的席恩引用，所以只能夹在这两端之间。其余全部来自一首收在《希腊诗文选》里的墓志铭：它把他的一生编成一道方程，解出来是八十四岁。生平就这么多，连这首诗是不是真的写他都没人担保。
《算术》与同时代的书都不一样。《原本》讲形，《九章》讲用，而这本书一百三十道题，题题只问数：找出满足某个条件的数，而且只认正的有理数——遇到解是负数的方程，他直接判为「荒谬」。它划时代的地方有两处。一是记号：未知数写作 ς，平方写作 Δ、立方写作 Κ，还有一个专门的减号——代数第一次从整句的话缩成了符号，虽然离韦达用字母写「任意一个数」还差一千三百年。二是方法：他习惯只设一个未知数，靠对称把另一个消掉；又常常在一条曲线上从一个已知的有理点出发，作一条直线去截它，交点仍是有理点——这一手今天叫弦法，是椭圆曲线理论的祖宗。十三卷只存下六卷希腊文，1968 年又在马什哈德找到四卷阿拉伯文译本。
生卒年皆为推算。全部依据是墓志铭里的八十四岁，加上他引用许普西克勒斯、又被席恩引用这两个端点。
原十三卷，题献给一位名叫狄奥尼修斯的人。开篇说明他要「从这门学问赖以建立的基础讲起」。
两数和 20、积 96，他不设两个未知数，而设 10 加 x 与 10 减 x——对称一上来就消掉一个。
用弦法求出 16 = (16/5)² + (12/5)²。一千四百年后，费马在这一题的页边写下了他那行著名的话。
无任何记载。
梅特罗多罗斯所编的算题集里，第 126 首把他的一生写成一道方程。
他在讲演里说：这里藏着「全部算术之花」，却还没有人把它译出来。
在此之前有 1575 年克桑德的拉丁译本。巴歇这一版是费马手上那本——肖像位放的就是它的扉页。
费马在第二卷第八题旁写道：立方数不能分成两个立方数……我发现了一个真正奇妙的证明，可惜这里的空白太窄。
「给定一个整系数丢番图方程，能否用有限步骤判定它有没有整数解？」
马季亚谢维奇接上戴维斯、普特南、鲁宾逊的工作，证明不存在这样的算法。他的方程成了不可判定性的标准例子。
绝大多数展品都可以亲手把玩——这是本馆的立馆之本；少数以叙述为主的，做成故事展签。
两数和 20、积 96——他不设 x 和 y，而设 10 加 x 与 10 减 x。
《算术》第一卷第二十七题：求两个数，和是 20，积是 96。今天的做法是设两个未知数、列两个方程，再消元。丢番图没有这条路可走——他的记号里只有一个未知数符号 ς，想设第二个也没法写。限制逼出了技巧：既然两数之和已知，就把它们写成 10 加 x 与 10 减 x，和自动等于 20，一个未知数就够了。剩下的是 (10+x)(10−x) = 100 − x² = 96，于是 x = 2，两数是 12 与 8。这一手叫「对称设元」，《算术》里反复出现：和与差、积与商，凡是给了某种对称的题，他都先用对称把未知数的个数压到一个。看上去是权宜之计，其实是代数里一直有效的策略——先用已知的结构把自由度削掉，剩下的才去解。今天解方程组时「用一个参数把一族解写出来」，走的是同一条思路。
在「全用话说」和「用字母写」之间，还有过一种中间状态。
代数的写法经历过三段：先是整句的话（「某数的平方，加上它的十倍，等于三十九」），最后是字母（x² + 10x = 39），中间夹着丢番图这一段——把常用的词缩成记号，但还没有字母。他的未知数写作 ς，平方是 Δ、立方是 Κ，纯数字前面加一个记号表示「单位」，另有一个专门的符号表示相减，等号则写成一个缩略的「等于」。于是一个方程能排成一行符号，而不是一段话。这一步的意义常被低估：有了记号，式子才能被「看」——项与项的对应、两边的相消，都是眼睛先看出来、再动手的。但他的记号有两个天花板：未知数只有一个，没法写第二个；而且记号是词的缩写，不是可以代任意数的字母，所以他永远在解「这一道题」，没法谈「这一类题」。要跨过这两道坎，得等一千三百年后的韦达。
同一个方程，允许分数就有无穷多解，只认整数就可能一个也没有。
「丢番图方程」今天专指只求整数解（或有理数解）的方程，名字就是从他这里来的——尽管他自己要的是正有理数，整数那一支是后人接着走的。把解限制在整数上，方程的性质会彻底改变：4x + 6y = 7 在实数里是一条普普通通的直线，可它一个整数解也没有，因为左边永远是偶数。一般的判据是：ax + by = c 有整数解，当且仅当 a 与 b 的最大公约数整除 c——而求这个最大公约数用的正是欧几里得的辗转相除法，倒推回去还能把一组解直接写出来。所以「整除」这件小事，一下子成了能不能解的关键。这条界线也是后来一切麻烦的源头：解的存在性不再是连续的、可以逼近的，而是要么有、要么没有。
童年占六分之一，又过十二分之一长出胡须……他活了多少岁？
《希腊诗文选》第十四卷第 126 首，是一道以他为题的算题：上帝给他的童年占一生的六分之一，再过十二分之一他长出胡须，又过七分之一他结婚，婚后五年得子；儿子活到父亲寿数的一半便去世，此后老人在悲伤中又过了四年。把这些加起来等于一生：x/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 + 4 = x。通分之后 x = 84。这首诗是我们关于丢番图生平的几乎全部来源——他八十四岁、结过婚、有个儿子并且白发人送黑发人，都只有这一个出处，而它成诗至少比他晚两百年，可信度没人担保。有意思的是它的形式：一个人的生平被写成一道一元一次方程，而且每一段人生都是一个分数——这大概是数学史上最贴切的一块墓碑。
在曲线上找到一个有理点，拿直线去截它，截出来的还是有理点。
《算术》第二卷第八题要把 16 分成两个平方数。丢番图的办法是：在圆 x² + y² = 16 上先看一个显然的有理点，比如 (−4, 0)，然后过它作一条斜率为有理数 t 的直线去截这个圆。直线与圆的两个交点，一个是出发点，另一个必然也是有理点——因为把直线代进圆方程会得到一个二次方程，它已经有一个有理根，两根之和与积都是有理数，那么另一个根也躲不掉。取 t = 1/3 就得到 (16/5, 12/5)，正是他给出的答案。这一手看起来只是技巧，其实是现代数论的起点：把它搬到三次曲线上，「过两个有理点作直线、取第三个交点」就成了椭圆曲线上的加法，是今天研究费马大定理、椭圆曲线密码的基本工具。丢番图当年只是想解一道题，却给出了一个至今还在用的造点机器。
拖动那条直线的斜率，看它从同一个点出发，在圆上截出一个又一个分数坐标
圆上先认一个显然的有理点 (−4, 0)，过它作一条斜率为有理数的直线去截圆。 另一个交点必然也是有理点——把直线代进圆方程得到一个二次方程， 它已经有一个有理根，两根之和与积都是有理数，另一个根就躲不掉。 取 t = 1/3 得到 (16/5, 12/5)，正是《算术》第二卷第八题写下的答案； 换个斜率就换出另一组，无穷无尽。这一手看着只是技巧，其实是现代数论的起点： 搬到三次曲线上，「过两个有理点作直线、取第三个交点」就成了椭圆曲线上的加法—— 今天证费马大定理、做椭圆曲线密码，用的都是它。
希尔伯特第十问题：有没有一个办法，判定任意丢番图方程有没有整数解？
1900 年，希尔伯特在巴黎列出的第十个问题是：给定一个整系数的丢番图方程，要求一个「用有限步骤就能判定它有没有整数解」的程序。注意他连「程序」是什么都还没法定义——那要等到 1936 年图灵把「机械地算」说清楚之后。1970 年，二十二岁的马季亚谢维奇补上了最后一块：接着戴维斯、普特南与朱莉娅·鲁宾逊三十年的工作，他证明了「丢番图方程有整数解」这件事，与「一台图灵机会不会停」一样难——没有任何算法能对所有情形给出答案。于是这个从三世纪的亚历山大里亚传下来的题型，成了不可判定性最具体的样本：它不是自指的怪句子，也不是虚构的机器，而是一个整系数方程，写在纸上，你看得懂每一个符号，却没有通用的办法知道它有没有整数解。哥德尔早就预感到这一点——他说过，要么人的心智无限地超过任何有限的机器，要么就存在绝对无解的丢番图问题。
他的工作没有留在十八世纪——每条链的终点，都是你今天正在使用的东西。
「此墓中安葬着丢番图。他生命的六分之一是幸福的童年，再过十二分之一，双颊长出细髭……」
—— 《希腊诗文选》卷十四第 126 首，约 6 世纪 · 解这道方程得 84——这是我们关于他生平的几乎全部来源
「我要从这门学问赖以建立的基础讲起，把数的性质与它们所含的力量陈述给你。」
—— 《算术》献词，致狄奥尼修斯 · 全书开篇的第一句话
「这是个荒谬的方程。」
—— 《算术》卷五第二题注 · 他指的是 4x + 20 = 4 —— 解是负数，在他眼里就是不合理的