Gerolamo Cardano · 1501–1576

卡尔达诺

他违背了一个誓言，也让代数第一次走出希腊人的边界

x = \sqrt[3]{\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}} - \sqrt[3]{\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}-\frac{q}{2}}

三次方程 x³ + px = q 的解 · 1545 年《大术》

杰罗拉莫·卡尔达诺生于帕维亚，是律师法齐奥的私生子——他父亲精通几何，达·芬奇遇到几何问题会来请教。私生子的出身跟了他大半辈子：拿到医学博士之后，米兰医师公会一连几年拒绝接纳他，理由正是这个，他只好去乡下行医。后来他成了全欧洲最有名的医生之一，写下了斑疹伤寒最早的临床描述，1552 年被请去苏格兰给圣安德鲁斯大主教治哮喘，治好了。他一生写了两百多种书，医学、代数、力学、占星、赌博、梦，什么都写；万向节至今叫「卡丹接头」，你车上的传动轴就用它。

1545 年的《大术》是代数史上的分水岭。希腊人能解的方程到二次为止，此后一千八百年没有进展；这本书一口气给出了三次与四次的一般解法——四次那一套出自他的仆人兼学生费拉里之手。三次方程的解法，是他从塔尔塔利亚那里问来的，问的时候当面立过誓不外传；六年后他在博洛尼亚翻到德尔·费罗二十多年前的手稿，认定自己发誓保守的并不是塔尔塔利亚的东西，于是连同两人的名字一起印了出去。书里还有一处连他自己都嫌别扭的地方：解「把 10 分成两份、使乘积等于 40」时，他写下了 5±√−15，随即评论说这玩意儿「精妙到了无用的地步」——那是负数的平方根第一次被写在纸上。晚年他丧子（长子 1560 年因毒杀妻子被处死），1570 年因给耶稣排星盘被宗教裁判所投入监狱，1576 年卒于罗马。

佚名铜版画，题「Hieronimus Cardanus」· Wikimedia Commons，公有领域

生平

1501
生于帕维亚
律师法齐奥的私生子。父亲精通几何，达·芬奇遇到几何问题会来请教他。
1526
在乡下行医
医学博士到手，米兰医师公会却以私生子的出身把他挡在门外，他去了萨科村。
1539
塔尔塔利亚的誓言
他问出了三次方程的解法，代价是当面立誓不外传。对方把办法写成一首二十五行的隐语诗。
1545
《大术》
三次与四次方程的一般解法，外加一句「精妙到无用」的 5±√−15。代数越过了希腊人的边界。
1548
米兰的公开辩论
塔尔塔利亚来讨说法，卡尔达诺没有露面；去应战的是费拉里，赢了。
1552
远赴苏格兰
给圣安德鲁斯大主教治哮喘，治好了。回程路上各地王公排着队请他看病。
1560
长子被处死
詹巴蒂斯塔因毒杀妻子被判死刑。他后来写道，这是他一生中最重的一击。
约1564
《论赌博游戏》成稿
第一本系统算概率的书：把全部可能的情形数出来，拿有利的去除。手稿压到 1663 年才印。
1570
被宗教裁判所逮捕
罪名是给耶稣排星盘。关了几个月，认罪，此后禁止出版。
1576
卒于罗马
教廷反倒给了他一笔年金。传说他算准了自己的死期——这说法没有同代的依据。

展品厅

绝大多数展品都可以亲手把玩——这是本馆的立馆之本；少数以叙述为主的，做成故事展签。

镇馆之宝 · 亲手玩

解三次方程

两个立方根加减一下，就是那个根。希腊人卡在二次，这里过去了。

x^3 + px = q

二次方程的配方法，巴比伦人就会了；此后一千八百年，三次方程没人解得开。1500 年前后博洛尼亚的德尔·费罗解开了 x³+px=q 这一类，秘不示人；塔尔塔利亚独立又解了一遍；卡尔达诺 1545 年把它连同全部情形一起印进《大术》，还捎上了费拉里解四次的办法。公式长得吓人，可它确实是公式：只用系数、四则运算和开方，有限步之内就把根写出来。这件事的分量要等三百年才被完全看清——伽罗瓦证明了五次方程再也没有这样的公式，而三次、四次能解，正是因为它们的群拆得完。

拨一组系数，看那两个立方根怎样凑出根来，再代回原方程验一遍

p = 9q = 26

x³ + 9x = 26

① 判别式	q²/4 + (p/3)³	196
② 开平方	√①	14
③ 加上 q/2	q/2 + ②	27
④ 减去 q/2	② − q/2	1
⑤ 开立方	∛③ = u	3
⑥ 开立方	∛④ = v	1
⑦ 相减	u − v = x	2

代回去验一遍：x³ + 9x = 26，正是 q。

《大术》里的例子之一，根恰好是整数 2。这就是一条公式：只用系数、四则运算与开方，有限步之内写出根来。1545 年之前，没有人做得到这一点；1830 年之后，人们知道五次方程再也不会有这样的东西。

一个立方体，切开重拼

他没有符号代数可用，这条公式是搬着立方体搬出来的。

u^3 - v^3 = (u-v)\left[(u-v)^2 + 3uv\right]

1545 年还没有今天这套写法：等号要到 1557 年才出现，字母系数要等韦达 1591 年，负数被叫作「假数」，没人愿意用。卡尔达诺手上只有几何——线段、面积、体积。于是解法在《大术》里是一条几何命题：边长 u 的立方体挖掉一个边长 v 的角，剩下的部分能切成三块，每块都有一条边是 u−v，另两条边的乘积分别是 u²、uv、v²。于是 u³−v³ =(u−v)(u²+uv+v²)，而这个括号又等于 (u−v)²+3uv。换句话说，x = u−v 满足 x³+3uv·x = u³−v³。只要让 3uv = p、u³−v³ = q，根就有了；而 u³ 与 v³ 由一个二次方程定出来——三次就这样被降成了二次。他所有的推导都要求量是正的，这也是《大术》为什么要把三次方程分成十三种情形逐一处理。

u = 4v = 1拆开

三块的体积加起来是 64 − 1 = 63，而每块都有一条边是 u−v = 3，另两条边的乘积分别是 u²、uv、v²。所以 u³−v³ = (u−v)(u²+uv+v²)，括号里又等于 (u−v)²+3uv。把 x 记作 u−v，这句话就是：x³ + 12x = 63，而 x = 3。三次方程被降成了定 u³、v³ 的那个二次方程——这就是卡尔达诺手上唯一能用的工具。

把 10 分成两份，乘积是 40

他写下了 5±√−15，然后说：这东西精妙到了无用的地步。

(5+\sqrt{-15})(5-\sqrt{-15}) = 25 + 15 = 40

《大术》第三十七章的一道题。实数里根本办不到——两份之和固定是 10 时，乘积最大只有 5×5=25，离 40 差得远。卡尔达诺没有就此停笔：他照着配方法硬算下去，得到 5+√−15 与 5−√−15，还验算了一遍——和是 10，积是 25−(−15)=40，一分不差。然后他写道：抛开精神上的折磨不谈，这是精妙的，也是无用的。这是负数的平方根第一次被写在纸上。他本人不认为这东西有意义，可它就此留在了纸上；1572 年邦贝利给出了它的运算法则，再往后是欧拉的记号 i、高斯的复平面，然后是交流电、信号处理与量子力学。

第一份 5.0

两份之和固定是 10，乘积最大只有 5×5 = 25（现在是 25.00），怎么分都够不着 40。换成今天的话：判别式是负的，实数里无解。1545 年没有「判别式」这个词，也没有人愿意写负数的平方根—— 他偏偏写了。

三个实根，却非过虚数不可

方程明明有三个实根，公式偏要你先绕一趟虚数。

x^3 = 15x + 4 \quad\Rightarrow\quad x = \sqrt[3]{2+11i} + \sqrt[3]{2-11i}

这才是虚数真正赖着不走的地方。x³ = 15x + 4 有三个实根，其中一个一眼就看得出来是 4。可把系数代进卡尔达诺公式，根号里出来的是 −121：你必须先写下 ∛(2+11i) 与 ∛(2−11i)，两个加起来才是 4。虚部一路都在，到最后一步才互相抵消。这种情形叫「不可约情形」，卡尔达诺绕不过去，只能在书里标出来放着。1572 年邦贝利想通了：把 2+11i 当成一个数，照代数规则开立方，得到 2+i——他自己称之为「一个疯狂的念头」。而三个立方根分支恰好对应三个实根。后来还证明了：三个实根时，任何只用实数开方的公式都写不出它们。虚数不是为了解那些无解的方程才被造出来的，恰恰是为了解那些明明有解的方程。

判别式 = -121

判别式是 −121，小于零，所以根号里必然出现虚数——可这方程的三个根（4.000、-3.732、-0.268）全是实的。这一支给出 ∛(2+11i) = 2.000000 + 1.000000i，与它的共轭相加，虚部抵消，剩下 x = 4.000000。1572 年邦贝利第一个敢这么算，他管这叫「一个疯狂的念头」。后来还证明了：三个实根时，任何只用实数开方的公式都写不出它们——虚数不是为了解无解的方程，恰恰是为了解那些明明有解的方程。

掷骰子

第一本系统算概率的书，是一个赌了四十年的人写的。

P = \frac{\text{有利的情形}}{\text{全部的情形}}

《论赌博游戏》大约成稿于 1564 年，比帕斯卡与费马那场著名的通信早了将近一百年，可它压在抽屉里，直到 1663 年才印出来。书里第一次把「全部可能的情形」当成一个能数的东西：两颗骰子有三十六种落法，点数和为 7 的占六种，所以赔率是六比三十。这一步看着平常，却是概率论的地基——在此之前，赌桌上的赔率靠经验和吵架定。他也栽过跟头：算「掷 n 次至少出一个 6」时，他起先以为拿 1/6 乘上 n 就行，那样掷六次就必中，显然不对；后来他自己改了过来。他在自传里说赌博是他一生最大的毛病，也说是它救过他的命。

三十六种落法，每一种同样可能
甲＼乙	1	2	3	4	5	6
1	2	3	4	5	6	7
2	3	4	5	6	7	8
3	4	5	6	7	8	9
4	5	6	7	8	9	10
5	6	7	8	9	10	11
6	7	8	9	10	11	12

点数和为 7：三十六种里占 6 种，概率 6/36 ＝ 0.1667，赔率 1 比 5。

把「全部可能的情形」当成一个能数的东西——这一步看着平常，却是概率论的地基。1564 年之前，赌桌上的赔率靠经验和吵架定；《论赌博游戏》第一次把它变成了一道除法。这本书压在抽屉里，直到 1663 年才印出来，比帕斯卡与费马的通信晚了九年。

他发过誓不说出去

数学史上最有名的一次背信，也是这套解法留下来的原因。

1535 年，塔尔塔利亚在一场公开较量里击败了德尔·费罗的学生菲奥尔：两人各出三十道题，塔尔塔利亚在赛前夜里想通了 x³+px=q 的解法，一夜之间做完对方三十道，对方一道也没做出来。消息传开，卡尔达诺写信求教，被拒；1539 年两人在米兰见面，卡尔达诺当面立誓绝不外传，塔尔塔利亚这才把办法写成一首二十五行的隐语诗交给他。此后六年，卡尔达诺把它推到了一般情形，费拉里又顺手解出了四次方程，可誓言压着，两人谁也发表不了。转机在 1543 年：他们去博洛尼亚查阅德尔·费罗的遗稿，亲眼看到解法二十多年前就写在那里。卡尔达诺由此认定，自己发誓保守的并不是塔尔塔利亚的发现；1545 年《大术》出版，书里同时写明了德尔·费罗与塔尔塔利亚的名字。塔尔塔利亚暴怒，接连出书痛骂；1548 年米兰那场公开辩论，卡尔达诺没有露面，去应战的是费拉里——他赢了，塔尔塔利亚连夜离开米兰，此后一蹶不振。这件事至今没有定论：他确实违了誓；可若他守着誓，这套办法很可能又要埋没一百年。

故事展签故事展签：一个誓言、一份二十多年前的手稿，和一本改变了代数的书。

传承

他的工作没有留在十八世纪——每条链的终点，都是你今天正在使用的东西。

三次方程的一般解法⟶费拉里的四次方程⟶伽罗瓦：五次方程没有这样的公式

5±√−15⟶邦贝利的运算法则与欧拉的记号 i⟶量子力学与信号处理里的复数

《论赌博游戏》：数出全部情形⟶帕斯卡与费马的通信⟶保险精算与一切风险定价

卡丹悬置与卡丹接头⟶胡克对等角速传动的分析⟶汽车传动轴：今天还在转的工程件

语录

「抛开精神上的折磨不谈，把 5+√−15 乘以 5−√−15，得 25−(−15)，也就是 40……这是精妙的，也是无用的。」
—— 《大术》第三十七章，1545；负数的平方根第一次被写在纸上

「赌博最大的好处，是压根不去赌。」
—— 《论赌博游戏》，约1564；他自己赌了四十年

「写它用了五年，愿它能存五千年。」
—— 《大术》全书末句，1545