数学群星MATHEMATICAL LUMINARIES

Blaise Pascal · 1623–1662

帕斯卡

他把「还没发生的事」变成了可以计算的东西

(nk)=(n−1k−1)+(n−1k)\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}
算术三角形的那一条递推 · 1654；同一本书里，数学归纳法第一次被当成方法写下来

布莱兹·帕斯卡三岁丧母，此后由父亲在家教养。据他姐姐吉尔贝特的记述，父亲原想先让他学好语文，把数学藏了起来；十二岁的他自己在地板上画图，推出了三角形内角和等于两直角——这段故事出自家人之手，未必字字可信，可他十六岁那年确实写出了《圆锥曲线论》，里面那条「内接六边形三对对边的交点共线」，今天叫帕斯卡定理。笛卡尔读到之后不肯相信是个十六岁的孩子写的。十九岁他为替父亲算税，造出了一台会自动进位的加法机，前后做了五十来个原型——那是历史上第一台真正进位的计算机器，莱布尼茨 1673 年带去伦敦的那台，正是在它之上往前走的。

1648 年他让姐夫把气压计背上多姆山顶：水银柱降了三寸——「自然厌恶真空」这句用了两千年的解释就此作废，剩下的解释只有一个，空气有重量。1654 年他与费马为「赌局中断该怎么分赌本」来回几封信，概率论从这几封信开张；同年他写下《论算术三角形》，那本小书里数学归纳法第一次被当成一种方法明明白白地写了出来。也是 1654 年 11 月 23 日夜里，他经历了一场后来称为「火之夜」的宗教体验，把当晚写下的那张羊皮纸缝进衣服的衬里，随身带了八年，直到死后才被人发现。此后他几乎不再碰数学，转去写《致外省人书》与《思想录》。1662 年 3 月他在巴黎办起了世界上第一条公共马车线，五个月后去世，三十九岁。

帕斯卡肖像
佚名油画，约1690 · 凡尔赛宫藏，摹自弗朗索瓦二世·克内尔，公有领域

生平

  1. 1623
    生于克莱蒙费朗

    三岁丧母。父亲埃蒂安是税务官，也懂数学，把他带在身边亲自教。

  2. 1640
    《圆锥曲线论》

    十六岁写的一页纸。内接六边形三对对边的交点共线——今天叫帕斯卡定理。

  3. 1642
    开始造加法机

    为替父亲算税。前后五十来个原型，成品约二十台——第一台真正会自动进位的机器。

  4. 1648
    多姆山上的气压计

    姐夫把水银柱背上山顶，降了三寸。「自然厌恶真空」两千年的解释就此作废。

  5. 1654
    与费马的通信

    赌局中断，赌本怎么分？七八封信来回，概率论从这里开张。他与费马的算法不同，答案一样。

  6. 1654
    《论算术三角形》

    那张三角形的递推、组合数的读法，以及数学归纳法第一次被当成一种方法写出来。

  7. 1654
    火之夜

    11 月 23 日夜里的宗教体验。他把那张羊皮纸缝进衣服衬里，带了八年，死后才被发现。

  8. 1658
    摆线

    牙疼得睡不着，就去想摆线的求积，八天做完。他用化名「阿莫斯·德通维尔」出题考别人。

  9. 1662
    巴黎的五苏马车

    3 月 18 日通车，世界上第一条公共交通线。五个月后他去世，三十九岁。

展品厅

绝大多数展品都可以亲手把玩——这是本馆的立馆之本；少数以叙述为主的，做成故事展签。

镇馆之宝 · 亲手玩

赌局中断，赌本怎么分

一场没打完的赌，赌本该怎么分才算公道？

P=12n∑k=an(nk),n=a+b−1P = \frac{1}{2^{n}}\sum_{k=a}^{n}\binom{n}{k},\quad n = a+b-1

这道题在赌桌上问了两百年：两人各押 32 皮斯托尔，约定先赢五局者通吃；打到一半有人叫停，A 赢了四局、B 赢了三局，六十四枚该怎么分？按已赢的局数分（4:3）不对，因为 A 只差一局而 B 还差两局；按「谁领先谁全拿」更不对。1654 年帕斯卡把问题写信问费马，两人来回七八封，各自给出了办法：——费马把剩下的每一种打法都列出来数，帕斯卡则用那张三角形往回递推——办法不同，答案一样，48 比 16。要害不在这个数，而在他们把问题换了个问法：不去问「已经发生了什么」，而去问「还没发生的事各有多大可能」。赌本按这个来分。这就是期望值，也是保险、期权与一切风险定价此后走的路。

拨一下两人各差几局，把剩下的打法一种种数出来

再打 2 局就一定分得出胜负，一共 4 种打法：

甲赢 3 种乙赢 1 种

费马：把未来一种种数出来

3 ÷ 4 = 0.750000

帕斯卡：用三角形第 2 行

(2 + 1) ÷ 4 = 0.750000

64 枚赌本按这个分：甲拿 48 枚， 乙拿 16 枚。　——这正是 1654 年那几封信里的答案。

按已赢的局数分不对，按「谁领先谁全拿」更不对。两人把问题换了个问法：不去问已经发生了什么， 而去问还没发生的事各有多大可能——赌本按这个分。费马的办法是把剩下的每一种打法都列出来数； 帕斯卡用三角形往回递推。办法不同，两个数一模一样。这就是期望值，也是保险、期权与一切风险定价此后走的路。

算术三角形

每个数是它上面两个数之和——一张表，装着三件不同的事。

(nk)=(n−1k−1)+(n−1k)\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}

这张表不是他发明的：贾宪十一世纪就画过，杨辉 1261 年抄录，波斯的凯拉吉、欧洲的阿皮亚努斯也各自画过。帕斯卡 1654 年那本《论算术三角形》做的是另一件事——把它系统地用起来：第 n 行第 k 个数同时是「n 个里挑 k 个的种数」、「从顶点往下走 n 步、其中 k 步向右的路径数」、以及 (a+b)ⁿ 展开式里的系数，而这三件事之所以是同一个数，恰恰因为它们满足同一条递推。他用它解赌本问题，也用它算组合。还有一件事发生在这本书里：证明「结论十二」时他写下两条引理——第一行成立，且由第 n 行能推出第 n+1 行——这是数学归纳法第一次被当成一种方法明明白白地写出来。

第 4 行第 2 个 ＝ 6　＝ 3 ＋ 3（上面那两个）

  • 组合4 个里挑 2 个，有 6 种挑法。
  • 路径从顶点往下走 4 步，其中 2 步向右——这样的走法有 6 条。
  • 系数(a+b)4 展开后，a2b2 前面的系数是 6。

三种读法之所以落到同一个数上，是因为它们满足同一条递推——点中一格，上面那两个「父」 会一起点亮。第 n 行加起来是 2ⁿ：走 n 步，每步左右二选一，总共就是这么多条路。这张表不是他发明的：贾宪十一世纪画过，杨辉 1261 年抄录过，波斯的凯拉吉也画过。 帕斯卡做的是把它系统地用起来——解赌本问题、算组合；而在同一本书里， 他证「结论十二」时写下的那两条引理，是数学归纳法第一次被当成一种方法写出来。

神秘六边形

圆锥曲线上任取六点连成六边形，三对对边的交点必在一条直线上。

十六岁那年写的一页纸，他自己管它叫「神秘六边形」。任取一条圆锥曲线——圆、椭圆、抛物线、双曲线都行——在上面随便点六个点，按顺序连成一个六边形（可以自交，通常都自交），把三对对边分别延长，得到三个交点：它们永远在同一条直线上。六个点怎么挪都不破。这条定理属于射影几何：它只谈「谁与谁相交」，完全不涉及长度与角度，所以对任何圆锥曲线一视同仁——把圆斜投影成椭圆，共线性跟着过去。笛卡尔读到这页纸时不肯相信是个十六岁的孩子写的。两百年后布列安桑发现了它的对偶命题，那正是射影几何最漂亮的地方：把「点」与「线」整个对调，定理还成立。

怎么挪都不破：三个交点算出来的三角形面积是 7.28e-12——浮点误差的量级，也就是说它们严格共线。这条定理属于射影几何：它只谈「谁与谁相交」， 不涉及长度与角度，所以对圆、椭圆、抛物线、双曲线一视同仁（把圆斜投影成椭圆，共线性跟着过去）。 十六岁的帕斯卡把它写在一页纸上，笛卡尔读到时不肯相信出自一个孩子之手。

会进位的机器

999999 加 1，六个轮子一齐翻——这一下是机械做的，不是人做的。

999999+1=1000000999999 + 1 = 1000000

1642 年他十九岁，为替税务官父亲算账开始造这台机器。加法本身不难，难的是进位：个位从 9 跳到 0 时，十位必须跟着进一，而若十位也是 9，就得一路传下去。他的办法叫 sautoir——一个靠重力落下的小爪子：轮子转过 9 到 0 的那一刻把爪子抬起，越过顶点后爪子落下，正好把下一个轮子拨动一格。这样进位不必靠齿轮硬啃，也不会因为连着好几个 9 而卡死。前后五十来个原型，成品约二十台，今天还存着九台。它只会加减（减法要用补数），莱布尼茨 1673 年带去伦敦的那台想让机器会乘除，明说是在这台之上往前走。

999999

读数 999,999　轮子都停住了

加法本身不难，难的是进位：个位从 9 跳到 0 时，十位必须跟着进一；若十位也是 9， 就得一路传下去。他的办法叫 sautoir——一个靠重力落下的小爪子：轮子转过 9 到 0 的那一刻把爪子抬起，越过顶点后爪子落下，正好把下一个轮子拨动一格。这样进位是一级一级 传的，不必靠齿轮硬啃，也不会因为连着好几个 9 而卡死。1642 年他十九岁，为替税务官父亲 算账造了它，前后五十来个原型、成品约二十台，今天还存着九台。它只会加减（减法用补数）， 莱布尼茨 1673 年带去伦敦的那台想让机器会乘除，明说是在这台之上往前走。

压强往各个方向一样传

一边轻轻一按，另一边就抬起一辆车；而山顶上的水银柱比山下矮三寸。

F2F1=A2A1\frac{F_2}{F_1} = \frac{A_2}{A_1}

1648 年他让姐夫佩里埃把气压计背上多姆山顶——海拔升了约一千米，水银柱降了三寸多。这一下把「自然厌恶真空」两千年的说法送走了：管子顶上那段空是真的空，托住水银的是外面空气的重量，山上空气少，柱子自然矮。顺着同一件事他写下了那条定律：封闭流体里某处加上的压强，会原样传到每一处。于是一个小活塞上的小力，换到大活塞上就是大力——力放大的倍数等于两个活塞的面积之比。省下的力要用行程补回来，功一分不多。今天汽车的刹车、千斤顶、挖掘机的每一条液压臂，用的都是这一条；压强的国际单位就叫帕斯卡。

压强在封闭流体里各向同传，所以两个活塞上的压强一样：力之比就等于面积之比， 这里是 6 倍。省下的力要用行程补回来——小活塞得下去 6 厘米， 大活塞才上来 1 厘米，功一分不多。今天汽车的刹车、千斤顶、挖掘机的每一条液压臂， 用的都是这一条；压强的国际单位就叫帕斯卡。

那个赌注

在不可能知道答案的地方，他问的是：那该怎么下注？

《思想录》里那段著名的残篇：上帝存在与否，理性判定不了——「这里隔着一段无穷的混沌」。既然判不了，就别再问「哪个是真的」，改问「该怎么行动」。他把它摆成一张赌桌：押「存在」而它是真的，赢的是无穷；押错了，输掉的不过是有限的一点享乐。哪怕概率极小，只要不是零，无穷乘上它仍然压过任何有限的输——所以下注。这段话常被当成一个蹩脚的神学证明，可它在数学史上的位置不在神学：这是期望值第一次被用在赌桌之外，用来处理「在不知道真相的情况下该怎么办」。今天的决策论、保险定价、期权、风控，全是这个问法的后代。反驳它的话也早就有：为什么只有两个选项？信仰能不能靠算计得来？帕斯卡本人答了后一条——他说你先照着做，信自会来。而他自己，1654 年那个夜里已经不需要这张赌桌了。

故事展签故事展签：一场算得出来的赌，和一张缝在衣服衬里、八年没人知道的羊皮纸。

传承

他的工作没有留在十八世纪——每条链的终点，都是你今天正在使用的东西。

分赌本问题与期望值⟶概率论⟶保险精算、期权定价与风险控制
算术三角形⟶组合数与二项式系数⟶从高尔顿板到正态分布
数学归纳法第一次被写成方法⟶递归定义与归纳证明⟶程序的正确性证明
会自动进位的加法机⟶莱布尼茨的步进计算器⟶机械计算到数字计算机
帕斯卡定律与真空实验⟶流体静力学⟶液压系统：刹车、千斤顶与工程机械
神秘六边形⟶射影几何与对偶原理⟶计算机图形学里的射影变换

语录

「在这里，理性判定不了什么。中间隔着一段无穷的混沌。」

—— 《思想录》残篇 418（拉富马编号），赌注那一段的开头；1670 年身后出版

「人只是一根苇草，是自然界最脆弱的东西；但他是一根会思想的苇草。」

—— 《思想录》残篇 200；他生前只留下一堆纸条，全书是别人整理出来的

「这封信写长了，因为我没有时间把它写短。」

—— 《致外省人书》第十六封，1657