数学群星MATHEMATICAL LUMINARIES

François Viète · 1540–1603

韦达

他把字母搬进方程，代数从此谈得了「任意一个数」

2π=12⋅12+1212⋅12+1212+1212⋯\frac{2}{\pi} = \sqrt{\tfrac12} \cdot \sqrt{\tfrac12 + \tfrac12\sqrt{\tfrac12}} \cdot \sqrt{\tfrac12 + \tfrac12\sqrt{\tfrac12 + \tfrac12\sqrt{\tfrac12}}} \cdots
1593 · 数学史上第一个无穷乘积，也是 π 的第一个解析表达式

弗朗索瓦·韦达生于法国西部的丰特奈-勒孔特，本职是律师，后来做到亨利三世与亨利四世的枢密顾问——数学是他的业余爱好，一辈子没靠它吃过饭。1591 年他自费印行了一本薄薄的《分析术引论》，里面只办成了一件事：用元音字母表示未知量，用辅音字母表示已知量。在此之前，代数题里的数必须是具体的数：卡尔达诺解三次方程要分成十三种情形，正是因为他没法写「系数可正可负」。有了字母，十三种并成一种；方程第一次能谈论「任意一个数」，而不只是手上那一个。他管这叫「类的计算」，以别于「数的计算」。

最后一步他没有走完：他仍然背着希腊人那本维数的账——平方要配一个「平面」，立方要配一个「立体」，加号两边的次数必须对得上，所以他的式子写出来极其累赘。把这笔账一笔勾销的是四十年后的笛卡尔。此外他还留下两件事：1593 年他写出了 2/π 的那串无穷嵌套根式，那是数学史上第一个无穷乘积，也是 π 的第一个解析表达式；同一年荷兰人范·罗门向全欧洲数学家抛出一个四十五次方程，韦达看一眼就认出那是四十五倍角，当场报出二十三个正根。还有一件与数学无关却让他出名的事：法国与西班牙交战期间，他破了腓力二世的密码，法国人读了两年西班牙的密信；腓力二世确信那套密码破不了，向教皇告状说法国人用了妖术。

韦达肖像
佚名点刻版画，题「FR. VIETE, né en 1540, mort en 1603」· 公有领域

生平

  1. 1540
    生于丰特奈-勒孔特

    法国西部的一座小城。他学的是法律，数学一辈子都是业余的事。

  2. 约1564
    给卡特琳娜当老师

    受雇于帕尔特奈家，教十二岁的卡特琳娜天文与数学。他最早的数学写作就是给她编的讲义。

  3. 约1579
    《数学法则》

    六位三角函数表；他还用一个 393216 边形把 π 算到了小数点后九位。

  4. 1589
    入枢密院，破西班牙密码

    亨利三世召他入院。此后几年他破了腓力二世那套五百多个符号的密码，法国读了两年西班牙密信。

  5. 1591
    《分析术引论》

    元音表未知量，辅音表已知量。方程第一次可以「一般地」写出来——符号代数由此开端。

  6. 1593
    2/π 的无穷乘积

    一串无穷嵌套的根式。这是数学史上第一个无穷乘积，也是 π 的第一个解析表达式。

  7. 1593
    范·罗门的四十五次方程

    全欧洲数学家都收到了这道题。他看一眼就认出那是四十五倍角，当场报出二十三个正根。

  8. 1603
    卒于巴黎

    去世前不久才辞去枢密顾问的职务。他的著作大多是自费印的，印数极少。

  9. 1615
    《论方程的辨识与订正》

    身后出版：根与系数的关系，以及用三角函数解开卡尔达诺绕不过的那种三次方程。

展品厅

绝大多数展品都可以亲手把玩——这是本馆的立馆之本；少数以叙述为主的，做成故事展签。

镇馆之宝 · 亲手玩

用字母写方程

同一道题，换一组数：左边那句话整句要重写，右边一个字都不用动。

A quadratum+B in A=C planumA \text{ quadratum} + B \text{ in } A = C \text{ planum}

1591 年之前，代数题里的数必须是具体的数。你可以解 x²+8x=65，但要说清「一般的二次方程怎么解」，只能挨个举例，或者像卡尔达诺那样把三次方程拆成十三种情形——他没法写「这个系数可正可负」，只好每种符号组合都单列一条。韦达的办法简单到近乎无聊：元音字母 A、E 表示要求的量，辅音字母 B、C、D 表示已知的量。可这一下就把代数从「算一道题」变成了「谈一类题」：式子不再是某次计算的记录，而成了可以被变形、被推导、被证明的对象。他把这叫做「类的计算」，以别于「数的计算」。今天你在表格里写下 =A1*B1，用的就是这一招。

换一组数，看三种写法里哪一种需要重写

  1. 修辞代数（十六世纪之前）整句重写

    有一个数，自乘之后，再加上它的八倍，合起来等于六十五。求这个数。

  2. 韦达，1591一个字不动

    A quadratum + B in A aequatur C planum

    A 是未知量；B、C 是已知量。C 要配一个「平面」，因为左边第一项是平方。　这里 B = 8，C = 65。

  3. 今天一个字不动

    x² + b·x = c

    维数的账被笛卡尔勾销之后，连「平面」「立体」也不用写了。这里 b = 8，c = 65。

拨一下 b 或 c，看三行里哪一行需要重写。 这就是全部的分别：修辞代数记录的是一次计算，字母代数写下的是一类方程。 卡尔达诺把三次方程分成十三种情形，是因为他不能写「这个系数可正可负」； 有了字母，十三种并成一种。

根与系数

把三个根随便调换顺序，系数一个也不变。

x3+ax2+bx+c,a=−(r1+r2+r3)x^3 + a x^2 + bx + c,\quad a = -(r_1+r_2+r_3)

把 (x−r₁)(x−r₂)(x−r₃) 乘开，系数就是三个根的三个「对称函数」：和、两两之积的和、三个之积。韦达把这层关系写了下来——虽然他只承认正根，负根在他眼里还不算数。这件事的要害不在于它省了多少力气，而在于那个「对称」：调换任意两个根，三个系数纹丝不动。于是反过来问就成了一个真问题————系数认不出根的顺序，那还有什么是系数认得出的？两百多年后，拉格朗日顺着这个问题去数「根的置换能让一个式子取到几个值」，伽罗瓦把它变成了群。方程有没有求根公式，最终就落在这里。

x² 的系数−(r₁+r₂+r₃)0.50
x 的系数r₁r₂ + r₁r₃ + r₂r₃-6.50
常数项−r₁r₂r₃3

x³ + 0.50x² − 6.50x + 3

按一下「调换三个根的顺序」：根的编号会重排，而三个系数一个也不会变。 系数认不出根的顺序，那还有什么是系数认得出的？两百多年后拉格朗日顺着这个问题去数 「根的置换能让一个式子取到几个值」，伽罗瓦把它变成了群——方程有没有求根公式，最后就落在这里。

π 的第一个无穷乘积

1593 年，第一次有人用一个无穷的式子把 π 写了出来。

2π=∏n=2∞cos⁡π2n\frac{2}{\pi} = \prod_{n=2}^{\infty} \cos\frac{\pi}{2^{n}}

在此之前，π 只能靠割圆：阿基米德的 96 边形、刘徽的 192 边形、他自己的 393216 边形——每一次都是一个更好的近似，却没有一个式子能说「π 就是这个」。1593 年他写下了那串嵌套根式的无穷乘积。这是数学史上第一个无穷乘积，也是 π 的第一个解析表达式：等号右边不再是某个近似值，而是 π 本身。它其实就是割圆法换了个写法——每一个因子都是 cos(π/2ⁿ)，对应把边数翻一倍，所以这串式子收敛得跟阿基米德一样慢，每多一项才多买两位二进制。可它把「无穷多步」装进了一个等号里，而这正是一百年后的分析学要做的全部事情。

部分积 = 0.6368755077　→　2 ÷ 它 = 3.1403311570（与 π 差 1.26e-3）

第 n 个因子正是 cos(π/2ⁿ⁺¹)，对应把内接多边形的边数翻一倍——这串式子其实就是 阿基米德的割圆法换了个写法，收敛一样慢，每多一项才多买两位二进制。它的分量不在快： 在此之前 π 只能靠一个又一个更好的近似值来逼近，而 1593 年之后，等号右边第一次 就是 π 本身。把「无穷多步」装进一个等号里——一百年后的分析学要做的全是这件事。

不碰虚数，解开那道方程

同一个方程，卡尔达诺必须绕道虚数，他把它变成了一个角。

x=2−p3 cos⁡θ,cos⁡3θ=−4qm3x = 2\sqrt{-\tfrac{p}{3}}\,\cos\theta,\quad \cos 3\theta = \frac{-4q}{m^3}

隔壁那件展品里，x³ = 15x + 4 明明有三个实根，卡尔达诺公式却非要你先写下 ∛(2+11i)。韦达的办法不经过虚数一步：令 x = m·cos θ，再用三倍角公式 cos3θ = 4cos³θ − 3cosθ 把三次项换掉。只要 m 取得正好（m = 2√(−p/3)），cosθ 那一项自己消掉，剩下的是 cos3θ = 一个常数。于是三个实根就是圆周上三个相差 120° 的角，读出来就是。这套办法 1615 年才随遗著印出来，可它把一件事说清楚了：那个「不可约情形」不是代数出了毛病，是根式这个工具不趁手——换成三角函数，它一点也不难。今天课本上解这类三次方程，用的仍然是韦达这一招。

对上了：x = 4.000000，正是一个根。 令 x = m·cosθ（m = 2√(−p/3) = 4.472136）， 用 cos3θ = 4cos³θ − 3cosθ 把三次项换掉，cosθ 那一项自己消掉，剩下 cos3θ = 0.178885。 三个实根就是圆周上相差 120° 的三个角——一步虚数都没碰。

四十五次方程

范·罗门向全欧洲抛出一道四十五次方程，他看一眼就报出了答案。

x=2sin⁡θ⟹2sin⁡45θ=Cx = 2\sin\theta \quad \Longrightarrow \quad 2\sin 45\theta = C

1593 年，荷兰人范·罗门出了一道题给「全世界的数学家」：一个四十五次方程，系数一长串。法国没被列进受邀名单，荷兰大使拿这件事在亨利四世面前挖苦了一句，国王把韦达叫了来。韦达看出那一长串系数正是 45 倍角公式的展开——把 x 换成 2sin θ，整个方程就塌成 2sin45θ = 常数。于是根就是圆周上四十五个等分角的正弦，他当场写出一个，第二天交上了二十三个（另外二十二个是负的，他那个年代不算数）。范·罗门读到之后专程从荷兰赶来见他，两人成了朋友。这不是炫技：它和上一件展品是同一招——把方程变成一个角。

正根 23 个

原题的左边是一长串系数：x⁴⁵ − 45x⁴³ + 945x⁴¹ − ⋯ + 45x。韦达认出那正是 45 倍角公式的展开—— 把 x 换成 2 sinθ，整个方程就塌成 2 sin45θ = C。于是根不用去解，只要把圆周四十五等分， 读出各个角的正弦。无论 C 取多少，正根都恰好二十三个， 这正是他交上去的个数；另外二十二个是负的，在他那个年代不算数。 范·罗门读到之后专程从荷兰赶来见他。

他破了西班牙国王的密码

腓力二世确信那套密码破不了，于是向教皇告状说法国人用了妖术。

法国宗教战争打到 1580 年代末，西班牙站在天主教同盟一边。法军截获的西班牙密信用的是一套「代号表」：五百多个符号，人名、地名、常用词各有各的代号，同一个词还有好几个可换的写法——照当时的标准，这是牢不可破的。韦达花了不到半年把它读通了，此后两年法国一直在读西班牙的密信。腓力二世不信有人能破它，向教皇告状，说法国人动用了妖术，请求教会干预——这一告没有下文：教廷自己的密码分析师早在几十年前就破过西班牙的密码，只是没告诉他。这件事和他在代数里做的其实是同一件：把一堆具体的符号当成可以整批代换的「类」，然后去找那些无论怎么代换都不变的东西。三百五十年后，布莱切利园的人干的还是这件事。

故事展签故事展签：一个业余数学家、一套五百个符号的密码，和一封告到教皇那里的状。

传承

他的工作没有留在十八世纪——每条链的终点，都是你今天正在使用的东西。

用字母表示已知量与未知量⟶笛卡尔《几何学》与今天的符号代数⟶计算机代数系统里的符号求解器
根与系数的关系⟶对称函数与根的置换⟶拉格朗日与伽罗瓦：方程为什么解不开
2/π 的无穷乘积⟶无穷乘积与无穷级数成为常规工具⟶沃利斯、欧拉与近代解析学
把方程变成角：三次方程的三角解法⟶棣莫弗公式与欧拉公式⟶信号处理里的相位
破译腓力二世的代号表⟶近代密码分析的开端⟶加密与信息安全

语录

「没有一个问题解不开。」

—— 《分析术引论》结尾的宣言，1591；拉丁原文 Nullum non problema solvere

「计算有两种：施于数的，叫数的计算；施于类、施于事物之形的，叫类的计算。」

—— 《分析术引论》第四章，1591——「类的计算」就是今天所说的符号代数

「同类的量，只能与同类的量相比。」

—— 《分析术引论》第三章的齐次律，1591；这条律要等笛卡尔才被取消