Pierre de Fermat · 1607–1665

费马

一个业余爱好者，顺手给微积分、概率论和数论各开了一个头

x^n + y^n = z^n \quad (n > 2)

写在《算术》页边的那一行 · 约1637 年，1995 年才被证明

皮埃尔·德·费马是图卢兹议会的法官，1631 年上任，一直干到去世。数学是他的业余爱好，他一生没有发表过一篇数学论文——成果都写在给梅森、帕斯卡、弗雷尼克勒这些人的信里，常常只报结论，说证明太长不写了。就这样他还是把三样东西各开了一个头：1636 年他寄出求极大极小的方法，先给未知量加一个小量 E，让两个式子「拟等」，约掉 E，再把 E 当成零——这是求导，只是还没有「极限」这个词，牛顿后来明说自己的方法是从这里起步的；1654 年他与帕斯卡为「赌本怎么分」来回几封信，概率论由此开张；1662 年他写下「光走的是最省时间的那条路」，折射定律就此被推了出来，而两百年后整个物理学都改用这个写法。

他最投入的还是数论，而那也是麻烦最多的地方。费马小定理他 1640 年写在信里，说证明太长不寄了——九十六年后欧拉补上。他断言 2^(2ⁿ)+1 全是素数，这次他错了，同样是欧拉，1732 年把 F₅ 拆成 641 × 6700417。最有名的那一条写在巴谢版《算术》第二卷的页边空白处：n 大于 2 时 xⁿ+yⁿ=zⁿ 没有整数解，「我发现了一个真正奇妙的证明，可惜这里的空白太窄」。他本人只证了 n=4，用的是他自己那套无穷递降法。此后三百五十八年，这行字拖垮了无数人，直到 1995 年怀尔斯把它接上椭圆曲线与模形式才算完。他去世后五年，儿子把他批注过的那本《算术》印了出来——否则这些东西一件也留不下。

弗朗索瓦·德·普瓦利铜版画，约1679 · Wikimedia Commons，公有领域

生平

1607
生于博蒙德洛马涅
洗礼簿上还有一个 1601 年的皮埃尔，那是他早夭的同名兄长；他自己生于 1607。
1631
出任图卢兹议会参事
此后三十四年他都是法官。数学只在公务之余做，写在信里，几乎不发表。
1636
求极大极小的方法
寄给梅森：加一个小量 E，两式「拟等」，约掉 E，再把 E 当成零。这是求导，只是还没有极限。
约1637
页边的那行字
在巴谢版《算术》的空白处写下大定理，并说自己找到了一个奇妙的证明，只是写不下。
1640
费马小定理
致弗雷尼克勒的信里写下它，附一句「证明太长，就不寄了」。九十六年后由欧拉补上。
1654
与帕斯卡的通信
赌局中断，赌本怎么分？来回几封信把它算清楚了——概率论从这几封信开始。
1657
向欧洲数学家出题
求 x²−61y²=1 的整数解。他知道最小的解是九位数：1766319049。英国人没做出来。
1662
最短时间原理
光走的是最省时间的那条路，折射定律由此推出。两百年后，整个物理学都改用这个写法。
1665
卒于卡斯特尔
结案两天后去世。五年后儿子把他批注的《算术》印出来，那行页边的字才公之于众。

展品厅

绝大多数展品都可以亲手把玩——这是本馆的立馆之本；少数以叙述为主的，做成故事展签。

镇馆之宝 · 亲手玩

书页边上那行字

n 大于 2 时，xⁿ+yⁿ=zⁿ 没有整数解。他说证明写不下。

x^n + y^n = z^n

n=2 时这个方程遍地都是解：3²+4²=5²、5²+12²=13²，古巴比伦的泥板上就列着一长串。费马在巴谢版《算术》第二卷第八题旁边写道，n 一旦大于 2，一组解也没有，而他发现了一个真正奇妙的证明，只是这里的空白太窄写不下。他本人只留下了 n=4 的证明。此后欧拉做了 n=3，热尔曼做了一大类素数，库默尔为它造出了理想数——整个代数数论有一半是被这行字逼出来的。1993 年怀尔斯宣布证明，随即被发现有漏洞，1995 年补完，走的是椭圆曲线与模形式，费马那个年代连这些词都没有。他到底有没有证明？几乎可以肯定没有。

换个指数，把搜索范围推大，看能不能撞上一组解

x³ + y³ = z³

搜到 x, y ≤ 120

搜了 7,260 对，找到 0 组解。

一组也没有。

搜不到，可搜不到不等于没有。1993 年之前，人们已经把 n 逐个验到了四百万以上，而那什么也没证明—— 「验过很多」与「不存在」之间隔着的正是一个证明。费马说他有一个，只是页边空白太窄写不下；他实际留下来的只有 n=4 那一个，用的是无穷递降。这行字拖了三百五十八年，1995 年由怀尔斯用椭圆曲线与模形式接上，而那些工具费马那个年代连名字都没有。

无穷递降

假设有一组解，就能造出更小的一组——而正整数不能一直变小。

(p, q) \longmapsto (2q-p,\ p-q)

这是费马自己最看重的工具，也是他唯一留下完整证明的那套办法。骨架只有两句：假设某个正整数解存在，由它造出一个严格更小的解；正整数不能无限地小下去，所以那个假设是错的。他用它证了大定理的 n=4 情形，也证了「直角三角形的面积不可能是平方数」——后面这一条正好把斐波那契四百年前那句断言坐实了：三个成等差的平方数，公差永远不是平方数。这套办法后来成了数论的常规兵器；下面用一个最简单的例子演示它的骨架，费马自己那两个应用的骨架与它一模一样，只是每一步的构造要重得多。

规则：(p, q) → (2q − p, p − q)。它让 p² − 2q² 的绝对值一点不变，却让这对数严格变小。

(99, 70)p² − 2q² = 1
(41, 29)p² − 2q² = -1
(17, 12)p² − 2q² = 1
(7, 5)p² − 2q² = -1
(3, 2)p² − 2q² = 1
(1, 1)p² − 2q² = -1
(1, 0)p² − 2q² = 1

走到 (1, 0) 就没法再走了—— q 已经是 0，而分母不能是 0。

假设真有一对正整数满足 p² = 2q²（也就是 √2 写得成分数）。上面那个变换会从它造出一对更小的正整数，仍然满足同一个式子；再来一次，还能更小。可正整数不能一直变小，所以那一对根本不存在。整套办法就这两句话。费马把同样的骨架用在了大定理的 n=4 情形上，也用在了「直角三角形的面积不可能是平方数」上——后面这一条正好把斐波那契四百年前那句断言坐实了：三个成等差的平方数，公差永远不是平方数。那是费马留下的唯一一个完整证明。

微积分之前的微积分

先加一个小量 E，约掉它，再把它当成零——这就是求导。

\frac{f(A+E)-f(A)}{E} = b - 2A - E

1636 年他寄给梅森一套求极大极小的办法。要让 A(b−A) 最大，他把 A 换成 A+E，把两个式子「拟等」（adaequalitas，勉强算相等），展开、消去相同项、两边同除以 E，最后把 E 当成零，得到 b−2A=0。这一步在逻辑上刺眼得很：既然可以除以 E，E 就不是零；既然最后把它当成零，它又是零。笛卡尔抓住这一点大加攻击，两人吵了几年。可费马的答案每次都对，而且这套办法还能求切线、求面积。牛顿明说自己的流数法是从费马这里起步的。至于「E 到底是什么」，要等两百年后柯西与魏尔斯特拉斯把极限说清楚才算有交代。

A = 3.00小量 E = 1.50

把 A 换成 A + E，两式「拟等」(A+E)(b − A − E) ≈ A(b − A)
展开、消去相同项，两边同除以 Eb − 2A − E ≈ 0
现在这一步的值b − 2A − E = 2.5000　（割线斜率 2.5000）
把 E 当成零b − 2A = 0　→　A = b/2 = 5

差商正好是 b − 2A − E，一个字母都不用近似：把 E 拖到最小，它就退成 b − 2A；把 A 拨到 5，b − 2A 归零。刺眼的是最后一步——既然可以除以 E，E 就不是零；既然最后把它当成零，它又是零。笛卡尔抓住这一点跟他吵了几年。可费马的答案每次都对，这套办法还能求切线、求面积，牛顿明说自己的流数法是从这里起步的。「E 到底是什么」，要等两百年后柯西与魏尔斯特拉斯把极限说清楚才算有交代。

光走最省时间的那条路

不是最短的路，是最省时间的路——折射定律由此推出。

\frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2} = \frac{v_1}{v_2}

光从空气进入水里会拐一下。托勒密量过角度，斯涅尔 1621 年写下了正弦之比是常数，可没人说得出为什么。1662 年费马给了一个理由：光走的是耗时最少的那条路。水里光速慢，所以在水里少走一点、在空气里多走一点更划算，折点因此偏向法线——把总时间对折点求极小（用的正是他自己那套拟等），sinθ₁/sinθ₂ = v₁/v₂ 就掉了出来。笛卡尔学派激烈反对：光怎么会「知道」哪条路省时间？这个诘问很好，而回答要等惠更斯的波动说、再等费曼的路径积分。更要紧的是这个写法本身：不去说「下一刻会怎样」，而去说「整条路径让某个量取极值」——欧拉、拉格朗日、哈密顿一路走下去，今天整个物理学都是这么写的。

折点 120.0水的折射率 1.33

sinθ₁ = 0.8000　sinθ₂ = 0.9210　sinθ₁ / sinθ₂ = 0.8687　（折射率 1.33）总时间 525.47，最小是 491.50

虚线那条是最短的路，可它不是最省时间的：水里光速慢，走直线等于在慢的那一段多花时间。拖着折点找一找下面那条曲线的最低点——到了那儿再看 sinθ₁/sinθ₂ 是多少。笛卡尔学派当年激烈反对：光怎么会「知道」哪条路省时间？这个诘问要等惠更斯的波动说、再等费曼的路径积分才算答完。而这个写法本身——不说「下一刻会怎样」，而说「整条路径让某个量取极值」—— 经欧拉、拉格朗日、哈密顿一路走下来，成了今天整个物理学的写法。

费马小定理

p 是素数时，a 的 p−1 次方除以 p，余数总是 1。

a^{p-1} \equiv 1 \pmod p

1640 年写在给弗雷尼克勒的信里，附一句「证明太长，就不寄了」——九十六年后欧拉补上，后来又把它推广成 a^φ(n) ≡ 1，而 RSA 正踩在那一步上。这条定理还有一个直接的用处：拿它来查素数。想知道 n 是不是素数，随便取个 a 算 a^(n−1) mod n，不等于 1 就一定是合数，而且这一步用快速幂几乎不花时间——今天生成一个密钥要在几百位的数里捞素数，靠的就是它。可它只能证伪不能证实：561 = 3×11×17 是个合数，却对每一个与它互素的底数都装得像素数。这类数叫卡迈克尔数，有无穷多个，所以实用的素性检验还要在它上面再加几道。

a^k mod 7：最右边那一列，也就是 k = p−1，整整齐齐全是 1
a＼k	1	2	3	4	5	6
1	1	1	1	1	1	1
2	2	4	1	2	4	1
3	3	2	6	4	5	1
4	4	2	1	4	2	1
5	5	4	6	2	3	1
6	6	1	6	1	6	1

p 是素数时，a 的 p−1 次方除以 p，余数总是 1——最右边那一列就是。1640 年他把这条写在给弗雷尼克勒的信里，附一句「证明太长，就不寄了」；九十六年后欧拉补上，后来又推广成 a^φ(n) ≡ 1，而 RSA 正踩在那一步上。它还有一个直接的用处：查素数。算 a^(n−1) mod n 用快速幂几乎不花时间，不等于 1 就一定是合数——今天生成密钥要在几百位的数里捞素数，靠的就是它。

他一生没发表过一篇数学论文

全部成果写在信里，多半只报结论——留下来纯属侥幸。

十七世纪的数学在信件里流通，中心是巴黎的梅森神父：他给几十个人转抄信件，等于一个人办了一本期刊。费马就在这张网里，可他与别人不同——别人写信是为了发表，他写信只是写信。他报结论而不给证明，有时干脆把结论当成挑战题寄出去；被追问时回一句「证明太长」。他与笛卡尔为求切线的方法吵过，与沃利斯为数论题吵过，谁也说服不了谁。这带来两个后果：他的许多结论要等上几十年甚至几百年才被重新证出来，而其中一条（2^(2ⁿ)+1 全是素数）根本就是错的。另一个后果更险：1665 年他去世时，这些东西散落在几十封私人信件和一本书的页边空白里。五年后他儿子克莱芒-萨缪尔把父亲批注的那本《算术》连同全部批注一起印了出来——页边那行最有名的字，是这样才活下来的。

故事展签故事展签：一个从不发表的人，和一本替他保住全部工作的书。

传承

他的工作没有留在十八世纪——每条链的终点，都是你今天正在使用的东西。

求极大极小的方法⟶牛顿与莱布尼茨的微积分⟶今天的最优化与机器学习训练

最短时间原理⟶欧拉与拉格朗日的变分法⟶最小作用量原理与费曼路径积分

与帕斯卡的通信⟶概率论的开张⟶保险精算与一切风险定价

费马小定理⟶欧拉定理与 RSA⟶网上支付时地址栏那把锁

大定理与无穷递降⟶库默尔的理想数与代数数论⟶椭圆曲线、模形式与怀尔斯 1995 年的证明

语录

「我发现了一个真正奇妙的证明，可惜这里的空白太窄，写不下。」
—— 写在巴谢版《算术》第二卷第八题旁的空白处，约1637；1670 年由他儿子印出

「这个命题对一切素数都成立。我本想把证明寄给你，只怕它太长了。」
—— 1640 年 10 月 18 日致弗雷尼克勒的信，说的是费马小定理；证明他始终没有寄出

「自然总是以最短、最省力的方式行事。」
—— 1662 年 1 月致居罗·德·拉尚布尔的信，随《折射的综合》一同寄出