Brahmagupta · 598–668

婆罗摩笈多

他第一个把零当成一个数来算，也第一个让负数成为合法的数

S = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}

圆内接四边形的面积，628 年 · 同一本书里，零第一次有了运算法则

婆罗摩笈多 598 年生于比拉马拉（今拉贾斯坦邦宾马尔），父亲名叫吉湿奴。三十岁那年，也就是 628 年，他写成《婆罗摩历算书》——书名的意思是「婆罗摩正确确立的教义」，全书二十五章，主体是天文，数学集中在第十二章「算术」与第十八章「碎片」。后来他主持乌贾因天文台，那是当时印度天文学的中心；665 年又写了一部更便于实用的《肯达克迪亚格》。他也是个尖刻的批评者，书里点名驳斥前人，包括阿耶波多。

数学上他做了三件此前无人做成的事。一是零：印度数字里零早就作为占位记号存在，而他第一个把零当成一个可以参与运算的数，逐条写下它的加减乘除。二是负数：他用「财产」与「债」讲正负，给出完整的乘除法则——负负得正就在这本书里第一次被写下来——而且接受负数作为方程的根，这一点欧洲直到十七世纪还在争。三是那些至今叫着他名字的结果：圆内接四边形的面积公式、两平方和之积仍是两平方和的恒等式、以及对佩尔方程的攻法。书里也有错：他说零除以零等于零；正数除以零，他只说那是「以零为分母的分数」，没有再往下追。要到五百年后的婆什迦罗二世才说，除以零得到的是无穷。

科尔布鲁克英译《婆罗摩历算书》第 339 页「算法」一节，伦敦，1817 · Wikimedia Commons，公有领域。婆罗摩笈多没有画像传世；梵文写本是贝叶式的横幅叶子，竖不起来。这一页上，零与正负数的加减乘除逐条列着——连那条著名的错误也在。印度代数正是从这本书进入欧洲语言的。

生平

598
生于比拉马拉
今拉贾斯坦邦宾马尔。父亲吉湿奴；他自称属于婆罗门家族。
628
《婆罗摩历算书》成书
时年三十。二十五章，数学在第十二章与第十八章。
628
零的运算法则
零加零是零，债减去零仍是债，任何数乘零得零——零第一次被当成一个数，而不只是一个占位的圈。
628
财产与债
以「财产」「债」讲正负，给出负负得正，并允许方程的根是负数。
628
圆内接四边形的面积
四边都给定时面积等于 √((s−a)(s−b)(s−c)(s−d))——海伦公式的推广，但只对四点共圆的四边形成立。
628
x² − 92y² = 1 的挑战
他写道：一个人若能在一年之内解出这道题，他就是数学家。答案是 x=1151、y=120。
665
《肯达克迪亚格》
一部更便于实用的历算书，其中用到了二阶插值。
668
卒
年七十。
771
一部印度天文书到了巴格达
被译成阿拉伯文，称《信德欣德》。此后阿拉伯天文学与算术在它之上起步。
约825
经花拉子米西传
《印度数字算术》把印度数字与零传给阿拉伯世界，再由拉丁译本传入欧洲。
1150
婆什迦罗二世接着往下走
补上循环法解佩尔方程，并第一个说明除以零得到的是无穷。
1817
科尔布鲁克英译
印度代数第一次进入欧洲语言——肖像位那一页就出自这一版。

展品厅

绝大多数展品都可以亲手把玩——这是本馆的立馆之本；少数以叙述为主的，做成故事展签。

镇馆之宝 · 亲手玩

零第一次有了运算法则

在他之前零只是一个占位的圈；从他起，零是一个可以参与加减乘除的数。

0 + 0 = 0 \quad a - 0 = a \quad a \times 0 = 0

印度数字里零早就有了，但那是个记号——用来说明「这一位上什么也没有」。婆罗摩笈多做的是另一件事：把零当成一个数，逐条规定它怎么参与运算。628 年那本书里写着：零加零是零；债减去零仍是债，财产减去零仍是财产；零减去债得财产，零减去财产得债；任何数乘零得零。这些今天看是废话的句子，当年是头一回有人把它们说出来——因为在此之前，「什么也没有」凭什么能当成一个东西来加减乘除，根本不是显然的。他也在这里栽了唯一一个跟头：除法。他说零除以零等于零；至于正数除以零，他只说那是一个「以零为分母的分数」，就没有再往下追。这个跟头要五百年后才被补上——1150 年婆什迦罗二世指出，除以零得到的是无穷大，而且他用了一个很现代的说法：分母越小，商越大，分母趋于零时商没有上限。

逐条点开他写下的法则，看哪一格与今天不同

第 1 条 / 8

印度数字里零早就有了，但那是个记号——说明「这一位上什么也没有」。婆罗摩笈多做的是另一件事：把零当成一个数，逐条规定它怎么加减乘除。今天看这些句子像废话，可在此之前，「什么也没有」凭什么能被加减乘除，根本不是显然的。八条里有六条与今天一字不差。出问题的是除法：他说零除以零等于零，正数除以零则只写成「一个以零为分母的分数」，没有再往下追。这个跟头五百年后才被补上——1150 年婆什迦罗二世指出，分母越小商越大，除以零得到的是无穷。

财产与债：负数成了合法的数

负负得正这条规则，第一次被写下来是在 628 年。

(-a) \times (-b) = ab

希腊人不承认负数——丢番图遇到解是负数的方程，直接判为「荒谬」。婆罗摩笈多换了个说法：把正数叫「财产」，负数叫「债」。于是规则有了自然的解释：两笔债加起来还是债；从零里减去一笔债，得到的是财产；财产乘财产是财产，债乘债也是财产——负负得正就是这么第一次被写在纸上的。更要紧的是他允许方程的根是负数，并且给出了二次方程求根公式里带负号的那一支。这一步欧洲走了很久：十六世纪的卡尔达诺把负根称为「虚构的」，到十七世纪还有人在论证负数不可能存在，理由是「比没有还少的东西不存在」。今天温度计、账户余额、坐标轴上的负半轴都理所当然，而它们成为「数」的那一刻，是从一句关于债的比喻开始的。

第 6 条 / 6：债乘债

希腊人不承认负数——丢番图遇到解是负数的方程，直接判为「荒谬」。婆罗摩笈多换了个说法：正数叫「财产」，负数叫「债」。规则于是都有了自然的解释：两笔债加起来还是债；从零里减去一笔债，得到的是财产；债乘债得财产——负负得正第一次被写在纸上就是这一句。更要紧的是他允许方程的根是负数。这一步欧洲走了很久：卡尔达诺十六世纪还把负根称为「虚构的」，十七世纪仍有人论证负数不可能存在，理由是「比没有还少的东西不存在」。

圆内接四边形的面积

四条边给定，面积就定了——但只有当四个顶点恰好落在一个圆上时。

s = \frac{a+b+c+d}{2}

三角形三边定了，面积就定了，这是海伦公式。四边形不然：四根木条拼成的框子可以压扁，面积随之改变，所以「四条边」定不了面积。婆罗摩笈多给出的是在一个额外条件下的答案：当四个顶点共圆时，面积等于 √((s−a)(s−b)(s−c)(s−d))，其中 s 是周长的一半。把其中一条边取为零，它就退化成海伦公式——所以这是海伦公式的推广。这个条件不是随便加的：在所有四边给定的四边形里，共圆的那一个面积最大，所以这条公式给出的其实是上界。有意思的是他的书里没有说明「只对共圆四边形成立」，后来的注释者才补上这一条——于是有几个世纪的读者拿它去算一般四边形，算错了。

第四个顶点偏离圆 0%

三角形三边定了面积就定了，这是海伦公式。四边形不然：四根木条拼的框子可以压扁。婆罗摩笈多给出的是一个额外条件下的答案——四点共圆时，面积等于 √((s−a)(s−b)(s−c)(s−d))。拖动滑块把第四个顶点推离圆：边长跟着变，公式算出来的值开始比真实面积大。这不是公式错了，而是在所有四边给定的四边形里，共圆的那一个面积最大，公式给的是上界。他的原书没写明这个前提，后来的注释者才补上——中间有几个世纪的读者拿它去算一般四边形，算错了。

两平方和之积，仍是两平方和

两个能写成两平方和的数，乘起来还能——而且有两种写法。

(a^2+b^2)(c^2+d^2) = (ac-bd)^2 + (ad+bc)^2

如果 m 与 n 各自都能写成两个平方数之和，那么它们的乘积也能。婆罗摩笈多写下了这条恒等式：(a²+b²)(c²+d²) = (ac−bd)² + (ad+bc)²，而且交换一下符号还得到第二组解 (ac+bd)² + (ad−bc)²。今天它叫婆罗摩笈多—斐波那契恒等式——斐波那契在 1225 年的《平方数之书》里独立地又写了一遍。它不只是一个漂亮的等式：把它翻译成复数就是 |z|·|w| = |zw|，也就是「模是可乘的」；而在数论里，它意味着「能表示成两平方和的数」构成一个对乘法封闭的集合，这正是费马两平方和定理能成立的基础。他真正想用它做的事，是下一件展品里那种方程。

第 2 组：(2, 3) 与 (1, 4)

如果两个数各自都能写成两个平方数之和，那么它们的乘积也能—— 而且有两种写法，换个符号就是另一组。今天这条叫婆罗摩笈多—斐波那契恒等式：斐波那契 1225 年在《平方数之书》里独立地又写了一遍。它不只是个漂亮的等式：翻译成复数就是 |z|·|w| = |zw|，也就是「模是可乘的」；在数论里，它意味着「能表示成两平方和的数」对乘法封闭，这正是费马两平方和定理站得住的基础。而他自己想拿它做的事，是解 x² − Ny² = 1 那种方程——见下一件。

x² − 92y² = 1

他写道：一个人若能在一年之内解出这道题，他就是数学家。

x^2 - 92y^2 = 1 \quad (x, y) = (1151, 120)

这类方程后来被欧拉误称为「佩尔方程」，其实佩尔跟它没什么关系，倒是婆罗摩笈多在 628 年就系统地处理过。他挑出 92 这个数当例题，并且撂下那句话：一年之内解得出来的才算数学家。为什么这么说？因为它的最小解大得离谱——x = 1151，y = 120。试除法从 y=1 一个个试上去，要试一百二十次，而换成别的 N 会更糟：N = 61 时最小解是 x = 1766319049，N = 313 时 x 有十七位数。他的办法叫「合成」：拿两组近似解按上一件展品那条恒等式合起来，能得到一组新的、更好的解——这是把恒等式当成造解的机器用。这条路五百年后由婆什迦罗二世补成完整的循环法，欧洲要到十七世纪才由费马重新提出同样的问题，而当时没有人知道印度人早已解决。

试 y = 1

这类方程后来被欧拉误称为「佩尔方程」，其实佩尔与它没什么关系，倒是婆罗摩笈多 628 年就系统处理过。他挑出 92 当例题，并撂下那句话：一年之内解得出来的才算数学家。为什么？因为最小解是 x = 1151、y = 120—— 一个个试上去要试一百二十次，而换个 N 会更糟。他的办法叫「合成」：拿两组近似解，按上一件展品那条恒等式合起来，得到一组新的、更好的解——把恒等式当成造解的机器用。这条路五百年后由婆什迦罗二世补成完整的循环法；欧洲要到十七世纪才由费马重新提出同样的问题，而当时没人知道印度人早已解决。

零走了一千年

628 年写下的那几条法则，传到欧洲被普遍接受，用了整整一千年。

628 年这本书写成。771 年，一部印度天文书被带到巴格达译成阿拉伯文；此后阿拉伯的算术与代数就建立在印度数字之上，花拉子米的《印度数字算术》把这套写数的办法整理成教材，algorithm 这个词就从他的名字来。1145 年前后这本教材的拉丁译本进入欧洲——可欧洲并没有立刻接受：1299 年佛罗伦萨禁止商人在账簿上使用阿拉伯数字，理由是这些符号容易被涂改。斐波那契 1202 年就写了《计算之书》教怎么用它们，罗马数字却又用了三百年才退场。负数更慢：卡尔达诺十六世纪还称负根为「虚构的」，帕斯卡认为从零里减去四是彻头彻尾的胡说，直到十七、十八世纪负数才被普遍当成合法的数。一条在 628 年就写清楚的法则，走完这段路用了一千年——数学史上「正确」与「被接受」之间的距离，这是最长的一段之一。

故事展签故事展签：从 628 年的一页梵文，到欧洲账簿上的阿拉伯数字。

传承

他的工作没有留在十八世纪——每条链的终点，都是你今天正在使用的东西。

零成为一个可以运算的数⟶经巴格达与花拉子米西传⟶今天每一处写下 0 的地方

财产与债：负负得正⟶负数被接受为方程的根⟶坐标轴的负半轴与账户余额

两平方和之积仍是两平方和⟶婆罗摩笈多—斐波那契恒等式⟶复数的模可乘与费马两平方和定理

x² − 92y² = 1 与合成法⟶婆什迦罗二世的循环法⟶连分数与佩尔方程的现代解法

语录

「零加零是零。债减去零仍是债，财产减去零仍是财产，零减去零是零。」
—— 《婆罗摩历算书》第十八章，628 · 零第一次作为一个数被规定了算法

「债乘债得财产。」
—— 同上 · 负负得正，第一次被写在纸上

「一个人若能在一年之内解出 x² − 92y² = 1，他就是数学家。」
—— 《婆罗摩历算书》第十八章 · 最小解是 x=1151、y=120