数学群星MATHEMATICAL LUMINARIES

Apollonius of Perga · 约前262–约前190

阿波罗尼奥斯

椭圆、抛物线、双曲线——三个名字是他起的，三条曲线是他从同一个锥面上切下来的

y2=px±pdx2y^2 = px \pm \frac{p}{d}x^2
同一个式子，亏、齐、盈三种情形 · 三条曲线的名字就是这么来的

阿波罗尼奥斯约前 262 年生于小亚细亚的佩尔加，年轻时到亚历山大里亚，跟欧几里得的后学读书，后来也在那里教书。生平留下的痕迹几乎只有他自己写在书前的几封信：他到过佩尔加蒙，在那里认识了欧德莫斯，此后八卷《圆锥曲线论》一卷一卷写成、一卷一卷寄给他——第二卷是他让儿子送去的，信里说「请仔细读它，也把它交给配得上读它的人」。欧德莫斯去世后，后面几卷改寄给阿塔洛斯。

在他之前，椭圆、抛物线、双曲线要从三种不同的圆锥上切：锐角锥、直角锥、钝角锥，而且切面一律垂直于母线。他只用一个圆锥，而且是对顶的双锥——改变切面的角度，三条曲线依次出现；双曲线的两支第一次成为同一条曲线的两半。三个名字也是他起的，来自希腊人「贴合面积」的老办法：同一个式子 y² 与 px 相比，亏了叫 ellipsis，正好叫 parabole，盈了叫 hyperbole。这套「横坐标—纵坐标」的写法离解析几何只差一层记号，而那层记号要等一千八百年后的笛卡尔。八卷书的命运也值得一说：前四卷的希腊原文传下来了，第五到第七卷只剩九世纪的阿拉伯文译本，第八卷失传——1710 年哈雷在牛津把前七卷校勘齐全，又按帕普斯的引述把第八卷复原了一遍。而这门「无用」的学问在 1609 年突然有了用处：开普勒发现行星走的正是椭圆。

阿波罗尼奥斯肖像
《圆锥曲线论》第一卷命题四，科曼迪诺拉丁译本，博洛尼亚，1566 · Wikimedia Commons，公有领域。他没有画像传世。这一版是《圆锥曲线论》回到欧洲数学家手里的那一版——韦达、开普勒读的就是它。页上三幅图都是圆锥，而右边那个是双锥——三条曲线出自同一个锥面，正是他与前人分道扬镳的地方。

生平

  1. 约前262
    生于佩尔加

    潘菲利亚的希腊城市，今土耳其安塔利亚附近。

  2. 约前240
    到亚历山大里亚求学

    师从欧几里得的后学。此后大半生在那里教书。

  3. 约前225
    在佩尔加蒙遇见欧德莫斯

    《圆锥曲线论》前三卷的题献对象。后来的几卷改献给阿塔洛斯。

  4. 约前200
    《圆锥曲线论》八卷

    一卷一卷写成、寄出。第二卷由他儿子送去，信里说：请仔细读它，也交给配得上读它的人。

  5. 约前200
    一个双锥，三条曲线

    此前三种曲线要切三种不同的锥。他还第一次把双曲线的两支当成同一条曲线。

  6. 约前200
    椭圆、抛物线、双曲线

    三个名字来自「贴合面积」：亏、齐、盈。今天全世界仍在用。

  7. 约前190
    约卒于亚历山大里亚

    后人称他「伟大的几何学家」。

  8. 约150
    托勒密引他的逆行判据

    《天文学大成》第十二卷：行星何时看起来停住、倒退，判据出自他。

  9. 9世纪
    译成阿拉伯文

    前四卷由希拉勒·希姆西译，五至七卷由塔比·伊本·库拉译——第五到第七卷如今只剩这一支。

  10. 1566
    科曼迪诺拉丁译本

    博洛尼亚版，前四卷。肖像位那一页就出自这一版。

  11. 1600
    韦达《高卢的阿波罗尼奥斯》

    他的《相切》失传了，韦达照帕普斯的转述把那道三圆相切问题重新用尺规解了出来。

  12. 1609
    开普勒：轨道是椭圆

    一条被研究了一千八百年、没有任何用处的曲线，忽然成了天上的形状。

  13. 1710
    哈雷的牛津八卷本

    前七卷校勘齐全，失传的第八卷按帕普斯的引述复原。

展品厅

绝大多数展品都可以亲手把玩——这是本馆的立馆之本；少数以叙述为主的，做成故事展签。

镇馆之宝 · 亲手玩

一个圆锥，三条曲线

转动切面的角度：椭圆变成抛物线，再裂成双曲线。

e=cos⁡βcos⁡αe = \frac{\cos\beta}{\cos\alpha}

梅内克缪斯（约前350年）最早得到这三条曲线，办法却笨：他准备了三种圆锥——顶角是锐角、直角、钝角的，切面一律垂直于母线，一种锥切出一种曲线。所以在他那里，三条曲线是三件不相干的东西。阿波罗尼奥斯把这件事整个改写了：他只用一个圆锥，而且是对顶的双锥；固定锥不动，转动切面，三条曲线依次出现。切面比母线陡，截得一圈闭合的曲线，是椭圆；正好与母线平行，曲线跑向无穷，是抛物线；比母线平，切面就同时切到上下两个锥面，得到双曲线的两支——两支属于同一条曲线，这一点也是他第一个说的（此前只当是两条）。判据只有一个数：切面与轴的夹角对上半顶角，大于、等于、小于，正对应离心率小于一、等于一、大于一。一千八百年后笛卡尔用代数把同一件事再说一遍：三条曲线是同一个二次方程，判别式过零点而已。

转动切面，看截出来的是哪一条

梅内克缪斯最早得到这三条曲线，办法却笨：锐角锥、直角锥、钝角锥各备一个， 切面一律垂直于母线，一种锥切出一种曲线——在他那里三条曲线是三件不相干的东西。 阿波罗尼奥斯只用一个圆锥，而且是对顶的双锥：锥不动， 转动切面就够了。切面比母线陡是椭圆，恰好平行于母线是抛物线，比母线平就同时 切到上下两个锥面——双曲线的两支从此属于同一条曲线。 判据只是一个数：切面与轴的夹角对上半顶角。一千八百年后笛卡尔用代数把同一件事 再说一遍：三条曲线是同一个二次方程，只差判别式过不过零点。

三个名字是怎么来的

亏了叫椭圆，正好叫抛物线，盈了叫双曲线——说的是面积，不是形状。

y2=px±pdx2y^2 = px \pm \frac{p}{d}x^2

ellipse、parabola、hyperbola 这三个词今天听着像是形状的名字，其实说的是面积：它们来自毕达哥拉斯学派「贴合面积」的老办法——给定一条线段和一块面积，把面积贴成以这条线段为边的矩形，看是正好贴满、还是差一块、还是多出来。阿波罗尼奥斯发现三条曲线各自满足一个同样形状的关系：以顶点为原点，沿轴量出横距 x，竖起纵线 y，那么 y² 要拿去与 px 比（p 是正焦弦）。抛物线上 y² = px，不多不少，正好贴合——parabole 就是「贴合」；椭圆上 y² 比 px 少一块，差的那块正比于 x²——elleipsis 是「亏缺」；双曲线上 y² 比 px 多一块——hyperbole 是「超出」。所以这三个词分别是「齐」「亏」「盈」。这个关系他叫「症候」（symptoma），而它其实就是今天的方程：横距是横坐标，纵线是纵坐标，y² = px ∓ (p/d)x² 正是三条曲线的标准形式。离解析几何只差一层记号——那层记号要等笛卡尔。顺带一提，hyperbole 与 ellipsis 今天还活在英语里：夸张和省略。

ellipse、parabola、hyperbola 听着像形状的名字，其实说的是面积： 它们来自毕达哥拉斯学派「贴合面积」的老办法——给定一条线段和一块面积， 把面积贴成以它为边的矩形，看是正好贴满、还是差一块、还是多出来。 以顶点为原点量出横距 x、竖起纵线 y，把 y² 拿去和 px 比（p 是正焦弦）： 抛物线上两块一样大（parabole＝贴合），椭圆上差一块（elleipsis＝亏缺），双曲线上多一块（hyperbole＝超出）。 这个关系他叫「症候」，而它就是今天的方程 y² = px ∓ (p/d)x²——横距是横坐标， 纵线是纵坐标，离解析几何只差一层记号。顺带一提，这两个词今天还活在英语里： hyperbole 是夸张，ellipsis 是省略号。

阿波罗尼奥斯圆

到两点的距离之比固定，动点画出的是一个圆——不是别的什么。

PAPB=k\frac{PA}{PB} = k

给定两点 A、B，让动点 P 满足 PA : PB 等于一个定值 k。k = 1 时答案人人知道：中垂线。可只要 k 不等于 1，轨迹就不再是直线，而是一个圆——这个结论出自他失传的《平面轨迹》，靠帕普斯的转述传下来，今天叫「阿波罗尼奥斯圆」。有意思的是圆心并不在 A、B 中点，而且随 k 变化：k 越接近 1，圆越大，k → 1 时圆胀成直线（半径趋于无穷）；k 很小或很大时，圆缩到某个点附近。这族圆还有一个性质：它们两两不相交，恰好把整个平面铺满，而与之正交的另一族圆全都穿过 A 和 B——两族圆合起来就是复变函数里的默比乌斯变换图景，也是静电学里两条带电直线的等势线。他当年只是在做一道轨迹题。

给定两点 A、B，让动点 P 满足 PA : PB 等于一个定值。k = 1 时答案人人知道—— 中垂线；可只要 k 不等于 1，轨迹就是一个圆。这条结论出自他失传的 《平面轨迹》，靠帕普斯的转述传下来，今天就叫阿波罗尼奥斯圆。拖第一个滑块： k 越接近 1 圆越大，到 1 时胀成直线，过了 1 又从另一边缩回来；圆心始终不在 A、B 的中点上。这族圆两两不相交、正好铺满平面，而与它们处处正交的另一族圆 全都穿过 A 和 B——两族合起来就是复分析里默比乌斯变换的那张图， 也是静电学里两条带电直线的等势线。他当年只是在做一道轨迹题。

第五卷：从一点出发的最短线

他问「哪条线最短」，答案是法线；而所有法线又包出了一条新曲线。

(axa2−b2)2/3+(bya2−b2)2/3=1\left(\frac{ax}{a^2-b^2}\right)^{2/3} + \left(\frac{by}{a^2-b^2}\right)^{2/3} = 1

前四卷是把前人的东西写全写好，第五到第七卷才是他自己的。第五卷通常被认为是全书最了不起的一卷，题目听起来很朴素：从平面上一点出发，到圆锥曲线上各点的线段里，哪一条最短、哪一条最长？他的答案是：极值线必定与曲线正交——也就是法线。接着他问了一个更深的问题：从一个给定的点，能画出几条法线？答案不总是一样：点落在某个区域里有四条，落在外面只有两条，而分界正好是一条尖尖的星形曲线——它是所有法线的包络，今天叫渐屈线，也是各点曲率中心的轨迹。他没有微积分，全靠纯几何把这条曲线的性质推了出来；欧洲要到 1673 年惠更斯研究摆线钟时才重新走到这里，而那时他已经有了微积分。第五卷的希腊原文早已失传，我们读到的是九世纪塔比·伊本·库拉的阿拉伯译本。

前四卷是把前人的东西写全写好，第五卷才是他自己的，通常也被认为是全书最了不起的 一卷。题目听起来很朴素：从一点出发到曲线上各点的线段里，哪条最短、哪条最长？ 答案是极值线必与曲线正交——也就是法线。接着他问得更深： 从一个给定的点能画出几条法线？拖两个滑块看：有时四条，有时两条， 而分界恰好是那条褐色的尖角星形——它是所有法线的包络，也是各点曲率中心的轨迹， 今天叫渐屈线。他没有微积分，全靠纯几何把它推了出来；欧洲要到 1673 年惠更斯 研究摆线钟时才重新走到这里，而那时他已经有了微积分。第五卷的希腊原文早已失传， 我们读到的是九世纪塔比·伊本·库拉的阿拉伯译本。

共轭直径：斜着看也一样

把椭圆斜着切，一对直径的平方和永远不变，围出的平行四边形面积也不变。

a′2+b′2=a2+b2a'^2 + b'^2 = a^2 + b^2

椭圆有长轴短轴，可他不认为这两条有什么特殊。任取一条过中心的直径，把所有与它平行的弦取中点，这些中点连起来又是一条直径——两条互为「共轭」。用共轭直径当坐标轴，那个「症候」式子照样成立，只是坐标系斜了。第七卷给出两条漂亮的不变量：一对共轭半径的平方和恒等于长短半轴的平方和；以它们为邻边的平行四边形面积恒等于长短半轴之积。换句话说，斜着看一个椭圆，有些东西一点没变。今天这两条一眼就能看穿：椭圆是圆的仿射像，而仿射变换保持面积比——共轭直径不过是圆里两条垂直半径的像，圆上那两条当然等长、当然围出正方形。他没有这套语言，靠的是一条一条的比例推演，而结论一模一样。

椭圆有长轴短轴，可他不认为这两条有什么特殊。任取一条过中心的直径， 把所有与它平行的弦取中点，中点连起来又是一条直径——两条互为共轭（图上褐色的就是那族弦和它们的中点）。用共轭直径当坐标轴，那个「症候」式子 照样成立，只是坐标系斜了。第七卷给出两条不变量：一对共轭半径的平方和恒等于 a²+b²，以它们为邻边的平行四边形面积恒等于 ab。转动滑块，右栏两个数一动不动。今天一眼就能看穿：椭圆是圆的仿射像， 共轭直径不过是圆里两条垂直半径的像——圆上那两条当然等长、当然围出正方形。 他没有这套语言，靠的是一条条比例推演，而结论一模一样。

一千八百年之后才用上

没有任何用处的八卷书，后来成了行星的轨道、炮弹的弹道和卫星的天线。

《圆锥曲线论》写成时，没有人需要它。希腊人研究这些曲线是为了倍立方、为了几何本身的完整；此后一千八百年，它一直是纯粹的智力练习——阿波罗尼奥斯自己在序言里说，第四卷那些新定理「就其本身而言值得接受」。然后它一样一样被用上了：1604 年伽利略确认斜抛的轨迹是抛物线；1609 年开普勒发现行星轨道是椭圆——他后来说自己「从阿波罗尼奥斯那里搬来了全部工具」；1687 年牛顿在《原理》里证明平方反比力下的轨道必是圆锥曲线，全书用的仍是希腊式的圆锥曲线几何；今天卫星天线是抛物面，因为抛物线把平行光聚到一个焦点，这条性质写在第三卷里。这本书自己的命运则坎坷得多：前四卷的希腊原文传世，第五到第七卷只剩九世纪的阿拉伯译本，第八卷彻底失传，1710 年由哈雷按帕普斯的引述复原。还有一本《相切》连转述都只剩几行——里面那道「作一个圆与给定的三个圆相切」的题目，1600 年由韦达重新解出，因此得了个外号叫「高卢的阿波罗尼奥斯」。所以这本书是那个老问题最好的例子：没用的数学，究竟该不该做。

故事展签故事展签：八卷书、一千八百年，以及它们后来派上的用场。

传承

他的工作没有留在十八世纪——每条链的终点，都是你今天正在使用的东西。

一个双锥切出三条曲线⟶笛卡尔：三条曲线是同一个二次方程⟶判别式 B²−4AC 过零点
「症候」y² = px ∓ (p/d)x²⟶圆锥曲线的标准方程⟶今天每一本解析几何教材的第一章
第五卷的法线与包络⟶惠更斯的渐屈线与曲率中心⟶微分几何与曲率
失传的《相切》⟶韦达 1600 年用尺规重解⟶反演几何与笛卡尔圆定理
椭圆、抛物线、双曲线⟶开普勒的椭圆轨道与伽利略的抛物弹道⟶牛顿《原理》与今天的抛物面天线

语录

「我让我的儿子阿波罗尼奥斯把《圆锥曲线论》第二卷带给你。请仔细读它，也把它交给配得上读它的人。」

—— 第二卷序，致欧德莫斯 · 希思英译本转译。这是他生平留下的最具体的一笔

「第三卷里有许多值得注意的定理……其中最漂亮的那些是新的；正是它们让我看出，欧几里得并没有把三线与四线轨迹作完，只作出了偶然的一部分，而且作得并不成功。」

—— 第一卷序，致欧德莫斯 · 希思英译本转译。他对前辈的评价一向直白

「第四卷里那些定理，就其本身而言值得接受——正如同一道题目的许多别的证明一样，我们接受它们，只因为它们本身值得。」

—— 第四卷序 · 一句为「没有用处」的数学作的辩护，写在两千两百年前