Omar Khayyam · 1048–1131

奥马尔·海亚姆

他把方程的根，看成了两条曲线的交点

x^3 + bx = n

抛物线配一个圆，交点的横坐标就是它的根 · 约1070，撒马尔罕

奥马尔·海亚姆 1048 年 5 月 18 日生于呼罗珊的内沙布尔，Khayyam 的意思是「帐篷匠」，多半是父辈的行当。二十来岁上他到撒马尔罕，靠当地大法官阿布·塔希尔的庇护写成《代数问题的论证》——序言里他解释自己为何迟迟没能专心于此：「我们这个时代，有学问的人已经凋零，只剩很小的一群。」1074 年苏丹马利克沙与宰相尼扎姆·穆勒克把他召到伊斯法罕主持天文台，此后十八年是他一生最安稳的日子：1077 年 12 月写完注释欧几里得的那本书，1079 年 3 月 15 日新历行用。1092 年马利克沙暴卒、尼扎姆·穆勒克遇刺，天文台的钱当年就断了，他此后辗转于梅尔夫与故乡，1131 年 12 月 4 日卒于内沙布尔。

他做成的那件事，一句话说得完：方程的根，就是两条曲线的交点。当时没有负数，四样东西分到等号两边便成了十九种不同的三次方程，他逐类给出作图——抛物线、圆与双曲线两两相交，交点的横坐标即是根。他也把话说在了前头：这些根我们用代数写不出来，也许后来的人能。四百七十五年后《大术》做到了。同一本书里他还断言这些点尺规作不出来，这句话要等到 1837 年才被万采尔证明。另外两件事同样在他名下：1077 年那本注释里，他第一个把平行公设的三种可能分开来考察，比萨凯里早六百年；他还自述写过一本讲任意次开方的书，那本失传了。至于名气——他的代数 1851 年由沃普克译成法文，八年后菲茨杰拉德的《鲁拜集》问世，此后一百多年里，西方认得的是那个诗人。

《代数问题的论证》十三世纪抄本，哥伦比亚大学珍本部 David Eugene Smith Oriental MS 45 · Wikimedia Commons，公有领域。他没有画像传世，Commons 上挂着他名字的全是今人塑像；好在他自己的书还在。这是抄本的一个对开页，原图是横幅的双页，只取了左边一页——正文之下那幅红笔作图，就是书里用圆锥曲线求根的那类图。抄写地点在拉合尔，时间比他晚一百多年。

生平

1048
生于内沙布尔
5 月 18 日。呼罗珊的重镇，当时是塞尔柱人的天下。
约1070
《代数问题的论证》
在撒马尔罕，受大法官阿布·塔希尔庇护写成。十九类三次方程，逐类用圆锥曲线作图。
1074
受召主持伊斯法罕天文台
苏丹马利克沙与宰相尼扎姆·穆勒克出的钱，班子共八人。
1077
《对欧几里得书中若干难题的注释》
12 月完成。第一卷是那个四边形与平行公设的三种可能，第二、三卷讲比与数。
1079
贾拉利历行用
3 月 15 日，以春分为岁首，33 年安 8 个闰年。以马利克沙的尊号「贾拉勒丁」命名。
约1079
报出的年长
365.24219858156 日——与今天的值相差不到一秒。
1092
天文台断炊
马利克沙暴卒，尼扎姆·穆勒克遇刺。历法的观测工作就此停下。
约1112
在巴尔赫说起自己的坟墓
「将在一处每年春天北风为它撒满花瓣的地方。」弟子尼扎米·阿鲁迪记下了这句话。
1131
卒于内沙布尔
12 月 4 日，年八十三。
1135
弟子寻到他的墓
墓在一处园墙下，梨树与杏树探出墙来，落花把墓碑盖住了。
1545
他等的那个人
《大术》给出三次方程的根式解——他说「也许后来的人能做到」，隔了四百七十五年。
1851
沃普克法译本
《奥马尔·海亚姆的代数》在巴黎出版，他的数学第一次进入欧洲语言。
1859
菲茨杰拉德《鲁拜集》
此后一百多年，西方认得的是那个诗人。能确切归到他名下的四行诗只有一百二十首左右。

展品厅

绝大多数展品都可以亲手把玩——这是本馆的立馆之本；少数以叙述为主的，做成故事展签。

镇馆之宝 · 亲手玩

用两条曲线解一个方程

抛物线配一个圆，交点的横坐标就是三次方程的根。

x^3 + bx = n

花拉子米把二次方程解完了，办法是配方——摆成一个正方形，缺角补上。三次方程补不成：立方摆不进平面。海亚姆换了一条路，而这条路的入口是一句翻译：把要求的那个数看成一段长度，于是方程变成一个关于长度的条件，而满足条件的点落在一条曲线上。要 x³ + bx = n，就画一条抛物线 x² = √b·y，再画一个圆——直径 n/b，一端搁在原点。两条线除原点外交于一点，那个点的横坐标正是根。验算只要一步：把 y = x²/√b 代进圆的方程，整理出来是 x(x³ + bx − n) = 0。他对十四类真三次方程逐一配了这样一对曲线，这是头一回有人把三次方程当成一件整事来办。他也知道这不是终点，并且把话说在了前头：这些根我们用代数写不出来，也许后来的人能——四百七十五年后《大术》做到了。还有一句更硬的：这个点尺规作不出来。当时无人能证，1837 年万采尔才补上。

拖两个系数，看交点跟着挪；代回去总是那个数

边的个数 b = 4那个数 n = 16

他要解的是 x³ + bx = n。办法是画两条曲线：一条抛物线 x² = √b·y，一个圆——直径 n/b，一端搁在原点。两条线除原点外交于一点，那个点的横坐标就是根。拖两个滑块看它怎么跟着挪。验算在右栏：代回去总是 n。这不是巧合——把抛物线的 y 代进圆的方程，整理出来就是 x(x³ + bx − n) = 0。要紧的不是这一个方程，是那句翻译：方程的根，就是两条曲线的交点。他还顺带断言：这个点尺规作不出来——这句话要等七百五十年后才被万采尔证明。

十九个格子，十四类真三次

没有负数，也就没有移项——挪一个项，就换了一个方程。

x^3 + bx = n \quad x^3 = bx + n

今天写三次方程只要一个式子：ax³ + bx² + cx + d = 0，系数正负随便。当时不行——负数还不算数，系数必须是正的，于是「x³ + bx = n」与「x³ = bx + n」是两个不同的方程，各有各的解法。四样东西（立方、平方、边、数）分到等号两边，凡带立方的分法共十九种，他按项数排成三种二项、九种三项、七种四项。其中五种两边能约掉一个 x，落回花拉子米那六种二次方程；剩下十四种约不掉，配方也没用——这十四类他逐一配上一对圆锥曲线。花拉子米那边的「六种二次方程」是同一个道理，只是低了一次；等到三百年后韦达把字母搬进方程、笛卡尔允许系数取负，这十九个格子才塌回成一个式子。这件事值得看一眼，因为它说明一个记号上的便利能省下多少力气：不是他们笨，是他们手上没有负号。

第 4 类

当时没有负数，也就没有「移项」：系数必须是正的，所以 x³ + bx = n 和 x³ = bx + n 是两个不同的方程，得分开解。四样东西——立方、平方、边、数—— 分到等号两边，凡带立方的分法一共十九种，他按项数排成三种二项、九种三项、七种四项。其中五类两边能约掉一个 x，落回花拉子米那六种二次方程；剩下十四类约不掉，配方也没用。他给这十四类逐一配上一对圆锥曲线—— 这是头一回有人把三次方程当成一件整事来办，而不是一道一道地碰。花拉子米那边的「六种二次方程」是同一个道理，只是低了一次。

一年有多长

33 年 8 闰。这部 1079 年的历，比五百年后的格里历还准一点。

365 + \frac{8}{33} = 365.242424\ldots

1074 年他受命改历，五年后新历行用，以春分为岁首，闰法是三十三年里安八个闰年——年长 365 + 8/33 = 365.242424… 日。同期欧洲用的儒略历是四年一闰，年长 365.25；要到 1582 年才有格里历的 365.2425。拿平回归年 365.24219 日当尺子量：儒略历 128 年差一天，格里历约 3200 年差一天，贾拉利历约 4300 年差一天。也就是说，1079 年伊斯法罕定下的这一部，比五百年后罗马定下的那一部还准一点。（常听到的「格里历三千三百年差一天、贾拉利历五千年差一天」是拿春分年当基准算的，问的不是同一个问题，两种算法都对。）他那次观测报出的年长是 365.24219858156 日，与今天的值相差不到一秒。1092 年靠山一死，天文台的钱就断了，这部历却活了下来——今天伊朗的官历是它的后身。

从 1079 年起算，过了 950 年

1074 年他受命改历，1079 年 3 月 15 日新历行用，以春分为岁首。闰法是三十三年里安八个闰年，年长 365 + 8/33 = 365.242424… 日。儒略历是 365.25，五百年后的格里历是 365.2425。以平回归年 365.24219 日为准，儒略历 128 年就差一天，格里历约 3200 年，贾拉利历约 4300 年—— 1079 年定下的这一部，比五百年后欧洲那一部还准一点。拖滑块看三条线怎么分开：儒略历那条一路爬上去，另两条几乎贴着零线。他那次观测报出的年长是 365.24219858156 日，与今天的值相差不到一秒。1092 年马利克沙死后天文台断了钱，这部历却一直用了下来——今天伊朗的官历就是它的后身。

那个四边形

他把平行公设的三种可能分开来查，比萨凯里早六百年——然后划掉了两种。

\angle D = \angle C

《原本》的第五公设从来不像公设，倒像一条该被证出来的定理，一千三百年里试着证它的人排成了长队。1077 年海亚姆的办法是这个四边形：底边上竖起两条等长的垂线，把顶端连起来。顶上两个角必然相等，这一步不用第五公设就能证；于是只剩三种可能——两个角同为钝角、同为直角、同为锐角。他是第一个把三种情形分开来考察的人，那个四边形今天叫「海亚姆—萨凯里四边形」，萨凯里是 1733 年的事。他证对了一半：直角那一种等价于第五公设。错的是另一半——为排除钝角与锐角，他用了一条归在亚里士多德名下的原理：两条越走越近的直线必然相交。可这条原理本身就等价于第五公设，证明于是绕回了起点。这不是他一个人的失手，是整条队伍的失手：每个人都在某一步偷偷用掉了要证的东西。被他划掉的那两种后来各自长成了一门几何——锐角是双曲几何，钝角是球面几何。他手里其实已经攥着三门几何，只当自己在补一个漏洞。

1077 年他去啃《原本》里最让人不安的那条第五公设。办法是这个四边形：底边上竖两条等长的垂线，连起顶端。顶上两个角必然相等（这一步不用第五公设），所以只剩三种可能。他是第一个把三种情形分开来考察的人，比萨凯里早六百年——那个四边形今天叫「海亚姆—萨凯里四边形」。他证对了一半：直角那一种等价于第五公设。错的是另一半：为排除钝角与锐角，他用了一条「两条越走越近的直线必然相交」的原理，而这条原理本身就等价于第五公设，于是证明绕回了起点。被他划掉的那两种没有死：锐角长成双曲几何，钝角长成球面几何。今天看，这张图上画着三门几何，而他以为自己只是在补一个漏洞。

开任意次方

要开到任意次方，就得先有三角形的任意一行——这两件事在他那里是同一件。

(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k

他在代数书里提过自己另写了一本，讲怎么开四次方、五次方、六次方以至任意次方，用的是「一条我发现的法则，不依赖几何图形」。那本书大概就是《算术难题》，失传了，只剩这句自述与几处旁人的转引。但那条法则是什么，从要做的事上看得出来：逐位开方，每添一位要从余数里扣掉的是 (10a+b)ⁿ − (10a)ⁿ，拆开正是二项式系数第 n 行那串数。开平方只要 1、2、1，开五次方要 1、5、10、10、5、1——要开到任意次方，就得有任意一行。所以在他那里，「开方」与「二项式系数」本来就是同一件事；同一张表在此前的中国（贾宪、杨辉）与此后的欧洲各被重新发现过一次。它在伊朗至今叫海亚姆三角，在欧洲叫帕斯卡三角，而帕斯卡是 1654 年的事。

他在代数书里提过自己另写了一本，讲怎么开四次方、五次方以至任意次方，「用的是一条我发现的法则，不依赖几何图形」。那本书失传了，只剩这句自述—— 但要开的这件事本身留了下来：逐位开方，每添一位要扣掉的是 (10a+b)ⁿ − (10a)ⁿ，拆开来正是三角形第 n 行那串系数。要开到任意次方，就得先有任意一行。所以在他那里，「开方」与「二项式系数」本来就是同一件事——这也是为什么那张三角形在伊朗至今叫海亚姆三角，而欧洲管它叫帕斯卡三角，那已经是 1654 年了。

西方先认得的是那个诗人

1851 年他的代数译成法文，1859 年他的四行诗译成英文——出名的是后一件。

1851 年，沃普克在巴黎出版《奥马尔·海亚姆的代数》，阿拉伯原文加法文对译，这是他的数学第一次进入欧洲语言，读者是少数几个东方学家。八年后，爱德华·菲茨杰拉德自费印了二百五十册《鲁拜集》，卖不动，成堆躺在书店的便士箱里；几年后被人翻出来，此后风靡整个英语世界，「海亚姆俱乐部」一家家开起来，到十九世纪末已成风尚。于是有了这个错位：西方最出名的波斯诗人，本职是天文台台长；而那本把三次方程理出头绪的书，多数人没听说过。诗的这一面也有麻烦——托名他的四行诗有上千首，能确切归到他名下的只有一百二十首左右，菲茨杰拉德的译本更是意译，与其说是翻译，不如说是用维多利亚时代的英语重写了一遍。一个人留下的东西里，哪一样能传开，往往不由他自己决定：他花了十八年校准一年的长度，而后世记住的是一句「手指写罢便自行移去」。

故事展签故事展签：一个数学家怎样以诗人的身份出名。

传承

他的工作没有留在十八世纪——每条链的终点，都是你今天正在使用的东西。

十四类三次方程与圆锥曲线作图⟶德尔·费罗与《大术》的根式解⟶伽罗瓦：五次方程为什么不行

方程的根＝两条曲线的交点⟶笛卡尔把这句话反过来说：曲线可以写成方程⟶今天屏幕上的每一条曲线

海亚姆四边形的三种假设⟶萨凯里与兰伯特⟶罗巴切夫斯基、黎曼与非欧几何

33 年 8 闰的贾拉利历⟶比格里历早五百年，还准一点⟶今天伊朗的官历

任意次开方要用的那一行系数⟶海亚姆三角／帕斯卡三角⟶牛顿的广义二项式定理

语录

「我们试着用代数把这些根表示出来，但没有成功。也许在我们之后的人能够做到。」
—— 《代数问题的论证》，约1070 · 四百七十五年后，《大术》做到了

「我们这个时代，有学问的人已经凋零，只剩下很小的一群。」
—— 同书序言，解释自己为何迟迟未能专心于代数

「我的坟墓将在一处每年春天北风为它撒满花瓣的地方。」
—— 约1112 年在巴尔赫的一次谈话，弟子尼扎米·阿鲁迪记下；1135 年他去寻访，墓上果然落满了梨花与杏花