数学群星MATHEMATICAL LUMINARIES

Joseph-Louis Lagrange · 1736–1813

拉格朗日

他把整个力学写成了一道求极值的题，全书没有一张图

ddt∂L∂q˙=∂L∂q\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} = \frac{\partial L}{\partial q}
欧拉—拉格朗日方程 · 一个标量 L，一套公式，管住所有坐标

拉格朗日 1736 年生于都灵，本名朱塞佩·洛多维科·拉格朗贾，家里说的是意大利语和法语。父亲在撒丁王国的公共工程部门管钱，却把家产投进投机生意赔了个精光。他后来对人说，如果当年家里有钱，他大概不会把一生交给数学。十七岁那年他读到哈雷一篇把代数用在光学上的文章，从此转向数学，基本靠自学；十九岁已经是都灵皇家炮兵学校的数学教授。

也是十九岁那年，他写信给当时最有名的欧拉，寄去一套处理等周问题的新算法——不再像欧拉那样靠几何论证，而是纯粹的符号运算，他把变动量记作 δ。欧拉回信盛赞，并把自己手上同题材的稿子压下不发，等这个年轻人先发表；「变分法」这个名字就是欧拉为他这套 δ 演算取的。1766 年欧拉离开柏林去彼得堡，腓特烈二世写信说「欧洲最伟大的国王」希望「欧洲最伟大的数学家」到他的宫廷来——接替欧拉的正是拉格朗日，他在柏林一待二十年。

他一生的方向很清楚：把每一门学问都变成纯粹的分析。1788 年的《分析力学》把牛顿以来一百年的力学重写了一遍，全书没有一张图——他在序言里专门声明了这件事，语气近乎自豪。1770 年的《关于方程代数解法的思考》则反过来问「已有的解法为什么行得通」，答案是根的置换，这条线后来生出阿贝尔、伽罗瓦与整个群论。此外还有 1770 年证明的四平方和定理（每个自然数都是四个平方数之和，费马宣称有证明却没留下）、1771 年那条今天叫「拉格朗日定理」的群论命题、以及三体问题里那两个与主天体成等边三角形的平衡点。

1787 年他移居巴黎，住在卢浮宫，此后再没离开。革命年代他主持度量衡委员会，十进制的米制能保住这个形式，他出力最多；1793 年清查外国人的法令本可以把他赶走，是拉瓦锡出面保下了他，而第二年拉瓦锡被送上断头台。晚年他在新办的高等师范与综合理工学院讲课，讲义整理成《解析函数论》——那本书想用幂级数把微积分重建一遍，绕开当时说不清的「无穷小」，路子后来被柯西的极限取代，可他为讲课发明的记号 f′(x) 一直用到今天。1813 年 4 月 10 日卒于巴黎，葬入先贤祠。

拉格朗日肖像
佚名铜版画肖像 · 史密森学会图书馆「Scientific Identity」肖像集，Wikimedia Commons，公有领域。胸前那颗星是荣誉军团勋章——他 1808 年被拿破仑封为帝国伯爵。

生平

  1. 1736
    生于都灵

    本名朱塞佩·洛多维科·拉格朗贾。父亲在撒丁王国管公共工程的钱，投机赔光了家产。

  2. 1755
    十九岁写给欧拉的那封信

    8 月 12 日。信里是一套处理等周问题的纯符号算法，把变动量记作 δ。欧拉盛赞，并把自己同题材的稿子压下，等他先发表。

  3. 1755
    任都灵皇家炮兵学校数学教授

    同样是十九岁。他的数学基本靠自学。

  4. 1764
    月球天平动

    巴黎科学院悬赏题：月亮为什么总以同一面对着我们。他拿了奖。

  5. 1766
    接替欧拉主持柏林科学院数学部

    腓特烈二世的信里说，「欧洲最伟大的国王」希望「欧洲最伟大的数学家」到他的宫廷来。此后二十年。

  6. 1770
    四平方和定理

    每个自然数都是四个平方数之和。费马宣称有证明，没有留下；巴歇在 1621 年的《算术》译本里把它列成猜想。

  7. 1770–71
    《关于方程代数解法的思考》

    不问怎么解，问为什么解得开。答案是根的置换——预解式在三次上降到二次、四次上降到三次，五次却升到六次。

  8. 1772
    《三体问题论》

    巴黎科学院奖题。他找到两个与两个主天体各成等边三角形的平衡解，即今天的 L4、L5；共线的三个是欧拉 1767 年找到的。

  9. 1787
    移居巴黎

    路易十六邀请，住在卢浮宫。此后再没离开法国。

  10. 1788
    《分析力学》

    力学被重写成分析。序言开头一句：本书中找不到任何图。据说他到巴黎后一度抑郁，自己那本样书两年没有翻开过。

  11. 1790–99
    度量衡委员会

    与拉瓦锡、博尔达、拉普拉斯、蒙日、孔多塞同事，后来主持。米制的十进制能保住这个形式，他出力最多。

  12. 1794
    拉瓦锡上断头台

    5 月 8 日。前一年清查外国人的法令本可以把拉格朗日赶走，是拉瓦锡出面保下的。

  13. 1795
    在高等师范与综合理工学院讲课

    第一批教席。他的讲义后来整理成《解析函数论》与《函数计算讲义》。

  14. 1797
    《解析函数论》

    想用幂级数把微积分重建一遍，绕开说不清的无穷小。这条路后来被柯西的极限取代，但他为讲课发明的记号 f′(x) 留了下来。

  15. 1808
    封帝国伯爵

    拿破仑说他是「数学科学的巍峨金字塔」。1813 年又授帝国重聚勋章大十字，那时离他去世只剩几天。

  16. 1813
    卒于巴黎，葬入先贤祠

    4 月 10 日，年七十七。

展品厅

绝大多数展品都可以亲手把玩——这是本馆的立馆之本；少数以叙述为主的，做成故事展签。

镇馆之宝 · 亲手玩

一本没有图的力学书

牛顿的路子要追着约束力算；他只写一个标量 L = T − V，约束力一次也不出现。

L=T−Vddt∂L∂q˙i=∂L∂qiL = T - V \quad \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} = \frac{\partial L}{\partial q_i}

《分析力学》1788 年在巴黎出版，序言开头就声明：本书中找不到任何图。这不是排版偷懒，是纲领。牛顿以来的做法是给每个物体画受力图，把力按分量拆开——一旦系统带约束（珠子只能沿轨道走、摆锤被杆拴着），就得额外引入约束力：轨道的支持力、杆的拉力。这些力做的功恒为零，对结果毫无贡献，却必须先算出来再消掉，否则方程都写不出来。拉格朗日换了个起点：先数清系统真正能自由变化的量有几个，给它们各起个名字叫广义坐标；再写一个标量 L = 动能 − 势能；然后对每个坐标套同一个公式。约束力从头到尾没有露过面，因为它们本来就不在能自由变化的方向上。代价是这套写法看不见「谁在推谁」，好处是它可以照搬到任何坐标系、任何维数、任何场——一百多年后写量子场论和广义相对论，用的还是同一张纸上的同一个公式。

小车上吊一个摆：看牛顿要追的两个约束力，和拉格朗日根本不写的那两个

牛顿的路子要把两个物体拆开各画一张受力图，一路追着两个约束力： 杆对摆锤的拉力 T、轨道对小车的支持力 N。它们做的功恒为零，对结果毫无贡献， 却必须先算出来再消掉，否则方程都写不出来。 拉格朗日的路子是：挑两个能自由变化的量 x 与 θ，写一个标量 L = T − V， 再对每个坐标套同一个公式——约束力从头到尾没出现过。 顺带还白拿两条：x 在 L 里只以 ẋ 的形式出现，于是 ∂L/∂ẋ 守恒， 质心的横坐标钉死不动（画面上那条竖虚线）；能量也守恒。 「某个坐标不出现，就对应一个守恒量」——一百三十年后，诺特把这句话证成了定理。

带着镣铐求极值

点被约束在一条曲线上，导数为零那一套就用不上了——除非换个说法。

∇f=λ∇g\nabla f = \lambda \nabla g

无约束的极值好办：导数为零。可现实里的问题几乎都带约束——在给定的预算下买最多的东西，在给定的周长里围最大的地，在给定的能量下让熵最大。这时点连往哪儿走都不自由，「导数为零」直接失效。拉格朗日的办法是把约束也写进目标：只要目标函数的等值线还穿过约束曲线，沿着约束挪一步就能换到更好的一条，所以那里一定不是极值；极值只可能出现在两条曲线相切的地方，而相切等价于两条法向平行，即 ∇f = λ∇g。那个凭空多出来的 λ 就是「乘数」。它不只是个中间量：在经济学里它是影子价格——约束松一点，目标能改善多少；在物理引擎里，每一根关节、每一次碰撞算的都是它；在机器学习里，支持向量机的对偶问题、带正则项的训练，走的也是同一条路。

求极值本来是「让导数为零」，可一旦点被约束在一条曲线上， 它连往哪儿走都不自由，导数为零那一套就用不上了。 拉格朗日的办法是换个说法：只要 f 的等值线还穿过约束曲线， 沿曲线挪一步就能换到更高的一条——所以那里一定不是极值。 极值只能出现在两条曲线相切的地方，而相切就是两条法向平行： ∇f = λ∇g。那个 λ 就是「乘数」。 今天它出现在所有带约束的最优化里：支持向量机的对偶、经济学里的影子价格、 物理引擎里每一根关节和每一次碰撞算的都是它。

三体问题的五个精确解

三体一般解不出来，但有五个位置例外——他找到了其中两个。

Ω=−1−μr1−μr2−x2+y22\Omega = -\frac{1-\mu}{r_1} - \frac{\mu}{r_2} - \frac{x^2+y^2}{2}

两个天体绕着共同质心转，第三个小东西放在哪里，能跟着一起转而不掉队？1767 年欧拉找到三个位置，都在两个主天体的连线上；1772 年拉格朗日在他的《三体问题论》里补上另外两个，位置漂亮得出奇：与两个主天体各成等边三角形。这五个点合起来，至今仍是三体问题仅有的一批闭式解——一百多年后庞加莱证明的正是「一般情形没有这样的解」。更反直觉的是稳定性：L4、L5 在有效势上是极大点，照理该往下滚，却是稳定的，因为一旦动起来科里奥利力就把它拐回去，绕成一条蝌蚪形的振荡轨道，条件是两个主天体的质量比小于 0.0385。木星的质量比是 0.00095，所以它的 L4、L5 上真的堆着上万颗特洛伊小行星，编号还按特洛伊战争两方的将领分。日地系统的 L2 则是另一回事：那里不稳定，韦布望远镜停在那儿，每隔几周得点一次推进器。

三体问题没有一般的闭式解——这一点由庞加莱在一百多年后说死。 但特解是有的：欧拉 1767 年找到三个共线的平衡点， 拉格朗日 1772 年补上另外两个，位置是与两个主天体各成等边三角形。 五个点合起来，至今仍是三体问题仅有的一批精确解。 最反直觉的是 L4、L5：它们是有效势的极大点，照理该往下滚， 却是稳定的——一动起来科里奥利力就把它拐回去，绕成一条蝌蚪形的振荡轨道。 条件是两个主天体的质量比 μ < 0.0385，把滑块推过这条线就能看见它失稳。 木星的 μ = 0.00095，所以它的 L4、L5 上真的堆着上万颗特洛伊小行星。

预解式：为什么到五次就停住了

他不问三次四次怎么解，而问已有的解法为什么行得通——这一问问出了群论。

t=r1+ωr2+ω2r3t = r_1 + \omega r_2 + \omega^2 r_3

1770 年之前，解方程是一门手艺：卡尔达诺解三次、费拉里解四次，各有各的招，谁也说不清为什么这些招管用。拉格朗日把问题掉了个头：找一个根的函数，看它在根的各种换法下取多少个值。三次方程的三个根有六种摆法，t = r₁ + ωr₂ + ω²r₃ 因此有六个值；可一取立方，六个数三个三个地重合，只剩两个——两个数满足一个二次方程，解出来再开个立方根，卡尔达诺公式就是这么来的。四次同理，r₁r₂ + r₃r₄ 在二十四种换法下只取三个值，于是降到三次。到五次，他把能想到的构造试遍，取值最少的预解式要六个值：要先解一个六次方程，比原来那个还难。他没有断言五次不可解，只说这条路走不通。三十多年后鲁菲尼与阿贝尔证明它确实不可解；再往后伽罗瓦回答了那个真正的问题——「取几个值」由什么决定：由那些换法自己组成的群。

拉格朗日 1770 年问了一个别人没问过的问题：不问三次四次方程怎么解， 而问已有的解法为什么行得通。答案是同一件事—— 找一个根的函数，让它在根的各种换法下取的值特别少。 三个根有六种摆法，给出六个不同的 t；可一立方，六个数三个三个地重叠，只剩两个。 两个数满足一个二次方程，解出来再开个立方根，卡尔达诺公式就是这么来的。 四次也降得下去。五次却降不下去：取值最少的预解式要六个值， 得先解一个六次方程——比原来那个五次还难。这条路他自己走到了尽头， 而「取几个值」这个问题，后来生出了整个群论。

过这些点的，只有一条曲线

n+1 个点定一条 n 次多项式，而且不用解方程组就能把它写出来。

p(x)=∑kyk∏j≠kx−xjxk−xjp(x) = \sum_k y_k \prod_{j \ne k} \frac{x - x_j}{x_k - x_j}

给定横坐标互不相同的 n+1 个点，恰好只有一条不超过 n 次的多项式穿过它们。存在唯一性是一回事，把它写出来是另一回事——按定义要解一个 n+1 元线性方程组。拉格朗日给的写法一步到位：每个节点配一条基函数，它在自己的节点上取 1、在别人的节点上取 0，分子把别的节点全变成零，分母做归一；把这些基乘上各自的纵坐标加起来就完了。这条公式有个著名的陷阱：点取得越多，未必越准。等距节点插值一个像 1/(1+25x²) 这样温顺的函数，次数一高两端就剧烈摆动——龙格 1901 年指出的这件事，毛病不在插值而在等距取点，换成两端加密的切比雪夫节点，误差立刻下来。而把这条公式反过来用，就是另一片天地：把秘密藏进多项式的常数项，发出去若干份取值，凑不够 n+1 份就复原不了——秘密共享与里德—所罗门纠错码都建在这句话上。GPS 的精密星历也是每隔十五分钟给一个点，中间用它插出来的。

n+1 个横坐标互不相同的点，恰好只有一条不超过 n 次的多项式穿过它们。 拉格朗日把它一次写了出来，连方程组都不用解：每个节点配一条基函数， 它在自己的节点上取 1、在别人的节点上取 0，乘上该点的纵坐标再加起来就是了。 演示里故意用龙格函数：点取得越多反而越糟，等距节点下两端摆得没法看。 这不是插值的毛病，是等距取点的毛病——换成切比雪夫节点，同样的次数，误差立刻下来。 今天这条公式的两个去处：数值分析里的插值与积分； 以及反过来用——把秘密藏进多项式，发出去若干份取值， 少一份就复原不了，这是秘密共享，也是里德—所罗门纠错码的骨架。

砍下这颗头颅只要一瞬间

革命年代他在巴黎主持度量衡委员会，而保下他的人第二年上了断头台。

1787 年他离开柏林去巴黎，住进卢浮宫，随后就赶上了革命。1793 年国民公会下令清查在法国的外国人，他是意大利出生的都灵人，本该在列——是拉瓦锡出面把他保了下来。1794 年 5 月 8 日，拉瓦锡以包税人的罪名被送上断头台，从判决到行刑不到一天。德朗布尔后来在悼词里记下拉格朗日第二天说的话：砍下这颗头颅只要一瞬间，可再长出一颗同样的头，也许一百年都不够。他自己那几年在做的事是度量衡委员会：把长度、重量、时间统统改成十进制。分秒那一套没能推行，长度和重量留了下来，就是今天全世界通用的米制——保住十进制这个形式，他出的力最多。革命之后新办的高等师范与综合理工学院请他去讲课，那是他第一次给大批学生上基础课，讲义整理成《解析函数论》。1813 年他死在巴黎，葬入先贤祠；那年他还是帝国伯爵，而米制已经在欧洲铺开。

故事展签故事展签：从卢浮宫的住所到先贤祠，中间隔着一场革命与一套沿用至今的单位。

传承

他的工作没有留在十八世纪——每条链的终点，都是你今天正在使用的东西。

δ 演算：在所有函数里挑一个⟶最小作用量原理⟶广义相对论与费曼路径积分都写成这个样子
广义坐标与拉格朗日方程⟶多体动力学与机器人学⟶机械臂、物理引擎里的每一根关节
带约束求极值的乘数法⟶凸优化与对偶⟶支持向量机与机器学习的训练
等边三角形的两个平衡解⟶L4、L5 与深空探测的停泊点⟶木星的特洛伊小行星群、韦布望远镜的位置
n+1 个点定一条 n 次多项式⟶里德—所罗门码与秘密共享⟶二维码与硬盘上的纠错、GPS 星历的插值
预解式与根的置换⟶鲁菲尼、阿贝尔与伽罗瓦⟶群论：现代代数的通用语言

语录

「本书中找不到任何图。我在这里陈述的方法既不需要作图，也不需要几何或力学的推理，只需要按一致而规则的步骤进行代数运算。」

—— 《分析力学》序言，巴黎，1788 · 力学从此是分析的一支

「砍下这颗头颅只要一瞬间，可再长出一颗同样的头，也许一百年都不够。」

—— 德朗布尔为他所作的悼词转述，说的是 1794 年 5 月 8 日被处死的拉瓦锡

「在我看来，这座矿已经挖得太深了。除非找到新的矿脉，否则迟早得放弃它。」

—— 致达朗贝尔的信，1781 · 他一度以为数学快走到头了；四十年后伽罗瓦十九岁