数学群星MATHEMATICAL LUMINARIES

Hipparchus of Nicaea · 约前190–约前120

喜帕恰斯

他翻出一百五十年前的星位来对账，发现整片星空都在慢慢滑动

365+14−1300(日)365 + \frac{1}{4} - \frac{1}{300} \quad (\text{日})
回归年 · 约前 135 年，罗得岛 · 他拿自己的夏至对上一百四十五年前阿里斯塔克斯的那一次

喜帕恰斯约前 190 年生于比提尼亚的尼西亚，就是今天土耳其的伊兹尼克。他本人的事几乎没有记载，能确定的只有他的观测：有年份可考的从前 162 年到前 127 年，后来的大多做于罗得岛。他写过至少十几部书，只传下来一部，还是给一首讲星座的长诗挑错的——《阿拉托斯与欧多克索斯〈现象〉注》。其余全靠别人转述：托勒密在《天文学大成》里引他引得最多，斯特拉波记下了他怎么批评埃拉托色尼的地图，普林尼记下了他看见的一颗新星，普鲁塔克记下了一个数——103049。三百多年后，尼西亚城铸的钱币上印着他坐在一个天球前面：一座城拿一位天文学家当自己的标志，古代极少见。

他做的事可以概括成一句：把巴比伦几百年的观测记录与希腊几何接到了一起。巴比伦人记下了成百上千次月食，却没有几何模型；希腊人有几何，却没有长期数据。他两样都要：拿巴比伦的月食记录核出朔望月——4267 个月等于 126007 日又 1 小时，折合 29.530593 日，与今测值差不到一秒；再用偏心圆与本轮造出太阳和月亮的几何模型，能照着模型推算月食。为了把角度换成长度，他造了历史上第一张弦表：亚历山大里亚的席翁说他写过十二卷论弦的书，据今人复原，那张表每 7½° 一行，半径取 3438 分——正是一整圈 21600 分除以 2π；六百年后印度阿耶波多的正弦表，半径取的也是 3438。在这些工具之上，他量出了一年比 365¼ 日短三百分之一日，发现了岁差，编了一份据估计八百多颗星的星表，还用一次日食量出月亮离地七八十个地球半径。地理上他坚持地点要靠天象来定，建议在不同地方同时观测同一次月食来求经度——三百年后托勒密的《地理学》走的正是这条路。

喜帕恰斯肖像
《阿拉托斯与欧多克索斯〈现象〉注》第一叶正面，十六世纪希腊文抄本 · 法国国家图书馆 Supplément grec 328，Wikimedia Commons，公有领域。他没有画像传世，而他写的十几部书只有这一部传了下来。红字标题是「比提尼亚人喜帕恰斯……注，第一卷」，正文头一句是「喜帕恰斯致埃斯克里翁，问好」。页顶那行拉丁字写的是 Henricus Stephanus——十六世纪法国的学者兼出版家亨利·艾蒂安。

生平

  1. 约前190
    生于尼西亚

    比提尼亚，今土耳其伊兹尼克。父母、师承都没有记载。

  2. 前162
    最早一次有年份的观测

    一次秋分。托勒密在《天文学大成》第三卷里列出了他此后几十年的分点观测。

  3. 约前150
    《阿拉托斯与欧多克索斯〈现象〉注》

    三卷，致一位叫埃斯克里翁的人。他唯一传世的书，也是他早年的作品。

  4. 约前140
    太阳的偏心圆模型

    只用春季 94½ 日、夏季 92½ 日两个数，解出偏心 1/24、远地点在双子座 5½°。

  5. 前135
    回归年：比 365¼ 日短 1/300 日

    他测的夏至比一百四十五年前阿里斯塔克斯那一次早了半天。

  6. 前134
    一颗新星

    普林尼说他看见一颗新星出现，由此起意给后人数清天上的星。有人把它与《汉书·天文志》元光元年「客星见于房」对上，但无法确证。

  7. 约前129
    岁差与星表

    角宿一在秋分点西边 6°，而提莫恰里斯当年记的是 8°。星表据估计八百多颗星，给的是坐标，不只是描述。

  8. 前127
    最后一次有年份的观测

    此后再无音讯。大约卒于前 120 年前后，多半在罗得岛。

  9. 约150
    托勒密《天文学大成》

    大量引用他的观测与模型。书一流传开，他的原著就再没人抄了。

  10. 约370
    席翁提到他的十二卷弦书

    希帕提娅的父亲、亚历山大里亚的席翁在《天文学大成》注疏里记了这一笔。弦书本身早已不存。

  11. 1856
    波格森把星等写成对数

    五等正好一百倍。这样定下来，两千年前凭肉眼排的等级几乎不用改。

  12. 1989
    依巴谷卫星升空

    欧洲空间局的天体测量卫星，名字取自他。它测出了十一万多颗星的精确位置与视差。

  13. 1997
    103049 的谜被解开

    1994 年一位研究生注意到它是第十个施罗德数，1997 年斯坦利写进了《美国数学月刊》。

  14. 2022
    重写本下面找到他的星表残片

    西奈半岛圣凯瑟琳修道院出来的一部叙利亚文抄本，底下被刮掉的希腊文里有北冕座的坐标——按岁差倒推，正落在他那个年代。

展品厅

绝大多数展品都可以亲手把玩——这是本馆的立馆之本；少数以叙述为主的，做成故事展签。

镇馆之宝 · 亲手玩

岁差：整片星空在慢慢滑动

角宿一离秋分点，一百五十多年前是 8°，他量是 6°。星没有动，是春秋分点在往回退。

8∘−6∘160 年≥1∘100 年\frac{8^\circ - 6^\circ}{160 \text{ 年}} \geq \frac{1^\circ}{100 \text{ 年}}

喜帕恰斯编星表时量出角宿一在秋分点西边 6°，翻出一百五十多年前提莫恰里斯在亚历山大里亚的记录，那里写的是 8°。换一颗星比，差得一样多——所以不是哪颗星自己动了，是用来量星的那个起点，秋分点，在群星之间往回退。他据此说每一百年至少退一度。今测是 71.6 年一度，他取得偏慢，可方向和量级都对了；把 J2000 的星表坐标倒推回去，角宿一在前 290 年离秋分点 8.1°、前 130 年 5.9°，与两人的记录几乎分毫不差。这件事逼出了两个不同的「年」：太阳回到同一个分点是回归年，回到同一颗星旁边是恒星年，两者差二十分钟。历法要跟着季节走，就只能用回归年——这就是为什么今天每一份星表都要注明是哪一年的坐标。换个角度看，岁差就是地轴像陀螺一样慢慢画圈，一圈约两万六千年，天北极随之在群星间走一个大圆：约前 2830 年离右枢最近，今天是北极星，一万两千年后轮到织女。他那个年代正好轮空——他在传世的那部注里纠正欧多克索斯，写的就是「极上没有星」。中国这边，东晋虞喜约 330 年独立发现了岁差，算作五十年一度，祖冲之第一个把它写进了历法。

拖动年份，看角宿一离秋分点多远，以及天北极走到了哪颗星旁边

喜帕恰斯量出角宿一在秋分点西边 6°，翻出一百五十多年前提莫恰里斯的记录，那里写的是 8°。 星没有动——别的星也都挪了同样多，是秋分点在群星之间往回退。 他据此说每一百年至少退一度，今测是 71.6 年一度，他取得偏慢，可方向与量级都对了。 拖到今天，角宿一已经在秋分点东边二十多度；右边那个圈是同一件事的另一面： 地轴像陀螺一样慢慢画圈，天北极在群星间走一圈要两万六千年。 他那个年代极上没有星，今天有北极星，一万两千年后轮到织女。

春天为什么比秋天长

春季 94½ 日、夏季 92½ 日——只凭这两个数，他解出了地球偏离太阳圆轨道中心多远。

e=124,λ远=6512∘e = \frac{1}{24}, \quad \lambda_{\text{远}} = 65\tfrac{1}{2}^\circ

太阳在天上走一圈，春分到夏至、夏至到秋分，按理各占四分之一年。可量出来不是：春季 94½ 日，夏季 92½ 日，秋季和冬季反而短。希腊人坚持天体走正圆、而且匀速，喜帕恰斯就在这个前提下想办法——让太阳绕一个圆心匀速走，而地球不在圆心上。离得远的那一段，从地球上看就走得慢，那一季就长。剩下的是解一道几何题：偏多远、往哪个方向偏，才能恰好给出 94½ 与 92½？他解出偏心是半径的 1/24，远地点在双子座 5½°。拿这两个数正推回去，秋季 88⅛ 日、冬季 90⅛ 日也一并出来了，与观测相符。这是已知最早「由观测数据反解出模型参数」的例子之一。今天回头看，它就是开普勒椭圆在一阶上的近似——偏心圆的偏心要取椭圆偏心率的两倍，两者给出的四季长度才对得上。两千年里远地点也在挪：现在它在夏季，北半球最长的一季变成了夏天，比冬天长四天半。同一批分至点的时刻，还给了他另一个数：他测的夏至比一百四十五年前阿里斯塔克斯那一次早了半天，于是一年不是 365¼ 日，而是少三百分之一日——比真值只多六分钟。

太阳若绕地球匀速走正圆，四季就该一样长——可春分到夏至是 94½ 日，夏至到秋分是 92½ 日。 喜帕恰斯的办法是让地球偏离圆心：太阳照旧匀速，只是离得远的那一段看起来走得慢， 那一季就长。只用这两个数，他反解出偏心 1/24、远地点在黄经 65½°； 拿它正推回去，秋 88⅛ 日、冬 90⅛ 日也一并出来了。点「今天」： 两千年后远地点挪到了夏季，最长的一季变成了夏天。

一次日食，量出月亮有多远

北边全食，南边只遮住五分之四——两地之间那一千公里，就是量月亮的尺子。

d≈b0.2 θ⊙d \approx \frac{b}{0.2\,\theta_{\odot}}

有一次日食，赫勒斯滂海峡一带看到的是全食，南边的亚历山大里亚只遮住了太阳的五分之四。喜帕恰斯看出这里面藏着一把尺子：太阳足够远，两地看它的方向几乎相同；月亮近得多，两地看它就错开一点——错开的量，正是日面直径的五分之一，大约六角分。两座城相距多远、各在什么纬度，是知道的；于是月亮、赫勒斯滂、亚历山大里亚三点围成一个极细长的三角形，底边和顶角都有了，高就算得出来。他在《论日月的大小与距离》第一卷里假定太阳无穷远，得出月亮最近 71、最远 83 个地球半径。书没有传下来，这些数是帕普斯转述的；今人考证，他用的大概是前 190 年的那次日食。今测月地平均距离是 60.3 个地球半径，他偏大了两三成。可这是已知最早的视差测距：用地球上两个点当基线，去量一个够不着的天体。同一个办法后来越用越远——1838 年贝塞尔把基线换成地球轨道的直径，量出了第一颗恒星的距离；以他命名的依巴谷卫星，量的也正是这个视差。

同一次日食，赫勒斯滂的人看见太阳被整个遮住，南边一千公里外的亚历山大里亚只遮住了五分之四。 太阳足够远，两地看它方向相同；月亮近，两地看它就错开一点——错开的正是日面直径的五分之一。 两地相距多远是知道的，于是一个细长三角形就把月亮的距离定了下来。 拖「月亮距离」，找到亚历山大里亚正好遮掉五分之四的那个位置。 结果对太阳在天上的方向很敏感（拖第二个滑块试试），他最后给的是一个区间：71 到 83 个地球半径。 偏大了两三成，可这是已知最早用「两地看同一个天体」的视差来量距离的办法，量级完全对。

一等星到六等星

肉眼觉得每一等差得一样多，其实每一等亮两倍半——星等从一开始就是一把对数尺。

m1−m2=−2.5log⁡10F1F2m_1 - m_2 = -2.5 \log_{10} \frac{F_1}{F_2}

把星按亮度分成六等：最亮的一等，勉强看得见的六等。这套分法最早见于托勒密的星表，传统上记在喜帕恰斯名下——普林尼说，他因为看见一颗新星，起意给后人数清天上的星，并记下每一颗的位置与亮度。分等凭的是眼睛，而眼睛判断亮暗看的是比例：亮度翻一倍，看起来就差「一步」，不管是从一变二，还是从一百变两百。所以「每一等看起来差得一样多」，实际上是每一等亮度乘了同一个倍数。1856 年波格森把这件事写成公式：五等正好一百倍，每一等 2.512 倍。他特意这样定，是为了让两千年来的星等几乎不用改——肉眼排出来的六个等级，本来就差不多是这个比例。代价是方向有点别扭：数越大越暗，比织女还亮的天狼只好记作负一点五。今天最大的望远镜能看到三十等上下，比六等暗几十亿倍，用的仍是这把尺子。同一个道理后来到处都是：声音的分贝、音阶的八度、照片的曝光档位、屏幕的伽马曲线，都是顺着人的感官按比例刻度。

把星按亮度分成六等，肉眼可见最亮的是一等，勉强看得见的是六等。这件事最早见于托勒密的星表， 传统上记在喜帕恰斯名下。它是凭眼睛分的——而眼睛判断亮度看的是比例，不是差值： 每一等之间「看起来差得一样多」，实际上是亮度乘了同一个倍数。所以星等从一开始就是一把对数尺。 1856 年波格森只是把它写成公式：五等正好一百倍。这样定下来，两千年前的等级几乎不用改。 代价是一个别扭的方向：数越大越暗，比织女还亮的天狼只好是负的。今天的分贝、手机屏幕的伽马曲线， 用的都是同一个道理。

十个命题能拼出多少句话

他说是 103049。这个数的来历，两千一百年后才有人看懂。

s10=103049s_{10} = 103049

普鲁塔克在两处记下同一件事：斯多亚派的克吕西波说，十个简单命题用「并且」组合起来，能拼出一百万种以上的复合命题；喜帕恰斯驳他——肯定式的只有 103049 种，否定式的 310952 种。普鲁塔克只记了结果，没记算法，这两个数就这样挂了两千年，没人知道是怎么来的。1994 年，一位研究生 David Hough 注意到：把 10 个字母排成一行，加括号分组，每组至少两个成员，组里还能套组——所有加法恰好是 103049 种。这个序列是 1870 年施罗德研究过的，今天叫小施罗德数：1、1、3、11、45、197、903、4279、20793、103049。1997 年斯坦利把这件事写进了《美国数学月刊》；过了一年，另外三位作者也给第二个数 310952 找到了一种合乎情理的解释。换句话说，喜帕恰斯大概真的系统地数过：把复合命题看成一层层分组的结构，一层一层递推上去。这是古希腊留下的极少数非平凡的计数结果之一，而且是对的。它也提醒人：一个数被记下来却没人看懂，未必是古人算错了，也可能是我们还没想到他在数什么。

斯多亚派的克吕西波说，十个简单命题能拼出一百万种以上的复合命题。喜帕恰斯驳他： 肯定式的只有 103049 种。普鲁塔克把这个数记了下来，却没记怎么算的， 于是它成了一个两千年的谜。1994 年有人注意到：把 10 个字母加括号分组、每组至少两个、 组里还能套组，一共恰好 103049 种——这个序列今天叫施罗德数，1870 年才有人系统研究。 从 1 个拖到 5 个，看每一种写法；n = 4 时是 11 种，n = 5 时是 45 种。 一个天文学家在公元前二世纪算对了一道组合题，而我们花了两千年才看懂他算的是哪一道。

他只剩一本书，还是给别人挑错的

十几部书只传下一部；其余的都在别人的书里，最多的一份在托勒密那里。

喜帕恰斯唯一传世的书，是一部三卷的注：给阿拉托斯那首讲星座的长诗《现象》、以及它所依据的欧多克索斯的描述逐条挑错。星座的哪颗星在哪儿、什么星与什么星同时升起，诗里写错的，他一条条拿观测纠正——其中就有那句「极上没有星」。他真正的大作，论弦的十二卷、论年长、论分至点的移动、论日月的大小与距离、星表，全部失传。原因说来有点讽刺：托勒密的《天文学大成》太成功了。它把喜帕恰斯的观测与模型吸收进去、改进、系统化，此后一千多年人人读托勒密，没人再去抄喜帕恰斯的原书。于是他活在别人的转述里：托勒密引他最多，也最敬重他；斯特拉波留下他对埃拉托色尼地图的批评；普林尼留下那颗新星；普鲁塔克留下 103049。这也带出一桩两千年的公案：托勒密星表里的一千多颗星，有多少是他自己量的？十九世纪起就有人指出，那份星表的黄经整体偏小约一度，恰好像是拿喜帕恰斯的位置、按每百年一度的岁差推了两百多年的结果——而真实的岁差更快。争论至今没有定论。2022 年出现了新证据：西奈半岛圣凯瑟琳修道院流出的一部叙利亚文抄本，底下被刮掉重写的希腊文里，多光谱成像读出了北冕座几颗星的坐标。坐标是赤道式的，不同于托勒密的黄道坐标；按岁差倒推，观测年代落在前 129 年前后，误差在一度以内。研究者认为，这很可能就是他那份失传星表的一页。

故事展签故事展签：一部书的成功，可以让它的来源整个消失。

传承

他的工作没有留在十八世纪——每条链的终点，都是你今天正在使用的东西。

角宿一：8° 变成 6°⟶回归年与恒星年分开⟶今天每份星表都要注明历元，如 J2000
四季长短不一 → 偏心圆⟶托勒密的均衡点⟶开普勒的椭圆
两地看月亮的视差⟶1838 年贝塞尔量出第一颗恒星的距离⟶依巴谷卫星与盖亚卫星的视差星表
一到六等⟶1856 年波格森：五等一百倍⟶分贝、曝光档位与伽马曲线
弦表：半径 3438 分，每 7½° 一行⟶托勒密的弦表与阿耶波多的正弦表⟶三角函数
103049⟶施罗德数与加括号的方式⟶今天的组合计数与树的枚举

语录

「北极上并没有星，而是一片空处；紧挨着它有三颗星，拿极上那一点和它们合起来，大致围成一个四边形。」

—— 《阿拉托斯与欧多克索斯〈现象〉注》第一卷 · 大意。他在这里纠正欧多克索斯「极上始终有一颗星」的说法——他那个年代，岁差恰好让天北极落在一片没有亮星的地方

「我还写了一部一卷本的书，论年的长度。书中证明，太阳年——即太阳从一个至点回到同一个至点、或从一个分点回到同一个分点的时间——是 365 日加上一个比四分之一日少了约三百分之一日的零头。」

—— 《论年的长度》，书佚 · 托勒密在《天文学大成》第三卷第一章原样引了这一段，图默英译本转译

「他敢于做一件连神看了都嫌僭越的事：给后世数清天上的星，逐一叫出名字。」

—— 普林尼《自然史》第二卷 · 说的是那份星表。普林尼接着说，有了它，后人才能看出星星是否会生、会灭、会移动