Jakob Bernoulli · 1655–1705

雅各布·伯努利

他证明摸得越多越准，把「猜」变成了一门有定理的学问

\Pr\left( \left| \frac{X_n}{n} - p \right| \le \varepsilon \right) \to 1 \quad (n \to \infty)

大数定律 · 1713 年《猜度术》遗稿出版 · 摸的次数够多，频率就贴住那个未知的比例

雅各布·伯努利 1654 年 12 月 27 日（旧历）生在巴塞尔，按新历已是 1655 年 1 月 6 日。父亲是开香料铺的商人，母亲家出过巴塞尔的市政官员。家里要他做牧师，他照办了，1676 年拿到神学学位——可私下里读的是数学和天文。那年他出门游学，一去六年：在日内瓦当家教，到法国跟着马勒伯朗士那一圈人读笛卡尔派的哲学与数学，去荷兰见胡德，最后渡海到英国见波义耳和胡克。回来时他带回的不是讲道稿。1683 年他在巴塞尔开课讲力学，1684 年娶了尤迪特·斯图帕努斯，1687 年拿到巴塞尔大学的数学教席，一直坐到去世。比他小十二岁的弟弟约翰是他一手教出来的——后来成了他最激烈的对手，也成了欧拉的老师。

他一生的工作有一条主线：把莱布尼茨那套新微分法接下来往下做。1684 年莱布尼茨发表微分法时，读得懂的人屈指可数，他是最早读懂并接着做的人之一，与莱布尼茨的通信一直持续到他去世。1689 年的《无穷级数论》里，他重新证明了调和级数没有上限（并明说第一个看出来的是他弟弟约翰），又证明了平方数倒数之和小于 2；准确的值他求不出来，就在书里公开求人解答，四十六年后由欧拉答出 π²/6。1690 年他从复利里算出那个后来叫 e 的极限，并证明它夹在 2.5 与 3 之间；同一年他把悬链线的形状也作为一道题公开征解，1691 年莱布尼茨、惠更斯和约翰各自交卷。此后是幂和公式与那串以他命名的常数、对数螺线、双纽线，以及和约翰之间越来越难看的争执——最速降线、等周问题，一件接一件。《猜度术》他从 1680 年代中期写起，到死也没写完。1705 年 8 月 16 日他死于一场慢性病，五十岁，弟弟约翰接了他的教席；八年后侄子尼可劳斯把这部遗稿整理出版，第四部分里那条定理成了概率论的第一块基石。

尼可劳斯·伯努利绘，1687 · 巴塞尔大学老讲堂藏，Wikimedia Commons，公有领域。画他的不是别人，是他的弟弟——伯努利家里画画的那一位（1662–1716），也是巴塞尔的市议员。画上题着「JAC. BERNOULLI, MATH. PP.」，他右手扶一架地球仪：他 1687 年得到巴塞尔大学的数学教席，那几个字母就是那个头衔。作画年份几个来源说法不一（1686／1687／1694），这里从 Commons 的著录。原图下缘有一条彩绘题字带，横裁必然截断词句，整条裁掉了。

生平

1655
生于巴塞尔
旧历 1654 年 12 月 27 日，按新历已是 1655 年 1 月 6 日。父亲开香料铺，家里盼他做牧师。
1676
神学学位，随即出门游学
在巴塞尔拿到神学学位。此后六年走日内瓦、法国、荷兰、英国，见的是马勒伯朗士、胡德、波义耳、胡克。
1683
在巴塞尔开课讲力学
讲的是实验物理。家里盼的那个牧师，他没去做。
1684
结婚
娶尤迪特·斯图帕努斯。两人有一儿一女，都没走数学这条路。
1687
任巴塞尔大学数学教授
一直坐到去世。弟弟约翰是他教出来的，后来接了他的位置。
1689
《无穷级数论》
调和级数发散，他说第一个看出来的是约翰；平方数倒数之和小于 2，求不出值，公开求解。
1690
复利与那个极限
研究连续复利，算出 (1 + 1/n) 的 n 次方越来越接近的那个数夹在 2.5 与 3 之间。字母 e 要等欧拉来给。
1690
悬链线公开征解
1691 年莱布尼茨、惠更斯与约翰各自交卷，三份解答同月登在《博学汇报》上。
1691
对数螺线
《博学汇报》。次年那篇的标题里就有「奇妙的螺线」。
1694
双纽线与弹性曲线
双纽线后来牵出椭圆积分；弹性曲线那条结果他称作「黄金定理」。
1697
最速降线与等周问题
约翰 1696 年出的题，他解了；随后他出等周问题回敬，兄弟间的争执从此公开化。
1699
入选巴黎科学院
1702 年又入选柏林科学院。墓碑上记着这两个头衔。
1705
卒于巴塞尔
8 月 16 日，死于一场慢性病，五十岁。约翰接了他的教席。
1713
《猜度术》出版
死后八年，侄子尼可劳斯整理。第四部分那条定理成了概率论的第一块基石。
1735
欧拉答出他求解的那一题
π²/6。书里那串常数也被欧拉接着用了一辈子。

展品厅

绝大多数展品都可以亲手把玩——这是本馆的立馆之本；少数以叙述为主的，做成故事展签。

镇馆之宝 · 亲手玩

大数定律：摸多少次才算数

单独一颗石子猜不准，摸得够多，罐子里的比例就自己露出来。

\Pr\left( \left| \frac{X_n}{n} - p \right| \le \varepsilon \right) \to 1 \quad (n \to \infty)

罐子里 3000 颗白石子、2000 颗黑石子，白占 3/5。有放回地一颗颗摸，每摸一颗都是赌一把——下一颗是白是黑，谁也说不准。伯努利问的是另一件事：摸出来的白石子比例，要摸多少次才靠得住？他给的标准是：要有 1000 比 1 的把握说「这个比例与 3/5 相差不到 1/50」，得摸 25550 次；要十倍把握，加 5708 次；再十倍，再加 5708 次。今天把这条结论叫大数定律，泊松 1837 年给它起了这个名。拿真实的二项分布复算，他给得很保守：6496 次就够 1000/1001 了，不到他那个数的四分之一——他没有中心极限定理可用，只能一路放缩，放缩出来的界自然很松。这一步的分量在于它换了个问法：赌桌上算的是「已知骰子公平，某个结果有多大可能」；他反过来问「看到这些结果，能不能反推出那个未知的比例」——今天抽样调查、质检、保险定价，问的都是后面这一句。还要说一句：常见书上把这条定理叫「黄金定理」，可《猜度术》原文里并没有「黄金」这个词；今人考订它出自 1925 年一个英译者把 autem 看成了 aureum。伯努利用「黄金定理」称的是他 1694 年那条关于弹性曲线的结果。

调摸的次数，看观测比例怎样一路收拢到 3/5

摸到 25550 次

罐子里 3000 颗白的、2000 颗黑的，白占 3/5。有放回地摸，一颗一颗看：下一颗是白是黑，永远猜不准。但摸得越多，摸出来的比例就越钉在 3/5 上——随机的是每一次，稳定的是它们加起来的样子。伯努利问的是要摸多少次才算数：他要求有 1000 比 1 的把握说「比例与 3/5 相差不到 1/50」，答数是25550 次；再要十倍把握，加 5708 次。按真实的二项分布复算，他给得保守—— 6496 次就够了，还不到他那个数的四分之一。他说这个问题在心里压了二十年。（常有人把这条定理叫「黄金定理」，可《猜度术》原文里并没有「黄金」这个词。）

前 1000 个数的十次方之和

同一串常数能算出任何次方的和；他算那个 32 位数，用了不到半刻钟。

S_p(n) = \frac{1}{p+1} \sum_{j=0}^{p} \binom{p+1}{j} B_j n^{p+1-j}

一次方之和、二次方之和、三次方之和……本来是三道各算各的题。伯努利看出它们是同一道：把和写成一个多项式，每一项的系数都从同一串常数里取，第 p 次的公式只不过用到第 p 个为止。他给这串数起了 A、B、C、D 几个字母，值是 1/6、−1/30、1/42、−1/30——今天叫伯努利数，名字是德·莫伊弗尔建议的。手算的办法是把 (k+1) 的 p+1 次方减去 k 的 p+1 次方，从 k = 1 加到 n：左边只剩下 (n+1) 的 p+1 次方减 1，右边按二项式展开，就得到这一次的和与前面几次和的关系，一路解上去即可。他在书里炫耀了这套办法的威力：靠这张小表，他「不到半刻钟」就算出前一千个整数的十次方之和，一个 32 位数 91409924241424243424241924242500。同一串数后来成了欧拉手里的工具：ζ(2)、ζ(4)、ζ(6) 的值都由它给出，欧拉–麦克劳林求和公式也建在它上面。那本书里有一条印错了：九次方那一行的末项印成 −1/12 乘 n²，正确的应是 −3/20 乘 n²；n = 1000 时两者相差 66666 又 2/3。

几次方 p = 10加到 n = 1000

一次方之和、二次方之和、三次方之和……本来是三道各算各的题。伯努利看出它们是同一道：每一项的系数都从同一串常数里取——今天叫伯努利数，1、1/2、1/6、0、−1/30、0、1/42……第 p 行的公式只不过用到第 p 个为止。有了它，他「不到半刻钟」就算出了前一千个整数十次方之和，一个 32 位数。这串常数后来成了欧拉手里的工具：ζ(2)、ζ(4)、ζ(6)……的值都由它给出。（《猜度术》里 p = 9 那一条的末项印错了，写成 −1/12·n²，正确的应是 −3/20·n²。）

他证明了这个和小于 2，然后停在那里

求不出准确的值，他就在书里公开求人解答——四十六年后欧拉答出 π²/6。

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} < 2

1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + …，每一项都越来越小。这个和有没有尽头？伯努利在 1689 年的《无穷级数论》里证明它有，而且不超过 2。最直接的一种写法是：1/n² 小于 1/(n(n−1))，后者等于 1/(n−1) 减去 1/n，一路相消，加到最后不超过 2。可准确的值是多少，他求不出来——他在书里写道：「若有人找到并告知我们，他会从我们这里得到大大的感谢。」这一问在十八世纪传开时被叫作巴塞尔问题，因为巴塞尔是伯努利家与欧拉的城市。1735 年欧拉给出了 π²/6：平方数与圆本无瓜葛，π 却从那串数里冒出来，ζ 函数的故事从这里开始。同一本书里他还重新证了调和级数没有上限——那条的性质正好相反，1/n 的和要多大有多大。两个级数每一项都趋于零，一个的和有尽头、一个没有，差别的全部来源是「趋于零有多快」。这两个结论当时都已有人做过：调和级数发散，奥雷姆约在 1350 年就证过，门戈利 1650 年又证了一遍，两人的工作都已湮没，伯努利在书里也明说，第一个看出来的是他弟弟约翰。

加到 n = 10,000,000

每一项都在趋于零，可一个的和有尽头、一个没有。伯努利 1689 年在《无穷级数论》里把两件事都证了。上面那条发散的证明（奥雷姆约 1350 年就先证过一次）骨架是把级数切成一段一段，让每一段都有一个算得出来的下限，而这样的段子要多少有多少；图上用的是这套骨架里最好算的切法—— 从 1/(n+1) 到 1/(10n) 共 9n 项，每项都不小于 1/(10n)，所以一整块至少是 9/10，每把 n 乘十就再涨 0.9。他在这本书里还明说，第一个看出调和级数发散的是他弟弟约翰。下面他证明了这个和小于 2；最直接的一种写法是 1/n² 小于 1/(n(n−1))，逐项相消，加起来不超过 2。他就此打住，在书里公开求人算出精确值——真正的值 π²/6，要再等四十六年，由欧拉算出来。

一根链子挂下来，不是抛物线

伽利略说它近似抛物线，其实差在指数上：它是双曲余弦。

y = a\cosh \frac{x}{a}

一根均匀的链子两端挂起来，垂成什么形状？伽利略 1638 年说它「近似」抛物线，1669 年容吉乌斯证明它不是抛物线，可谁也说不出它是什么。1690 年伯努利把这道题登出来公开征解，1691 年莱布尼茨、惠更斯与他弟弟约翰各自交出了答案，三份解答同月登在《博学汇报》上——形状是 y 等于 a 乘双曲余弦 x/a。a 这个数的意思是「最低点的水平张力除以链子每单位长的重量」，量纲是长度，所以它也是最低点到一条水平线（准线）的距离。这条式子顺带说清了一件事：链子上每一点的张力都等于 λ 乘它到准线的高度。拆开看就是，水平那一半处处相等，竖直那一半从最低点的零一路涨到挂点。a 越小链子垂得越深；a 越大，最低点的水平张力 λa 越大，链子也拉得越平——想把它拉成笔直，张力得无穷大。今天拱桥与屋盖仍在用这条曲线：把链子翻过来就是拱，罗伯特·胡克 1675 年把它写成一句拉丁文谜语藏在一本书的附录里。圣路易斯那座大拱门常被说成悬链线，其实是一个被压扁的版本。

松紧 a = 135

一根均匀的链子挂起来，形状是 y = a·cosh(x/a)，不是抛物线。a 是「最低点的水平张力 ÷ 每单位长的重量」，量纲是长度，所以它也正好是最低点到那条准线的距离。a 越小链子垂得越深；a 越大，水平张力越大，链子也拉得越平。每一点上的张力都沿切线，可以拆成两半——水平那一半处处相等，竖直那一半从最低点的零一路涨到挂点；画布上把每个点的力三角形挪到链子外侧画，好看清三条边。虚线是过同样三点的一条抛物线：垂得深时两者中段差得出十几个像素，拉平一点就几乎重合—— 所以伽利略 1638 年说它「近似」抛物线并不离谱；1669 年约阿希姆·容吉乌斯证明它不是。

转一下、放大一点，还是它自己

他把这条曲线叫「奇妙的螺线」，并要它刻在自己墓碑上。

r = a e^{b\theta}

对数螺线有一条别处没有的性质：把它转过一个角，同时把每个半径按比例放大一点，得到的还是它自己——曲线只是沿着自己里外滑了一段。副产物是半径与切线的夹角处处相等，所以它早年的名字是「等角螺线」。这条曲线不是伯努利发现的：丢勒 1525 年描述过它，笛卡尔 1638 年讨论过它，托里切利在微积分还没造出来之前就算出了它的弧长。他做的是弄清自相似、算出它的渐屈线与焦散线（1691、1692 两篇《博学汇报》，后一篇的标题里就是「奇妙的螺线」），并把这个性质看成一种象征。他要求把这条螺线刻在自己的墓碑上，底下写 EADEM MUTATA RESURGO。据今人说，石匠刻上去的那条是阿基米德螺线——把等角的那条换成一个半径均匀增长的螺线，自相似性立刻没有了。这件事在今天的文献里说法一致，却没有当时的记载，那两行字下面的石头到底什么样，只能看现在还在巴塞尔大教堂回廊里的那一块。

松紧 b = 0.20（每圈 ×3.51）

对数螺线有一个别处没有的性质：把它转一个角、同时按比例放大一点，得到的还是它自己—— 就像沿着自己里外滑动。粗线是整条螺线开头的一段，被转过一个角、放大 e^(bφ) 之后的样子，只要曲线是对数螺线，它就一直贴在细线上。副产物是：半径与切线的夹角处处相等（tan α = 1/b），所以它当年叫「等角螺线」。点「换成阿基米德螺线」做同样的事，粗线立刻脱开——它不是自相似的。这条曲线不是他发现的（丢勒 1525 年、笛卡尔 1638 年都碰过），他做的是弄清它的自相似，并给它起名「奇妙的螺线」。他要求把这条螺线刻在自己的墓碑上，底下写EADEM MUTATA RESURGO（大意：改换了样子，我仍是原来的我）；据今人说，石匠刻上去的那条是阿基米德螺线——你在上面点一下「换成阿基米德螺线」，看见的就是那种螺线的样子。

一本没写完的书

他到死没写完；八年后侄子替他出版，概率论从这一本开始。

《猜度术》他从 1680 年代中期写起，核心的结果大多记在他的日记本《沉思录》里。书里那条定理，他在第四部分第四章写道：这就是我在此处公开的那个问题，它已经在我心里压了二十年。全书的野心远不止赌桌：第一部分逐条解答惠更斯那本《论赌博中的推理》留下的问题，第二部分讲排列组合，第三部分处理牌戏与骰子，而第四部分的标题是《把前面的学问用在民事、道德与经济的事务上》——他要把概率用在法庭、医术和天气上，用在那些原因藏在暗处、只能靠观测去推的事情上，也就是他自己说的「从不够充分的证据里作出有把握的推理」。他到死也没写完这一部分，也没能亲眼看到它出版。1705 年他去世后，遗稿落在侄子尼可劳斯手里，1713 年由他整理出版；弟弟约翰没有沾手——兄弟两人的争执到死也没有了结。丰特奈尔当年在巴黎科学院宣读的悼词里说，他把这门学问一直带到道德与政治的事务里去，正是在那里，这部书最新、也最让人意外。这句话后来应验了一半：棣莫弗、拉普拉斯接着往下做，可把概率真正用到人身上的那一整套办法，还要再等一百多年。

故事展签故事展签：一本没写完的书，和它想在法庭与医术上做的事。

传承

他的工作没有留在十八世纪——每条链的终点，都是你今天正在使用的东西。

大数定律：摸得越多，频率越贴住概率⟶泊松给它起名；切比雪夫与马尔可夫把它推广⟶抽样调查、质检与置信区间

从频率反推未知的比例⟶拉普拉斯的逆概率与《概率的分析理论》⟶保险精算与统计推断

悬链线：链子挂成的形状⟶把形状翻过来就是拱⟶桥梁与屋盖结构

等周问题：在无穷多条曲线里挑一条⟶欧拉与拉格朗日把它改写成分析⟶最优控制与路径规划

幂和公式与那串以他命名的常数⟶欧拉：ζ(2k) 与欧拉–麦克劳林求和⟶渐近展开与高精度数值积分

对数螺线：转一个角、放大一点，还是它自己⟶自相似与尺度不变⟶分形几何与幂律

语录

「若有人找到并告知我们，他会从我们这里得到大大的感谢。」
—— 《无穷级数论》第十七命题附注，1689（收入《猜度术》1713 年版第 254 页）· 说的就是 1 + 1/4 + 1/9 + … 的和。拉丁原文：Si quis inveniat nobisque communicet, quod industriam nostram elusit hactenus, magnas de nobis gratias feret. 这里是意译

「这就是我在此处公开的那个问题——它已经在我心里压了二十年。」
—— 《猜度术》第四部分第四章，巴塞尔，1713 · 原话是 postquam jam per vicennium pressi。书在他死后八年才出版。据西拉 2006 年英译本转译，大意

「他把这门学问一直带到道德与政治的事务里去——正是在那里，这部书最新，也最让人意外。」
—— 丰特奈尔在巴黎科学院的悼词，1705 年 11 月 14 日宣读（载该院《史录》1705 年卷，第 148 页）· 材料由雅各布·赫尔曼提供。据普尔斯坎普辑译本转译，大意