数学群星MATHEMATICAL LUMINARIES

Hero of Alexandria · 约10–约70

海伦

他让数学去干活：丈量土地、从两头挖隧道、造一辆自己会走的车

S=s(s−a)(s−b)(s−c)S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
海伦公式 · 约 60 年，亚历山大里亚 · 只用三条边，不用量高

关于海伦本人，能确定的几乎只有一个日子。他在《测量仪》里讲怎样用同一次月食测两地的经度差，举的例子是一次在亚历山大里亚看到的月食；今人算出那是公元 62 年 3 月 13 日。于是他大约活在一世纪中叶，在亚历山大里亚工作——此前的学者曾把他放在前后几百年里任意一处。他的书读起来像讲义，条理清楚、例题很多，很可能是给学生或工匠用的。他写的东西一半是几何，一半是机器：《度量论》教怎样量面积与体积，《测量仪》教测量与挖隧道，《气动学》讲用水、气、火驱动的装置，《自动装置》讲一台自己会演戏的小舞台，《力学》讲杠杆、轮轴、滑轮、尖劈、螺旋五种简单机械，《反射光学》讲镜子。

这些书的命运各不相同。《气动学》在文艺复兴时被译成拉丁文和意大利文，里面那个汽转球——一个空心球，水烧开后蒸汽从两根弯管喷出，球就转起来——常被说成最早的蒸汽机，其实他只把它当成一件奇物；同一本书里还有投币五个德拉克马就自动出一份圣水的机器，以及生火之后神庙大门自己打开的机关。《力学》的希腊文原本失传，靠九世纪的阿拉伯文译本传下来。《反射光学》只有拉丁文译本，还被当成托勒密的书流传了几百年。最曲折的是《度量论》：中世纪以来只在别人的书里见过零星引用，1896 年才在伊斯坦布尔的一部抄本里被找到全本，海伦公式与他开平方的办法原原本本都在里面。

海伦肖像
《自动装置》第十三章，抄本第 202 叶正面 · 威尼斯马尔恰那图书馆 Gr. 516，十四世纪，Wikimedia Commons，公有领域。他没有画像传世，后世书里那幅大胡子半身像是想象画。这一页画的是一座小神庙的剖面：里面的酒神像连着暗管，通到藏起来的酒桶和奶桶，到了时候自己往外倒酒倒奶。图下是希腊文说明，右上角的 202 是叶码。

生平

  1. 约10
    约生于此时

    地点多半是亚历山大里亚。生卒年都是由那次月食倒推的大概。

  2. 约60
    《度量论》三卷

    面积、体积与分割。第一卷第 8 题是只用三边求三角形面积，紧接着讲怎样给 720 开平方。

  3. 62
    《测量仪》里的月食

    3 月 13 日，亚历山大里亚。他用它讲怎样由两地看到同一次月食的时刻差求经度差。这是他生平唯一的确切日期。

  4. 约62
    《测量仪》

    测量仪器与测量术：测不可到达的距离、从两头挖隧道、定引水渠的坡度，还有一台计里程的车。

  5. 约65
    《气动学》两卷

    汽转球、投币出圣水的机器、生火开门的神庙、会唱歌的机械鸟。

  6. 约65
    《自动装置》

    一台自己会走、会演一出酒神戏的小舞台；动力是沙漏里下沉的重物，程序写在绕轴的绳子上。

  7. 约70
    约卒于此时

    同样没有记载。

  8. 约850
    《力学》的阿拉伯文译本

    古斯塔·伊本·卢卡译。希腊文原本失传，今天读到的就是这一支。

  9. 1269
    《反射光学》拉丁文译本

    穆尔贝克的威廉译。此后几百年一直被当成托勒密的作品。

  10. 1575
    《气动学》拉丁文版

    科曼迪诺译，乌尔比诺出版。文艺复兴的工程师们从这里读到了他的机器。

  11. 1896
    《度量论》在伊斯坦布尔重现

    理查德·舍内在一部抄本里找到全本，1903 年出版。海伦公式的原始出处这才看得到。

展品厅

绝大多数展品都可以亲手把玩——这是本馆的立馆之本；少数以叙述为主的，做成故事展签。

镇馆之宝 · 亲手玩

海伦公式：只用三条边

量地的人手里往往只有三条边的长度。他给了一条不用量高的面积公式。

S=s(s−a)(s−b)(s−c),s=a+b+c2S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}, \quad s = \frac{a+b+c}{2}

三角形面积是底乘高除以二，可在一块真实的地上，高是最难量的：要从一个角往对边作垂线，还得保证真的垂直。三条边却好量，拉一根绳子就行。海伦在《度量论》第一卷里给出一条只用三边的公式：先算半周长 s，把 s、s−a、s−b、s−c 四个数乘起来，再开平方，就是面积。他的例子是边长 7、8、9 的三角形：s = 12，12 × 5 × 4 × 3 = 720，面积就是 720 的平方根。他给出了完整的几何证明，绕了好几步：用内切圆把面积写成 s 乘内切圆半径，再借一组相似三角形把半径换成边长。这条公式大概不是他第一个发现的——十一世纪的比鲁尼说它出自阿基米德——但最早完整写下来、能读到证明的，是《度量论》。它的推广也在馆里：六百年后婆罗摩笈多给出圆内接四边形的面积 √((s−a)(s−b)(s−c)(s−d))，让第四条边缩成零，就退回海伦公式。今天它仍是计算几何里常用的一条，只是算浮点数时要小心——三角形很扁时，s 减去最长边会丢掉精度，数值分析的教材专门拿它当例子。

调三条边，看公式怎样一步步代入，并与底乘高对照

丈量一块三角形的地，最容易量到的是三条边，高却不好量。海伦在《度量论》里给了一条只用三边的公式： 先算半周长 s，再把 s、s−a、s−b、s−c 乘起来开平方，就是面积。他举的例子是 7、8、9： s = 12，12 × 5 × 4 × 3 = 720，面积是 √720——720 不是平方数，他于是接着讲怎么开方。 拖滑块换三条边，右边用「底 × 高 ÷ 2」对照，两边永远相等；三边拼不成三角形时，根号下就不再是正数。 六百年后婆罗摩笈多把它推广到圆内接四边形，第四条边取 0 就退回这一条。

开平方：取平均，再取平均

√720 开不尽。从 27 起，取 27 与 720/27 的平均，得 26⅚——一步就只差 1/36。

xn+1=12(xn+axn)x_{n+1} = \frac{1}{2}\left(x_n + \frac{a}{x_n}\right)

《度量论》算出 7、8、9 三角形的面积是 √720 之后，海伦没有停在根号上——量地的人要的是一个数。他写道：720 没有有理的平方根，那就这样求一个近似值。取离它最近的平方数 729，根是 27；拿 720 除以 27，得 26⅔；把 27 和 26⅔ 相加再取一半，得 26⅚。26⅚ 自乘等于 720 又 1/36，只差三十六分之一。如果要差得更小，就拿 26⅚ 代替 27，把同样的事再做一遍。这就是今天说的「海伦法」或「巴比伦法」：x 换成 x 与 a/x 的平均。几何上看得很清楚——面积为 a 的矩形，一边 x 太长，另一边 a/x 就太短，取两边的平均当新的边长，矩形就更接近正方形。它收敛得极快：每做一步，正确的位数大约翻一倍，从 27 出发，第二步误差已经小到十亿分之五。这个办法很可能比海伦更早：耶鲁大学藏的一块巴比伦泥板上把 √2 写成六十进制的 1;24,51,10，误差不到百万分之一，很可能就是这样算出来的。但明明白白写成步骤、并说可以一直做下去的，最早见于《度量论》。一千六百年后，它被认出是牛顿法用在方程 x² = a 上的特例，今天不少数值软件开平方，走的还是这条路。

720 开不尽。海伦的办法：找最近的平方数 729，根是 27；720 除以 27 得 26⅔； 27 与 26⅔ 取平均，得 26⅚。它自乘是 720 又 1/36，只差一点点；嫌不够，就拿 26⅚ 代替 27 再做一遍。 左边是这件事的样子：面积 720 的矩形，一边太长、一边太短，取两边的平均当新边，矩形一下子就接近正方形。 每做一步，对的位数大约翻一倍。一千六百年后，这被认出是牛顿法的一个特例； 今天不少数值软件开平方，用的仍是这一招。

光走最短的那条路

镜面上可选的反射点有无数个，光挑的那一点让总路程最短——那里入射角恰好等于反射角。

AP+PB≥AB′⟹∠i=∠rAP + PB \geq AB' \quad \Longrightarrow \quad \angle i = \angle r

入射角等于反射角，希腊人早就知道。海伦在《反射光学》里问的是：为什么？他的回答是，光走的是最短的路。从 A 点出发经镜面反射到 B 点，镜面上可以选的反射点有无数个，每一个都给出一条折线；其中总长最短的那一条，恰好让两个角相等。证明只用一个镜像：把 B 翻到镜子另一侧得到 B′，镜面上任何一点到 B 和到 B′ 一样远，于是 A 经镜面到 B 的路程，就等于 A 到 B′ 的某条折线；两点之间直线最短，直线与镜面的交点就是答案，而在那一点，两个角自然相等。他由此得出一个信念：自然不走冤枉路。这是物理学里第一个「极值原理」——用「某个量取最小」来解释一条定律。一千六百年后费马把它从反射推广到折射：光穿过水面时会拐弯，路程不再最短，但「时间」最短，折射定律由此推出。再往后，欧拉、拉格朗日、哈密顿把这个念头推成了整个力学的写法——馆里好几件展品都是它的后代。今天渲染一面镜子，按的仍是这一条：反射方向由法线镜像得出。

光从 A 射到镜面再反射到 B，镜面上可以选的点有无数个。海伦在《反射光学》里证明： 光挑的那一点，恰好让总路程最短，而那一点上入射角等于反射角。 证法只用一个镜像：把 B 翻到镜子背后得 B′，PB 就等于 PB′，于是 AP + PB 最短， 就是 A 到 B′ 走直线的时候——直线与镜面的交点，两个角自然相等。拖 P 看总长怎样变， 打开「镜像」看那条直线。他由此说自然不做无用功；一千六百年后，费马把「最短路程」换成「最短时间」， 连折射也一并解释了。

绳子绕成的程序

重物下沉拉动绳子，绳子怎么绕在车轴上，车就怎么走——程序写在绳子上。

《自动装置》讲怎样造两种会自己演戏的小舞台：一种是固定的，门开门合、人偶轮番出场；另一种会自己开到观众面前，演完再自己退回去。驱动后者的是一辆小车，里面的机关简单得出奇。车里立着一根管子，装满沙子或小米，上面压着一个重物；沙子从底部小孔慢慢漏出，重物匀速下沉，拉动一根绳子，绳子另一头绕在车的驱动轴上。关键在于绳子怎么绕：顺着绕的一段，放出时让轴正转，车前进；反着绕的一段让轴反转，车后退；中间留一段松松地挂在木钉上、不碰轴，这一段放出时车就停着。于是一出戏的走位——前进多远、停多久、后退多远——事先就全写在绳子的绕法上了。换一种绕法，就是另一出戏。今天有人把它称作最早的「可编程」机器：动作的顺序与机器本身分开，存在一个可以更换的介质里，这正是后来的提花织机、打孔卡片与程序的共同思路。同一本书里的固定舞台也靠同样的绳子与重物：一段一段地拉动机关，让神庙门开、火点着、雷声响，全部按顺序自动发生。他的《气动学》里还有更多：投进一枚五德拉克马的钱币，杠杆一沉，就流出一份圣水；祭坛上生起火，空气受热膨胀把水挤进桶里，桶一沉，神庙大门自己打开。

海伦的《自动装置》讲怎样造一台会自己演一出戏的小舞台。其中那辆自己走的小车，动力是一个压在沙桶上的重物： 沙子从桶底小孔漏出，重物匀速下沉，拉着一根绳子。绳子绕在车轴上，绕法就是程序—— 顺着绕的一段让车前进，反着绕的一段让车后退，松松地挂在木钉上、不碰轴的一段让车停住。 清空之后自己绕一根试试。今天有人把它称作最早的可编程机器； 同一本书里，靠同样的绳子与重物，还能让舞台上的人偶依次登场、敲打、点火。

从山的两头挖隧道

绕着山走一圈直角折线，东西、南北各自加一加、减一减，隧道的方向就定了。

tan⁡θ=∑北−∑南∑东−∑西\tan\theta = \frac{\sum \text{北} - \sum \text{南}}{\sum \text{东} - \sum \text{西}}

《测量仪》前半本讲一台测量仪器——带水准和可转动瞄准尺的「迪奥普特拉」，后半本是一道道实用题：隔着河量宽度、量一座够不着的塔有多高、定引水渠的坡度。第 15 题是最有名的一道：一座山挡在两个入口之间，要从两头同时开挖一条直隧道，怎样保证两队在山里碰头？他的办法全靠直角与加减法：从入口 A 出发，沿山脚走一串互相垂直的直线段——每走一段，用测量仪定出下一段的方向与它垂直——一路记下往东走了多少、往西走了多少、往北走了多少、往南走了多少，直到另一个入口 B。东减西，北减南，就得到 A 到 B 在两个方向上的净差。隧道的斜率由这两个数定死：在 A 按这个比例往山里挖，在 B 按同一比例反方向挖，两条隧道就在同一条直线上相向而行。这其实就是在用坐标：把一条弯弯曲曲的路，拆成东西、南北两个分量分别求和——比笛卡尔早一千六百年，只是没人这么称呼它。实际挖起来，误差是大敌：一千米长的隧道，方向算偏一度，两头就会平行错开十七米。早他六百年，萨摩斯岛上的欧帕里诺斯隧道长一千零三十多米，就是从两头挖通的，碰头处的偏差很小——当年用的办法没有记载，海伦这一题是最早留下文字的一种。

山挡在两个入口之间，从两头同时挖能快一倍，可怎么保证在山肚子里碰上？海伦在《测量仪》里给的办法是绕着山走一圈直角折线：用测量仪定出直角，只走正东西、正南北的直线段，一路记下每段多长。 到了另一个入口，东西、南北各自一加一减，就知道两个入口之间往东差多少、往北差多少，隧道的方向随之定死： 两头都按这个比例往里挖。早他六百年，萨摩斯岛的欧帕里诺斯隧道长一千多米，就是从两头挖通的。 点「方向偏 1°」看误差：一千米长的隧道，方向算偏一度，两头挖出来就会平行错开十七米——测量仪上的刻度要多准，由此可见。

根号底下出现了一个负数

一道截头棱锥的题，算到最后要开 81 − 144 的平方。书上写的是 √(144 − 81)。

传到今天、挂在海伦名下的书里，有一部《体积论》，讲各种立体的体积怎么算（今人多认为它是后人据他的书汇编的）。其中一道题是截头的正四棱锥：下底边长 28，上底边长 4，侧棱长 15，求高与体积。按正常的算法，高的平方等于侧棱的平方减去上下底对角线一半之差的平方，数字代进去，是 81 减 144——负数。书上并没有停下来，而是写成 144 减 81，得 63，开平方后接着往下算。有人说这是人类第一次在纸面上碰到负数的平方根，比卡尔达诺早了一千五百年；也有人说，这不过是抄写者或作者顺手把减法的次序颠倒了，谁也没有意识到自己碰上了什么。两种说法都讲得通，因为这道题本身就不成立：侧棱 15 太短，上下底差得太多，这样的棱锥根本拼不起来——根号下的负数，正是在报告这件事。放在当时的数学里看，这个处理其实毫不奇怪。希腊人的数是线段的长度与面积的大小，没有负的长度，也就没有「负数的平方根」这种东西可以想；两百年后丢番图在《算术》里解出 4x + 20 = 4，也直接说这个解荒谬。负数要等到七世纪的婆罗摩笈多才有了运算法则，负数的平方根要等到十六世纪的卡尔达诺和邦贝利，才被当成可以一起算的东西——而那两个人碰上它的方式，和这道题几乎一样：公式算到一半，根号底下冒出一个负数，而最后的答案却是实实在在的。

故事展签故事展签：一道拼不起来的棱锥题，和一个没被认出来的虚数。

传承

他的工作没有留在十八世纪——每条链的终点，都是你今天正在使用的东西。

海伦公式⟶婆罗摩笈多：圆内接四边形的面积⟶计算几何与数值稳定的写法
取平均，再取平均⟶牛顿法⟶今天的数值求根
反射走最短的路⟶费马：光走最省时间的路⟶变分原理与整个分析力学
绕在轴上的绳子：顺序写在介质里⟶提花织机与打孔卡片⟶存储程序的计算机
绕山的直角折线⟶把位移拆成两个分量求和⟶坐标与今天的测量平差

语录

「720 没有有理的平方根，我们就这样求一个极接近的根：离 720 最近的平方数是 729，它的根是 27。用 27 去除 720，得 26⅔；加上 27，得 53⅔；取一半，得 26⅚。26⅚ 自乘得 720 又 1/36，只差 1/36。若要差得更小，就用 26⅚ 代替 27，照样再做。」

—— 《度量论》第一卷第 8 题 · 希思英译本转译。这是古希腊留下的少数几段手把手的数值计算

「对空气与水的研究，一向为哲学家与工匠所看重：前者从理论上推究其力，后者从实际上运用其效。把气、土、火、水几种元素合在一起，有的装置满足了人生最迫切的需要，有的则只让人惊奇。」

—— 《气动学》序 · 伍德克罗夫特英译本转译，大意

「哲学研究里最大、最必需的部分是关于安宁的……而研究如何造投石器，恰恰能让人得到安宁：有了它，敌人来犯时不必害怕，没有来犯时也不必担心。」

—— 《投石器》序 · 马斯登英译本转译，大意。一位写几何与玩具的人，也要替造兵器找一个哲学上的理由