Niels Henrik Abel · 1802–1829

阿贝尔

他证明了有些东西写不出来——而写不出来，要比写出来难证得多

x^5 + ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0

一般五次方程 · 它的根存在、算得出，却写不成根式

阿贝尔 1802 年生于挪威西海岸的芬岛，父亲是牧师，家里七个孩子。1815 年他进克里斯蒂安尼亚（今奥斯陆）的座堂学校，起初成绩平平；1818 年学校换了数学老师霍尔姆博，这个人很快看出他不一样，私下借书给他，让他直接去读欧拉、拉格朗日与高斯的原著。1820 年父亲去世，家里断了生计，他一边靠老师们凑的钱上大学，一边照顾弟妹。

他一生只有二十六年，做成的事却都在源头上。1824 年他自费印了一本六页的小册子，证明五次以上的一般方程不能用根式解出——为省印刷费压到六页，反而没人读得懂。1826 年他到巴黎，把一篇关于一大类超越函数的备忘录交给科学院，审稿人是柯西与勒让德，稿子从此没了下文，直到 1841 年才印出来。同一年起，柏林的克雷勒创办《纯粹与应用数学杂志》，头几卷几乎是他一个人撑起来的：五次方程那篇完整的证明、二项级数的严格论证、椭圆函数的第一批结果，都发在那里。1829 年 4 月 6 日他病死于结核，二十六岁；两天后，克雷勒报喜的信才寄到——柏林的教授位子给他留着。今天以他命名的东西太多了：阿贝尔群、阿贝尔积分、阿贝尔求和，以及 2002 年挪威政府设立的阿贝尔奖。

约翰·约尔比茨绘，1826 · Wikimedia Commons，公有领域。他生前唯一的画像，时年二十四岁

生平

1802
生于芬岛
8 月 5 日，父亲是当地牧师。两年后全家迁往耶什塔。
1818
遇上霍尔姆博
座堂学校换了数学老师。他让阿贝尔直接去读欧拉、拉格朗日与高斯的原著，而不是教科书。
1821
进大学，父亲已去世
家里断了生计，学费由几位教授凑；他还要养弟妹。
1824
自费印的那六页
法文，证明五次以上的一般方程不能用根式解。为省钱压到六页，行文晦涩，寄给高斯也没有回音。
1825
动身去欧洲
柏林遇到克雷勒——一个工程师出身、正打算办一本数学杂志的人。
1826
《杂志》创刊号
五次方程那篇的完整版，以及二项级数的严格论证：「发散级数是魔鬼的发明」写在这一年的信里。
1826
巴黎备忘录
10 月 30 日交到科学院，审稿人柯西与勒让德。稿子搁下了，1841 年才印出来。
1827
椭圆函数
《椭圆函数研究》分两部分发表。同题材上他与雅可比互相追赶了两年。
1829
卒于弗罗兰
4 月 6 日死于结核，二十六岁。两天后克雷勒的信寄到：柏林的教授位子定了。

展品厅

绝大多数展品都可以亲手把玩——这是本馆的立馆之本；少数以叙述为主的，做成故事展签。

镇馆之宝 · 亲手玩

写不出来，不等于不存在

五次方程的根一个不少、算得要多准有多准，只是没有一个公式能把它们写出来。

x^5 - x - 1 = 0

二次方程的求根公式人人会背，三次、四次在十六世纪也被卡尔达诺那一批人攻下了。接着两百多年，所有人都以为五次只是更难一点。阿贝尔证明的是：不是更难，是不可能——用加减乘除和开方，写不出一般五次方程的根。这里要分清两件事。根照样存在：代数基本定理保证五个根都在复平面上；也照样算得出来：用迭代法要多少位小数有多少位。写不出来的只是「根式表达式」这一种写法。而且并非每条五次方程都写不出来：x⁵ = 1 的根是五个单位根，x⁵ = 2 的根是 2 的五次方根乘上它们，都写得明明白白。阿贝尔说的是没有通用公式，也确实有具体的方程写不出，比如 x⁵ − x − 1 = 0。不可能性怎么证？鲁菲尼 1799 年写过一个证明，中间有个缺口：他默认了公式里出现的每一个根式都能写成根的有理函数。阿贝尔把这条缺口补上——这条引理今天就叫阿贝尔引理——然后数一数五个根的置换，矛盾就出来了。演示里还给出一种今天才有的判法：把方程按素数取模，看它分解成几块、每块多大。这串「指纹」认得出置换群有多大；x⁵ − x − 1 在模 2 下裂成一个二次加一个三次，在模 3 下根本不裂，两条合起来就逼出整个 S₅——而 S₅ 不可解。

三条五次方程并排：两条写得出根式，一条写不出；五个根都现算给你看

阿贝尔证明的不是「五次方程更难」，而是不可能：用加减乘除与开方，写不出一般五次方程的根。两件事要分清——根照样存在，也照样算得出来，画面上那五个点就是迭代算出来的，要多少位小数有多少位；写不出来的只是根式表达式这一种写法。而且不是每条五次方程都写不出：x⁵ = 1、x⁵ = 2 的根都摆得明明白白，阿贝尔说的是没有通用公式。怎么认出某一条具体的方程写不出？把它按素数取模，看它裂成几块、每块多大—— 这串指纹认得出置换群有多大。x⁵ − x − 1 在模 2 下裂成二次加三次，在模 3 下根本不裂；一个五轮换加一个对换就生成整个 S₅，而 S₅ 不可解。这条路是伽罗瓦之后才修好的，阿贝尔当年走的是另一条：先证明公式里的每个根式都必须是根的有理函数（这条今天叫阿贝尔引理，正是鲁菲尼 1799 年默认掉的那一步），再数五个根的置换，矛盾就出来了。

「发散级数是魔鬼的发明」

骂完之后，他给了一个让魔鬼也说得通的办法——今天那个办法叫阿贝尔求和。

\lim_{x \to 1^-} \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = \sum_{n=0}^{\infty} a_n

1 − 1 + 1 − 1 + … 等于几？欧拉那一代会算到 1/2，理由是把 1/(1+x) 在 x = 1 处代进去。阿贝尔 1826 年写信给老师霍尔姆博：「发散级数是魔鬼的发明，拿它来作任何证明都是一种耻辱。」他要的是先问收不收敛，再谈和是多少——这与同年柯西「一个发散级数没有和」是同一件事的两个说法。可故事没有停在这里。他在二项级数那篇论文里证了一条定理：如果幂级数在收敛半径的端点处收敛，那么从圆内沿半径走过去的极限，正好等于端点处的和。这条定理今天叫阿贝尔定理，它的用处是把「边界上那一点」接回连续性：交错调和级数 1 − 1/2 + 1/3 − … 收敛到 ln 2，而 x < 1 时 ln(1+x) 的级数处处老实，阿贝尔定理保证走到 x = 1 时两边对得上。反过来用这条定理，就得到了以他名字命名的求和法：拿 Σaₙxⁿ 在 x → 1⁻ 的极限当作「和」。1 − 1 + 1 − … 按这个办法正是 1/2，与欧拉当年的答案相同——区别在于，现在这是一个有定义、有定理撑着的赋值，而不是一句代进去就算。骂它的人和给它正名的人，是同一个。

x = 0.88

1 − 1 + 1 − 1 + … 等于几？欧拉那一代会答 1/2。阿贝尔 1826 年写信给老师：发散级数是魔鬼的发明，拿它作任何证明都是一种耻辱—— 这和同年柯西那句「一个发散级数没有和」是一件事的两个说法。可他接着做了另一半：先给每一项乘上 xⁿ，在 |x| < 1 里级数老老实实收敛，再让 x 走向 1。他证明的定理是：级数在端点处收敛时，这条路走到头，正好等于端点处的和——交错调和级数那一条就是这样，两边都是 ln 2。至于另外两条，级数在 x = 1 处根本不收敛，这条路仍然走得通、也仍然给出一个数（1/2 与 1/4），但那是阿贝尔求和给出的赋值，不是和。骂它的人和给它正名的人是同一个：区别只在于，现在这是一个有定义、有定理撑着的东西。

把积分反过来看

正弦有一个周期；他这个函数有两个，而且方向不同。

u = \int_0^y \frac{dt}{\sqrt{1-t^4}} \quad \Rightarrow \quad y = \mathrm{sl}(u)

十八世纪的人算椭圆的弧长、双纽线的弧长，得到的是一类积分，谁也积不出初等函数来，于是它们叫「椭圆积分」，被当成一堆难对付的式子。阿贝尔（还有同时的雅可比）换了个看法：别盯着积分，把它反过来。正弦是怎么来的？x = ∫₀^y dt/√(1−t²) 反过来就是 y = sin x。那么把 u = ∫₀^y dt/√(1−t⁴) 反过来，也该得到一个函数——他叫它双纽正弦 sl(u)。一反过来，性质全都翻了个面：原来的积分有分支、有多值的麻烦，反过来的函数却是单值的、处处光滑的，还多出一件正弦没有的事——它有两个周期。sl 沿实轴每走 2ϖ 重复一次（ϖ = 2.62205755…，叫双纽线常数）；而沿虚轴，因为 sl(iu) = i·sl(u)，每走 2iϖ 也重复一次。两个方向都重复，于是整个复平面被一张正方形的格子铺满，函数在每一格里长得一模一样。实数轴上永远看不见这件事——双周期只有到复平面上才存在。这之后的路很长：这类函数叫椭圆函数，它们的积分叫阿贝尔积分，相应的几何对象叫阿贝尔簇；今天椭圆曲线密码学里那条加法法则，追到底也在这里。

u = 1.626

正弦是怎么来的？把 x = ∫₀^y dt/√(1−t²) 反过来，就是 y = sin x。阿贝尔（还有同时的雅可比）对椭圆积分做了同一件事：把 u = ∫₀^y dt/√(1−t⁴) 反过来，得到双纽正弦 sl(u)。一反过来，麻烦全变成了性质：原来的积分多值、有分支，反过来的函数却单值、处处光滑，还多出一件正弦没有的事——它有两个周期。沿实轴每走 2ϖ（ϖ = 2.62205755…，双纽线常数）回到原值；而由恒等式 sl(iu) = i·sl(u)，沿虚轴每走 2iϖ 也回到原值。两个方向都重复，于是整个复平面被一张格子铺满，函数在每一格里长得一模一样—— 这件事在实数轴上永远看不见。顺着这条路往下，是椭圆函数、阿贝尔积分与阿贝尔簇；今天椭圆曲线密码学里那条加法法则，追到底也在这里。

双纽线也能五等分

高斯把圆分成十七份；阿贝尔证明，同样的分法对这条 ∞ 形的曲线也成立。

r^2 = \cos 2\theta

1796 年十九岁的高斯用尺规作出正十七边形，并给出判据：正 n 边形可作，当且仅当 n 的奇素因子都是不同的费马素数。他在《算术研究》第七章末尾写了一句话：同样的方法不止适用于圆，也适用于别的超越函数，比如与积分 ∫dt/√(1−t⁴) 有关的那一条曲线——他没有展开。那条曲线就是双纽线 r² = cos 2θ，形状像横躺的 ∞。阿贝尔 1827 年把这句话补完了：双纽线的等分与圆的等分，可作的 n 完全一样。所以三等分不行、五等分行、十七等分也行。为什么会这样？因为等分一条曲线，等于给相应的函数解一个「n 倍角公式」的方程；圆对应的是三角函数，双纽线对应的是上一件展品里那个 sl。两边的方程结构相同，可解性的判据自然也相同——而这个「结构相同」的说法，正是伽罗瓦理论后来要讲的东西。演示里把两条曲线并排放：圆的五等分点按角度取，双纽线的五等分点按弧长取，弧长要用 ∫dr/√(1−r⁴) 去数，两边的五个点都现算。

分成 5 份

1796 年高斯作出正十七边形，并给出判据：正 n 边形尺规可作，当且仅当 n 是 2 的幂乘上互不相同的费马素数。他在《算术研究》末尾还写了一句没有展开的话——同样的方法不止适用于圆，也适用于与积分 ∫dt/√(1−t⁴) 相连的那条曲线。那条曲线就是双纽线。阿贝尔 1827 年把这句话补完了：双纽线可以等分的 n，与圆的完全一样。所以七等分两边都作不出，五等分、十七等分两边都行。道理在于「等分」其实是给相应的函数解一个 n 倍角方程：圆对应三角函数，双纽线对应上一件展品里那个 sl；两边的方程结构相同，可解性的判据自然相同—— 而这个「结构相同」，正是伽罗瓦理论后来要讲的东西。画面上圆的分点按角度取，双纽线的分点按弧长取（相邻两段交替加重，看得出每段一样长）。

交换律换来一个名字

今天说「阿贝尔群」，说的就是「乘起来不分先后」——这个名字来自他 1829 年的一篇论文。

a \cdot b = b \cdot a

阿贝尔在 1829 年那篇《关于一类特殊的可用代数方法求解的方程》里证明：如果一个方程的根之间存在这样一种关系——每个根都能写成其中一个根的有理函数，而且这些函数彼此可交换，那么这个方程一定可以用根式解出。换句话说，可交换，就可解。后来群的语言成形，人们把「运算可交换的群」叫作阿贝尔群，纪念的就是这件事。演示把两张运算表并排：六个元素的循环群 Z₆，和同样六个元素的对称群 S₃（一个正三角形的所有对称）。Z₆ 的表沿对角线完全对称，S₃ 的不对称——先转后翻与先翻后转，落到的位置不一样。差别看起来只是一条对角线，后果却很大：交换群的结构被一条定理管得死死的（有限交换群一定是循环群的直积），而非交换群要野得多，五次方程解不开的那个 S₅ 就在非交换这一边。顺带一提，日常里交换律也不是白给的：把手机先绕 x 轴转九十度再绕 y 轴转，和反过来做，朝向不一样——馆里哈密顿那件四元数讲的正是这件事。

第一个元素：r第二个元素：s

阿贝尔 1829 年证明：如果一个方程的根之间存在这样的关系——每个根都是某一个根的有理函数，而且这些函数彼此可交换——那么这个方程一定能用根式解出。可交换，就可解。后来群的语言成形，人们把运算可交换的群叫作阿贝尔群，纪念的正是这件事。两张表都是六个元素：左边 Z₆ 沿对角线完全对称；右边 S₃ 是正三角形的全部对称，有十八处不对称——先转后翻与先翻后转，落到的位置不一样。差别看着只是一条对角线，后果却很大：有限交换群被一条定理管得死死的（一定是循环群的直积），非交换群要野得多，五次方程解不开的那个 S₅ 就在非交换这一边。日常里也一样——手机先绕 x 轴转九十度再绕 y 轴转，和反过来做，朝向不同；馆里哈密顿那件四元数讲的就是这件事。

那封迟到两天的信

1829 年 4 月 6 日他病死，4 月 8 日柏林的聘书寄到。

阿贝尔的一生被两件事拖着：穷，和没人读他的东西。1824 年那本六页的小册子，是他自己掏钱印的——为省印刷费，他把证明压缩到几乎读不懂，寄给高斯，据说对方没有读（这件事常被转述为「高斯把它扔在一边」，细节各家说法不一，可以确定的只是没有回音）。1826 年他到巴黎，把那篇关于超越函数的备忘录交进科学院；审稿人是柯西与勒让德，柯西把稿子带回了家，然后就没有然后——直到 1841 年才印出来。勒让德后来读到它，说这是一座比青铜更耐久的纪念碑。1828 年他回到挪威，没有职位，靠代课和借债过日子，身体已经垮了。1829 年 4 月 6 日，他死在未婚妻做家庭教师的那户人家，弗罗兰的一处铁厂，二十六岁。两天后，克雷勒的信寄到：柏林的教授位子已经替他谈成了。这一栏不是要卖惨。真正值得记的是另一件事：一个人的工作会不会被看见，在那个时代几乎全凭运气——没有制度，没有同行评议的期限，一切系于某个人的书桌。今天挪威把国家的数学奖以他命名（2002 年设立，2003 年首颁），多少算是一种迟到的回答。

故事展签故事展签：两份被搁置的稿子，和一封迟到两天的信。

传承

他的工作没有留在十八世纪——每条链的终点，都是你今天正在使用的东西。

五次方程不可根式解⟶伽罗瓦：可解性就是群的结构⟶抽象代数与现代数学的通用语言

阿贝尔引理：根式都是根的有理函数⟶补上鲁菲尼证明里的缺口⟶「不可能性证明」成为一类正当的数学结果

椭圆积分反过来看⟶椭圆函数与双周期⟶椭圆曲线：密码学与怀尔斯的证明

阿贝尔定理：边界上那一点⟶幂级数在端点的连续性⟶阿贝尔求和：发散级数的一种正当赋值

可交换就可解⟶阿贝尔群这个名字⟶今天每一本代数教材的第一章

语录

「发散级数是魔鬼的发明，拿它来作任何证明都是一种耻辱。」
—— 1826 年 1 月 16 日致霍尔姆博的信（Les séries divergentes sont…quelque chose de bien fatal…）；同一封信里他还说，高等分析里只有极少数命题是用足够严格的方法证明的

「柯西疯疯癫癫，拿他没有办法，可眼下他是唯一一个知道数学该怎么做的人。」
—— 1826 年 10 月 24 日致霍尔姆博的信，写于巴黎——那正是他把备忘录交给科学院的同一个月

「五次以上的一般方程，不可能用根式求解。」
—— 1824 年自费印行的六页小册子的结论，1826 年在《纯粹与应用数学杂志》创刊卷上给出完整证明