数学群星MATHEMATICAL LUMINARIES

Pappus of Alexandria · 约290–约350

帕普斯

希腊几何快要失传时，他把它收拾成一部书，还给笛卡尔留了一道题

d1⋅d2d3⋅d4=λ\frac{d_1 \cdot d_2}{d_3 \cdot d_4} = \lambda
四线轨迹 · 《数学汇编》第七卷 · 一千三百年后笛卡尔拿它演示坐标的威力

关于帕普斯本人，知道的几乎全出自他自己的书。十世纪的辞书《苏达》说他与亚历山大里亚的塞翁同时，活在狄奥多西一世治下（379–395）；一份年表抄本的旁注却把他放在戴克里先的时代（284–305）。能钉住年份的是一次日食：他给托勒密《天文学大成》作注时推算过它的时刻，折合公历是 320 年 10 月 18 日，看口气是他不久前亲眼见过的。所以他大约活跃在四世纪上半叶，生卒年都是推出来的。他住在亚历山大里亚，一般认为在那里教授数学；《数学汇编》第七、八卷献给儿子赫尔莫多罗斯，第三卷写给一位叫潘德罗西翁的教师——抄本里修饰这个名字的形容词是阴性，十九世纪的校勘者把它改成了阳性，近年有学者据原文认为这是一位女性。

他最重要的书是八卷《数学汇编》，一般认为编成于 340 年前后。它不是教科书，更像一部读书指南：欧几里得、阿基米德、阿波罗尼奥斯的书该怎么读、缺哪些引理、哪里能证得更短，他一条条补上，顺手把前人对同一道题的各种解法抄在一起。第一卷和第二卷的前半已经失传。在他之前，希腊的高等几何已经沉寂了很久，他讲到的许多书后来都失传了，今天只能靠他的转述知道里面写了什么。书里还有已知最早的圆锥曲线焦点—准线性质的证明：到一个定点与到一条定直线的距离之比为定值，点的轨迹是椭圆、抛物线或双曲线。这部书在中世纪的欧洲几乎无人知道；1588 年科曼迪诺的拉丁译本印出之后，韦达、笛卡尔、费马都从里面找到了自己的起点。

帕普斯肖像
《数学汇编》拉丁文首印本扉页 · 科曼迪诺译，佩萨罗 1588，Wikimedia Commons，公有领域。帕普斯没有画像传世。这是他的书第一次印成铅字：译者科曼迪诺 1575 年已经去世，十三年后才由他的学生圭多巴尔多·德尔·蒙特等人整理出版。十七世纪的欧洲数学家主要靠这个拉丁译本读到他。

生平

  1. 约290
    约生于此时

    生卒年都由他的著作推算，没有任何直接记载。

  2. 320
    10 月 18 日的日食

    他在《天文学大成》注里推算这次日食的时刻，看口气是亲眼所见。这是他生平唯一能确定的年份。

  3. 约340
    《数学汇编》

    八卷，编成年代一般定在 340 年前后，也有学者认为早到 320 年代。第一卷与第二卷前半已佚。

  4. 第四卷
    鞋匠刀里的一串圆

    他说这是流传下来的古老命题，并用一串引理证明。同卷还有用双曲线三等分任意角。

  5. 第五卷
    蜜蜂与等周问题

    周长相同的正多边形边越多越大，圆最大；顺带列出阿基米德的十三种半正多面体。

  6. 第七卷
    分析宝库

    为三十三卷书写内容提要与引理，其中有四线轨迹、六点共线定理、焦点—准线性质，以及后来叫古尔丁定理的那一段。

  7. 约350
    约卒于此时

    无记载。

  8. 10世纪
    梵蒂冈希腊文 218 号抄本

    今存的四十来部希腊文抄本，都是从这一部辗转抄出的。

  9. 1588
    科曼迪诺的拉丁译本

    在佩萨罗印行，译者已去世十三年。《数学汇编》从此进入欧洲数学家的书架。

  10. 1637
    笛卡尔《几何学》

    第一卷整段抄录帕普斯讲四线轨迹的原文，然后用坐标与方程把它解完。

  11. 1640
    古尔丁《重心论》第二卷

    发表旋转体体积等于面积乘重心所走圆周，此后以他为名。

  12. 1899
    希尔伯特《几何基础》

    证明六点共线定理成立与否，对应线段乘法是否满足交换律。

  13. 1999
    黑尔斯证明蜂巢猜想

    把平面分成面积相等的格子，正六边形的总周长最小——墙允许是弯的也一样。

展品厅

绝大多数展品都可以亲手把玩——这是本馆的立馆之本；少数以叙述为主的，做成故事展签。

镇馆之宝 · 亲手玩

帕普斯问题：到四条直线的距离

到四条直线的距离两两相乘，两个积之比保持不变，点走出的是一条圆锥曲线——帕普斯说到这里就停了，作法等了一千三百年。

d1⋅d2d3⋅d4=λ⟹一条圆锥曲线\frac{d_1 \cdot d_2}{d_3 \cdot d_4} = \lambda \quad \Longrightarrow \quad \text{一条圆锥曲线}

《数学汇编》第七卷介绍阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》时，讲到一个老题目：给定三条或四条直线，从一点按给定的角向它们各引一条线段。三条线时，若其中两条之积与第三条的平方成定比；四条线时，若两条之积与另两条之积成定比——这个点就落在一条圆锥曲线上。阿波罗尼奥斯在序里说欧几里得没把这个轨迹作完，只作出了偶然的一部分；帕普斯很不以为然，替欧几里得说话：没有阿波罗尼奥斯后来补的那些定理，谁也做不到更多，而阿波罗尼奥斯自己也是在亚历山大里亚跟着欧几里得的学生待了很久才学成的。他接着往下推：五条、六条线也能这样定出曲线；六条以上就说不成「积」了——三条线段相乘已经是体积，几何里没有超过三维的东西；改用比的复合，多少条线都说得通，只是会得到什么曲线，还没有像样的人去研究。1631 年底，荷兰学者戈利乌斯把这道题推荐给笛卡尔，请他用自己的新方法试试，1632 年初笛卡尔已把解法寄了回去。1637 年出版的《几何学》第一卷整段抄录了帕普斯的原文——开头正是替欧几里得辩护的那几句，笛卡尔在旁边注明用拉丁译本而不用希腊原文，是为了让大家读得懂——然后给每条线段配一个字母，把「积之比为定值」写成方程：四条线时是二次方程，所以是圆锥曲线；线越多，方程次数越高，希腊人无从下手的曲线从此可以按方程的次数分类。五十年后，牛顿在《原理》第一卷又解了一遍，特意只用几何，说这里给出的不是计算，而是古人所要求的几何综合。演示里还能看到一件原文没有明说的事：不管比值取多少，轨迹都经过四条线两两相交的那四个点。

拖动点 P，看保持距离之积的比不变时它走出的曲线；再换成三条直线试试

P 到直线 1、2 的距离相乘，到直线 3、4 的距离相乘，两个积之比现在是 0.3142。让这个比保持不变，P 走出的就是粗线：椭圆。不管 P 拖到哪里，它都从四个小圆圈经过——那是四条线两两相交的地方，两边的积同时为零。距离本身不分正负，所以同一个比值其实对应两条曲线，细灰线是另一条。帕普斯只说了「是一条圆锥曲线」，没有给出作法；一千三百年后，笛卡尔用坐标把它整个算了出来。

两条直线上的六个点

一条线上三个点，另一条线上三个点，交叉连线的三个交点必在一条直线上。

这条定理藏在第七卷给欧几里得《推断》写的引理里。《推断》三卷早已失传，帕普斯为了帮人读懂它，写了三十八条引理，其中四条（第 138、139、141、143 题）说的是同一件事：两条直线上各取三个点，交叉连线，三个交点共线——两条线平行与相交的情形各证一遍。它奇怪在什么也不量：没有长度、没有角度、没有面积，只有「过两点连一条线」和「两条线交于一点」，这正是后来射影几何的语言。1860 年沙勒据这些引理复原《推断》，从里面读出了交比。1640 年，十六岁的帕斯卡把两条直线换成一条圆锥曲线，六个点任取在曲线上，三个交点照样共线；两条相交的直线本来就是一条退化的圆锥曲线，帕普斯的这一条是神秘六边形的特例。到二十世纪它又有了新的分量。希尔伯特在 1899 年的《几何基础》里证明：在他那套公理之下，这条定理成立与否，恰好对应着用线段定义出来的乘法满不满足交换律；1905 年赫森贝格又证明，它能推出射影几何的另一条基本定理——德萨格定理。一条只谈连线与交点的定理，量出来的是代数里 ab 与 ba 是不是一回事。

下面一条线上三个点，上面一条线上三个点，交叉着连起来：A₁B₂ 与 A₂B₁、A₁B₃ 与 A₃B₁、A₂B₃ 与 A₃B₂各交于一点。三个交点围成的三角形面积现在是 4.5e-13 px²——浮点误差的量级，它们始终在一条直线上。整件事只用到「连线」与「交点」，一次也没有量过长度或角度。把两条直线换成一条圆锥曲线，就是帕斯卡十六岁时的神秘六边形。

蜜蜂的几何远见

能单独铺满平面的正多边形只有三种，周长相同时六边形最大——帕普斯说，蜜蜂知道这一点。

Sn=P24ntan⁡(π/n)S3:S4:S6≈0.667:0.866:1S_n = \frac{P^2}{4n\tan(\pi/n)} \qquad S_3 : S_4 : S_6 \approx 0.667 : 0.866 : 1

《数学汇编》第五卷的序是全书文字最讲究的一段，校勘者胡尔奇特意指出它连元音相撞的读音都刻意避开了。帕普斯从蜜蜂说起：神把最完美的智慧给了人，也把一小份分给了没有理性的动物，其中得到最多的是蜜蜂。蜂房要格格相连、共用墙壁，免得杂物钻进缝里弄脏蜂蜜；能单独做到这一点的等边等角图形只有三种——正三角形、正方形、正六边形。蜜蜂挑了角最多的那一种，因为同样多的材料，它装得下最多的蜜。然后他笔锋一转：我们自认比蜜蜂分得更多的智慧，要研究一个更宽的问题——周长相同的等边等角图形，角越多面积越大，而最大的是周长相同的圆。这一卷随后跟着芝诺多罗斯讲平面上的等周问题，再比较表面积相同的立体：球比任何一种正多面体都大，正多面体里面数越多的越大。途中他列出了阿基米德发现的十三种半正多面体——阿基米德那本书已经失传，今天知道他做过这件事，就靠帕普斯这一段。蜜蜂的那一半题目，要到很久以后才算真正答完：六边形只是在正多边形里胜出；如果格子可以是任意形状，墙甚至可以是弯的，要把平面分成面积相等的格子，哪一种用的墙最少？1999 年黑尔斯证明，还是正六边形。

正 6 边形与六边形周长相同，面积是它的 1.000 倍，而且能单独把平面铺满。铺满以后每面墙都由两格共用，三种铺法每格摊到的墙长都是周长的一半，所以「周长相同」就是「用蜡相同」。在铺得满的三种里，六边形用同样的蜡围出最大的一格。

转一圈的体积，只看重心走了多远

平面图形绕轴转一圈，体积等于面积乘以重心走过的圆周——今天叫古尔丁定理，帕普斯早一千三百年写下了它。

V=A⋅2πRV = A \cdot 2\pi R

第七卷讲完「分析宝库」里那些书之后，帕普斯抱怨同时代的人只在基础和原理上打转，说自己证过一些更重要、更有用的命题；为了「离开这个题目时不至于两手空空」，他写下这样一段：绕轴完整转一周生成的立体，彼此之比由两个比复合而成——旋转图形的面积之比，和各自重心到轴的距离之比；转不满一周的，还要再乘上转过的角度之比。他又说，这几条其实是一条，一个证明就能同时证出关于曲线、曲面、立体的许多定理，新的旧的都有。证明他没有给。十九世纪的校勘者胡尔奇认为整段是后人窜入的，希思不同意：从帕普斯往后，他想不出还有哪一位希腊数学家发现得了这样的命题。换成今天的式子就是 V = A·2πR，R 是重心到轴的距离：体积只看面积和重心离轴多远，图形长什么样都不要紧。一个圆绕轴转出圆环；一个半圆贴着轴转出一个球，而球的体积阿基米德早已求出，倒过来就得到半圆的重心离直径 4r/3π。开普勒 1615 年那本讲酒桶测量的书里，算圆环体积用的就是这个想法；1640 年，瑞士耶稣会士古尔丁在《重心论》第二卷把它作为一般定理发表，从此以他为名。有人指责他抄了帕普斯——科曼迪诺的译本 1588 年就印出来了；二十世纪的布尔默-托马斯替他开脱：多半是多年前读过、沉进了记忆，不算有意剽窃。

一个圆绕轴转一圈，得到一只圆环，体积 616.85。不必管环的内侧窄、外侧宽，只要圆的面积乘上圆心走过的那一圈。把圆推远一点，体积按离轴距离成正比地涨。

鞋匠刀里的一串圆

在鞋匠刀里一个挨一个塞进圆，第 n 个圆的圆心离底边，正好是它自己直径的 n 倍。

hn=n⋅dnh_n = n \cdot d_n

三个半圆立在同一条直线上：一个大的，里面两个小的并排，把大半圆的直径分成两段。夹在中间那块弯弯的地方，像古希腊鞋匠裁皮子的刀，叫 arbelos。归在阿基米德名下的《引理集》研究过它，里面有两个一样大的圆。帕普斯在第四卷讲了一个更深的结果，并说这是一条流传下来的古老命题：在大半圆与其中一个小半圆之间塞进一串圆，第一个同时切三个半圆，以后每一个都切着这两个半圆和前一个圆；那么第一个圆的圆心到底边的距离等于它的直径，第二个是直径的两倍，第三个是三倍，以此类推，没有尽头。他先证了几条引理，再一步步推到任意一个——希思说这一节极其有趣而巧妙，只可惜篇幅不够全文照录。帕普斯还讲了几种变体：圆链改塞在两个小半圆之间，或者把半圆换成直线，结论照样成立。今天这件事有一个一眼看穿的证法，用的是十九世纪才有的反演：以直径的一端为中心作反演，两个过这一点的半圆变成两条平行线，那一串圆变成夹在平行线之间、一样大的一摞圆，高度是直径的整数倍就摆在眼前。两种证法隔了一千五百年，一个靠耐心，一个靠换个角度看。

第 3 个圆的直径复制 3 份，从直径 AB 往上摞，最上面一份的顶正好碰到它的圆心——圆心的高度是直径的 3 倍。挪动 C 点，圆的大小和位置全都变了，这个倍数一丝不动。帕普斯说这是一条流传下来的古老命题，并用一串引理证了它；今天常用反演一步看穿：以 A 为中心反演，大半圆与左边的小半圆变成两条平行线，一串圆变成夹在中间、一样大的一摞圆。

假定要作的已经作成

他替三十三卷书写了读书指南，其中大半今天已经失传——我们知道那些书写过什么，多半靠他。

第七卷开头，帕普斯向儿子赫尔莫多罗斯介绍一套叫「分析宝库」的书：给学完《原本》、想学会自己解题的人读的，作者是欧几里得、阿波罗尼奥斯和老阿里斯泰乌斯。他先说什么叫分析：把所求的东西假定为已经作成，追问它由什么推出，那个又由什么推出，一路往回推，直到碰上已经知道的东西或第一原理；综合则反过来，从分析最后到达的那一步出发，按自然的顺序一步步作出所求。这是希腊人留下的关于这两个词最详尽的说明。一千六百多年后，波利亚在《怎样解题》里说，这门学问的名字不妨译作「启发法」，并把「假定要作的已经作成」当作解难题的一条基本策略。接着是书单：欧几里得的《已知数》一卷、《推断》三卷、《曲面轨迹》两卷，阿波罗尼奥斯的《截取比例》《截取面积》《定截面》《相切》《倾斜》《平面轨迹》各两卷与《圆锥曲线论》八卷，阿里斯泰乌斯的《立体轨迹》五卷，埃拉托色尼的《论平均》两卷，一共三十三卷。今天传下来的只有《已知数》、《圆锥曲线论》前七卷（五到七卷只剩阿拉伯译本）和阿拉伯译本的《截取比例》；其余全部失传，帕普斯写的提要和两百多条引理几乎是唯一的线索。于是有了一门持续两百多年的手艺——照着帕普斯复原失传的书：韦达复原《相切》，费马复原《平面轨迹》，哈雷复原《截取面积》和《圆锥曲线论》第八卷，西姆森复原《平面轨迹》，霍斯利复原《倾斜》，1860 年沙勒复原《推断》。有的复原还开出了新东西：费马的解析几何，正是在琢磨《平面轨迹》的时候长出来的。

故事展签故事展签：一张三十三卷的书单，和两百年里照着它复原失传之书的人。

传承

他的工作没有留在十八世纪——每条链的终点，都是你今天正在使用的东西。

四线轨迹⟶笛卡尔《几何学》：把曲线写成方程⟶解析几何与按方程次数给曲线分类
两条直线上的六点共线⟶帕斯卡的神秘六边形与射影几何⟶希尔伯特：这条定理对应乘法交换律
蜜蜂与等周问题⟶等周不等式⟶1999 年黑尔斯证明蜂巢猜想
旋转体体积与重心⟶古尔丁《重心论》⟶微积分课本里的旋转体一节
「分析宝库」的书目与提要⟶韦达、费马、哈雷复原失传的希腊著作⟶费马的解析几何
假定要作的已经作成⟶波利亚《怎样解题》⟶今天讲解题策略的启发法

语录

「蜜蜂知道的只是对它们自己有用的这一件事：六边形比正方形和三角形大，花同样多的材料，能装下更多的蜜。而我们自认比蜜蜂分得更多的智慧，要去研究一个更宽的问题。」

—— 《数学汇编》第五卷序 · 希思英译本转译

「在分析中，我们把所求的东西当作已经作成，追问它是由什么得出的，那个又是由什么得出的，如此倒推，直到碰上某个已经知道的东西，或者属于第一原理的东西。」

—— 《数学汇编》第七卷序 · 希思英译本转译，节译

「几何学丝毫不会因此受损；它天生就能与许多技艺结合，给它们以实质。它推进了这些技艺，反过来也因它们而得到尊荣与装点。」

—— 《数学汇编》第八卷序，谈数学用于机械 · 希思英译本转译