Carl Gustav Jacob Jacobi · 1804–1851

雅可比

有人说数学应当有用；他回信说，科学的唯一目的是人类精神的荣耀

dx\,dy = \left| \det \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \right| du\,dv

换元时那个多出来的因子 · 它就是一小块面积被放大的倍数

雅可比 1804 年生于波茨坦一个犹太银行家家庭，起先在家里由舅父授课，1816 年 11 月，还不满十二岁就进了波茨坦的文科中学，半年后就被提进最高年级；可不满十六岁不得上大学，他只好在那个班上坐满了四年。1821 年他进柏林大学，那时大学里的数学课还撑不住他，于是他自己去读欧拉、拉格朗日与拉普拉斯的原著。1825 年他以《关于简单分式的分析研究》取得博士学位。求学这几年里他受洗成为基督徒——在当时的普鲁士，犹太人几乎取不到大学教职（受洗的年份各家说法不一）。1826 年 5 月他到柯尼斯堡当私俸讲师，第二年年底升副教授，后来又升为正教授；直到 1843 年病倒离开，他在那里待了十七年。

他做成的事看上去分散，可其中不少是同一个动作：把一个难题翻过来，从背面去看。1829 年的《椭圆函数论新基础》把 theta 函数摆上台面，与阿贝尔在同一题目上互相追赶了两年；他顺手数出了一个数写成四个平方数之和有多少种写法——拉格朗日证的只是「有」。1837 年他把哈密顿的力学改写成一个偏微分方程，今天叫哈密顿–雅可比方程。1841 年的两篇拉丁文论文把行列式当成独立的对象来讲，换元积分里那个「函数行列式」从此叫雅可比行列式。1845 年他为最小二乘留下的正规方程组提出一种逐次逼近的解法，就是今天的雅可比迭代。他也是个了不起的教师：1834 年他与物理学家诺伊曼在柯尼斯堡办起数学物理讨论班，一般认为那是现代数学研究型讨论班的早期典范。1843 年他的身体垮了——狄利克雷专程去波茨坦找洪堡说项，普鲁士国王才拨了两千塔勒让他去意大利养病；那个冬天狄利克雷、施泰纳与博尔夏特也都在罗马；1844 年 6 月回柏林，1851 年 2 月先染流感、没等复原又染上天花，四十六岁。

奥古斯特·卡塞洛夫斯基绘于罗马，1843 · Wikimedia Commons，公有领域。画面右缘留着作者的签名「Kaselowsky. Roma 1843」——雅可比 1843 年 11 月 16 日到罗马养病，而卡塞洛夫斯基 1839 至 1850 年正长住罗马，时间对得上（两人还同是波茨坦人）。此处用的是柯尼斯贝格尔《雅可比诞辰百年纪念文集》（莱比锡，1904）里的照相凹版复制件

生平

1804
生于波茨坦
12 月 10 日，父亲是银行家。兄长莫里茨后来在圣彼得堡做电磁学，也留下了自己的名字。
1821
进柏林大学
课堂上的数学不够他吃，于是直接去读欧拉、拉格朗日与拉普拉斯的原著。
1825
博士学位
论文题为《关于简单分式的分析研究》。求学这几年里他受洗成为基督徒——当时的普鲁士，犹太人几乎取不到大学教职（年份各家说法不一）。
1826
去柯尼斯堡
5 月到任，先是私俸讲师，第二年年底升副教授，后来又升正教授。他在柯尼斯堡待了十七年。
1827
椭圆积分的变换公式
两封致舒马赫的信登在《天文通报》第 123 号上，只给结果不给证明；8 月 5 日他另写信告诉勒让德。
1829
《椭圆函数论新基础》
theta 函数、三重积恒等式与四平方和的计数公式都在这一本里。
1830
致勒让德的那封信
回应傅里叶「数学应当服务于实用」：科学的唯一目的，是人类精神的荣耀。
1834
数学物理讨论班
2 月与诺伊曼、索恩克一同申请，11 月开办（贝塞尔投了反对票）。把学生直接带到研究前沿的做法，一般认为从这里开始成型。
1837
哈密顿–雅可比方程
他把哈密顿那套改写成「解一个偏微分方程的任一完全积分」，此后力学一直这么写。
1841
《论函数行列式》
拉丁文，登在克雷勒杂志第 22 卷。同卷还有一篇讲行列式本身；换元积分里那个因子从此有了名字。
1843
病倒，去意大利
5 月 20 日狄利克雷去波茨坦找洪堡说项，国王拨了两千塔勒。7 月 9 日离开柯尼斯堡，11 月 16 日到罗马——卡塞洛夫斯基那幅像也署着「罗马，1843」。
1845
雅可比迭代
为最小二乘留下的正规方程组提出逐次逼近：每个未知数按其余各项重算一遍。
1848
一场两边都得罪的演说
他在立宪俱乐部讲的那番话，君主派与共和派都不满意；随后他想转进柏林大学的请求被驳回。
1851
卒于柏林
2 月 18 日。先染流感，没等复原又染上天花，四十六岁。

展品厅

绝大多数展品都可以亲手把玩——这是本馆的立馆之本；少数以叙述为主的，做成故事展签。

镇馆之宝 · 亲手玩

一小块面积，被放大了几倍

换元积分里那个多出来的因子，就是每一小块面积被放大的倍数。

dx\,dy = \left| \det \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \right| du\,dv

从直角坐标换到极坐标，积分里会多出一个 r；从 (u, v) 换到别的什么坐标，多出来的又是别的东西。这个「多出来的」是什么？雅可比 1841 年那两篇拉丁文论文给出了一般的答案。在一点附近，任何光滑映射看上去都像一个线性映射——把各个偏导数排成一个矩阵，就是雅可比矩阵；而莱布尼茨那件展品里说过，一个线性映射把面积放大的倍数正是它的行列式。合起来就是：dx dy = |det J| du dv。演示把这句话拆开来看：左边一张切成小块的正方形网格，右边是它被搬过去以后的样子。两个数并排现算——一个是在小块中心把 |det J| 解析求值，一个是把搬过去的四边形按鞋带公式量出来。极坐标那一档能看见极限的过程：4×4 时两者差 3.7%，32×32 时只差 0.06%，每加密一倍缩到四分之一。再把全部小块的面积加起来，得到的正是 ∫∫|det J| du dv——换元积分公式本身。最后一档叫「保面积的搅动」：图形被搅得认不出来，行列式却恒等于 1，一块面积也没多出来。今天这个 det J 无处不在：多元换元积分、概率论里换变量时密度要乘的因子、机器人学里那个把关节速度换成末端速度的矩阵（它归零的地方就是机械臂的奇异姿态）、以及深度学习里规范化流用来追踪概率密度的那一项。

挑一个映射，看每一小块的面积怎么变；行列式与实测的面积比并排现算

切成 8×8框住第 5 列框住第 3 行

换元积分里那个「多出来的因子」，就是这张图。把左边的正方形切成一样大的小块，按映射一块块搬到右边：形状变了，面积也变了，而且各处变的倍数不一样。雅可比 1841 年那篇论文说的是：在一点附近，任何光滑映射看上去都像一个线性映射，把各个偏导数排成的矩阵就是雅可比矩阵，而行列式的绝对值正是那一点上面积被放大的倍数。右上角那两个数是分别算出来的——一个是在小块中心把 |det J| 解析求值，一个是把搬过去的四边形按鞋带公式量出来再除以原面积。选「极坐标」，再把切分从 4×4 拖到 32×32，相对差会从 3.7% 一路缩到 0.06%，每加密一倍缩到四分之一。再往下一层：把全部小块的面积加起来，得到的正是 ∫∫|det J| du dv——右下角那一对数就是这件事。最后选「保面积的搅动」看另一头：图形被搅得认不出来，可 det 恒等于 1，一块面积也没有多出来。

一条级数，等于一串连乘

指数是平方数的那条级数，还能写成一串因子连乘——于是加法的问题接上了乘法的问题。

\sum_{n=-\infty}^{\infty} q^{n^2} = \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{2n})(1+q^{2n-1})^2

1829 年那本《椭圆函数论新基础》里，真正干活的不是椭圆函数，而是四个叫 theta 的辅助函数。其中一个长这样：θ₃(q) = 1 + 2q + 2q⁴ + 2q⁹ + 2q¹⁶ + ⋯，指数是平方数。雅可比证明的那条恒等式今天叫三重积：这条级数还等于一个无穷乘积 ∏(1 − q²ⁿ)(1 + q²ⁿ⁻¹)²。一个和与一个积相等，看起来只是个好看的式子，用处却很硬：和是「一项一项数出来的」，积是「因数一层层乘出来的」——一边天生对应加法的问题（把 n 拆成若干份），一边天生对应乘法的问题（n 的因数）。恒等式把两边接上，于是一个数论问题可以在另一侧被算掉。演示里把同一个 q 下的级数与乘积分别取前几项画出来，虚线会一步步压到实线上；q = 0.5 时取 3 项是 2.128906 与 2.096084，取 8 项是 2.1289368272 与 2.1289043426，取 20 项两边到小数点后十一位都一样。顺带一提，欧拉的五边形数定理是这条恒等式的一个特例——欧拉当年是靠观察猜出来的，证明费了很大劲；在三重积面前它只是代一组值。下一件展品要用的正是这条路：把 θ₃ 四次方，展开式的系数就是「n 写成四个平方数之和有多少种」。

q = 0.60取 8 项 / 8 个因子

雅可比 1829 年那本《椭圆函数论新基础》里，主角其实不是椭圆函数本身，而是四个叫 theta 的辅助函数。它们长得很朴素：θ₃(z, q) = 1 + 2q cos 2z + 2q⁴ cos 4z + 2q⁹ cos 6z + ⋯，指数是平方数 1、4、9、16。要紧的是他证明的那条恒等式（今天叫雅可比三重积）：这条级数还等于一个无穷乘积。画布上那两条线画的是同一个 q 下的级数与乘积，取的项数一样多；拖「取几项」的滑块，虚线会一步步压到实线上。z = 0 处的两个数是分别算出来的：q = 0.5 时取 3 项是 2.128906 与 2.096084，取 8 项是 2.1289368272 与 2.1289043426，取 20 项两边到小数点后十一位都一样。一个和与一个积相等，听上去只是个好看的公式，可它的用处非常直接：和是「一项一项数出来的」，积是「因数一层层乘出来的」——一边是加法的问题，一边是乘法的问题，恒等式把它们接上了。右下角已经把 θ₃ 的四次方展开好了：系数 1、8、24、32、24、48、⋯ 正是下一件展品要数的东西。

四个平方数，能凑出多少种

拉格朗日证明了一定凑得出；雅可比数出了到底有几种，而且答案只跟 n 的因数有关。

r_4(n) = 8 \sum_{d \mid n,\, 4 \nmid d} d

1770 年拉格朗日证明：每个自然数都写得成四个平方数之和。这个结论只回答了「有」。1829 年雅可比回答了「有几种」，答案漂亮得不像话：r₄(n) = 8 × (n 的所有不被 4 整除的正因数之和)。这里 r₄ 数的是有序四元组、允许负数与零，所以 1 = (±1)² + 0² + 0² + 0² 有 8 种，正是 r₄(1) = 8。演示把两种算法并排：柱子是四重循环一个一个数出来的，柱顶那道横线是公式给的值，从 n = 1 到 60 全部重合。有几个数值得盯一眼：r₄(4) 与 r₄(16) 都是 24，比 r₄(3) 的 32 还少——4 的幂次整个被公式排除在外，所以越是「四的倍数堆起来」的数，写法反而越少。最要紧的是那条顺带的推论：n 的因数里永远有 1，所以公式的值永远大于零，于是拉格朗日的定理成了雅可比这条计数公式的一个推论——先数清楚有几种，「至少有一种」就跟着有了。证明走的是上一件展品那条路：θ₃ 的四次方，第 n 个系数按定义就是 r₄(n)；再把乘积那一侧展开整理，因数之和就掉了出来。一个数论里的计数问题，被一个分析里的恒等式算掉了——这正是解析数论的做法，而这是它最早的样板之一。

n = 30

1770 年拉格朗日证明了：每个自然数都写得成四个平方数之和。证明只回答了「有」，没有回答「有几种」。1829 年雅可比给出了后一个答案，而且答案漂亮得不像话：r₄(n) = 8 × (n 的所有不被 4 整除的正因数之和)。这里 r₄ 数的是有序四元组、允许负数与零，所以 1 = (±1)² + 0² + 0² + 0² 就有 8 种。画布上的柱子是四重循环一个一个数出来的，柱顶那道横线是公式给的值，两者从 n = 1 到 60 全部重合。拖滑块挑几个数看看：n = 4 与 n = 16 的答案都是 24，比 n = 3 的 32 还少——4 的幂次整个被公式排除在外，所以越是「四的倍数堆起来」的数，写法反而越少。最要紧的是那条「顺带」：因数里永远有 1，所以公式的值永远大于零，于是拉格朗日的定理成了雅可比这条计数公式的一个推论。而它是怎么证出来的？上一件展品里那条「级数等于乘积」的恒等式——把 θ₃ 四次方，第 n 个系数按定义就是 r₄(n)，再把乘积那一侧展开整理，因数之和就掉了出来。

让每个未知数去问邻居

解方程组不必消元消到底：把其余各项挪到右边当新值，一轮一轮重算就是了。

x_i^{(k+1)} = \frac{1}{a_{ii}} \left( b_i - \sum_{j \ne i} a_{ij} x_j^{(k)} \right)

1845 年雅可比要对付的是天文观测留下的一堆正规方程组——最小二乘法算出来的那种，又大又满，高斯消元消不动。他的办法朴素得出奇：把第 i 个方程里除了 xᵢ 以外的项全挪到右边，直接当作 xᵢ 的新值，一轮一轮重算。若方程组恰好是「每个内点等于四周邻居的平均」那一类，这一步就是字面意义上的取平均——馆里拉普拉斯那件调和函数用的正是它。收敛与否由迭代矩阵的谱半径 ρ 说了算：ρ 小于 1 才收敛，ρ 越小压得越快。演示里画的是残差随轮数下降的曲线，并排放着高斯–赛德尔——两者只差一处，后者算出一个新值就立刻用上，而雅可比要整轮算完再一起换。一维离散拉普拉斯那一档能看见代价：ρ = 0.992115，两千轮才把残差压到 1.7e−7；同一档上 ρ(高斯–赛德尔) 正好等于 ρ(雅可比)²，所以它快一倍。但这并不是普遍规律，演示里的两个反例正好反着来：一个方程组上雅可比发散而高斯–赛德尔收敛，另一个上反过来。有意思的是，雅可比那个「整轮一起换」在手算的年代是缺点（多一份纸、多一遍抄写），今天却成了优点：一轮里各个分量互不依赖，天生可以并行。

第 6 轮

1845 年雅可比要解的是一堆最小二乘法留下的正规方程组——天文观测算出来的那种，又大又满，消元消不动。他的办法朴素得出奇：把第 i 个方程里除了 xᵢ 以外的项全挪到右边，直接当作 xᵢ 的新值，一轮一轮重算。方程组若是「每个内点等于邻居的平均」那一类，这一步就是字面意义上的取平均。收敛与否由迭代矩阵的谱半径 ρ 说了算：ρ 小于 1 才收敛，ρ 越小压得越快。一维离散拉普拉斯那一档能看见这件事的代价：ρ = 0.992115，两千轮才把残差压到 1.7e−7。画布上同时画了高斯–赛德尔——差别只有一处，它算出一个新值就立刻用上，而雅可比要整轮算完再换。三对角的那一档上 ρ(高斯–赛德尔) 正好等于 ρ(雅可比)²，所以它快一倍；可这不是普遍规律：「反例甲」里雅可比发散而高斯–赛德尔收敛，「反例乙」里正好反过来。雅可比那个「整轮一起换」今天反而成了优点——一轮里各分量互不依赖，天生可以并行。

把运动变成一条直线

换一组坐标，绕圈的轨道就成了匀速走的直线——代价是先解一个偏微分方程。

\frac{\partial S}{\partial t} + H\left( q, \frac{\partial S}{\partial q} \right) = 0

哈密顿 1834、1835 年把力学写成了「一个函数 H 加两组一阶方程」。雅可比 1837 年接着问了一句要命的话：既然坐标可以换，为什么不干脆换到一组「运动看上去最简单」的坐标上去？他给出的办法是解一个偏微分方程 ∂S/∂t + H(q, ∂S/∂q) = 0——今天叫哈密顿–雅可比方程。解出它的任意一个完全积分，剩下的全是求导与代入，积分一次也不用做；而哈密顿原来要求的那个「主函数」其实并不必需，任一完全积分都行。这一步把「解微分方程组」换成了「解一个偏微分方程」，听上去是把问题换难了，可一旦变量分得开，后者是直接积出来的。演示用一个摆。左边是原来的坐标：相平面上一圈一圈地绕。右边是换过去以后：角变量 φ 对时间是一条笔直的斜线，在作用–角平面上轨道成了一条水平直线，匀速向右。要紧的是这条直线不是按 2πt/T 画出来的——画面上那些点是对轨道上每个位置现算 ∫dθ/p 得到的，它们自己排成了一条线。周期也是两种办法各算一遍：公式那一栏用 4K(k)/ω₀，K 正是雅可比自己的椭圆积分，另一栏用 RK4 一步步推轨道，两者差在 1e−11 上下。这条路后来走得很远：作用–角变量是天体力学摄动论的骨架，而 1926 年薛定谔正是照着哈密顿–雅可比方程的样子写下了他的波动方程。

摆幅 90°

哈密顿把力学写成了「一个函数 H 加两组一阶方程」。雅可比 1837 年接着问：既然可以换坐标，为什么不直接换到一组「运动看上去最简单」的坐标上去？他给出的办法是解一个偏微分方程 ∂S/∂t + H(θ, ∂S/∂θ) = 0——今天叫哈密顿–雅可比方程；解出它的任意一个完全积分，剩下的全是求导与代入，积分一次也不用做。这里用一个摆做例子。左边是原来的坐标：相平面上一圈一圈地绕，怎么看都不是直线。右上把角变量 φ 对时间画出来——一条笔直的斜线；右下是作用–角平面 (φ, I)，轨道成了一条水平直线，匀速向右。要紧的是这条直线不是「按 2πt/T 画出来的」：画面上那些点是对轨道上每个位置现算 ∫dθ/p 得到的，直线是它们自己排成的。底下两个周期也是各算各的：公式那一栏用 4K(k)/ω₀，K 正是雅可比自己的椭圆积分，另一栏用 RK4 一步步推轨道，两者差在 1e−11 上下。换成「小角度近似的摆」，周期就与摆幅无关了；把摆幅从 10° 拖到 120°，真的摆要比它慢 37%。（惠更斯那件展品讲的是怎么把这个依赖去掉；这里讲的是怎么把它算准。）

科学的唯一目的，是人类精神的荣耀

1830 年他写信给勒让德，反驳一句「数学应当有用」——顺便替数论说了话。

这一栏说的是两件互相咬合的事，都写在同一批通信里。头一件是一场赛跑。1827 年 9 月，两份刊物几乎同时到读者手上：阿尔托纳的《天文通报》第 123 号登着二十二岁的雅可比写给舒马赫的两封信，给出椭圆积分的变换公式，只有结果没有证明；柏林的克雷勒杂志第二卷登着阿贝尔的《椭圆函数研究》，走的是另一条路——把积分反过来看。此前一个月，8 月 5 日，雅可比已经写信给勒让德：一个年轻的几何学家冒昧地向您呈上几点发现。那位老人研究椭圆积分已经四十年了。此后两年，两人在刊物上你一篇我一篇。阿贝尔很快在《天文通报》第 138 号上补出了变换定理的严格证明——正是雅可比那几则通告里缺的东西；1828 年 9 月 9 日雅可比写信给勒让德，说那份证明「高出我的赞美之上，正如它高出我自己的工作之上」，勒让德回信时便称它是「您谦虚地置于自己工作之上的那份证明」。同年 2 月 9 日，勒让德已在信里把他们并称作「两位年轻的几何学家」，说看着这两个人把自己钻研了一辈子、在本国却无人理会的那一支继续做下去，是极大的满足。1829 年 4 月雅可比出版《椭圆函数论新基础》；同月，阿贝尔死于结核，二十六岁。这场追赶就此戛然而止。第二件事发生在一年后。1829 年 12 月 21 日，泊松向巴黎科学院宣读对《椭圆函数论新基础》的评审报告，里头顺带复述了已故的傅里叶的一句责备：阿贝尔与雅可比不该不把力气优先放在热的运动上。1830 年 7 月 2 日，雅可比为这件事写信给勒让德：傅里叶确实认为数学的主要目的是公共效用与对自然现象的解释，可像他这样的哲学家本该知道，科学的唯一目的是人类精神的荣耀，而在这个名义之下，一个关于数的问题与一个关于世界体系的问题一样有价值。写这句话的人并不是不食人间烟火：他那套迭代法是为了算天文观测，他改写的力学后来成了分析力学的通用写法。他要保住的只是另一头——一个问题可以仅仅因为它值得被理解而值得去做。

故事展签故事展签：一场两人互相承认的赛跑，和一封替数论说话的信。

传承

他的工作没有留在十八世纪——每条链的终点，都是你今天正在使用的东西。

函数行列式（1841）⟶换元积分里那个放大倍数⟶多元概率密度换元、机器人学的雅可比矩阵与奇异姿态

theta 函数与三重积恒等式⟶θ₃⁴ 的系数就是四平方和的表法数⟶解析数论：用分析的恒等式数离散的东西

椭圆函数 sn、cn、dn（1829）⟶摆的精确解与椭圆积分 K⟶今天的数字滤波器设计与非线性振动

哈密顿–雅可比方程（1837）⟶作用–角变量与摄动论⟶薛定谔方程的写法；最优控制里的 HJB 方程

雅可比迭代（1845）⟶解大方程组的逐次逼近⟶一轮里各分量互不依赖——今天并行求解器的底子

雅可比旋转法（1846）⟶对称矩阵的特征值⟶主成分分析与一切要「找主轴」的地方

语录

「科学的唯一目的，是人类精神的荣耀；在这个名义之下，一个关于数的问题与一个关于世界体系的问题一样有价值。」
—— 1830 年 7 月 2 日致勒让德的信。起因是泊松 1829 年 12 月 21 日向巴黎科学院宣读的评审报告里，复述了傅里叶的一句责备。法文原句：mais un philosophe comme lui aurait dû savoir que le but unique de la science, c'est l'honneur de l'esprit humain, et que sous ce titre, une question de nombres vaut autant qu'une question du système du monde（《全集》第一卷 454–455 页）；此处是中译，大意如上

「它高出我的赞美之上，正如它高出我自己的工作之上。」
—— 1828 年 9 月 9 日致勒让德，说的是阿贝尔在《天文通报》第 138 号上给出的变换定理严格证明——那正是他自己几则通告里缺的东西。法文原句：Elle est au-dessus de mes éloges comme elle est au-dessus de mes propres travaux（《全集》第一卷 423 页）；此处是中译，大意如上

「我打算把椭圆函数被发现的那条历史路径倒过来走，从相反的方向进去。」
—— 《从 theta 级数的性质导出椭圆函数论》讲义导言，转引自柯尼斯贝格尔《雅可比》（1904）263 页。流传更广的那句「必须永远反过来」（man muss immer umkehren）最早只见于 1916 年范弗莱克在《美国数学会通报》上的转述，而他自己写的也是「据说」，这里不取