Mādhava of Sangamagrāma · 约1340–约1425

马德哈瓦

他把 π 写成一串加减，比莱布尼茨早两百多年——而且他知道这串式子有多慢

\pi = \sqrt{12}\left(1 - \frac{1}{3\cdot 3} + \frac{1}{5\cdot 3^2} - \frac{1}{7\cdot 3^3} + \cdots\right)

反正切级数取 x = 1/√3 · 二十二项就准到小数点后十一位 · 这一条由一百年后的人记在他名下

马德哈瓦生在桑伽马格拉马，一般比定为今喀拉拉邦的伊林贾拉库达一带（近年也有学者提出别的比定）。生卒年只能推到「约 1340—约 1425」：没有一条记载把他钉在某一年上，这两个数是从后人著作里的旁证倒推出来的。他自己传下来的书只有两部，而且都是天文小册子——《斯普塔钱德拉普提》与《文瓦罗哈》（1403，七十四首诗）讲的是同一件事：怎么把月亮的真位置一次次快速推算出来。他的数学著作一部也没有传下来。

我们今天说的「马德哈瓦级数」，依据全在后人的转述：尼拉坎塔 1501 年的《坦特罗桑格拉哈》、杰斯塔德瓦约 1530 年用马拉雅拉姆文写成的《尤克提巴沙》（「讲道理的话」），以及商羯罗·瓦里亚尔给这两部书作的注。这些书里反复出现一句「如马德哈瓦所说」，归在他名下的有：反正切、正弦、余弦各自的无穷级数（今天分别叫马德哈瓦–格雷戈里级数与马德哈瓦–牛顿级数，比欧洲写下同一条式子早两百六七十年）、一张二十四项的正弦表、一个十一位小数的圆周率。最该记住的其实是第四件：他知道 π/4 = 1 − 1/3 + 1/5 − ⋯ 慢得没法用，于是在截断处补上一个修正项——不止算部分和，还回头去估计余下的那一截有多大。这些成果有没有经耶稣会士传到欧洲，有人提出过这个假说，至今没有直接证据；能确证的传入是 1834 年，惠什那篇论文。

惠什《论印度人的圆的求积》第 513 页，《皇家亚洲学会会刊》第三卷，伦敦，1834 · Wikimedia Commons，公有领域。马德哈瓦没有画像传世，连他自己的数学著作也几乎全部失传，喀拉拉留下的写本又都是横幅的贝叶叶子。这一页上印着的正是他那条级数：C = 4d − 4d/3 + 4d/5 − ⋯，末尾那一项是补在断口上的修正项，下半页还给出了更精的第二个。惠什是东印度公司派驻马拉巴尔的职员，读到了喀拉拉学派的四部书；这篇论文 1832 年底在皇家亚洲学会宣读，1834 年刊出——欧洲第一次看见这些式子，就是在这里。

生平

约1340
约生于桑伽马格拉马
一般比定为今喀拉拉邦伊林贾拉库达一带。生卒年都是从后人著作的旁证倒推的，误差以十年计。
1403
《文瓦罗哈》
七十四首诗，讲怎么快速推算月亮的真位置。这是他名下有明确年份的一部书，也是仅存的两部之一。
年份不详
反正切级数
arctan x = x − x³/3 + x⁵/5 − ⋯。商羯罗·瓦里亚尔注《坦特罗桑格拉哈》时把这一条明记在他名下。
年份不详
正弦与余弦级数
sin θ = θ − θ³/3! + θ⁵/5! − ⋯。牛顿写下同一条是 1669 年，中间隔着两百六十多年。
年份不详
π 的级数与修正项
4d/1 − 4d/3 + 4d/5 − ⋯，并在截断处补一项。《尤克提巴沙》给了三个修正项，一个比一个精。
年份不详
圆周率算到十一位
直径取九千亿时圆周是 2827433388233，折算 3.14159265359——与真值的前十位小数完全相同。
年份不详
二十四项正弦表
从 3°45′ 起，每隔 3°45′ 一个值，记到「三」这一级，也就是角秒的六十分之一。
约1425
约卒于此时
喀拉拉学派的第二代已经接上：一般认为帕拉梅斯瓦拉直接受业于他。
1431
帕拉梅斯瓦拉的「见算」历
他的学生用前后五十五年的日月食实测，校出一套与天象对得上的历法参数。
1501
尼拉坎塔《坦特罗桑格拉哈》
书里把几条级数明确归给马德哈瓦。我们知道这些结果，主要靠它和它的注。
约1530
杰斯塔德瓦《尤克提巴沙》
用马拉雅拉姆文写成，逐条给出推导，包括三个修正项——一部只讲道理不列口诀的数学书。
1834
惠什把它们带进欧洲
论文 1832 年底宣读，1834 年刊于《皇家亚洲学会会刊》第三卷第 509–523 页。在这之前，欧洲的数学史里没有这些式子的位置。

展品厅

绝大多数展品都可以亲手把玩——这是本馆的立馆之本；少数以叙述为主的，做成故事展签。

镇馆之宝 · 亲手玩

级数慢，那就把剩下的也算出来

加二十一项，再补一个修正项——裸级数要加三十多亿项才能这么准。

\frac{\pi}{4} \approx 1 - \frac{1}{3} + \cdots \pm \frac{1}{2n-1} \mp \frac{n^2+1}{4n^3+5n}

π/4 = 1 − 1/3 + 1/5 − ⋯ 这条式子漂亮，可加出来的 π 误差大约就是 1/n：加一百项，误差还有百分之一，小数点后第二位就开始错；要准到小数点后十一位，得加两千亿项。真正见功夫的是转述里保存下来的另一半——在截断处补一个修正项。设加到第 n 项为止，《尤克提巴沙》与商羯罗·瓦里亚尔的注给出了三个一个比一个好的补法：1/(4n)、n/(4n²+1)、(n²+1)/(4n³+5n)，按最后一项的符号反号加上去。它们的分量可以现算：n 取 21 时，裸级数的误差是 4.8×10⁻²，补第一个降到 2.7×10⁻⁵，补第二个 6.1×10⁻⁸，补第三个 3.1×10⁻¹⁰——最后这个精度，裸级数要加大约三十三亿项才追得上。把误差随 n 的下降速度量一量，三个修正项依次是 n 的负三、负五、负七次方，而裸级数只有负一次方。这一步的念头比结果更要紧：他没有只盯着部分和，而是回头去估计「还差的那一截」有多大——今天叫余项的渐近估计，是数值分析里最实用的一招。要老实说明的是，这些式子我们读到的是转述：马德哈瓦自己的书没有传下来，依据是尼拉坎塔《坦特罗桑格拉哈》的注与杰斯塔德瓦的《尤克提巴沙》。

拨项数，把「裸级数」与「级数＋修正项」并排现算，看误差差出多少个数量级

n = 21

π/4 = 1 − 1/3 + 1/5 − ⋯ 这条式子漂亮，可加出来的 π 误差大约就是 1/n：加一百项误差还有百分之一，要准到小数点后十一位得加两千亿项。转述里保存下来的另一半才见功夫——在截断处补一个修正项，也就是不光算部分和，还回头估计「还差的那一截」有多大。《尤克提巴沙》与商羯罗·瓦里亚尔的注给了三个一个比一个好的补法，按最后一项的符号反号加上去。默认这一档（n = 21、补第三个）现算出来：裸级数只对 1 位小数，补上之后对 9 位；裸级数要加大约三十三亿项才追得上。对数图上看得更清楚：裸级数那条是 1/n，三个修正项依次是 n 的负三、负五、负七次方——每加一个修正项，斜率就再陡一截。马德哈瓦自己的书没有传下来，这几个式子读到的都是一百年后别人的转述。

正弦写成一串加减

sin θ = θ − θ³/3! + θ⁵/5! − ⋯；要算 90° 的正弦，七项就准到小数点后八位。

\sin\theta = \theta - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - \cdots

在他之前，求正弦的办法是查表加插值：表上每隔几度一个值，中间的角度靠插。表做得再密也只是一串固定的数，落在两格之间的角度永远差着一点。这两条级数把事情反了过来——给任意一个角，都能当场把正弦算到你要的位数，而且越往下加，多得到的位数越多。式子本身在转述里写成一条口诀：把弧长乘自身、再除以半径的平方，逐次作用在前一项上，分母依次是 2×3、4×5、6×7……得到的正是 θ³/3!、θ⁵/5! 这一串。收敛的快慢只取决于角有多大：现算一遍，30° 只要五项就准到小数点后八位，60° 要六项，90° 要七项——因为项的大小由 θ 的幂次压着，角越小衰减越快，所以实际算表时总是先把角折进第一象限的一小段。同一套做法给余弦：从 1 起步，分母依次是 1×2、3×4、5×6。今天这两条级数叫马德哈瓦–牛顿级数；牛顿写下它们是在 1669 年的《运用无穷多项方程的分析学》里（那部书 1711 年才印出来），比这里晚了两百六十多年，而两边谁也不知道谁。

项数 4角 90°

在他之前，求正弦只能查表加插值；这两条级数把事情反了过来：给任意一个角，都能当场把正弦算到你要的位数。转述里它是一条口诀——把弧长乘自身、再除以半径的平方，逐次作用在前一项上，分母依次是 2×3、4×5、6×7……得到的正是 θ³/3!、θ⁵/5! 那一串。收敛快慢只看角有多大：现算一遍，30° 只要五项就准到小数点后八位，60° 要六项，90° 要七项，而 180° 要十项。拖项数看那条截断的多项式从哪里开始离开曲线——它总是先在最远的一端翘出去。今天这两条叫马德哈瓦–牛顿级数：牛顿写下它们是 1669 年的事，晚了两百六十多年，而两边谁也不知道谁。

把 1 换成 1/√3

同一条反正切级数，起点挪一下，二十二项就顶得上原来的两千亿项。

\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots

反正切级数 arctan x = x − x³/3 + x⁵/5 − ⋯ 才是根，π 的那条只是它取 x = 1 的特例——而 x = 1 恰好落在收敛的边缘上，所以慢得离谱。转述里记着更聪明的一步：取 x = 1/√3，这时 arctan x = π/6，于是 π = √12 × (1 − 1/(3·3) + 1/(5·3²) − 1/(7·3³) + ⋯)。每一项都比前一项小三倍左右，也就是每加一项稳定地多买 lg 3 ≈ 0.48 位小数。差距有多大可以现算：要让 π 准到小数点后十一位，x = 1 那条要加大约两千亿项，x = 1/√3 这条只要二十二项。他给出的那个十一位的圆周率，一般认为走的正是这条路。选在哪里展开，比展开式本身更要紧——这是今天数值计算的第一课，而它在十四世纪的喀拉拉已经被用上了。往后欧洲走的是同一条路：1706 年梅钦把 π/4 拆成 4 arctan(1/5) − arctan(1/239)，项衰减得更快，此后两百年的 π 计算记录几乎都用这一类式子。

n = 22

反正切级数才是根，π 的那条只是它取 x = 1 的特例——而 x = 1 恰好落在收敛的边缘上，所以慢得离谱。转述里记着更聪明的一步：取 x = 1/√3，这时 arctan x = π/6，于是 π = √12 × (1 − 1/(3·3) + 1/(5·3²) − ⋯)。每一项都比前一项小三倍左右，也就是每加一项稳定地多买 lg 3 ≈ 0.48 位小数，柱子于是排成一道匀速上升的台阶。差距有多大可以现算：要让 π 准到小数点后十一位，x = 1/√3 这条只要二十二项，x = 1 那条要加大约两千亿项。他给出的那个十一位的圆周率，一般认为走的正是这条路。选在哪里展开比展开式本身更要紧——这是今天数值计算的第一课，而它在十四世纪的喀拉拉已经被用上了。

用一首诗记下的十一位圆周率

众神、眼、象、蛇、火……十一个词读出 2827433388233，除以九千亿就是 π。

\pi \approx \frac{2827433388233}{9\times 10^{11}} = 3.14159265359\ldots

梵文用词记数：「众神」是三十三，「眼」是二，「象」是八，「蛇」是八，「火」是三，「德」是三，「吠陀」是四，「宿」是二十七，「臂」是二。商羯罗·瓦里亚尔在注里引下马德哈瓦的这首诗，十一个词按个位在前的次序读出来，正是 2827433388233——他说，这是直径为九千亿（9×10¹¹）的圆的周长。两个数一除，得 3.14159265359222…，而 π = 3.14159265358979…：前十位小数完全相同，第十一位他给 9、真值是 8，差 2.4×10⁻¹²；若按四舍五入报十一位，3.14159265359 恰好就是 π 的十一位小数。这个精度在当时是已知最好的：往前要数到五世纪祖冲之的七位，再往后是 1424 年撒马尔罕的阿尔·卡西，十六位。他究竟怎么算到这个数的，没有留下记载——转述里只有结果，没有过程。拿今天归在他名下的式子逐档试算：反正切级数取 x = 1/√3，加到第二十一项给出 …236、二十二项给出 …229，再往后就直接贴住真值的 …230.8，怎么试也停不到 233；π/4 级数配上第三个修正项，倒有零星几档（如加到第四十二项）四舍五入正好是 2827433388233——可那更像是一档碰巧对上的，算不上证据。

游标：第 10 位小数

梵文用词记数：众神是三十三，眼是二，象是八，蛇是八，火是三，吠陀是四，宿是二十七，臂是二。商羯罗·瓦里亚尔在注里引下马德哈瓦的这首诗，十一个词个位在前读出来，正是 2827433388233——他说，这是直径为九千亿的圆的周长。两个数一除得 3.14159265359222…，与 π = 3.14159265358979… 相比，前十位小数完全相同，第十一位他给 9、真值是 8，两者相差 2.4×10⁻¹²。把游标拖过去就看得见这一行比别人多走了多远：往前要数到五世纪祖冲之的七位，再往后是 1424 年撒马尔罕的阿尔·卡西，十六位。他究竟怎么算到这个数的没有记载，转述里只有结果，没有过程。

二十四个正弦值，错在角秒的六十分之一上

从 3°45′ 起每隔 3°45′ 一个值，最大偏差 0.61「三」——折成小数是一亿分之五。

R = \frac{21600}{2\pi} \approx 3437.74677 \quad \text{(单位：角分)}

印度天文的正弦不是今天这个介于 0 与 1 之间的小数，而是「半径乘正弦」：取半径 R = 21600/2π ≈ 3437.74677 分（也就是把整个圆周定为 21600 角分，这是阿耶波多以来的老规矩），再把弧对应的半弦长报出来。马德哈瓦这张表把四分之一圆二十四等分，每隔 3°45′ 一个值，用「迦吒帕耶迪」字母记数法编成诗句，所以整张表读起来是一首诗。精度是它真正惊人的地方：每个值报到「三」这一级，也就是角分的三千六百分之一、角秒的六十分之一。拿今天的值逐条比对，二十四个数没有一个偏出一「三」，最大的一处在 15° 那一行，差 0.61 三；折算成今天那种小数正弦，误差不到一亿分之五。表本身也说明了为什么级数值得要：两个表值之间若直接连一条直线取值，最坏处（靠近 90° 的那一格）要差到 1.84 角分，也就是 6600「三」——比表自身那 0.61 三大了一万倍。有了级数，任何角度都能现算，不必再受插值的限制。这张表现存于尼拉坎塔的《阿耶波多历书注》与商羯罗·瓦里亚尔的注里，马德哈瓦自己的那一份早已不存。

第 4 行（15°）

印度天文的正弦不是介于 0 与 1 之间的小数，而是半弦长：把整个圆周定为 21600 角分，半径便是 R = 21600/2π ≈ 3437.74677 角分，报出来的是弧所对的半弦。这张表把四分之一圆二十四等分，每隔 3°45′ 一个值，用字母记数法编成诗句，所以整张表读起来是一首诗。每个值报到「三」这一级——角分的三千六百分之一、角秒的六十分之一。拿今天的值逐条比对：二十四个数没有一个偏出一「三」，最大的一处在 15° 那一行，差 0.61 三，折成今天那种小数正弦不到一亿分之五。换到第二个视图就看得见表为什么还不够用：两个表值之间直接连直线取值，最坏处要差到 1.84 角分，是表自身误差的一万倍。有了级数，任何角度都能现算，不必再受插值的限制。这张表现存于尼拉坎塔与商羯罗·瓦里亚尔的注里，马德哈瓦自己的那一份早已不存。

书没有传下来，名字传下来了

我们关于他的一切，都来自一百多年后别人书里的一句「如马德哈瓦所说」。

喀拉拉学派从他起算：马德哈瓦—帕拉梅斯瓦拉—达莫达拉—尼拉坎塔—杰斯塔德瓦，一脉相承两百年。一般认为帕拉梅斯瓦拉直接受业于他，此人用前后五十五年的日月食实测校出「见算」历；尼拉坎塔 1501 年写《坦特罗桑格拉哈》，还提出了一个让五大行星绕日、日再绕地的模型；杰斯塔德瓦约 1530 年写《尤克提巴沙》，用马拉雅拉姆文而不是梵文，逐条给出推导而不是只给口诀——在当时的世界上，这样一本「讲道理」的数学书是少见的。可这一脉最上游的那本书没了：马德哈瓦的数学著作一部也没有传下来，我们读到的每一条级数都是转述，出处要么是尼拉坎塔，要么是杰斯塔德瓦，要么是商羯罗·瓦里亚尔的注。至于这些成果有没有经由当时已在喀拉拉传教的耶稣会士传到欧洲——有人提出过这个假说，理由是传教士在科钦一带活动、也确实收集过当地的天文历算材料，时间与路线都对得上；但至今没有任何一份手稿、信件或译本能把两头直接接上，也有研究者明确指出，在十九世纪之前看不到印度级数在喀拉拉之外流传的证据。能确证的一次传入要晚得多：东印度公司派驻马拉巴尔的职员惠什读到这四部书，写成一篇论文，1832 年底在皇家亚洲学会宣读、1834 年刊出——那时牛顿与莱布尼茨都已经去世一百多年。

故事展签故事展签：一条传了两百年的口耳之学，和一场至今没有证据的传播假说。

传承

他的工作没有留在十八世纪——每条链的终点，都是你今天正在使用的东西。

反正切级数 arctan x = x − x³/3 + ⋯⟶换个点展开，收敛快得多⟶今天导航与图形库里的 arctan，仍是现算一串多项式

在截断处补一个修正项⟶余下的那一截也能估计⟶今天数值求解器报出的那条误差界

正弦与余弦的幂级数⟶用多项式代替查表⟶今天的信号处理与三维旋转，每一步都要现算 sin

二十四项正弦表与球面三角⟶喀拉拉学派推算日月位置⟶天文历算里的三角函数表

《尤克提巴沙》逐条给出推导⟶数学书从口诀变成讲道理⟶今天每一本教科书里的「证明」二字

语录

「众神（三十三）、眼（二）、象（八）、蛇（八）、火（三）、三、德（三）、吠陀（四）、宿（二十七）、象（八）、臂（二）——智者说，当圆的直径是九千亿时，这就是它的周长。」
—— 商羯罗·瓦里亚尔《克利亚克拉马卡里》引马德哈瓦 · 按词记数法读出 2827433388233，折算 π ≈ 3.14159265359；此处据英译转译，是大意

「取直径的四倍；再用直径的四倍依次除以 3、5、7、9、11……，把所得的商交替地减去、加上；要算到多少项，就算到多少项。」
—— 惠什译《坦特罗桑格拉哈》所引那首 Gitivrittam 格律的诗，《皇家亚洲学会会刊》第三卷第 512 页，1834 · 这就是 π/4 = 1 − 1/3 + 1/5 − ⋯ 在原书里的说法；据惠什英译转译，是大意

「这三部书里给出的圆周长近似准得出奇，欧洲的数学家——那些在流数法里、或在更繁琐的逐次二等分弧里寻找同一个比例的人——会想不通印度人凭什么能把它推到这么远。」
—— 惠什《论印度人的圆的求积》第 512 页，1834 · 欧洲第一次读到这些级数时的反应；据英文原文转译，是大意