Abraham de Moivre · 1667–1754

棣莫弗

他在咖啡馆里替人算概率，也是已知最早写下那条钟形曲线的人

(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta

棣莫弗公式 · 乘方就是把角加起来，开方就是把圆周等分

棣莫弗 1667 年生于法国香槟地区的维特里-勒弗朗索瓦，新教家庭。1685 年路易十四废除南特敕令，他因信仰被关进圣马丁修道院，出狱后越过海峡，此后六十多年再没回过法国。在伦敦他靠教数学谋生：上门给富家子弟授课，也在咖啡馆里坐堂——圣马丁巷的斯洛特咖啡馆是他常年的据点，替赌徒和买卖年金的人算一局赌博或一条性命值多少钱，换一点酬劳。牛顿晚年常去那里找他聊天。1697 年他当选皇家学会会士，1712 年 4 月 17 日又被指派进那个裁定牛顿与莱布尼茨谁先发明微积分的委员会。可是教席始终没有他的份：1707 年他托约翰·伯努利去谋格罗宁根或弗拉讷克的位子，莱布尼茨也替他说过话，没有结果——他是外国人，而他自己也不擅长经营那些能让人忘掉他出身的关系。他一生靠授课度日，死时很穷。

他把全部力气放在两件事上：概率，以及为概率所需的分析工具。1718 年的《机遇论》是继惠更斯之后这门学问的第二本专著，也是此后半个世纪里最厚重的一本。1725 年的《终身年金》把概率用到了人的寿命上，是已知最早的一本精算教科书。1730 年的《分析杂俎》里，他为了算大数目的二项系数，把阶乘逼成了 n! 约等于 c·n^(n+1/2)·e^(−n)，可那个常数 c 他定不出来，是斯特林告诉他那是 √(2π)。三年之后，1733 年 11 月 12 日，他印了一份七页的拉丁文小册子，只在朋友间传阅——那是正态分布那条曲线已知最早的一次露面，也是已知最早有人提出：衡量偏离该拿 √n 当尺子。这份小册子后来被他译成英文，收进 1738 年《机遇论》第二版。他还做过两件被后人挂上别人名字的事：递归级数（今天叫生成函数）与斐波那契数的通项，以及那条今天叫「棣莫弗公式」、却是欧拉写成如今样子的式子。1754 年 8 月巴黎科学院选他为外籍院士，三个月后他在伦敦去世，八十七岁。

约翰·法伯（子）美柔汀版画，据海默尔 1736 年的油画所刻；画下那行花体字写着「棣莫弗，皇家学会会士」 · 荷兰国立博物馆藏，公有领域

生平

1667
生于维特里-勒弗朗索瓦
5 月 26 日，法国香槟地区，新教家庭。
1685
南特敕令被废，他被关押
关在巴黎的圣马丁修道院，约三年后获释。
1688
到伦敦
此后再没回过法国。上门授课，也在咖啡馆里坐堂。
1697
当选皇家学会会士
他此前把牛顿的《原理》拆成散页随身带着读。
1707
谋教席未成
托约翰·伯努利去问格罗宁根与弗拉讷克的位子，莱布尼茨也说过话，没有结果。
1707
论角的分割
《哲学汇刊》上那篇：把一个角 n 等分，就是解一个 n 次方程。
1711
《论机遇的度量》
拉丁文长文，《机遇论》的前身。
1712
进那个委员会
4 月 17 日，皇家学会裁定牛顿与莱布尼茨之争的委员之一。
1718
《机遇论》初版
继惠更斯之后这门学问的第二本专著。1738、1756 年又出两版。
1725
《终身年金》
已知最早的精算教科书。用一条直线换掉哈雷的生命表。
1730
《分析杂俎》
阶乘的近似式（常数由斯特林补上）；递归级数，也就是生成函数。
1733
那份七页的小册子
11 月 12 日印出，只在朋友间传阅。正态曲线已知最早的一次露面。
1738
《机遇论》第二版
把 1733 年那份小册子译成英文收了进去，并注明常数是斯特林找到的。
1754
卒于伦敦
8 月刚被巴黎科学院选为外籍院士，11 月 27 日在睡梦中去世。

展品厅

绝大多数展品都可以亲手把玩——这是本馆的立馆之本；少数以叙述为主的，做成故事展签。

镇馆之宝 · 亲手玩

二项分布怎么变成那条钟形曲线

1733 年 11 月 12 日，七页拉丁文，只在朋友间传阅。

\frac{\text{中间那一项}}{\text{全部项之和}} = \frac{2}{\sqrt{2\pi n}}

他要回答一个很具体的问题：抛 n 次硬币，正面的次数落在中间那一段里的机会有多大？项数一多，二项系数根本算不动。于是他绕道：先把阶乘逼成一条式子，再让那些柱子的顶连成一条连续的曲线，最后拿曲线下的面积当答案。这就是已知最早写下正态分布的那一次。他印出来的三个数是 0.682688、0.95428、0.99874，分别对应偏离中间一倍、两倍、三倍的 √n 的一半。用今天的值核一遍：0.682689、0.954500、0.997300——第一个数六位全对，后两个从第三、四位起就不对了，因为他的数值求积只做到那里。这件事的分量不在这三个小数上，而在另一句：衡量偏离要拿 √n 作尺子。今天说的标准差，第一次成了一个单位。这也是为什么这件展品要与馆里另外两件分开说：高斯那块高尔顿板让你看见这条曲线怎么被摇出来，拉普拉斯那件讲的是「底下那个分布长什么样都不要紧」；而这一件说的是谁最早把它写在了纸上，以及他当年真正动手做的其实是逼近阶乘。

拖 n 看柱子怎么贴上那条曲线；表里把精确加起来的和、曲线下的同一段面积、n 无穷大的极限，与他亲手印的三个数并排

抛 100 次正面的机会 0.5

1733 年 11 月 12 日，棣莫弗印了一份七页的拉丁文小册子，只在朋友间传阅。他要回答的是一个很具体的问题：抛 n 次硬币，正面的次数落在中间那一段里的机会有多大？项数一多，二项系数根本算不动，于是他改去逼近 n!，凑出一条连续的曲线，再拿曲线下的面积当答案。这就是已知最早写下那条钟形曲线的一次。他印出来的三个数是 0.682688、0.95428、0.99874——分别对应一倍、两倍、三倍的 σ。今天算出来是 0.682689、0.954500、0.997300：第一个六位全对，后两个从第三、四位起就不对了。他还留下一句更要紧的话：衡量偏离该用 √n 作尺子——标准差第一次成了单位。这件事与馆里另外两件正好分工：高斯那块高尔顿板是让你看见这条曲线怎么被摇出来，拉普拉斯那件讲的是「底下的分布长什么样都不要紧」；而这一件说的是谁最早把它写在了纸上，以及他当年真正动手做的其实是逼近阶乘。

乘方就是把角加起来

开 n 次方于是有 n 个答案——它们把圆周等分。

(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta

圆上一点写成 cos θ + i sin θ，自乘一次，长度仍是 1，角却翻了一倍；再乘一次，角又多一个 θ。乘方在圆上就是转角相加，于是 n 次方只能是 cos nθ + i sin nθ。演示里一边一次一次地乘、一边直接套公式，两条路算到小数点后十二位仍落在同一点上。倒过来用更有意思：开 n 次方就是把角除以 n，可绕一圈回到的是同一个数、角却多了 360 度，所以答案不止一个——n 个根恰好把圆周等分成 n 份。这里要说清两件事。第一，今天写的这个形式是欧拉 1748 年《无穷分析引论》里的样子，棣莫弗手上还没有这套记号。第二，他本人做的是等价的另一件事：1707 年与 1722 年两次讨论「角的分割」，把一个角 n 等分该解哪个方程，方程的根又怎么排布。名字归了他，写法归了欧拉。这条路今天通向三次方程的三角解法、傅里叶分析里的相位，以及一切绕着单位圆转的算法。

θ = 35°n = 5w 的角 60°

圆上一点 cos θ + i sin θ 自乘一次，模仍是 1，角却翻了一倍；再乘一次，角又多一个 θ。乘方在圆上就是转角相加，于是 n 次方的结果只能是 cos nθ + i sin nθ。演示左边一次一次地乘，右边直接套公式，两条路算到小数点后十二位仍是同一个点。这条式子今天叫棣莫弗公式，但要说清楚两件事：这个写法是欧拉 1748 年的样子，棣莫弗手上还没有这套记号；他 1707 年与 1722 年写下的是与之等价的东西——《论角的分割》，把一个角 n 等分该解哪个方程。倒过来用更有意思：要开 n 次方，就是把一个角除以 n，于是解不止一个——绕一圈还是同一个数，角却多了 360°。n 个根把圆周等分成 n 份，右边那张图就是它。三次方程的三角解法、傅里叶分析里的相位、信号处理里的单位根，走的都是这一条路。

不数前面，直接写出第 n 项

斐波那契通项今天叫比内公式，可比内晚了一百多年。

F_n = \frac{\varphi^n - \psi^n}{\sqrt{5}}

一串数由前两项相加定出来，第 n 项却可以不数前面就直接写出来：把 φ 与 ψ 各自乘方，相减，再除以 √5。棣莫弗的办法是给数列配一个分式 x/(1 − x − x²)，再把分式拆成两个等比数列之差——他管这类东西叫递归级数，也就是今天说的生成函数。这不是为斐波那契数专门造的技巧，而是一套对付所有线性递推的通法，他 1730 年的《分析杂俎》里写的就是这套通法。演示里左边一项一项地加（用大整数，绝对准确），右边一步到位，两栏逐项对照到 n = 70 处处相同；n = 71 起闭式取整会差 1，那是双精度不够长，不是式子错了。式子里那个 ψ = −0.618…，它的幂一上一下地缩小，而且永远夹在正负二分之一之间，所以只留 φ 那一项再取最近的整数也一样对。今天这个通项一般叫比内公式，比内是 1843 年发表的；棣莫弗 1718 年的《机遇论》里已经在用，丹尼尔·伯努利与欧拉也各自给过。馆里斐波那契那件讲相邻两项之比趋于黄金分割——两件事其实是同一件事的两面：比值趋于 φ，正因为 φ 那一项跑得越来越快。

从 n = 6 看起

一串数由前两项相加定出来，第 n 项却可以不数前面就直接写出来：把 φ 与 ψ 各自乘方，相减，再除以 √5。演示里左边一项一项加（用 BigInt，绝对准确），右边一步到位，两栏逐项对照——到 n = 70 处处相同，n = 71 起闭式取整会差 1，那是双精度不够长，不是式子错了。式子里那个 ψ = −0.618…，它的幂一上一下地缩小，而且永远夹在正负二分之一之间，所以只留 φⁿ/√5 再取最近的整数也一样对。这个通项今天叫「比内公式」，可比内是 1843 年发表的；棣莫弗 1718 年的《机遇论》里已经在用，1730 年的《分析杂俎》把办法写成了一般的做法，比他早了一百多年（丹尼尔·伯努利与欧拉也各自给过）。他管这类数列叫「递归级数」，办法是给数列配一个分式 x/(1 − x − x²)，再拆成两个等比数列之差——这正是今天说的生成函数。馆里斐波那契那件讲的是相邻两项之比趋于黄金分割；两件事其实是一件事的两面：比值趋于 φ，正因为 φ 那一项跑得越来越快，ψ 那一项越来越无关紧要。

那个 √(2π)，不是他找到的

形式是他的，级数是他的，常数是斯特林的，名字是斯特林的。

n! \approx c\, n^{n+\frac{1}{2}} e^{-n}

要算 n 很大时的二项系数，绕不开 1000! 这样的数。1730 年《分析杂俎》里，棣莫弗把阶乘逼成了一条式子：n! 约等于 c 乘 n 的 (n+1/2) 次方乘 e 的 −n 次方，后面还跟着一条修正级数。可那个 c 是多少，他解不出来，只能把它的数值算出来写成一个小数。是斯特林告诉他 c 就是「半径为一的圆的周长的平方根」，也就是 √(2π)。棣莫弗在书里把这件事写得清清楚楚：我就此打住，直到我可敬的博学朋友斯特林先生——他在我之后也做了同一件探究——发现了那个量。今天这条式子叫斯特林公式。演示里把同一个阶乘并排算三遍：一项一项乘出来的真值、补上 √(2π) 的近似、再加上他自己级数的第一项 1/(12n)。n = 12 时第二行差 0.69%，第三行降到十万分之二。要紧的不是谁欠谁一个名分，而是这道近似要来做什么：三年之后那条钟形曲线，整个是从这里长出来的。所谓「发现正态分布」，工序上就是「把阶乘算清楚」。

n = 12

要算「抛一千次硬币，正面在某一段里的机会」，绕不开 1000! 这样的数。棣莫弗 1730 年在《分析杂俎》里把阶乘逼成了一条式子：n! 约等于 c 乘 n 的 (n+1/2) 次方乘 e 的 −n 次方，后面还跟着一条修正级数。可那个 c 是多少，他解不出来——只能把它的数值算出来，写成一个小数。是斯特林告诉他 c = √(2π)，也就是「半径为一的圆的周长的平方根」。棣莫弗在书里把这件事写得很清楚：我就此打住，直到我可敬的博学朋友斯特林先生发现了那个量。演示右边把同一个阶乘并排算三遍：一项一项乘出来的真值、补上 √(2π) 的近似、再加上他自己级数的第一项 1/(12n)。n = 12 时，第二行差 0.69%，第三行降到十万分之二。今天这条式子叫「斯特林公式」——一个只做对了一半的人拿走了全部名字的例子，而另一半（形式、级数、以及要它做什么）是棣莫弗的。

一条命值多少钱

他把概率算到了人的寿命上——保险精算从这本书起步。

a_x = \sum_{t=1}^{n} \frac{1}{(1+i)^t} \cdot \frac{n-t}{n}

1725 年他写了《终身年金》，已知最早的一本精算教科书。难处不在道理：哈雷 1693 年用布雷斯劳的出生与死亡登记造出了一张生命表，也说清了年金该怎么定价——买主只该为「他还活着的那一份机会」付钱，把每一年的机会乘上贴现再加起来就是价格。可这样一来，每算一份年金要按表加上几十项，两条命的年金要上千次乘法，实务上没人算得起；在他之前，英国卖年金干脆按一口价，1704 年那笔公债一条命九年、两条命十一年、三条命十二年，与岁数无关。棣莫弗的办法是用一条直线换掉那张表：从十二岁的七十四个人算起，往后每年死一个，到八十六岁归零。直线一进来，那个求和就能一步写成闭式。演示里把同一份年金算两遍：照哈雷的表逐年加总，和照他的直线一步算出。三十岁上两个数只差百分之零点八，年轻端他算低了、年老端算高了一成。他自己一向说这只是个便于计算的假设，不是人真的这么死；今天精算课本里的「棣莫弗定律」，是后人给它起的名字。

年龄 30 岁利率 6%

棣莫弗靠替人算概率谋生，主顾里有赌徒，也有买卖年金的人。1725 年他把这门手艺写成了《终身年金》——已知最早的一本精算教科书。难处不在道理：哈雷 1693 年用布雷斯劳的出生与死亡登记造出了一张生命表，也说清了年金该怎么定价——买主只该为「他还活着的那一份机会」付钱，把每一年的机会乘上贴现，加起来就是价格。可这样一来，每算一份年金就要按表加上几十项，两条命的年金要上千次乘法，实务上没人算得起。棣莫弗的办法是用一条直线换掉那张表：从十二岁的七十四个人算起，往后每年死一个，到八十六岁归零。直线一进来，那个求和就能一步写成闭式。演示右边把同一份年金算两遍：照哈雷的表逐年加总，和照他的直线一步算出。三十岁上两个数只差百分之零点八，年轻端他算低了、年老端算高了一成。他自己一向说这只是个便于计算的假设，不是人真的这么死——今天精算课本里的「棣莫弗定律」，是后人给它起的名字。

咖啡馆里的概率学家

他一生没拿到教席，靠替人算一局赌博值多少钱过日子。

他的一生几乎全在别人的桌边度过。1685 年之后他以难民身份到伦敦，靠上门授课谋生，也在圣马丁巷的斯洛特咖啡馆里坐堂——那是法国人聚集的地方，他在那里替赌徒算牌局、替买年金的人算价格，换一点酬劳。他的传记作者马蒂说：若不是必须靠教课糊口，他本可以走得更远。教席一直没有他的份。1707 年他托约翰·伯努利去问格罗宁根和弗拉讷克的位子，莱布尼茨也替他说过话，没有下文——马蒂把原因写得很直：他是外国人，而且不擅长经营那些能让人忘掉他出身的关系。至于流传最广的那个说法——他发现自己每天要多睡一刻钟，把这串等差数列加起来，算出自己会在睡满二十四小时的那一天去世，日子分毫不差——请当成一个传说来听。它在十九世纪以后的书里反复出现，可是找不到早期的出处。他去世几个月后，马蒂就写了那篇传记，里面只记了两件事：他晚年每天要睡二十个钟头，剩下三四个小时用来吃当天唯一的一顿饭、和朋友说话；最后卧床七八天，在睡梦中去世。那串等差数列，马蒂一个字也没提。

故事展签故事展签：他一生没有教席，靠咖啡馆里的零工过日子；那个「算准自己死期」的说法，缺早期出处。

传承

他的工作没有留在十八世纪——每条链的终点，都是你今天正在使用的东西。

二项分布的正态逼近（1733）⟶拉普拉斯推广成中心极限定理⟶民调的「误差 ±3%」与今天的抽样统计

拿 √(npq) 当量偏离的尺子⟶标准差成了通用的单位⟶质量控制、A/B 测试与金融风险度量

n! 的近似式与那条级数（1730）⟶斯特林补上常数 √(2π)⟶渐近分析与算法复杂度的估计

棣莫弗公式：乘方就是转角相加⟶欧拉写成 e^(iθ) 的样子⟶信号处理里的相位与快速傅里叶变换

递归级数，也就是生成函数（1730）⟶线性递推有了闭式解⟶组合计数、算法分析与数字滤波器

《终身年金》（1725）与那条直线假设⟶保险精算成为一门算得动的学问⟶今天的寿险定价与养老金

语录

「与中间那一项相距 √n 的一半以内的各项之和，与全部项之和的比，可以准确地用小数 0.682688 表示。」
—— 1733 年 11 月 12 日那份七页小册子，他自己的英译收在《机遇论》第二版（1738）「二项式各项之和的近似法」一节 · 据阿奇博尔德影印本转译，大意

「我就此打住，直到我可敬的博学朋友斯特林先生——他在我之后也做了同一件探究——发现那个量就是半径为一的圆的周长的平方根。」
—— 同上节，谈 n! 近似式里那个定不出来的常数 · 据阿奇博尔德影印本转译，大意

「我为这第二版下了这么多功夫，可接下来也许就会有某位——我不必点出名字——出于对公众的怜悯，把他那本同题材的书也出个第二版，卖得很便宜。」
—— 《终身年金》第二版（1743）序言第 xii 页，说的是辛普森 · 据马蒂传记的贝尔豪斯与热内注释英译本（《统计科学》2007）转译，大意