Bhāskara II · 1114–约1185

婆什迦罗二世

印度数学最后一座高峰：他把前人留下的半套办法转成了一个转到底的轮子

x^2 - 61y^2 = 1

循环法解出的最小解 x = 1766319049、y = 226153980 · 五百年后费马把同一个 61 抛给了英国数学家

婆什迦罗二世 1114 年生，他自己在书里报了生年（塞种纪元 1036 年）与成书时的年纪。出生地梵文作 Vijjadavida（又作 Vijjalavida），今址有两说，一说在马哈拉施特拉的帕坦，一说在卡纳塔克的比贾布尔一带。父亲摩醯首罗（Maheśvara）是天文学家，也是他的第一位老师；他后来主持乌贾因天文台——那是印度天文学的中心，五百年前婆罗摩笈多也在那里。1150 年、三十六岁时他写成《天文系统之冠》，全书四部：《莉拉沃蒂》讲算术与测量，《算法本源》讲代数，《行星算》与《球论》讲天文。1183 年又写了一部便于实用的历表书《历算奇趣》。约 1185 年卒。

他做的事，多半是把前人只开了个头的路走到底。婆罗摩笈多 628 年给出「合成法」，能把两组近似解并成更好的一组，却没说从哪儿开始、下一步取什么；婆什迦罗二世补上的循环法（chakravāla，「轮」）是一整套程序：转到 |k| = 1 就收工，x² − 61y² = 1 的最小解 x = 1766319049 就是这么转出来的。婆罗摩笈多说零除以零等于零、正数除以零只是「一个以零为分母的分数」，他接着说：那是一个无穷量，往里放进多少、取走多少都不改变。《行星算》里他又把行星的「平均行度」与即时行度分开，写下相当于 δ(sin θ) = cos θ·δθ 的关系，并说行星走到最远或最近处时即时变化为零。

要紧的是别把这些话说过头。循环法已知最早的记载不在他书里，而在阇耶提婆（约 1000 年）那里——原书失传，只靠 1073 年一部注释转引的二十颂留了下来；婆什迦罗二世做的是把它写成完整可用的程序。即时行度那一条也一样：他给的是历算规则，没有极限的定义，也没有证明关于函数的定理，叫「微积分的先声」稳妥，叫「他发明了微积分」就不是。他之后印度数学的中心南移到喀拉拉，欧洲则要到 1657 年费马重新提出同一道 x² − Ny² = 1 时才走到这里，而那时没有人知道印度早已解决——这两条线真正接上，要等科尔布鲁克 1817 年的英译本。

《莉拉沃蒂》波斯文译本写本，费济译，1587 · 麦吉尔大学珍本部藏（Ivanow 0125），公有领域。婆什迦罗二世没有画像传世，Commons 上挂他名字的像都是今人所绘，所以这里放的是他那本书——不过是它的波斯文身份：阿克巴命宫廷诗人费济译出的这一版。满页十一行印度体波斯斜体，行间那两处红字是数。选它还有一层缘故：本页展签里「莉拉沃蒂是他女儿」那个传说，一般就追到这个译本。

生平

约1000
阇耶提婆已经描述过循环法
原书失传，只由乌达亚迪瓦卡拉（Udayadivākara）1073 年的一部注释转引二十颂留下来。这一条是循环法已知最早的记载。
1114
生于 Vijjadavida
今址有两说：马哈拉施特拉的帕坦，或卡纳塔克的比贾布尔一带。父亲摩醯首罗是天文学家，也是他的老师。
1150
《天文系统之冠》成书
时年三十六。四部：《莉拉沃蒂》算术、《算法本源》代数、《行星算》与《球论》天文。
1150
循环法解 x² − 61y² = 1
转到 |k| = 1 收工，最小解 x = 1766319049、y = 226153980。婆罗摩笈多的合成法到这里才算走完。
1150
以零为分母的分数是无穷量
khahara。往里放进多少、取走多少都不改变——他拿世界毁灭与创生时那个无限而不变的神作比。
1150
即时行度 tātkālika gati
《行星算》把「平均行度」与「此刻走多快」分开，并给出相当于 δ(sin θ) = cos θ·δθ 的关系。
1150
四个三角形，一个小方块
《算法本源》里那幅勾股图：边长 c 的正方形里四个直角三角形，中间剩一个边长 b − a 的小方块。
1183
《历算奇趣》
一部便于实用的历表书，此后几百年印度推步常用它。
约1185
卒
年约七十一。他之后印度数学的中心南移到喀拉拉。
1587
《莉拉沃蒂》译成波斯文
阿克巴宫廷里费济（Faizi）所译，时为阿克巴在位第三十二年。莉拉沃蒂是他女儿这个故事，一般认为最早就出自这个译本，比他晚了四百年。
1657
费马把同一道题抛给英国人
他提出的 x² − Ny² = 1 特意挑了 N = 61 与 N = 109，欧洲没有人知道印度五百年前已经解过。
1817
科尔布鲁克英译
《莉拉沃蒂》与《算法本源》第一次进入欧洲语言，与婆罗摩笈多同在一册。
1874
汉克尔的评价
「拉格朗日之前数论上最漂亮的成就」——他说的是循环法。

展品厅

绝大多数展品都可以亲手把玩——这是本馆的立馆之本；少数以叙述为主的，做成故事展签。

镇馆之宝 · 亲手玩

循环法：一轮一轮把 61 逼出来

x² − 61y² = 1 的最小解是个十位数；盲目搜索要数到两亿多，这套办法转七步就到。

x = 1766319049 \quad y = 226153980

婆罗摩笈多 628 年就有了「合成法」：手上两组近似解，按他那条两平方和的恒等式并起来，能得到更好的一组。可这只是一件工具，不是一条路——从哪儿开始、下一步该取什么数去合，他没有说死，于是对某些 N 能撞出答案，对另一些就卡住。循环法补上的正是这一句。它把状态写成一个三元组：a² − N b² = k。一轮做三件事：找一个正整数 m，要求 k 整除 a + b·m，并在满足这个条件的 m 里挑 |m² − N| 最小的那个；然后 a 换成 (a·m + N·b)/|k|，b 换成 (a + b·m)/|k|，k 换成 (m² − N)/k。|k| 被一路逼小，转到 1 就收工——k 等于 −1 时再按合成法自乘一次。chakravāla 的意思就是「轮」。拿它去算，每一个非平方的 N 都会在有限轮内停下来；可「一定会停」这件事，印度的文献里并没有证明。欧洲那条线上，「x² − Ny² = 1 一定有解」是十八世纪由拉格朗日证明的，他走的是连分数那条路，不是这条。汉克尔 1874 年在《古代与中世纪数学史》里说，这是拉格朗日之前数论上最漂亮的成就。最后还要补一句：循环法已知最早的记载不在他书里，而在阇耶提婆（约 1000 年）那里，原书失传，只靠 1073 年一部注释转引的二十颂留了下来；婆什迦罗二世做的是把它写成一套完整可用的程序，并用它解开了 61。

挑一个 N，逐轮看三元组怎么换，再与「一个个试」要试多少次对照

N = 61走到第 7 步 / 7

婆罗摩笈多 628 年的合成法能把两组近似解并成更好的一组，可「从哪儿开始、下一步取什么」他没有说死。循环法补上的正是这一句：手上有一组 a² − N b² = k，就去找一个 m，要求 k 整除 a + b·m，并在满足这个条件的 m 里挑 |m² − N| 最小的那个；换出新的一组，再转一轮。k 一路被逼向 1，转到 |k| = 1 就收工——k = −1 时再按合成法自乘一次。 N = 61 是他书里的例题，也是最漂亮的例子：转 6 轮加一次合成，得到 x = 1766319049、y = 226153980。同一个 61，1657 年费马当作挑战题抛给英国数学家（另一个是 109），而当时没有人知道印度五百年前就解过。右边那根长条是「盲目搜索」要付的代价：从 y = 1 数上去，要数到 226153980 才第一次撞上完全平方；一天试一百个，要六千年。两根条画的是位数，不是次数——真按次数画，短的那根连一个像素都占不到。这里只用了 k = ±1 那条捷径；他书里还给了 k = ±2、±4 的捷径，收工还能更早。循环法已知最早的记载不在他书里，而在阇耶提婆（约 1000 年）那里——原书失传，只靠 1073 年一部注释转引的二十颂留了下来；婆什迦罗二世把它写成了一套完整可用的程序。汉克尔 1874 年在《古代与中世纪数学史》里说，这是拉格朗日之前数论上最漂亮的成就。

《莉拉沃蒂》：算题写成诗

一群蜜蜂、一根被风折断的竹子、一只扑向蛇的孔雀——课本可以是这样写的。

\sqrt{n/2} + \frac{8}{9}n + 2 = n \quad n = 72

《天文系统之冠》的第一部叫《莉拉沃蒂》，讲算术、比例、级数与测量，全书写成诗。不是把公式押上韵，而是把每道例题都编成一个场景，还常常直接对着人说话：「美丽的女子，说说看，蜂群有多少只？」那道蜜蜂题（第 68 节）的条件是：半群的平方根飞向茉莉，全群的九分之八也去了那里，还剩两只在莲花上——一只雄蜂夜里被花香引进花里关住了，一只雌蜂绕着它飞；三份合起来正是全群，答案是 72。竹子那道（第 148 节）：三十二肘的竹子被风折断，梢头落在离根十六肘处，问在哪里断的，答案是十二肘，断口以上二十肘，12² + 16² = 20²。孔雀那道（第 150 节）：柱脚有个蛇洞，柱高九肘，柱顶的孔雀看见蛇在离洞三倍柱高处往洞里游，斜扑下去，两者走过的路一样长，相遇处离洞十二肘、各走十五肘。莲花那道（第 153 节）：花苞露出水面半肘，被风吹到两肘外没入，水深三又四分之三肘。后三道其实是同一道题穿了三件外衣——都是已知一条直角边、以及另一条直角边与斜边的和或差，求那两条。他要的就是这个效果：同一条法则套上四个故事，学生记住的是故事。这本书此后在印度当了几百年的标准算术课本，抄本与注本极多，十九世纪还在讲授。

试 n = 72 只

《莉拉沃蒂》是《天文系统之冠》的第一部，讲算术与测量，全书写成诗——不是把公式押上韵，而是把每道例题都编成一个场景：一群蜜蜂、一根被风折断的竹子、一只扑向蛇的孔雀、一支被吹倒的莲花。题面里还常常直接喊人：「美丽的女子，说说看……」后三道其实是同一道题的三件外衣：都是直角三角形，都已知一条直角边、以及另一条直角边与斜边的和或差，求那两条。换成今天的写法一行就完：设两条直角边为 p、q、斜边 c，由 p² + q² = c² 与 c ∓ q 已知，立刻解出。他要的就是这个效果——同一条法则套上四个故事，学生记住的是故事。蜜蜂那道不是几何：半群的平方根、九分之八、再加两只，正好凑成全群，答案是 72。拖动滑块看三份加起来与全群的差怎么在 72 那里穿过零。

即时行度：行星这一刻走得多快

把「一段时间走了多少」换成「此刻走多快」，并写下相当于 sin 的导数的那条式子。

\delta(\sin\theta) = \cos\theta \cdot \delta\theta

古代历算给行星的是平均行度：一段时间走过的弧，除以那段时间。可行星并不匀速，要问「此刻走多快」，就得把那段时间取得很短。婆什迦罗二世在《行星算》里把这件事单列出来，叫即时行度（tātkālika gati），并给出算它要用的关系：两个相近的角，正弦之差约等于其中一个角的余弦乘上角差——写成今天的记号，正是 δ(sin θ) = cos θ·δθ。印度的正弦表以 R = 3438 为半径（那是以角分为单位的圆半径），拿 30° 与 31° 去核：表上的真差是 51.70，他那条式子给 51.97，差半个百分点；角差收得越小越贴。他还写下另一句：行星走到最远或最近处时，它的即时变化为零。这两条今天听着耳熟，但要按分寸说。这类正弦差分并不是从他才有的，印度天文学自阿耶波多以来的正弦表本来就是按差分造的；而「即时变化为零」是一条历算规则，不是一条关于函数的定理——他既没有极限的定义，也没有证明什么。今人常把那句话与罗尔定理对上，那是后来的比附。稳妥的说法是：这些是微积分的先声，而不是微积分。

θ = 30°δθ = 10°

古代历算给行星的是「平均行度」：一段时间走了多少，除以那段时间。可行星并不匀速，问「此刻走多快」就得把那段时间取得很短。婆什迦罗二世在《行星算》里把这件事单列出来，叫即时行度（tātkālika gati），并说：若两个角相差很小，它们的正弦之差就等于其中一个角的余弦乘上这个角差——写成今天的记号正是 δ(sin θ) = cos θ · δθ。画布上蓝线是弦表真正的差，铜色线是他那条式子给的值。差有多大只看角差取得多短：θ = 30° 处，δθ = 10° 时相对差 5.86%，收到 1° 只剩 0.51%；θ = 60° 处同样从 18.46% 收到 1.54%。这正是「取得越短越准」的样子，θ 越靠近 0° 也越准。他还写下另一句：行星走到最远或最近处时，它的即时变化为零——画布上 90° 那条虚线的位置。今人常把这句话与罗尔定理对上，不过那是后来的比附：他给的是一条历算规则，并没有证明一条关于函数的定理，也没有极限的定义。把这些叫作「微积分的先声」是稳妥的；叫作「他发明了微积分」就不是。

除以零，得到的是无穷

婆罗摩笈多在这一格上栽了跟头，五百年后他接上一句——而这一句也只对了一半。

\frac{3}{0} = \infty

628 年那本书把零的加减乘写得一清二楚，唯独除法停住了：零除以零，婆罗摩笈多说是零（错的）；正数除以零，他只写成「一个以零为分母的分数」，没有再往下说。婆什迦罗二世在《算法本源》第一章接上这一句：这个分数叫 khahara，是一个无穷量；而且「在这个以零为除数的量里，无论放进多少、取走多少，都不会有改变」，他还拿世界毁灭与创生之际那个不变者作比。（顺带说明一处常见的误记：「分母越小商越大、所以商没有上限」这句推理，在科尔布鲁克的译本里出现在注释者克里希那与兰伽纳特的按语里，不是他的正文。）他自己另有一条规则写在《莉拉沃蒂》第 44–45 节：先乘以零、随后又除以零，原数不变；第 46 节那道题就靠它解出答案 14。按今天的规矩这一步是错的——先乘零已经把数抹成 0，再除以零就是 0/0，没有定义。可换个眼光看，他约掉的其实是同一个趋于零的量，天文推算里正是这么用的；把这件事说清楚要等到极限的定义。有意思的是今天的机器照着他的分法办了：IEEE 754 浮点数里，正数除以零给出 Infinity，零除以零给出 NaN——一个有值，一个没有。

分母 = 0.1

婆罗摩笈多 628 年给零定下了加减乘的法则，唯独在除法上停住：零除以零，他说是零（错的）；正数除以零，他只写成「一个以零为分母的分数」，没有再往下说。五百年后婆什迦罗二世接上这一句：这个分数是一个无穷量（khahara），而且「往里放进多少、取走多少，它都不改变」——他还拿世界毁灭与创生时那个不变者作比。左边那条曲线是今天的看法：分母越小商越大，小到零就没有上限。这条推理不是他的正文——科尔布鲁克本里它出现在注释者的按语中（《算法本源》那条署克里希那，《莉拉沃蒂》那条署兰伽纳特）；他自己只说这个分数是无穷量，理由给的是「放进取走都不改变」。这也不是「他定义了 ∞」那么简单。他另有一条规则（《莉拉沃蒂》第 44–45 节）：先乘以零、后除以零，原数不变；第 46 节那道题就靠它解出 14。按今天的规矩这一步是错的——先乘零已经把 x 抹成 0，再除以零就是 0/0。可换个眼光看，他约掉的其实是同一个「趋于零的量」，天文推算里正是这么用的；真正把这件事说清楚，要等到极限的定义。今天的机器倒是照他的分法办了：IEEE 754 浮点数里，正数除以零给出 Infinity，零除以零给出 NaN——一个有值，一个没有。同一条分界线，隔了八百年。

四个三角形，一个小方块

边长 c 的正方形里摆四个直角三角形，中间剩下的那块就是全部的证明。

c^2 = 2ab + (b-a)^2 = a^2 + b^2

取一个边长 c 的正方形，四条边上各贴一个直角边为 a、b 的直角三角形，风车似的转着摆；四个直角顶点围出来的，恰好是一个边长 b − a 的正方形。于是 c² = 四个三角形 + 中间那块 = 2ab + (b − a)² = a² + b²。整条推理只用到一件事：面积可以搬动。婆什迦罗二世把这幅图放在《算法本源》里，书中还另给了一个用相似三角形的推算——从直角向斜边作高，分出的两个小三角形都与原三角形相似。流传很广的说法是：他把图往桌上一放，只写了一个字「看！」。这多半是后来的附会：普洛夫克在《印度数学》（2009）里指出，他原文用了两颂加一段散文来讲这幅图，散文末了才说「此外，把图中那些部分摆好，看一眼就够了」——那句话才像是传说的源头。勾股定理在印度本来就不新，《绳法经》里公元前几百年就在用 3-4-5 这样的直角三角形，《莉拉沃蒂》里它只是随手取用的工具。这幅图的好处不在于新，而在于它把一条定理变成了可以一眼看完的东西——而这正是后来所有「无字证明」想做的事。

a = 5（b 固定为 12）推开

边长 c 的正方形，四条边上各贴一个直角边为 a、b 的直角三角形，风车似的转着摆。四个直角顶点围出来的，正好是一个边长 b − a 的正方形——整幅图只需要这一件事。于是 c² = 四个三角形 + 小方块 = 2ab + (b − a)² = a² + b²。拖「推开」那根滑块，四块三角形会沿各自的外法线滑出去，中间那个小方块就露出来了；右边两个正方形按同一比例画着 a² 与 b²，加起来正是左边那一个。流传很广的说法是：他把这幅图往桌上一放，只写了一个字——「看！」。这多半是后来的附会：普洛夫克在《印度数学》（2009）里指出，他原文用了两颂加一段散文来讲这幅图，散文末了才说「此外，把图中那些部分摆好，看一眼就够了」，那句话才像是传说的源头；书里另外还给了一个用相似三角形的推算（从直角向斜边作高，分出的两个小三角形都与原三角形相似）。所以这幅图是他的，「一个字的证明」不是。这条定理在印度早有：《绳法经》里公元前几百年就用着 3-4-5 这类直角三角形，《莉拉沃蒂》与《算法本源》里它只是随手就用的工具。这幅图的好处不在于新，而在于它把证明变成了可以一眼看完的东西。

莉拉沃蒂是谁

书名是一个女子的名字。至于她是不是他女儿，最早的说法出现在四百年后。

《莉拉沃蒂》全书里，题面一次次地对着一个人说话：「亲爱的、聪慧的莉拉沃蒂」「眼睛像小鹿一样的莉拉沃蒂」「美丽的女子，说说看……」。这个名字本身的意思是「妩媚的」「可爱的」，而全书最后一颂（第 277 节）写着：凡把莉拉沃蒂紧抱在颈上的人，这世上的欢欣便日日增长——注释者伽内沙说这一颂一语双关，读起来同时也在写一位可亲的女子。至于她是谁，流传最广的故事是这样的：她是他的女儿，他算出她只有一个极短的吉时可以出嫁，便做了一只水钟守着那一刻；她俯身去看，衣上一颗珍珠落进水里堵住了孔，吉时就这样错过，她终身未嫁，父亲于是用她的名字写了这本书，好让这个名字留到世界的尽头。这个故事必须加上限定语：一般认为它出自费济 1587 年在阿克巴宫廷所译的波斯文本，比婆什迦罗二世晚了四百年，没有任何同时代的证据；今天的研究者多把它当作译者所记的传说，而不是史实——莉拉沃蒂是不是他女儿，本身就没有定论。可以确定的只有两件事：书里确实在跟一位叫莉拉沃蒂的人说话，以及这本书后来在印度当了几百年的算术课本——一个不知真假的名字，被几十代学生念了下来。

故事展签故事展签：从一颗落进水钟的珍珠，到几百年间印度学生都在念的那个名字。

传承

他的工作没有留在十八世纪——每条链的终点，都是你今天正在使用的东西。

循环法：一轮一轮把 |k| 逼到 1⟶佩尔方程与实二次域的基本单位⟶今天的计算代数系统仍要算它：连分数、格基约化与密码学里的一件常用工具

以零为分母的分数是无穷量⟶浮点数里专门留出 ±Infinity 与 NaN 两类值⟶今天每一次除零：IEEE 754 的规定与编译器里的处理

即时行度与 δ(sin θ) = cos θ·δθ⟶差分与导数的先声⟶天文历表的插值与导航里的瞬时速度

《莉拉沃蒂》把算题写成诗，末几章讲排列组合⟶印度此后几百年的算术课本⟶组合计数：抽样要抽多少、口令空间有多大

四个三角形一个小方块⟶面积可以搬动：剪拼式的证明⟶无字证明与今天的可视化教学

语录

「以零为分母的这个分数，称作无穷量。在这个以零为除数的量里，无论放进多少、取走多少，都不会有改变；正如世界毁灭或创生之际，无数众生被吸入或放出，那无限而不变的神却毫无变化。」
—— 《算法本源》第一章第 15、16 节，1150 · 据科尔布鲁克 1817 年英译转译，大意

「一群蜜蜂，其中半数的平方根飞向茉莉，全群的九分之八也去了那里；还有一只雌蜂，绕着夜里被花香引去、困在莲花中的那只雄蜂嗡嗡地飞。美丽的女子，说说看，蜂群有多少只？」
—— 《莉拉沃蒂》第 68 节 · 据科尔布鲁克 1817 年英译转译，大意；答案是 72

「凡把莉拉沃蒂紧抱在颈上的人，这世上的欢欣便日日增长——她通身装点着约分、乘法与乘方，解答纯净而完美，言辞如书中所举的例子一般有味。」
—— 《莉拉沃蒂》第 277 节，全书最后一颂 · 据科尔布鲁克 1817 年英译转译，大意；注释者伽内沙说这一颂一语双关，同时也在写一位可亲的女子