Peter Gustav Lejeune Dirichlet · 1805–1859

狄利克雷

他举了一个画不出来的例子，「函数」这个词从此换了意思

D(x) = \lim_{m \to \infty} \lim_{n \to \infty} \cos^{2n}(m!\,\pi x)

狄利克雷函数 · 有理点取 1、无理点取 0，画不出来，却处处有确定的值

狄利克雷 1805 年 2 月 13 日生于迪伦，当时那里属于法兰西帝国。姓氏里的 Lejeune Dirichlet 来自祖父的居地，列日附近的里舍莱特，意思是「里舍莱特来的那个年轻人」。他十二岁进波恩的文科中学，又转到科隆的耶稣会学院，在那里遇上了物理学家欧姆。1822 年 5 月，十七岁的他去了巴黎——那是当时全世界数学的中心——在法兰西学院与理学院听傅里叶、泊松、拉普拉斯、勒让德的课。同年 11 月，母亲把高斯的《算术研究》寄到巴黎给他；这本书此后跟了他一辈子。1823 年起他住进福瓦将军家当家庭教师，一边教两个孩子德文，一边做自己的数学。1825 年 7 月，二十岁的他向巴黎科学院提交了费马大定理 n = 5 情形的一半，勒让德随即补完另一半。这是继费马自己的 n = 4、欧拉的 n = 3 之后攻下的第三个指数。

回到德国后，靠洪堡的奔走，他 1827 年在布雷斯劳得到教职，1828 年转到柏林，此后二十七年同时在军事学院与柏林大学任教。1832 年他娶了作曲家门德尔松的妹妹蕾贝卡。他一生发表的论文不算多，可几乎每一篇都开了一条路：1829 年他给出傅里叶级数收敛的第一个严格判据，并在那篇论文的末尾举出一个有理点取一个值、无理点取另一个值的函数；1837 年他证明了首项与公差互素的等差数列里有无穷多个素数，解析数论由此成为一门学问；1842 年他把「东西比抽屉多」当成工具用进了数论；1846 年他证出代数数域里单位群的结构。位势论里那条「取能量最小的那个函数」的论证，他只在柏林的课上讲过、一个字也没发表，黎曼 1857 年却以他的名字叫它狄利克雷原理。1855 年高斯去世，他接下哥廷根的讲席。1858 年夏天他在蒙特勒心脏病发作，抱病回到哥廷根；12 月 1 日妻子突发中风去世，他本人 1859 年 5 月 5 日病逝，第二天洪堡也去世了。他在哥廷根的数论课由学生戴德金整理成《数论讲义》，那部书的附录里长出了「理想」这个概念。

《狄利克雷全集》卷首肖像，柏林，1889 · 底本是柏林画家尤利乌斯·施拉德所作素描，画面左下角有他的签名 · Wikimedia Commons，公有领域

生平

1805
生于迪伦
2 月 13 日。当时迪伦属法兰西帝国；姓氏来自祖父的居地、列日附近的里舍莱特。
1822
十七岁到巴黎
5 月动身，听傅里叶、泊松、拉普拉斯、勒让德的课。11 月母亲把高斯的《算术研究》寄了过来。
1825
费马大定理 n = 5
7 月向巴黎科学院提交了其中一种情形的证明，勒让德补完另一种。这是继费马的 n = 4、欧拉的 n = 3 之后攻下的第三个指数。
1827
布雷斯劳的教职
洪堡奔走的结果。次年转到柏林，此后二十七年同时在军事学院与柏林大学任教。
1829
三角级数何时收敛
Crelle 杂志第 4 卷。有界、有限个跳跃、有限个极值就够；跳跃处收到左右极限的平均。论文末尾那个例子，就是后来叫狄利克雷函数的那一个。
1832
娶蕾贝卡·门德尔松
作曲家费利克斯·门德尔松的妹妹。次年长子瓦尔特出生。
1837
算术级数里的素数
7 月 27 日在柏林科学院宣读：首项与公差互素，那条级数里就有无穷多个素数。L 函数第一次登场。
1837
函数是一个对应关系
同年那篇讲三角级数的德文改写里，他把「函数」讲成对应本身，明说不必是一条式子、甚至不必能用运算写出来。
1842
抽屉原理
用「东西比抽屉多」证出多个无理数可以被同一批分母同时逼近。他既没给它起名，也没说这是新东西。
1843–1845
陪雅可比去意大利
雅可比病重，他求到洪堡门上，国王当场批了两千塔勒。回程他自己病倒，雅可比替他代课，保住了薪水。
1846
单位定理
3 月 30 日报告于柏林科学院。据库默尔说，证明的念头是在西斯廷教堂听复活节音乐时冒出来的。
1855
接高斯的讲席
高斯 2 月去世，他从柏林转到哥廷根。同年他接下了高斯留下的功勋勋章。
1859
卒于哥廷根
5 月 5 日。前一年夏天在蒙特勒心脏病发作，1858 年 12 月 1 日妻子已先中风去世。次日洪堡也去世。

展品厅

绝大多数展品都可以亲手把玩——这是本馆的立馆之本；少数以叙述为主的，做成故事展签。

镇馆之宝 · 亲手玩

一个画不出来的函数

有理点取 1、无理点取 0——没有一段连续、画不出一条曲线，可每一点的值都是确定的。

D(x) = \lim_{m \to \infty} \lim_{n \to \infty} \cos^{2n}(m!\,\pi x)

1829 年那篇讲傅里叶级数收敛的论文，末尾有一段话：设 φ(x) 在 x 取有理值时等于常数 c、取无理值时等于另一个常数 d，这样定义出来的函数对每个 x 都有确定的有限值，可是它不能代进级数里去，因为级数里那些积分在这种情形下失去了一切意义。他写下这个例子，本意只是圈出自己那条定理管不到的地方。可这个例子的分量远不止于此。在它之前，「函数」几乎等同于「一条式子」：能写出来、能画出来、至多几处不听话。这一个不是——它没有一段是连续的，任何一点附近都同时挤满了取 1 的点和取 0 的点，可你给它一个 x，它给你一个确定的值。既然如此，函数就只能是那个对应本身，与能不能写成式子无关。这句话 1837 年被他写进了德文改写本：不必要求 y 在整个区间上按同一条规律依赖于 x，甚至不必设想这种依赖能用运算表达出来。要说清楚的是，这个看法不是他一个人从零想出来的：傅里叶 1822 年已经说过函数是一串任意的纵坐标，欧拉更早就有过宽泛的说法，而他 1837 年那句话严格说定义的是连续函数。属于他的是另一件事——他把这个说法推到了不得不认的地步，因为他手上有一个反例。

把它画出来试试：分母一放宽，上沿就连成一条实线——而那条实线一个像素也没画对

分母上限 Q = 40放大 1 倍

1829 年那篇论文的末尾，狄利克雷写下一个例子：有理点取一个值、无理点取另一个值。他是拿它来说明自己的收敛定理管不到哪里的，可这个例子的分量远不止于此。它没有公式可画、没有一段是连续的、任何一点附近都同时挤满了取 1 的点和取 0 的点；左边那幅图就是这件事：分母上限一放宽，上沿很快连成一条实线，可那条实线一个像素也没画对——空着的那些列从来没有空过，只是那里的分数分母太大。往下放大也一样：原来那些分母小的分数全出了画面，可只要把分母上限跟着放大，上沿立刻又填满。尺度换了，图样一模一样。既然画不出来，它凭什么算一个函数？凭右边：给一个 x，它有确定的值，而且当场算得出来——函数是一个对应关系，不必是一条式子。这正是狄利克雷 1837 年写进定义里的那句话，也是今天每一本教材的第一章。至于「它不可黎曼积分」，那是馆里黎曼那件演示在讲的事。

级数什么时候真的收敛

分段光滑就收敛；而在跳跃处，它收到左右两个极限的正中间。

S_N(x) \to \tfrac{1}{2}\left[f(x^{+}) + f(x^{-})\right]

傅里叶 1807 年说任何函数都能拆成正弦与余弦，评审席上的拉格朗日不认，理由是不够严格。二十二年后，二十三岁的狄利克雷把这句话改写成了一条能验的定理：周期函数若在一个周期里有界、只有有限个跳跃、只有有限个极大极小，它的傅里叶级数就处处收敛——在连续点收到 f(x)，在跳跃点收到左右极限的平均值。第三句最见功夫：函数在那一点本身取什么值根本不要紧，级数只认两侧的极限。证明的关键是把前 N 项合起来写成一个积分：部分和等于 f 与一个核做的加权平均，这个核今天叫狄利克雷核，总面积恒为 2π，峰随 N 越来越高越来越窄，而且左右对称——跳跃点上两侧各占一半，平均下来正好落在中点。这是傅里叶级数的第一条严格收敛定理——柯西几年前已经把「收敛」这个词本身定死了，狄利克雷做的是拿它去啃一个具体而难缠的对象。但它只是充分条件：不满足它的函数，定理什么也没说。1876 年杜布瓦-雷蒙造出了一个连续函数，它的傅里叶级数在某一点发散；另一头，1966 年卡莱松证明平方可积的函数，级数几乎处处收敛。这条边界被人来来回回推了一百四十年。

项数 N = 12

傅里叶说「任何函数都能拆开」，评审说「不够严格」。1829 年狄利克雷把这句话改写成一条能验的定理：周期函数若有界、一个周期里只有有限个跳跃、只有有限个极大极小，级数就处处收敛——在连续点收到 f(x)，在跳跃点收到左右极限的平均。第三句是他这套办法最锋利的地方：函数在那一点取什么值根本不要紧，级数只认两侧的极限。证明的关键是那个核。把前 N 项合起来，部分和就是 f 与 sin((N+½)u) / sin(u/2) 的一次加权平均；这个权总面积恒为 2π，峰越来越高、越来越窄，两侧对称——跳跃点上左右各占一半，平均下来正好是中点。要当心的是，这只是充分条件，不是充要：不满足它的函数，定理什么也没说，并不等于它的级数发散。至于「什么样的函数才算函数」，答案就出在这条定理的边界上，也就是这一页的镇馆之宝。

东西比抽屉多

一句用不着证明的话，逼出了「任何无理数都有分数逼它逼到 1/q² 以内」。

\left|\alpha - \frac{p}{q}\right| < \frac{1}{q^{2}}

把 N+1 样东西放进 N 个抽屉，必有一个抽屉装了两样。这句话小学生都懂，也没什么可证的。狄利克雷拿它去做了这样一件事：把 0 到 1 切成 N 格，把 α、2α 一直到 Nα 的小数部分连同 0 一共 N+1 个数丢进去。必有两个落进同一格，于是它们相差不到 1/N；两个下标相减，就得到一个分母不超过 N 的 q，使得 qα 与某个整数相差不到 1/N。除以 q 便是：存在分母不超过 N 的分数 p/q，让 α 与它相差不到 1/(qN)，因而也不到 1/q²。N 可以要多大有多大，所以这样的分数有无穷多个——这就是丢番图逼近定理。π 在 N = 12 上给出的正是 22/7。这个手法后来成了数论里的标准动作，他自己用它处理过佩尔方程那一路的问题。三件事要说清楚：这条原理不是他发明的，1622 年勒雷雄就用过「必有两个人头发根数相同」；1842 年那两篇论文里他既没给它起名、也没说这是新东西，真正新的是可以同时逼近好几个无理数的那个推广；「抽屉原理」这个词出现在他身后 1863 年由戴德金整理的《数论讲义》里。属于他的是把一句废话当工具用，而且用它撬开了硬东西。

抽屉数 N = 12

「东西比抽屉多，就一定有一个抽屉装了两个」——这句话不必证明，可它能证出不平凡的东西。把 0 到 1 切成 N 格，把 α、2α、3α… 一直到 Nα 的小数部分丢进去，连同 0 一共 N+1 个数。必有两个落进同一格，于是它们相差不到 1/N；两个下标一减，就得到一个分母不超过 N 的分数 p/q，满足 |α − p/q| 小于 1/(qN)，因而也小于 1/q²。把 N 一路放大，逼出来的分母只会更大，所以这样的分数有无穷多个——这就是丢番图逼近定理。π 在 N = 12 上给出的正是 22/7；φ 给出的分子分母全是斐波那契数。要说清楚的是，这条原理不是狄利克雷发明的：1622 年就有人用「必有两个人头发根数相同」讲过同一件事；1842 年他用它时既没给它起名，也没说这是新东西，「抽屉原理」这个词出现在他身后 1863 年那部讲义里。真正属于他的是把这句废话当成一件工具去用，而且用它撬开了数论里啃不动的题。

5、11、17、23…… 会不会有一天就没了

首项与公差互素，那条等差数列里就有无穷多个素数——用分析的办法证出来的数论定理。

L(s, \chi) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\chi(n)}{n^{s}}

除以 6 余 5 的素数写出来是 5、11、17、23、29……看着不会断，可凭什么？勒让德猜过这件事，高斯在《算术研究》里记下了这个猜想，欧拉更早就断言过公差与首项都是 1 的情形，但谁也证不出来。1837 年 7 月 27 日，狄利克雷在柏林科学院宣读了证明：只要首项与公差没有公因子，那条等差数列里就有无穷多个素数。办法接的是欧拉——欧拉 1737 年已经用「素数倒数之和发散」证过素数有无穷多个——新东西是一组按剩余类取值的乘性函数，今天叫狄利克雷特征，每个特征配一条级数，也就是 L 函数。把这些级数按特征叠加，恰好能把不在那一类里的素数消掉，剩下的就是要数的那些。整个证明最后压在一根钉子上：每个非主特征的 L 函数在 s = 1 处都不能取零。是零，这套办法立刻塌掉；不是零，无穷多就出来了。分寸要拿准：这不是「第一次把分析用进数论」，欧拉早就做过；准确的说法是解析数论作为一门学问从这一篇开始。而且 1837 年那篇里，他只对素数模证出了 L(1, χ) 不为零，一般的模要靠他两年后那条把 L 值与二次型类数联系起来的公式。

数到 X = 200000

5、11、17、23、29…… 这些数除以 6 都余 5。这样的素数会不会有一天就没有了？ 1837 年狄利克雷证明：只要首项与公差互素，这条等差数列里就有无穷多个素数。勒让德猜过它，高斯在《算术研究》里记下过这个猜想，可谁也证不出来。狄利克雷的办法是欧拉那一路的延伸——欧拉 1737 年已经用 Σ1/p 发散证过素数有无穷多个——新东西是用一组「特征」把素数按剩余类筛开，每个特征配一条级数，也就是今天说的 L 函数。整个证明最后落在一根钉子上：每个非主特征的 L(1, χ) 都不能是零。是零，这套办法就塌了；不是零，无穷多就出来了。右边那几个数是当场加出来的，模 4 那个正是 π/4。这篇论文之后，数论多了一整条路：用连续的东西去数离散的东西。要说清楚的是，它不是「第一次把分析用进数论」，欧拉早就做过；它是解析数论这门学问的起点。另外 1837 年那篇只对素数模证到了 L(1, χ) 不为零，一般的模要靠他后来的类数公式。

取最小的那一个

能量最小的那个函数就是解——一句好用得不像话的话，八十年后才被补上漏洞。

D(u) = \int_{\Omega} |\nabla u|^{2} \, dx \quad \longrightarrow \quad \min

给一块板子，边界上的温度定死，内部的稳定温度分布满足 Δu = 0。怎么知道这样的解存在？狄利克雷在柏林的课上用的是这样一句话：在所有边界值相同的函数里，能量积分取最小的那一个，就是解。理由听上去无懈可击——能量非负，必有下确界；取到下确界的那个函数一做变分，方程自己就出来了。黎曼 1847 至 1849 年在柏林听过这些课，1857 年那篇讲阿贝尔函数的论文里，他把整套复变函数论架在这句话上，并以老师的名字叫它狄利克雷原理，理由是「狄利克雷教授告诉我，他在课上一直用这个办法」。有意思的是，这条原理最早并不是狄利克雷用的：格林 1835 年、高斯 1839 年、汤姆孙 1847 年都用过，黎曼知道这件事，还是用了老师的名字；而狄利克雷本人一个字也没发表过，那些课要到 1876 年才由学生整理成书。漏洞在「取到」两个字上。1870 年 7 月 14 日，魏尔斯特拉斯在柏林科学院拿出一个一维的例子：同样是求一个非负积分的最小值，下确界是 0，却没有一个允许的函数取得到 0。黎曼的一批结论一夜之间悬了空。救回它的是希尔伯特：1900 年在德国数学会的讲演里给出补上条件后的证明，1904 年扩写成《数学年刊》上那一篇。办法是不去指望最小值自动存在，而是直接去造极小化序列的极限——变分法的「直接方法」由此成形，也成了二十世纪偏微分方程的常规武器，他的第二十问题问的就是这件事能推到多远。

扰动 a = -0.2ε = 0.08

要在一块板上解 Δu = 0、边界值给定，狄利克雷在柏林的课上用的是这样一句话：在所有边界值相同的函数里，能量 ∫|∇u|² 最小的那一个，就是解。能量非负，所以有下确界；取到下确界的那个函数，一变分就满足 Δu = 0。黎曼 1857 年把整套复变函数论架在这句话上，并以老师的名字叫它「狄利克雷原理」——虽然格林 1835 年、高斯 1839 年、汤姆孙 1847 年都先用过，而狄利克雷本人一个字也没发表。漏洞在「取到」两个字上。1870 年 7 月 14 日，魏尔斯特拉斯在柏林科学院拿出右边这个例子：同样是求一个非负积分的最小值，下确界是 0，却没有一个允许的函数取得到 0——ε 越小能量越小，而 ε = 0 那条线在原点断开了，根本不是一个候选。黎曼的许多结论一夜之间失去地基。救回它的是希尔伯特：1900 年他在德国数学会的讲演里给出补上条件后的证明（1904 年扩写成《数学年刊》上那篇），办法是直接去造那个极小化序列的极限，变分法的「直接方法」由此成形，也成了二十世纪偏微分方程的常规武器。

那本随身带了一辈子的书

高斯的《算术研究》，他出门也带着，像牧师带着祈祷书。

1822 年 11 月，母亲把一本《算术研究》寄到巴黎给他。萨托里乌斯 1856 年那本《高斯回忆录》里记着：这本书他从不上书架，一直摊在书桌上，出门旅行也带着，像有些牧师随身带着祈祷书。他多半是第一个真正读透这部书的德国数学家——这部书出了名地难，高斯把脚手架全拆了。1849 年高斯在哥廷根过博士五十周年，据说老人随手扯了一张纸要点烟斗，狄利克雷一看是《算术研究》的原稿，赶紧抢了下来，此后一直珍藏，他去世后那张纸在遗物里找到了。他与雅可比的交情也在这一路上。1843 年雅可比病重，是狄利克雷拿着病历去求洪堡，洪堡上达国王，当场批了两千塔勒送他去意大利过冬；回程狄利克雷自己病倒、假期一延再延，换成雅可比替他在军事学院和大学代课，替他保住了薪水。1846 年海德堡来挖人，12 月 21 日雅可比写信给洪堡替他争待遇（这封信收在洪堡与雅可比的通信集里），信里有这样一段：论严格，他一个人知道什么叫完全严密的证明——不是我，不是柯西，也不是高斯；高斯说他证明了某件事，我觉得很可能是真的，柯西说，那就是赌哪一边都行，狄利克雷说，那就是确定的。还有一桩常被讲反的事：1833 年 7 月 2 日长子瓦尔特出生，岳父亚伯拉罕·门德尔松正在伦敦出差，回信道喜时忍不住抱怨——我不向狄利克雷道贺，至少不写信道贺，因为他连这样的时候都狠得下心一个字不写给我；他哪怕写一句「2 + 1 = 3」也好啊。传来传去，这句话成了「狄利克雷发电报报喜只写了 2+1=3」，正好把笑点弄反了。

故事展签故事展签：一本随身的书、一封替朋友争待遇的信，和一句被传反了的「2 + 1 = 3」。

传承

他的工作没有留在十八世纪——每条链的终点，都是你今天正在使用的东西。

有理点取 1、无理点取 0⟶函数与它的表达式分家⟶今天每一本教材第一章里的函数定义

傅里叶级数收敛的第一个判据⟶跳跃处收到中点；一百四十年的边界之争⟶今天音频与图像压缩里对边缘的处理，以及一切信号处理的收敛保证

算术级数里有无穷多素数⟶狄利克雷特征与 L 函数：解析数论开张⟶今天素数的分布估计，以及 RSA 选素数时能搜到多密

抽屉原理与丢番图逼近⟶无理数被分数逼到 1/q² 以内⟶采样与混叠、齿轮与闰年，以及算法里估计哈希碰撞的那一步

狄利克雷原理：取能量最小的那个⟶魏尔斯特拉斯挑出漏洞，希尔伯特用直接方法救回⟶变分法与有限元：今天桥梁、机翼与芯片散热的数值模拟

单位定理与类数公式⟶代数数论的两根支柱，经戴德金长出「理想」⟶数域筛法：大整数分解与 RSA 的安全边界

语录

「若设 φ(x) 在 x 取有理值时等于某个确定的常数 c，取无理值时等于另一个常数 d，就得到一个不满足这个条件的函数的例子。这样定义出来的函数对每个 x 都有确定的有限值，可是不能把它代进级数里去，因为级数里那些积分在这种情形下失去了一切意义。」
—— 1829 年《论用来表示任意函数的三角级数的收敛性》末段，Crelle 杂志第 4 卷第 157–169 页；法文原文的大意，未据已出版的中译本

「完全不必要求 y 在整个区间上按同一条规律依赖于 x，甚至不必设想这种依赖能用数学运算表达出来。」
—— 1837 年《论用正弦与余弦级数表示完全任意的函数》，《物理学汇刊》第 1 卷；德文原文的大意。这句话所在的那一段，字面上定义的是连续函数

「每一条首项与公差没有公因子的无限等差数列，都含有无穷多个素数。」
—— 1837 年那篇论文的标题，7 月 27 日宣读于柏林科学院；完整证明载于科学院 1837 年度《论文集》第 45–71 页