Ibn al-Haytham (Alhazen) · 965–约1040

海什木

他让几盏灯和一个孔替光作证，也把托勒密的书逐条列出了疑问

\sum_{k=1}^{n} k^4 = \frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}

四次方之和 · 《论抛物体的测量》 · 为了求一个绕底边旋转的抛物体

伊本·海赛姆，中文常译作海什木，中世纪欧洲叫他 Alhazen。他 965 年前后生于巴士拉，这个年份是倒推出来的：他在 1027 年底写的一篇自述里说，自己已满六十三个太阴年。据说早年在巴士拉一带做过官，后来到了开罗，余生大概都在那里；传记家转述，他晚年每年抄一部《原本》、一部《天文学大成》和一组「中间书」，卖得的钱够过一年。他怎么从伊拉克到的埃及，有一个装疯的故事，几个版本对不上（见故事展签）。卒年大约在 1040 年，有人见过他 1040 至 1041 年间亲笔抄的一卷几何书。十三世纪的传记家抄下了他的三份书目，数学著作与光学、天文、哲学著作各有几十种。（书目上的名字前后不一，有学者据此主张其实是两个同名的人，多数研究者不同意。）

他最重要的书是七卷《光学》，约写于 1028 至 1038 年之间。书里主张视觉是光从物体进入眼睛，而不是眼睛放出视线；更要紧的是写法：先做实验、再下结论，结论用几何证明。十二世纪末或十三世纪初，它被不知名的译者译成拉丁文，题为《论视觉》；罗吉尔·培根、维特洛、佩卡姆的光学都从它出发，1572 年里斯纳在巴塞尔把它印成书之后，开普勒、斯涅尔、费马、哈里奥特都在著作里直接引过「阿尔哈曾」。晚年他又写了《对托勒密的质疑》，逐条指出《天文学大成》《行星假说》与《光学》里说不通的地方——例如托勒密给月亮和行星设的有些圆周，当成真实的天球根本转不起来。他一边写书纠正前人，一边在同一本书的开头提醒读者：也要怀疑自己。

《光学宝库》书前木刻 · 里斯纳编，巴塞尔 1572，哈佛大学霍顿图书馆藏本，Wikimedia Commons，公有领域。他没有画像传世。这一卷印的是他七卷《光学》的拉丁译本（与维特洛的光学合印），题头的拉丁文大意是「光学所论的三种视觉：直视、反射、折射」——画里有彩虹、镜子、被聚光点着的战船，还有站在水里的人。

生平

965
生于巴士拉
由他 1027 年自述里「六十三个太阴年」倒推。「巴士拉人」是他名字里的称号。
1021
哈里发哈基姆去世
据十三世纪伊本·基夫提的故事，海什木为治尼罗河被召到埃及，事不成而装疯，到这一年才「病愈」。各家记载不一。
1027
自述与第一份书目
写于回历 417 年末。数学著作二十五种，物理与形而上学著作四十五种。
1028–1038
七卷《光学》
只见于第三份书目，学者据此定年。第一卷讲视觉与光，第四到第六卷讲反射，第七卷讲折射。
1038
第三份书目截止
10 月 2 日，共九十二种。《对托勒密的质疑》《论日食的形状》都写在《光学》之后。
约1040
卒于开罗
有人见过他 1040 至 1041 年间亲笔抄的一卷几何书，所以卒年不早于此。
约1200
《光学》的拉丁译本
《论视觉》（De aspectibus），译者不详，缺第一卷的前三章。已知最早的抄本是 1269 年的。
1572
里斯纳《光学宝库》
巴塞尔印行，他的七卷与维特洛的十卷合为一册。欧洲的数学家从此都读得到他。
1604
开普勒《对维特洛的补充》
中世纪那条从海什木到维特洛的光学传统，在这里走到终点：小孔成像与视网膜上的像都讲清了。
1669
惠更斯重解海什木问题
嫌原证「冗长乏味」，自己另作；1672 年才改到满意。用的仍是圆与双曲线相交。
1771
拉格朗日证明威尔逊定理
海什木当作素数性质来用的那句话：p 能整除 (p−1)! + 1。
1965
海什木问题被证尺规不可作
埃尔金证明，一般情形只用直尺和圆规作不出反射点；1997 年诺伊曼又独立证了一次。

展品厅

绝大多数展品都可以亲手把玩——这是本馆的立馆之本；少数以叙述为主的，做成故事展签。

镇馆之宝 · 亲手玩

海什木问题：圆镜上的那一点

光源和眼睛位置已定，镜子是圆的，光在哪一点反射？他借一条双曲线作了出来；九百多年后才有人证明，光靠直尺和圆规作不出。

\frac{d}{d\theta}\left(|AP| + |PB|\right) = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \angle i = \angle r

平面镜上的反射点一作就出来：把眼睛翻到镜子背后，连一条直线就是（海伦那件）。海什木在《光学》第五卷要回答的是一般的问题：光源与眼睛的位置给定，镜子是球面、柱面或锥面，凸的或凹的，光在镜面上哪一点、或者哪几点反射到眼睛？球面镜可以化到过这两点与球心的那个截面上，镜子成了一个圆，题目就变成在圆上找一点，让那一点的法线正好平分它到两点的夹角。难就难在这不再是一道尺规作图题。他先证了六条引理，关键一步借助一条双曲线与圆的交点来完成，引的是阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》，再逐类讨论：凸球面镜上反射点只有一个；凹的锥面镜、柱面镜上可以有多个，但不超过四个。六百多年后，巴罗在讲义里说他的证明「冗长得可怕」，惠更斯 1669 年给出自己的解，1672 年才改到满意——用的仍是圆与双曲线相交这个念头。写成代数，它是一个四次方程；1965 年埃尔金、1997 年诺伊曼先后证明，一般情形不能只用直尺和圆规作出。演示里还有一件平面镜上看不到的事：凹镜里的反射点可以有四个，其中一半并不让路程最短，而是附近最长。所以「光走最短的路」并不准确，准确的说法是光路长度取驻值——今天物理书里的费马原理，写的正是这一句。

拖动光源与眼睛，看圆镜上的反射点有几个，哪些是附近最短、哪些是附近最长

光从 A 出发，在圆镜上反射一次到达眼睛 B：反射点在哪？条件只有一条，入射角等于反射角，也就是那一点的法线（过圆心的虚线）正好平分两条光线的夹角。平面镜上这样的点只有一个，而且是最短的路；圆镜上就不一样了。凸镜上最多一个；凹镜里有两个或四个，其中一半并不是最短，而是附近最长—— 下方曲线上它们是驻点，有谷也有峰。拖动 A、B，看反射点怎样出现、合并、消失。海什木在《光学》第五卷借一条双曲线与圆的交点把它作了出来；一般情形不能只用直尺和圆规作出，要到 1965 年才有人证明（1997 年又被独立证明一次）。

几盏灯，一个孔，一面墙

遮住哪一盏灯，暗处墙上就只少哪一块光——光沿直线走，交叉而过也互不混淆。

d_{\text{光斑}} = d_{\text{孔}} \cdot \frac{D + L}{D}

看见东西，是眼睛放出视线去「够」到物体，还是物体有什么进到眼睛里？希腊人为此争了几百年，欧几里得与托勒密的光学站在前一边。海什木站到后一边：从眼睛发出的光线是「多余而无用的」，物体上每一点都向四面八方发光，其中垂直射入眼睛表面的那些不经折射直通进去，视觉由此而来。他的论证处处落在能动手做的实验上。《光学》第一卷里有这样一个：在一处地方的不同位置摆几盏灯，都对着一个通向暗处的孔；暗处在孔的对面立一面墙，或者举一块不透光的东西。墙上就会分别出现几块光，灯有几盏，光就有几块，每一块都与一盏灯隔着孔在同一条直线上。遮住一盏灯，只有与它相对的那块光消失；挪开遮挡，那块光又回来。结论是：光在空气里并不混合，各自沿着直线传播。他还说，任何人找个黑夜，在一间有两扇门的屋子里就能自己做——把门缝掩到只剩一个小孔，墙上又是一块块分开的光，大小随孔而定。这还不是照相机：《光学》的英译者萨布拉指出，书里并没有讨论小孔成的像。那是另一篇《论日食的形状》：日偏食时阳光穿过小圆孔落在墙上是月牙形的，为什么新月的光穿过同一个孔却是圆的？他在那里用数字例子讨论孔的大小、孔到墙的距离与光源的大小之间的比例怎样决定像的形状——孔够小，像跟着光源走；孔大了，像就跟着孔走。六百年后，开普勒在《对维特洛的补充》里把小孔成像的道理讲完整，也讲清了眼睛里的视网膜上是一幅倒像。

孔的大小

暗室的墙上开一个小孔，外面点几盏灯，对面的墙上就出现几块光斑，上下颠倒；遮住哪一盏，就只少哪一块。海什木由此说：光从发光物的每一点出发沿直线传播，许多束光在孔里交叉而过，互不混淆。孔开大，光斑变大变糊；孔开小，变暗变清楚。换到「日偏食」：太阳不是一个点，屏上的像是倒过来的日面与孔的形状叠在一起—— 孔比太阳像小得多，看得见倒月牙；孔一大，月牙就被抹成了孔的形状。

为了一个抛物体，先算四次方之和

一块抛物线弓形绕底边转一圈，体积是外接圆柱的 8/15——算到这一步，先得知道 1⁴ + 2⁴ + … + n⁴。

V = \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{5}\right) V_{\text{圆柱}} = \frac{8}{15}\, V_{\text{圆柱}}

抛物线弓形绕它的轴转一圈，得到一个碗形的抛物体，体积是外接圆柱的一半。阿基米德证过这件事，但阿拉伯学者手里没有他那本《论劈锥曲面与旋转椭圆体》，九世纪的萨比特·伊本·库拉、十世纪的库希都各自重新做过。海什木在《论抛物体的测量》的序言里说，萨比特的书冗长难读，库希只证了两种抛物体里的一种：容易的那一种。难的那一种，是让弓形绕它的底边——与轴垂直的那条弦——转一圈，得到一个两头尖的纺锤。把它切成一层层薄片，每层面积正比于 (1 − y²)²，展开有一项 y⁴，各层加起来就躲不开四次方之和。于是他先写了几条整数幂和的引理，从一次方、平方、立方一直到「平方的平方」。推法是一条递推：n + 1 乘以 k 次方之和，等于 k + 1 次方之和，加上前面每一段 k 次方之和的总和。证明只拿 n = 4 这个具体的数一步步做完，末了说对任何数都一样——今人管这叫「可推广的例子」。由此他得到四次方之和：取最大数的五分之一再加五分之一，乘最大数，再乘最大数加二分之一，再乘「最大数与它加一之积减去三分之一」，写成今天的式子就是 n(n+1)(2n+1)(3n²+3n−1)/30。有了它，他用内接与外切的两叠薄圆柱把体积夹住，得出这个纺锤是外接圆柱的「三分之一加五分之一」，也就是 8/15。他只做到四次方就停了——这道题只用得着平方与四次方。把任意次方之和写成一条带着同一串常数的公式，要等六百多年后的雅各布·伯努利。

每边层数 n = 10

一块抛物线弓形绕一条直线转一圈，得到的立体占外接圆柱的几分之几？绕轴转，每层圆盘的面积跟高度成正比，加起来只要一次方之和，得 1/2——阿基米德算过。绕底边转，每层面积正比于 (1 − y²)²，展开后出现 y⁴，加起来就得知道 1⁴ + 2⁴ + … + n⁴ 是多少。海什木先证出了这个和的公式，再用内接、外切两叠圆盘把体积夹住，得到 8/15。拖动层数，看两叠圆盘怎样从两边逼近。

两弯新月，一个三角形

直角三角形两条直角边上各画一个半圆，露出来的两弯新月加起来，正好等于那个三角形。

S_{\text{新月}_1} + S_{\text{新月}_2} = S_{\triangle ABC}

化圆为方——作一个与已知圆面积相等的正方形——是希腊人留下的难题。约公元前 440 年，希俄斯的希波克拉底找到了一线希望：有些以圆弧为边的图形，面积恰好等于直线围成的图形。他的例子是一弯特殊的新月，立在圆内接正方形的一条边上，也就是等腰直角三角形的一条腰上。海什木在讲新月的书里把它推到任意直角三角形：以斜边为直径作半圆，三角形内接其中，再在两条直角边上各向外作半圆，露在大半圆外面的两弯新月，面积之和等于三角形。他在书里说，古人讲过其中一部分，但那是个特殊情形，只限于内接正方形一边上的那一弯；这里证明的是普遍的。证明几乎只要一行：两个小半圆之和等于大半圆——半圆面积与直径的平方成正比，这就是勾股定理；两边同时减去大半圆里三角形之外的两块弓形，左边剩下两弯新月，右边剩下三角形，π 在减法里消得干干净净。他为新月写过不止一篇文章，还在一篇论化圆为方的文章里说，与圆等积的正方形是存在的——存在，却没有作出来；据拉希德的研究，他后来那篇讲新月的长文已不再以化圆为方为目标。这条路确实走不通：1882 年林德曼证明 π 是超越数，只用直尺和圆规化圆为方是不可能的。可两弯新月的等式留了下来，成了「曲线围成的面积也能精确地化成直线围成的面积」最干净的一个例子。

直角顶点的位置

直角三角形的斜边是半圆的直径。在两条直角边上各向外画一个半圆，露在大半圆外面的是两弯新月。不管直角顶点 C 挪到哪里，两弯新月加起来总是正好等于三角形：两个小半圆之和等于大半圆（勾股定理），两边同时减去大半圆里多出来的两块弓形即可——π 在减法里整个消掉了。等腰时每一弯各占三角形的一半，那是两千多年前希波克拉底的新月；海什木把它推到任意直角三角形。

被 2、3、4、5、6 除都余 1

还要能被 7 整除。他给了两个答案，721 与 301——前一个里藏着一条七百多年后才被证明的定理。

(p-1)! + 1 \equiv 0 \pmod{p}

在一篇讲数的短文里，海什木问：找一个数，除以二余一，除以三余一，除以四、五、六都余一，除以七没有余数。他给了两种办法。第一种：把 2 到 6 这几个数连乘，再加一——720 加 1，得 721。前一半显然：720 被 2 到 6 都整除，加一之后除以它们自然都余一。要紧的是后一半：721 为什么恰好被 7 整除？他把这当成素数的一条必然性质来用：p 是素数时，1 × 2 × … × (p − 1) 再加一，就能被 p 整除，而除以 2 到 p − 1 都余一。这句话今天叫威尔逊定理。他证明过没有，已经无从知道；拉希德认为他可能有办法证，但没有同时代的文献可以作证。第二种办法是为了说明解不止一个、而有无穷多个：被 2 到 6 除余一的数都是 60 的倍数加一，一个个往下试，60 的五倍是 300，加一得 301，就被 7 整除了。欧洲这边，莱布尼茨在一份没有发表的笔记里写过同一句话；1770 年华林在《代数沉思》里把它归给约翰·威尔逊，没有给证明；第一个证明出自 1771 年的拉格朗日。同一条定理在两个世界里各被看见一次，名字留给了后到的那个。他在数论里还做过一件事：欧几里得证过，2ⁿ − 1 是素数时，2ⁿ⁻¹(2ⁿ − 1) 是完全数；海什木反过来断言完全数只能是这个样子，并试着证明，没能证全。偶完全数的这一半，要到欧拉才补上。

被 2、3、4、5、6 除都余 1，又能被 7 整除的数是多少？被前五个数除余 1 的数，是 60 的倍数加 1；它们被 7 除的余数一个个轮过去，到 60 的五倍加一就碰上 0：301。海什木另给了一个对任何素数都行的答案：把 1 到 p − 1 乘起来再加 1。6! + 1 = 721 = 7 × 103。前一半是显然的，后一半——p 总能整除 (p − 1)! + 1—— 七百多年后才被证明，今天叫威尔逊定理。下方那一圈是后来的一种证法：每个数和它的「倒数」配对，乘起来都余 1，剩下的 1 与 p − 1 乘积是 −1。换成合数，有的数找不到搭档，也就没有解。

尼罗河上没有建成的那座坝

据说他夸口能治住尼罗河，到了阿斯旺才知道做不到，只好装疯。这个故事至少有三个版本。

他怎样从伊拉克到了开罗，最有名的讲法出自十三世纪的伊本·基夫提：海什木说过，他能在尼罗河上造一处工程，调节河水的涨落；法蒂玛王朝的哈里发哈基姆听说了，把这位已经出名的数学家请到埃及，派他带人往南察看。走到阿斯旺以南的瀑布区，他发现地形和自己设想的不一样，这事办不成。回来之后他怕哈基姆——此人以喜怒无常出名——于是装疯，被关在家里，一直到 1021 年哈基姆死了才「好」起来，搬到爱资哈尔清真寺附近住下。这个故事好听，也常常被接着讲下去：他就是在软禁的那些年里写出了《光学》。可是细看，破绽不少。和伊本·基夫提同时代的另一位作者记下的版本里，装疯发生在巴士拉，为的是辞掉一个官职，既没有哈基姆，也没有尼罗河；更早的贝哈基又讲了第三种：他和哈基姆在一家客栈外草草见了一面，随后逃去了叙利亚——研究他最深的萨布拉认为这一版没有旁证，应当舍弃。至于《光学》，它只出现在第三份书目上，那份书目从 1028 年记到 1038 年，学者据此把写作放在这十年里，那已是哈基姆死后七年以上的事。萨布拉对伊本·基夫提那一版的评价是「很可能是真的」，但各家细节对不上。所以这里能说的只是：一个夸口治河、装疯避祸的故事，挂在了一位最讲究证据的人身上。他自己在《对托勒密的质疑》开头写过，读前人的书要把自己当成它的敌人，从各个方面去攻它——拿这个态度来读关于他的传说，正合适。

故事展签故事展签：一座没建成的坝、一场装出来的疯病，和三份对不上的记载。

传承

他的工作没有留在十八世纪——每条链的终点，都是你今天正在使用的东西。

几盏灯与一个孔：光沿直线、互不混淆⟶开普勒《对维特洛的补充》：小孔成像与视网膜上的倒像⟶暗箱、照相机与图形学里的针孔相机模型

圆镜上的反射点⟶惠更斯重解：圆与双曲线相交⟶四次方程；1965 年证明尺规作不出

四次方之和与抛物体的 8/15⟶雅各布·伯努利：任意次方之和与伯努利数⟶积分 ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1)

(p − 1)! + 1 被 p 整除⟶华林 1770 年发表、拉格朗日 1771 年证明⟶威尔逊定理：素数的一条充要条件

《光学》的拉丁译本《论视觉》⟶培根、维特洛、佩卡姆的中世纪光学⟶开普勒、斯涅尔、费马都直接引过他

语录

「真理是为它自身而被追求的……所以，追求真理的人，不是研读古人的著作、顺着天性就信了它们的人，而是怀疑自己对它们的信任、质问从中所得的人；是服从论证与证明的人，而不是服从一个人的言说——人的天性里满是种种缺陷与不足。」
—— 《对托勒密的质疑》开篇 · 据萨布拉英译转译（见其《海什木的光学》英译本注释）

「研读科学家著作的人，若以求得真理为目的，就该把自己当作所读一切的敌人，从正文到边角用心推敲，从各个方面去攻它；在批评它的时候，也要怀疑自己，免得落入偏见，或者手下留情。」
—— 同上，紧接前一段 · 据萨布拉英译转译

「我们在一切审视与检查之中，都要秉持公正，不追随偏见；在一切判断与批评之中，都要寻求真理，不为意见所左右……尽管如此，我们并不能免于人天性里的那份浑浊；但我们必须以所具有的人的能力，尽力而为。」
—— 《光学》第一卷开篇 · 据萨布拉英译本（1989）转译