Augustin-Louis Cauchy · 1789–1857

柯西

「无限接近」这四个字，到他手上才变成一条可以当场检验的不等式

f(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz

柯西积分公式 · 边界上绕一圈的值，把里面每一点都定死了

柯西 1789 年 8 月生于巴黎，那时距巴士底狱被攻破只有五个星期。父亲是警察中尉，恐怖时期带全家躲到城南的阿尔克伊，隔壁就住着拉普拉斯，不远处是化学家贝托莱——两人办的「阿尔克伊学会」是当时法国科学的中心。拉格朗日见过这个孩子，劝他父亲别急着让他碰数学，先把语文学好。十六岁他考进综合工科学校，二十一岁被派到瑟堡修军港，行李里带着拉格朗日的《解析函数论》与拉普拉斯的《天体力学》。工余写出的第一篇成名作，是证明凸多面体是刚的。

回到巴黎之后他做了两件事。一件是把分析重新奠基：在他之前，「无限接近」「无穷小」都是些说得出、验不了的话，欧拉那一代可以放心地给发散级数求和；1821 年的《分析教程》把极限、连续、收敛、导数、积分统统改写成「差可以任意小」的说法，并宣布一个发散级数没有和。另一件是在复平面上开出一门新学问：围道积分与留数——一条闭曲线上的积分只认它圈住了哪几个点，这套东西今天还在每一个控制系统的稳定判据里跑着。他一生写了七百八十九篇论文，仅次于欧拉，科学院被他的长稿逼得立下四页的篇幅上限。他是虔诚的天主教徒、顽固的保王党，1830 年拒绝向新国王宣誓而自我流放八年；阿贝尔与伽罗瓦的手稿都曾经他的手，那是这座馆里最难说清的一段公案。

路易·格雷瓜尔与德内石版画，约1840 · 史密森学会图书馆迪布纳藏品，公有领域

生平

1789
生于巴黎
巴士底狱被攻破后五个星期。恐怖时期全家避居阿尔克伊，邻居是拉普拉斯与贝托莱。
1805
考进综合工科学校
十六岁。拉格朗日曾劝他父亲：先让孩子学好语文，别急着碰数学。
1810
去瑟堡修军港
为拿破仑的入侵计划当工程师。带去的书里有拉格朗日的《解析函数论》与拉普拉斯的《天体力学》。
1811
凸多面体是刚的
二十二岁的成名作：各面的形状一旦定下，整个多面体就再也动不了。
1814
复积分的第一篇备忘录
沿不同路径积分为什么会得到同一个值——柯西积分定理的雏形。
1821
《分析教程》
极限、连续、收敛第一次有了可检验的说法。「一个发散级数没有和」就写在这本书的前言里。
1826
留数
围道积分的值归给那几个点，每圈住一个就多收一份 2πi。
1830
拒绝宣誓，流亡
七月革命后他不肯效忠路易·菲利普，去了都灵，又到布拉格给波旁王朝的王子当家教，八年后才回巴黎。
1857
卒于索镇
七百八十九篇论文，仅次于欧拉。科学院曾被他的长稿逼得立下四页的篇幅上限。

展品厅

绝大多数展品都可以亲手把玩——这是本馆的立馆之本；少数以叙述为主的，做成故事展签。

镇馆之宝 · 亲手玩

「无限接近」到底有多近

在他之前这是一句形容，在他之后这是一场你出 ε、我出 δ 的游戏。

\forall \varepsilon > 0, \ \exists \delta > 0: \ |x - x_0| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(x_0)| < \varepsilon

牛顿说「消逝量的最终比」，莱布尼茨直接写 dx，两个人都算得对，可谁也说不清那个无穷小到底是什么。1734 年贝克莱主教挖苦道：那些消逝的增量既不是有限量，也不是无穷小，又不是零，难道是「消逝量的鬼魂」？这个嘲讽悬了将近一百年。柯西的办法是把问题反过来问：不要问无穷小「是什么」，只问它「能被多小的数挡住」。于是极限有了当场可验的说法——你先给我一个误差 ε，要多小有多小；我必须拿出一个 δ，使得 x 与 x₀ 的距离小于 δ 时，f(x) 与 f(x₀) 的距离一定小于 ε。你出招我接招，接得住就叫连续，接不住就不叫。请注意这里面再没有「不断趋近」这类描述过程的话，只剩两个数和一句「若……则……」：运动被换成了不等式，而不等式是可以检验的。柯西自己仍常用文字叙述，ε 与 δ 这两个字母也是他先用起来的；把它彻底写成静态不等式的，是半个世纪后的魏尔斯特拉斯。今天全世界的数学分析，第一章讲的都是这场游戏。

拖 ε 把带子收紧，看 δ 跟着缩；换成断开的那条函数，δ 就再也找不着了

ε = 0.0606

牛顿说「消逝量的最终比」，莱布尼茨直接写 dx，谁也说不清那个无穷小到底是什么，贝克莱主教便讥之为「消逝量的鬼魂」。柯西的办法是把问题反过来问：不要问无穷小是什么，只问它能被多小的数挡住。于是极限成了一场对局——你出 ε，我出 δ，接得住就叫连续。断开的那条函数接不住：ε 一旦小过跳跃的高度，竖带再窄也没用，左边的点永远够不着 f(x₀)。这正是定义该有的样子：它不但说得清什么是连续，还当场指得出哪里不连续。ε 与 δ 这两个字母是柯西先用起来的，把它彻底写成静态不等式的是半个世纪后的魏尔斯特拉斯。

不知道极限是什么，也能断定它收敛

判据里不许出现极限本身——正是这一步，让实数补得起来。

\forall \varepsilon > 0, \ \exists N: \ m, n > N \Rightarrow |a_m - a_n| < \varepsilon

要断定一个数列收敛，最自然的办法是拿它和极限比；可麻烦常常是极限还不知道是什么，甚至根本不存在。柯西给了一个只看数列自己的判据：从某一项往后，任意两项之间的距离都小于 ε。满足这条的数列叫柯西列——说它收敛，不需要事先知道收到哪儿去。这一步比看上去要深。（调和级数没有上限这件事不是柯西证的，比他早四百多年：馆里奥雷姆那件展品用「按 2 的幂分组」两行就说完了。柯西的判据只是给它一个新说法——它连柯西列都不是。）取 1、1.4、1.41、1.414、1.4142……，这是一列有理数，任意两项之间要多近有多近，它是柯西列；可它在有理数里没有极限，因为 √2 不是有理数。同一列数，在实数里收敛，在有理数里无家可归——差别不在数列，在它住的那个空间。「每个柯西列都收敛」这条性质于是有了名字，叫完备性：它正是实数比有理数多出来的那样东西。1872 年康托尔干脆倒过来用，把实数直接定义成有理柯西列的等价类，缺口自己就补上了。今天这条判据在两处天天上班：泛函分析里，完备的赋范空间叫巴拿赫空间，完备的内积空间叫希尔伯特空间，馆里希尔伯特那件展品站的就是这块地基；而任何一段迭代求解的代码，判断「算完了没有」的那一行，写的都是「两次结果之差小于 ε」——那是柯西判据的工程版本。

从第 3 项往后看

要断定一个数列收敛，最自然的办法是拿它和极限比——可极限常常还不知道是什么。柯西给的判据只看数列自己：从某一项往后，任意两项之差都小于 ε。两条曲线正好说明这句话的两半。调和级数的部分和，相邻两项之差明明趋于零，却不是柯西列：取 m = 2N，两项之差始终约 0.693，所以它一路发散——柯西条件要的是任意两项。 √2 的十进制截断则相反，它是柯西列，可每一项都是有理数而极限不是：同一列数在实数里收敛，在有理数里无家可归。「每个柯西列都收敛」这条性质于是有了名字，叫完备性，它正是实数比有理数多出来的东西； 1872 年康托尔干脆倒过来，把实数定义成有理柯西列的等价类。

围道可以随便挪

只要不越过那几个洞，闭曲线怎么扭，积分值都不变。

\oint_C f(z) \, dz = 2\pi i \sum_k \operatorname{Res}(f, z_k)

实变函数里，积分的值当然跟着路径走。复变里柯西发现了一件几乎不讲道理的事：若 f 在一块区域里处处可导（在复数里这是个极强的条件），那么沿这块区域内任何一条闭曲线积分，结果都是零。于是端点相同的两条路给出同一个值，闭曲线还可以随意伸缩扭动——只要不越过那几个 f 失效的点。那些点叫极点。围道每圈住一个，就多收一份固定的过路费：2πi 乘上该点的留数。曲线的形状、长短、离得多远统统不算数，只有「圈住了谁、圈了几圈」算数。一个连续可变的量只能取一串离散的值，这是分析里第一次出现这种事，也是后来拓扑学要讲的第一个故事。用处极其实在：一大批用实变方法算不动的积分，绕到复平面上兜一圈就出来了。工程上更常见——把系统的传递函数写成复变函数，稳不稳定只看极点落在哪半个平面，奈奎斯特判据数的就是围道绕了几圈。拉普拉斯变换、Z 变换、滤波器设计，用的都是柯西这一圈。

围道中心 -1.00半径 0.70变形 0%

实变函数里，积分的值当然跟着路径走。复变里柯西发现了一件几乎不讲道理的事：只要 f 在一块区域里处处可导，沿区域内任何一条闭曲线积分，结果都是零。于是围道可以随意伸缩扭动——只要不越过那几个 f 失效的点。那些点叫极点，围道每圈住一个，就多收一份固定的过路费：2πi 乘上该点的留数。屏幕上那个数是沿着你拖出来的这条曲线真算出来的：把圆揉成花，它一个小数位都不动；越过一个极点，它才跳一档。一个连续可变的量只能取一串离散的值，这是分析里第一次出现这种事。用处极实在——工程上把系统的传递函数写成复变函数，稳不稳定只看极点落在哪半个平面，奈奎斯特判据数的就是围道绕了几圈。

实轴上一路光滑，级数却过不了 1

1/(1+x²) 在实轴上哪里都好好的，答案不在实轴上。

\frac{1}{1+x^2} = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + \cdots \quad (|x| < 1)

把 1/(1+x²) 展成幂级数：1 − x² + x⁴ − x⁶ + …。x 取 0.5 收敛得飞快，取 0.9 慢一些但还行，取 1.1 就彻底发散。奇怪的是这个函数在整条实轴上要多好有多好——处处有定义、处处光滑，x = 1 那里什么事都没发生。级数凭什么在那里停住？柯西的回答是：因为你没往复平面看。把 x 换成复数 z，1/(1+z²) 在 z = ±i 处分母为零。幂级数的收敛区域是一个以展开点为心的圆盘，半径恰好等于展开点到最近那个奇点的距离——这里正是 1。实轴不过是穿过这个圆盘的一条直径，所以实轴上看到的边界 ±1，其实是复平面上那两个点投下的影子。同一套做法用在 e^x 上，级数在整个复平面上收敛，因为它没有奇点可挡。「收敛半径由最近的奇点定」是复分析送给实分析的第一份礼物：它说明有些实数上的现象，答案根本不在实数里。数值计算里也一样——泰勒展开能往外用多远，问的不是函数在实轴上好不好，而是它在复平面上最近的麻烦有多近。

展开点 a = 0.00取到第 12 次项

1 − x² + x⁴ − x⁶ + … 在 x = 0.5 收敛得飞快，到 x = 1.1 就彻底发散。可 1/(1+x²) 在整条实轴上要多好有多好，x = 1 那里什么都没发生—— 级数凭什么停在那里？柯西的回答是：因为你没往复平面看。把 x 换成 z，分母在 z = ±i 处为零；幂级数的收敛区域是一个以展开点为心的圆盘，半径恰好等于到最近那个奇点的距离。实轴只是穿过这个圆盘的一条直径，所以实轴上看到的边界，其实是复平面上那两个点投下的影子。把 a 拖到 1，半径涨到 √2，级数一下子能用到 2.41——收敛半径由最近的奇点定，这是复分析送给实分析的第一份礼物：有些实数上的现象，答案根本不在实数里。

没有平均值的分布

样本越取越多，平均值不但不稳，还会时不时被拽到天上去。

p(x) = \frac{1}{\pi (1 + x^2)}

一盏探照灯装在离墙一米远的地方，灯头转过的角度在正负九十度之间均匀随机，光斑落在墙上的位置就是 x = tan θ。这个 x 服从的分布就是柯西分布，密度 1/[π(1+x²)]。它看上去和正态曲线一样对称、一样有个峰，可两条尾巴天差地别：正态按 e^(−x²/2) 掉下去，柯西只按 1/x² ——慢到积分 ∫|x|p(x)dx 发散，也就是说，它连期望都没有。没有期望，大数定律就管不着它——馆里雅各布·伯努利那件证的是「摸得越多越准」，而那条定理的前提，柯西分布一条都不满足。抽一万个样本求平均，平均值不会稳下来；再抽一万个，照样会被某一个极端值拽走。事实上样本均值的分布和单个样本完全一样，还是那条柯西分布——抽得再多，也没有任何改善。馆里拉普拉斯那件展品说「不管从哪里出发，加起来都是同一条钟形曲线」，这里就是那句话的反例：中心极限定理要的是有限的方差，柯西一个条件都不满足。这不是数学家的怪癖。物理里受激原子发射的谱线是这个形状，金融里资产收益的厚尾、网络流量的突发、数据里的离群点，也都比正态假设下厚得多。尾巴一旦这么厚，「取平均」这个动作本身就不可靠了——鲁棒统计改用中位数，正是因为中位数对柯西照样稳得住。

样本数 n = 82

探照灯离墙一米，灯头转过的角度均匀随机，光斑落在 x = tanθ——这就是柯西分布。它和正态曲线一样对称、一样有个峰，可两条尾巴天差地别：正态按 e^(−x²/2) 掉下去，柯西只按 1/x²，慢到 ∫|x|p(x)dx 发散，也就是说它连期望都没有。没有期望，大数定律就管不着：抽一万个求平均，平均值不会稳下来，再抽一万个照样会被某一个极端值拽走。事实上样本均值的分布和单个样本一模一样，还是那条柯西分布——抽得再多也没有任何改善。馆里拉普拉斯那件说「不管从哪里出发，加起来都是同一条钟形曲线」，这里就是那句话的反例：中心极限定理要的是有限的方差，柯西一个条件都不满足。物理里受激原子的谱线是这个形状，金融里的厚尾、数据里的离群点也比正态厚得多；尾巴一旦这么厚，「取平均」这个动作本身就不可靠——鲁棒统计改用中位数，正是因为中位数对柯西照样稳得住。

经他手的那两份手稿

阿贝尔与伽罗瓦——两人都死在二十几岁，两份稿子都在巴黎耽搁了。

1826 年，二十四岁的阿贝尔把《一类极广泛的超越函数的一般性质》交给巴黎科学院，勒让德与柯西任审稿人。柯西把稿子带回了家，然后就没有然后。阿贝尔 1829 年死于肺结核，这篇被勒让德称作「比青铜更久」的论文直到 1841 年才印出来。1829 年，十七岁的伽罗瓦把关于方程可解性的头两篇论文送进同一个科学院，审稿人还是柯西。「柯西弄丢了伽罗瓦的论文」这句话流传了一百多年，直到 1971 年塔通翻出柯西 1830 年的一封信：他读了，而且建议伽罗瓦把两篇合并重写，去竞逐科学院大奖。真正的遗失发生在之后——合并稿交到傅里叶手里，傅里叶当年去世，稿子从此不见；第三稿 1831 年落到泊松手上，退回时的评语是「无法理解」。所以这一栏不是要给谁定罪。柯西不是反派，他是那个时代最忙也最有分量的审稿人；问题出在那时的科学院几乎没有制度可言——一份稿子交出去，命运全系于某个人的书桌。两位天才的工作因此各迟到了十几年，而他们本人一个都没等到。

故事展签故事展签：两份耽搁的手稿，和一段后来被查清的公案。

传承

他的工作没有留在十八世纪——每条链的终点，都是你今天正在使用的东西。

《分析教程》里的极限定义⟶魏尔斯特拉斯的 ε–δ 与实数的构造⟶今天每一本数学分析的第一章

柯西列与完备性⟶巴拿赫空间与希尔伯特空间⟶迭代算法的停机判据：两次之差小于 ε 就收工

柯西积分定理与留数⟶复变函数论⟶拉普拉斯变换、Z 变换与极点判稳

柯西分布⟶重尾与鲁棒统计⟶谱线的洛伦兹线型、金融里的厚尾

语录

「当同一变量逐次取的值无限接近一个固定值，最终与它的差要多小有多小时，这个固定值就称为所有其他值的极限。」
—— 《分析教程》（1821）第一章对极限的定义。这段话里还没有 ε 与 δ，把它翻译成静态的不等式，是他在讲义里开的头、魏尔斯特拉斯最后定型的

「一个发散的级数没有和。」
—— 同书前言。这一句把 1−1+1−1+… 这类式子逐出了分析——在他之前，这样的级数是可以拿来算的

「至于方法，我力求赋予它们几何学所要求的全部严格性，绝不诉诸从代数一般性中引出的理由。」
—— 同书前言。「代数的一般性」指的是把对有限式成立的算法直接搬到无穷级数上去——欧拉那一代的做法