Johann Heinrich Lambert · 1728–1777

兰伯特

他第一个证明 π 写不成分数，也画出了今天航图与坐标网格的底子——而他推得最远的那一次，是去找一个始终没有出现的矛盾

\tan v = \cfrac{v}{1 - \cfrac{v^2}{3 - \cfrac{v^2}{5 - \cfrac{v^2}{7 - \cdots}}}}

正切的连分数 ·《关于圆与对数超越量的若干显著性质》1768，§7 与 §35。弧与半径可通约时，这串除法就永远停不下来——所以切线与半径不可通约。而 tan(π/4) = 1 是有理数，于是 π/4 不是

约翰·海因里希·兰伯特 1728 年 8 月 26 日生于米卢斯——当时叫米尔豪森，1506 年起便「归附」瑞士联邦，1798 年才被法兰西共和国取走；他一生自称瑞士人，署名写作 Muelhusio-Helvetus。父亲是裁缝，家里七个孩子，他十二岁离开学校去帮父亲缝衣，此后所有的数学都是自己读出来的。十五岁在塞普瓦的铁厂当文书，十七岁给《巴塞尔报》的主编伊瑟林当秘书，二十岁到库尔，当萨利斯伯爵家的家庭教师——那家有一座很好的藏书楼，他在那里读完了能读到的一切，还自己动手磨镜片、做天文仪器。1756 年他带着两个学生游学欧洲：哥廷根见到克斯特纳与托比亚斯·迈尔，七年战争把他挡在乌得勒支两年，随后是巴黎（见到达朗贝尔）、马赛、都灵、米兰。1759 年到奥格斯堡，在那里找到了肯印他书的人——《光度学》1760 年、《宇宙论书简》1761 年。

1764 年欧拉把他请到柏林。腓特烈二世起初不肯任命他，理由是他相貌古怪、衣着奇特、举止不合规矩——那多半来自他的出身与他过分认真的信仰；等到认识了他，这位国王改口说他有「非凡的洞察力」。他进了科学院的物理组，享有一项少见的权利：可以在好几个组里宣读论文；另有一个普鲁士皇家高等建筑参事的头衔。柏林这十三年是他最后的十三年，一生写下一百五十多篇著述，1777 年 9 月 25 日卒于柏林，四十九岁。他的题目一件也不重样：π 不是分数（1767）、平行线（1766）、七种地图投影（1772）、彗星轨道上那条只认三个数的定理（1761）、三项方程的级数解（1758）、把逻辑写成演算的《新工具论》（1764）、《宇宙论书简》里那个一层套一层、大半由暗天体组成的宇宙。贯穿这一切的是同一件事：把某样东西变成可以量的。光可以量（《光度学》）、热可以量（《测热术》）、空气里的水汽可以量（他做过湿度计）——而这份脾气用到几何上，就成了他最有名的那个结论：锐角那一种若成立，连长度本身都会有一个绝对的单位。他名下的东西也有几件不是他先做的：三个直角的四边形海什木一千年前就画过，双曲函数是里卡蒂 1757 年先做并命名的（他自己注明了出处，只改了缩写），而那个以他命名的 Lambert W 函数，他一辈子没有写下来过。

无名氏铜版画（手工上色），约 1770 年，柏林 · Wikimedia Commons，公有领域。他坐在自己的书房里：桌上摊开的那本书，封面上写着 Lambert；桌边斜靠着一把比例尺，右边书架的书脊上一格格写着人名。顶上的飘带写着「Bella odi, pacem diligo」（我恨战争，我爱和平）与「geometrae vera sequuntur, vera sequor」（几何学家追随真理，我也追随真理）。这是他仅有的同时代画像；通行的那幅侧面像，是他去世五十二年后的石印

生平

1728年8月26日
生于米卢斯
当时叫米尔豪森，与瑞士结盟的自由市。父亲是裁缝，家里七个孩子。
1740
十二岁离开学校
帮父亲缝衣；十五岁到塞普瓦的铁厂当文书，十七岁给《巴塞尔报》主编当秘书。此后全靠自学。
1748
到库尔当家庭教师
萨利斯伯爵家。那座藏书楼与自制的天文仪器，是他真正的学校。
1755
第一篇论文
登在《赫尔维蒂学报》上，讲热。同年入库尔的文学会与瑞士科学会。
1758
《纯数学中的若干观察》
解三项方程 x = q + x 的 m 次方，把根展成 q 的幂级数——拉格朗日反演定理的先声，也是两百年后 Lambert W 的源头。
1756–1758
带学生游学欧洲
哥廷根见克斯特纳与托比亚斯·迈尔，滞留乌得勒支两年，再到巴黎见达朗贝尔，然后马赛、都灵、米兰。
1760
《光度学》
奥格斯堡。把「亮」变成可以量的量：余弦定律与吸收律都在这本书里。同年布盖在巴黎出版《光学论》，两人互不知情。
1761
《宇宙论书简》
一层套一层的宇宙：行星绕恒星、恒星成群、群再成群，而其中大半是看不见的暗天体。
1761
《彗星轨道的几条显著性质》
奥格斯堡。第四部分推到椭圆，得出兰伯特定理：飞完一段弧的时间只认半长轴、弦长与两条半径之和。
1761年6月
π 那篇的念头
构思于 1761 年 6 月，1767 年 7 月写成，宣读于 1767 年，印在柏林科学院 1761 年卷（1768 年出书）265–322 页。
1764
到柏林；《新工具论》
欧拉把他请去。腓特烈二世起初因他的相貌与举止不肯任命，后来改口说他有非凡的洞察力。同年那部讲逻辑的《新工具论》出版。
1765
当选普鲁士科学院院士
物理组。他享有在多个组宣读论文的特权，另有皇家高等建筑参事的头衔。
1766年9月
《平行线理论》写成
把锐角那一种推到了底，没有找到矛盾——他没有发表。二十年后才由小约翰·伯努利印出来。
1768
π 不是分数
用连分数证明：弧与半径可通约时切线必不可通约。§89–91 又断言这些量连代数数都不是，并由此指出化圆为方不可能。
1770
双曲函数的那套缩写
他把 sinh、cosh 这套写法带进三角学。名字与这族函数是里卡蒂 1757 年先给的，他自己注明了出处，改的只是缩写。
1772
《关于地图与天图绘制的注记与补遗》
七种新投影，其中三种今天还在用：兰伯特正形圆锥、横轴墨卡托、兰伯特等积方位。开篇先把「一张完美的地图该做到哪五件事」列出来，再说明球面上这五件不能同时满足。
1777年9月25日
卒于柏林
四十九岁。留下一百五十多篇著述，横跨数学、物理、天文与哲学。
1786
《平行线理论》印出
小约翰·伯努利从遗稿里取出，登在《纯粹与应用数学杂志》上，注明「写于 1766 年 9 月」。
1882
林德曼证明 π 超越
他 1767 年写下「这是我相信可以证明的定理」，隔了一百一十五年。

展品厅

绝大多数展品都可以亲手把玩——这是本馆的立馆之本；少数以叙述为主的，做成故事展签。

镇馆之宝 · 亲手玩

π 写不成分数：一串停不下来的除法

他没有直接算 π。他去除两个级数，发现商有规律、余数永不为零——而分数的辗转相除必须在有限步内停下来。

\tan\frac{\Phi}{\omega} = \cfrac{\Phi}{\omega - \cfrac{\Phi^2}{3\omega - \cfrac{\Phi^2}{5\omega - \cdots}}}

1767 年他在柏林科学院宣读的那篇东西，开头一句很坦白：要证明圆的直径与周长不成整数之比，这件事大概不会让几何学家们惊讶。真正值得看的是他接着说的那一句：凡是与半径可通约的弧，它的切线与半径必不可通约；反过来，凡是可通约的切线，都不属于一条可通约的弧。「这个说法看上去应当容许无穷多例外，而它一个例外也没有。」办法是欧几里得的辗转相除，只不过他用来除的不是两个整数，而是 sin v 与 cos v 那两条级数——这是关键的一步转身：对一对还不知道是不是有理数的量，照样可以做辗转相除。商一个接一个出来，而且有一条简单到不像话的规律：第 n 个商是 (2n−1) 除以 v。于是正切成了一条连分数。把弧取成有理数 Φ/ω，渐近分数的分母一层比一层大得离谱——v = 1 时是 1、2、9、61、540、5879、75887、1132426，比任何等比数列都快。可如果切线是个分数，这串除法必须在有限步内停住。停不住，就不是分数。tan(π/4) = 1 是有理数，所以 π/4 不是——π 也就不是。他没有就此打住：第 89 到 91 节里他区分了「无理」与「无理的根式」，断言圆与对数的超越量连代数方程的根都不是，并由此推出圆的周长「不容许任何几何作图」——化圆为方不可能。他写的是「这是我相信可以证明的定理」。那一步要等林德曼 1882 年才走完。

拨动那条有理的弧，看渐近分数的分母怎么甩开等比数列；v = 1 那一档上标着 1768 年印本错掉的两个数

Φ = 1ω = 1

他没有直接算 π，他算的是除法：拿欧几里得辗转相除的老办法去除 cos v 与 sin v，商一个接一个地出来，而且有一条简单到不像话的规律——第 n 个商是 (2n−1)/v。于是正切成了一条连分数，而分母一层比一层大得离谱：v = 1 时是 1、2、9、61、540、5879、75887、1132426，比任何等比数列都快。可如果 tang 是个分数，这串除法必须在有限步内停下来。停不下来，就不是分数。 1768 年的印本在这里错了两处、漏了一处：288 页那一行写的是 …1/(5879·75587) + 1/(75587·1147426)，而照他自己的递推 q = (2k−1)ω·q′ − Φ²·q″ 复算，13·5879 − 540 = 75887、15·75887 − 5879 = 1132426；同一行里 1/(2·9) 那一项也漏掉了。上表里对不上的那两格标成了另一种颜色。

三个直角，第四个角却量出了一把尺子

四边形在三处是直角。第四个角在欧氏几何里永远是 90 度；在锐角那一种里，它由边长定死——于是说出一个角，就等于交出一段长度。

\cos\varphi = \sinh a \cdot \sinh b

这个有三个直角的四边形今天叫兰伯特四边形，可它不是他先画的：海什木一千年前就在同一个图形上把第四个角分成钝、直、锐三种（馆里海亚姆那一页写着这件事），萨凯里 1733 年走的是另一种画法。兰伯特做的是另一件事——他把锐角那一种一直推到底，想撞上矛盾，结果一个也没撞上，反而推出一串自洽的结论。最要紧的那一条写在第 79 节：锐角假设若成立，我们就会有一个绝对的长度单位，绝对的面积单位，绝对的体积单位。这一句推翻的是一条谁都没怀疑过、甚至不算定理的常识——没有这样的绝对单位。第 80 节他给出办法：让四边形的两条边相等，比如各取一巴黎尺，量一量第四个角，比如 80 度；那么以后你只要说「把这个四边形做到第四个角等于 80 度」，对方作出来的那条边就一定是一巴黎尺，分毫不差。复算出来，80 度对应的是 0.4055 个曲率单位。接着是这篇文章里最好的两句话。他先写：这个结论有几分诱人，让人几乎盼着第三假设是真的；随即又说不，因为那会带来无数不便，三角函数表要无限长，相似形整个消失，天文学就不好办了。然后他把自己按住：可这些是从爱憎里引出来的理由，它们必须彻底离开几何，正如必须离开一切科学。第 82 节他还注意到，钝角那一种在球面上是现成的，于是几乎要断定：锐角那一种出现在一个虚半径的球面上。这句话六十年后被罗巴切夫斯基兑现。

边 a = 0.700 k边 b = 0.700 k

四边形在 A、B、D 三处都是直角，第四个角 φ 只能自己定。欧氏几何里它永远是 90°，和边长一点关系都没有；而在锐角那一种里 cos φ = sinh a · sinh b—— 边越长，角越小。兰伯特由此看出一件他觉得不该成立的事：这里有一个绝对的长度单位。你不必随身带一根尺子，只要说「把这个四边形做到第四个角等于 80 度」，对方作出来的那条边就一定是 0.4055 个曲率单位，分毫不差。他写道：这个结论有几分诱人，让人几乎盼着锐角那一种是真的；随即又把自己按住——这些是从爱憎里引出来的理由，必须彻底赶出几何，也赶出一切科学。把边拉长到 sinh a · sinh b ≥ 1，两条垂线就再也碰不到，四边形根本合不拢；a = b 时这个坎落在 0.881374 个曲率单位上。

一个数，从墨卡托一直调到极射赤面

他先问了一个没人问过的问题：这两种保角的画法，中间有没有一串过渡？答案是有，而且只差一个参数。

x = \left(\tan\tfrac{e}{2}\right)^{m}, \quad m = \cos E

1772 年那一篇开头先把话说清：一张完美的地图该做到五件事——不走形、面积成比例、距离成比例、大圆画成直线、经纬度容易读出。而地球是个球，五件事不可能同时做到，只能挑。他挑了角。当时保角的画法有两种，极射赤面投影与墨卡托海图，看上去毫不相干：前者的经线按真角相交，后者的经线干脆平行，夹角压到了零。第 47 节他问：中间有没有过渡？办法是让经线的夹角按一个比例 m 放大或缩小，再要求每一个小梯形与球面上的那一块相似。一条微分方程就出来了，解是到极点的距离等于 tang 半个余纬的 m 次方。m 等于 1 是极射赤面，m 等于 0 是墨卡托，中间每一个 m 都是一张新图——今天叫兰伯特正形圆锥投影，各国的航图多半用的就是它。第 51 节他再加一条：让某一条纬线上的经度间隔也分毫不差，解出 m 等于那条纬线余纬的余弦，换成纬度就是今天写的正弦。第 54 节他拿欧洲做了个算例，两条纬线取 30 度与 70 度，七位对数一行行列出来，得 m = 0.78327、标准纬线在 51 度半上——那几个对数与现算逐位相同，m 现算是 0.7832708。同一篇里他还给出另外六种投影，其中一种叫横轴墨卡托：今天的 UTM 坐标、各国的地形图网格、手机里那个蓝点落在哪一格，用的都是它（今天算的是高斯与克吕格后来做出的椭球版，投影本身是他的）。开头那一段还把另一件事说在了前头——这五个条件不能同时满足，所以一张图只能挑一样占。今人常把「保角与等积不可兼得」这句话追到这一篇，不过原文说的是更一般的那一句。

m = 0.7833

球面摊不平，所以只能挑一件事保住。兰伯特挑的是角：图上量出来的角，就是地面上真实的角。他先问了一个没人问过的问题—— 极射赤面投影与墨卡托海图都保角，这两种看上去毫不相干的画法之间，有没有一串过渡？答案是有，而且只差一个数：让经线的夹角按 m 倍缩放，到极点的距离就必须是 (tang e/2) 的 m 次方。m = 1 是极射赤面， m = 0 是墨卡托，中间每一个 m 都是一张兰伯特正形圆锥投影—— 今天各国的航图多半用的就是它，而 m 恰好等于标准纬线纬度的正弦。画布上的褐色小圈是球面上半径 2° 的圆：保角的图上它们仍然是圆，只是大小不一，而那个大小就是长度比——在标准纬线上正好是 1。同一篇文章里他还画出了另外六种，其中一种叫横轴墨卡托，今天叫 UTM，各国的地形图与手机里的坐标网格都是它——算的是高斯与克吕格后来做出的椭球版，投影本身是他的。

解不出来的方程，只好给它起个名字

x 乘以 e 的 x 次方等于 a——把 x 写出来是做不到的。于是今天给它起了个名字，叫 Lambert W。而这个名字安上去的时候，他已经走了两百多年。

W(a)\,e^{W(a)} = a

1758 年他在《赫尔维蒂学报》上解了一个方程：x = q + x 的 m 次方。三项，看着简单，可根写不成有限个根式。他的办法是把根展成 q 的幂级数，并且把级数的系数一条一条算出来——m 取 2 时那串系数正是后来叫卡塔兰数的 1、1、2、5、14、42。这一手今天叫拉格朗日反演，而拉格朗日那篇是 1770 年的事，晚了十二年。欧拉读到了它，1779 年把方程换成一个对称些的形式接着做，并在文章标题里写上了「兰伯特级数」。同一族方程里最常撞见的是 x 乘 e 的 x 次方等于 a，它的解今天记作 W(a)。这个函数有个别处少见的性格：a 落在负的 1/e 与 0 之间时，水平线切到曲线两次，所以它必须分成两支，两支在 a 等于负 1/e 处并成一个；a 再小就一个解也没有。要说清的是，这个函数兰伯特本人从没有写下来过，Lambert W 这个名字要到 1990 年代才由一篇论文定下来，源头是一个计算机代数系统里的函数名。名字安得合不合适可以争，用处是没得争的：维恩位移常数是它算出来的（2.897771955 毫米·开，与今天的公认值逐位相同），把根号二叠成无穷高的幂塔正好等于 2 也是它算出来的，延迟微分方程、酶动力学、随机图里树的计数，今天一律写成 W。

a = 1.00

x·e^x = a 这个方程解不出来——把 x 写成 a 的初等函数是做不到的。办法只有一个：给它起个名字，就像当年给 √ 和 log 起名字一样。今天这个名字叫 Lambert W。它有个别处少见的性格：当 a 落在 −1/e 与 0 之间时，那条水平线切到曲线两次，所以这个「函数」必须分成两支，W₀ 与 W₋₁；两支在 a = −1/e 处并成一个。要说清的是：这个函数兰伯特本人从没写下来过。他 1758 年解的是三项方程 x = q + x²，把根展成一串 q 的幂——系数正是后来叫卡塔兰数的那一串；欧拉 1779 年接着做了一遍。名字是 1990 年代才安上去的，源头是一个计算机代数系统里的函数名。右边那几个数都是现算的：维恩位移常数 2.897771955 毫米·开，与 CODATA 给的值逐位相同；把 √2 叠成无穷高的幂塔，答案正好是 2。

飞这一段要多久，与轨道长什么样无关

从一点飞到另一点要多少时间？照常理得看轨道。他证明：不用看——只要三个数定了，时间就定了。

\sqrt{\mu}\,t = a^{3/2}\left[(\alpha - \sin\alpha) - (\beta - \sin\beta)\right]

1761 年那本讲彗星轨道的书，前三部分讲抛物线，第四部分推到椭圆，末了得出一条在当时看来近乎不讲道理的定理：在同一个半长轴上，从一点飞到另一点所用的时间，只取决于两点之间的直线距离（弦长），以及两点到太阳的距离之和。轨道是扁是圆、太阳偏在哪一侧、转过多大的角，一概不影响。把这句话摆成图就更奇怪了：钉住两个端点（弦长于是固定），再要求两条半径之和不变，那么太阳只能落在一条以这两点为焦点的椭圆上——而它落在那条椭圆的哪一处都行。演示里把太阳沿这条椭圆挪一圈，偏心率从 0.23 变到 0.99，转角从 64 度变到 12 度，两条半径此消彼长，而飞行时间十二位小数一位不动。画布上那个时间由开普勒方程一步步积出来，旁边那个直接套他的公式，两条路互不相干，逐位相同。拉格朗日 1778 年那篇讲圆锥曲线上时间表示法的文章里说，他由此得到了「迄今在这个题目上做出的最优美也最有用的定理之一」；高斯 1809 年《天体运动论》第 106 条给出这条公式的归属与一个证明，说兰伯特是在它被埋没的时候独立得到它、并把它推广到其余圆锥曲线上的。今天它被反过来用：给定两个位置和一段飞行时间，反求那条轨道——这道题就叫兰伯特问题，每一次星际转移、每一次交会对接、每一次空间碎片的轨道确定都要先解它。地球到火星那条最省力的转移要飞 259 天，答案就是这么算出来的。

太阳的位置 90°半长轴 a = 1.20

从 P₁ 飞到 P₂ 要多久？照常理，这得看轨道长什么样。兰伯特 1761 年证明：不用看。只要半长轴 a、两点之间的直线距离 c、以及两点到太阳的距离之和 r₁+r₂ 这三个数定了，时间就定了——轨道是扁是圆、太阳偏向哪一边，一概不影响。画布上把 P₁、P₂ 钉住（c 固定），再要求 r₁+r₂ 不变，于是太阳只能落在那条虚线椭圆上，而它落在哪一处都行：拖动滑块，偏心率从 0.23 一路变到 0.99，转角从 64° 变到 12°，两条半径此消彼长，而右边那个时间十二位小数一位都不动。上面那个数由开普勒方程一步步积出来，下面那个数直接套他的公式，两条路互不相干。今天任何一次星际转移都要先解这道题的反问题——给定两点和一个飞行时间，反求轨道—— 它就叫「兰伯特问题」，而地球到火星那条最省力的转移要飞 259 天，答案就是这么算出来的。

他把光变成了可以量的东西

1760 年那本《光度学》之前，「亮」只是个形容词。他给它定了单位、定了法则，两百多年后，你在屏幕上看到的每一个受光面都按他那条余弦定律着色。

《光度学，或论光、色与影的度量与等级》1760 年在奥格斯堡出版。在它之前，「这盏灯比那盏亮」是一句没法核对的话；在它之后，亮是一个量，有单位、有加法、有法则。他从几条原则推出全书：光强随距离平方衰减；一束光穿过均匀介质，每走等厚的一层就按同一个比例减弱，于是衰减是指数的；而一个粗糙表面看上去的亮度，正比于视线与表面法线夹角的余弦——这一条今天叫朗伯余弦定律。有一件事要说在前头：指数衰减那一条，布盖 1729 年就写下了，而且布盖的《光学论》与这本书同在 1760 年出版，两人互不知情——所以今天那条定律的全名里有三个人：布盖、朗伯、比尔。余弦定律是他自己的。这本书出版后近一百年几乎无人问津，等到天文学要给星等定标、煤气灯要论价，才被翻出来；又过了五十年，照明工程整个建在它上面，亮度的一个单位就叫「朗伯」。而它最意外的一次复活在今天：计算机图形里，一个不反光的漫射表面被称作朗伯面，着色器里那一行最基本的代码——法线点乘光线方向，取正值——算的就是他那条余弦。你玩的每一局游戏、看的每一部动画，每秒钟要把它算上几亿次。

故事展签故事展签：他给「亮」定了单位、定了法则；两百多年后，这条法则成了每一帧画面里最基础的那一行代码。

传承

他的工作没有留在十八世纪——每条链的终点，都是你今天正在使用的东西。

把正切展成连分数，证明 π 不是分数，又断言它连代数数都不是⟶1882 年林德曼证明 π 超越，两千年的化圆为方就此关门⟶「一个数能不能由有限步作出来」从此是一个可以判定的问题——今天的可计算性与形式化证明走的是同一条路

三个直角的四边形，第四个角由边长定死，于是有了一个绝对的长度单位⟶他不肯信，却把每一步都推完了：第一次有人把一门新几何整套算出来而不宣布它成立⟶今天要判断一套公理会不会自相矛盾，做法和他那一步一模一样——把结论一条条推下去看会不会撞上，而这件事现在交给机器，叫形式验证

一个参数 m，把保角投影从墨卡托连到极射赤面⟶兰伯特正形圆锥与横轴墨卡托被各国测绘采用⟶今天各国的航图多用前者，UTM 与各国地形图的坐标网格用后者——导航时屏幕上那个点落在哪一格，算的就是它的经纬度

1758 年把三项方程的根展成级数，比拉格朗日反演早二十二年⟶欧拉接着做，二百年后这条线上的函数被命名为 Lambert W⟶带时滞的自动控制系统稳不稳，判据直接写成 W；延迟微分方程、酶动力学、维恩位移与随机图里树的计数也都用它，它已经是每个数值求解器里的内置函数

飞完一段弧的时间只认半长轴、弦长与两条半径之和⟶反过来用：给定两点与一段时间，反求轨道，这就是兰伯特问题⟶每一次星际转移、每一次交会对接、每一次空间碎片的轨道确定都要先解它——深空探测的发射窗口图就是它的解集

《光度学》1760：把「亮」变成可以量的量，并推出余弦定律⟶照明工程整个建在它上面，亮度的一个单位就叫「朗伯」⟶今天计算机图形里的漫射面就叫朗伯面，每一帧画面里最基础的那一行着色代码算的正是他那条余弦

语录

「凡是与半径可通约的弧，它的切线与半径必不可通约；反过来，凡是可通约的切线，都不属于一条可通约的弧。这个说法看上去应当容许无穷多例外，而它一个例外也没有。」
—— 《关于圆与对数超越量的若干显著性质》§2，柏林科学院 1761 年卷（1768 年印），第 266–267 页 · 法文原句见 toutes les fois qu'un arc de cercle quelconque est commensurable au rayon… 此处是中译，大意如上

「这个结论有几分诱人，让人几乎盼着第三假设是真的！……可这些是从爱憎里引出来的理由，它们必须彻底离开几何，正如必须离开一切科学。」
—— 《平行线理论》§80 与 §81，写于 1766 年 9 月 · 据 Engel 与 Stäckel《从欧几里得到高斯的平行线理论》（莱比锡 1895）转录的德文原文中译，大意如上。中间省去的是他列举的那几条不便：三角函数表会变得无限长，相似形整个消失，天文学就不好办了

「我几乎要由此断定：第三假设出现在一个虚半径的球面上。至少总得有点什么缘故，才使得它在平面上远不如第二假设那样容易被推翻。」
—— 同书 §82 · 这句话六十年后被罗巴切夫斯基兑现（馆里罗巴切夫斯基那一页的「半径是虚数的那个球面」讲的就是它）