Nikolai Ivanovich Lobachevsky · 1792–1856

罗巴切夫斯基

两千年里人人想证明的那条公设，他把它关掉了——剩下的照样是一个说得通的世界

\tan\frac{\Pi(p)}{2} = e^{-p}

平行角 ·《平行线理论的几何研究》1840 年第 36 节。p 是点到直线的垂线长，Π(p) 是「过这点还不与它相交」的那个临界角。欧氏几何里它恒为 90°，这里它随 p 一路缩小——角度与长度从此绑在了一起

尼古拉·伊万诺维奇·罗巴切夫斯基 1792 年 12 月 1 日生于下诺夫哥罗德省，土地丈量所小职员的儿子，家里三个男孩。父亲在他七岁那年去世，母亲带着三兄弟迁往喀山，靠公费把他们送进中学。1807 年他进喀山大学——那所学校 1804 年才设，比他进中学还晚两年。教他数学的是巴特尔斯，此人早年在不伦瑞克的学校里发现过一个叫高斯的孩子；至于他有没有把高斯的想法带到喀山，没有任何证据。1811 年硕士，1816 年副教授，1822 年正教授。1827 年他当上喀山大学校长，一连当了十九年，六次连选连任，而这个位子是不发薪水的。任内学校添了图书馆、天文台、地磁观测站、解剖室与化学实验室。1830 年霍乱蔓延，他把全校圈起来隔离、逐间消毒，师生几乎没有死人，为此收到沙皇的嘉奖；1842 年喀山大火烧掉半座城，他把教学楼、天文仪器和全部藏书抢了下来。

1826 年 2 月 11 日（俄历），他在喀山大学物理数学系的例会上宣读了一篇论平行线的文章——那是非欧几何第一次被人当众讲出来。稿子交给三位评审，报告始终没有出来，原稿也不知去向。1829 到 1830 年他把内容重写成《论几何原理》登在《喀山通报》上，这是这门几何第一次作为一门几何印出来（陶里努斯 1826 年印过同一套公式，可他本人不承认那是真的几何）；匈牙利的波尔约 1832 年独立做出同样的东西，高斯则早就做出来而压着不发。1832 年那篇被送到彼得堡科学院，奥斯特罗格拉茨基写了一份全盘否定的意见；1834 年《祖国之子》杂志上登出一篇匿名讥讽，说这书不如改名叫《几何的漫画》。他写了一篇答辩，没能发表。此后他一个人对着沉默又写了二十年：1837 年的法文《虚几何》、1840 年的德文小册子、1855 年的《泛几何》。高斯读了那本德文小册子，私下称赞，1842 年提名他当哥廷根科学学会的通讯院士——却一生没有公开说过一句。1846 年他被免去校长与教授之职，长子随后病故，视力一天天坏下去，《泛几何》是他双目失明之后口述的。1856 年 2 月 24 日卒于喀山。十二年后贝尔特拉米做出那个曲面，人们才明白他一直是对的。

1895 年李特维诺娃《罗巴切夫斯基：他的生平与学术活动》卷首的钢版肖像，书名页注明「由莱比锡的格丹镌刻」 · 圣彼得堡索伊金印厂 · Wikimedia Commons，公有领域。胸前那几枚是他做十九年校长挣下的勋章。他另有一张 1855 年的银版照片传世，可现存的翻拍出自 1948 年卡甘那本传记的插页，脸在画面里很小、颗粒又重，缩到这一列只剩一团灰。

生平

1792
生于下诺夫哥罗德省
12 月 1 日。土地丈量所小职员的儿子，七岁丧父，母亲带三个男孩迁往喀山。
1807
进喀山大学
那所大学 1804 年才设。教他数学的巴特尔斯早年在不伦瑞克的学校里发现过少年高斯。
1811
硕士学位
物理与数学。1816 年副教授，1822 年正教授，那年他三十岁。
1826
喀山：第一次讲非欧几何
2 月 11 日（俄历）在物理数学系例会上宣读。评审报告始终没有出来，原稿也不知去向。
1827
当上校长，一当十九年
六次连选连任，不发薪水。任内添了图书馆、天文台、地磁观测站。
1829
《论几何原理》
登在《喀山通报》上，1829–30 年分期刊出——非欧几何第一次印出来。
1830
霍乱：把全校隔离起来
圈起校园逐间消毒，师生几乎没有死人，收到沙皇的嘉奖。
1832
彼得堡退稿
奥斯特罗格拉茨基写了全盘否定的评审意见。同年波尔约在匈牙利独立发表同样的几何。
1834
《祖国之子》上的匿名讥讽
说这书不如改名叫《几何的漫画》。他写的答辩没能发表。同年《代数》里给出根的平方法。
1840
柏林的德文小册子
《平行线理论的几何研究》，六十一页。高斯读到了它。
1842
大火里抢下一座大学；当选哥廷根通讯院士
喀山烧掉半座城，教学楼、天文仪器与藏书都保住了。同年高斯提名他进哥廷根科学学会，却一生没有公开表过态。
1846
被免去校长与教授之职
此后长子病故，视力一天天坏下去。
1855
失明之后口述《泛几何》
俄文与法文两个本子，他一生的最后一部书。
1856
卒于喀山
2 月 24 日。至死没有听到一句公开的赞成。
1868
贝尔特拉米的曲面
他死后十二年，非欧几何被装进一个可以在欧氏空间里摸到的模型，从此再没有人怀疑。

展品厅

绝大多数展品都可以亲手把玩——这是本馆的立馆之本；少数以叙述为主的，做成故事展签。

镇馆之宝 · 亲手玩

平行角：那个角成了一个函数

从一点向一条直线作垂线。垂线多长，「刚好还不与它相交」的那个临界角就是多少——欧氏几何里它永远是 90°，这里它随长度一路缩小。

\tan\frac{\Pi(p)}{2} = e^{-p}

第五公设说的是「过直线外一点，不与它相交的直线只有一条」。关掉它，就有不止一条；可「不止一条」还是一句空话，要让这门几何真的能算，得说出那些方向占了多宽的一扇。罗巴切夫斯基的答案是一个函数。从点 P 向直线 ℓ 作垂线，长度记作 p，那些不与 ℓ 相交的方向正好填满一扇，而这扇的边界与垂线成的角，只由 p 决定——他管它叫平行角，记作大写的 Π(p)。1840 年那本小册子第 36 节算出了它：tan 半个 Π(p) 等于 e 的负 p 次方。这一条把整门几何撑了起来。先看两头：p 趋于 0 时 Π 回到 90°，扇子收成一条线，欧氏几何就是这一头的极限；p 越长 Π 越小，垂线拉到 3 个单位时那个角只剩 5.70°，不相交的方向占了 168.60°。再看它真正要紧的地方——这条式子把角度和长度绑在了一起。欧氏几何里，角是角、长是长，两者没有换算：你说「三十度」，我立刻明白；你说「三米」，我得先找一根棍子。而这里给出一个角，长度就跟着定死了，反过来也一样，所以双曲几何里有一个不靠任何实物定义的绝对长度单位。演示画在庞加莱圆盘里（这个模型保角，图上量出来的角就是真角），把点放在圆心，过它的直线就成了一条条直径，那扇张开的口子一眼看得见。画布上两条互不相干的路算同一个数：一条在图上量这个角，一条套上面那条公式，逐位相同，差在 1e−16 的量级。

拖动垂线的长度：看那把「不与 ℓ 相交」的扇子张开，两条路算出来的平行角逐位相同

垂线长 p 1.00

从 P 向直线 ℓ 作垂线，长度是 p。欧氏几何里，过 P 与 ℓ 不相交的方向只有一个，而且不论 p 是多少，那个方向与垂线的夹角永远是 90°。关掉第五公设，这个角就成了一个随 p 变的函数——这就是平行角 Π(p)，罗巴切夫斯基 1840 年那本小册子第 36 节算出了它：tan ½Π(p) = e^(−p)。画布上两条互不相干的路给同一个数：一条是在图上量这个角，一条是套那个公式，差在 1e−16 的量级。p 越长，Π 越小，不相交的那一扇越宽；p 趋于 0 时 Π 回到 90°，扇子收成一条线——欧氏几何是这一头的极限。反过来读更要紧：角度定下来，长度就定死了，双曲几何里因此有一个绝对的长度单位，而欧氏几何里没有。

三角形缺掉的那一点，就是它的面积

内角和永远不到 180°，缺的那一点换成弧度正好是面积。于是三角形的面积有上限，而相似三角形根本不存在。

S = k^2\left(\pi - A - B - C\right)

在这门几何里，三角形的三个角加起来永远小于 180°，而且越大的三角形缺得越多。缺的这一点叫亏量，它不是一个瑕疵，它就是面积：三角形的面积等于亏量乘上一个常数的平方。演示里把一个等边三角形一点点撑大，左边看着三条边向内弯，右边把两个数并排印出来——一个是 180° 减去三角之和，一个是沿三条边把面积积出来，逐位相同，差在 1e−15 的量级。由此跟出两件在欧氏几何里不可想象的事。一是三角形的面积有上限：三个顶点推到无穷远，三个角都成了 0，面积正好是那个常数的平方乘 π，再大的三角形不存在。二是没有相似形：三个角一定，三条边就跟着定死，所以「形状相同、大小不同」这件事在这里做不到，放大一张图纸必然改变它的角。这也正是为什么这里有绝对的长度单位——这件事上一件展品已经从另一头说过一遍了。要把功劳说清：亏量正比于面积，兰伯特 1766 年就已经推出来了，绝对长度单位也是他看出来的，只不过在他手里这些都是用来证明「锐角那一种不可能」的荒谬后果。六十年后罗巴切夫斯基不再觉得它荒谬，于是同一批结论换了身份：从归谬法的弹药变成了一门几何的定理。

外接圆的半径 1.00

一个等边三角形，越长越大。它的三个角越长越小，三角之和从 180° 一路掉下去——而掉了多少不是白掉的：亏量（180° 减去三角之和）换成弧度，就是这个三角形的面积。画布上两条互不相干的路给同一个数：一条数亏量，一条沿三条边把面积积出来，差在 1e−15 的量级。于是有两件欧氏几何里不可想象的事。一是三角形的面积有上限：顶点推到无穷远也只有 π，再大的三角形是没有的。二是没有相似形：角度一定，边长就跟着定死（右下角那个 a），所以这里的长度有一个绝对的单位，不必像米那样找一根棍子来定义。这条结论并不是从罗巴切夫斯基才有的——兰伯特 1766 年就推出来了，他只是把它当成「锐角那一种」的荒谬之处；六十年后有人不再觉得它荒谬。

半径是虚数的那个球面

把三条边都乘上根号负一，他的公式原样变成球面三角的公式。所以他管自己这套东西叫虚几何。

\cosh c = \cosh a \cdot \cosh b \qquad \cos c = \cos a \cdot \cos b

一门新几何要能用，得有一整套三角学：知道两条边和夹角，能把第三条边算出来。罗巴切夫斯基把这套东西整个建了起来，办法是一个漂亮的迂回。双曲空间里有一种叫极限球面的曲面（把极限线绕它的一条轴转一圈得到），奇妙之处在于：这个曲面虽然弯，它自身上的几何却是欧氏的——上面的三角形，内角和正好 180°。于是他先在极限球面上用大家都熟的欧氏三角学算，再把结果投影回平面，双曲三角学就出来了。结果是一组与球面三角对仗得惊人的公式。最干净的是直角三角形那条：球面上 cos c = cos a · cos b，平面上 c² = a² + b²，而这里是 cosh c = cosh a · cosh b。他自己写成 sin Π(c) = sin Π(a) · sin Π(b)，因为 sin Π(x) 恰好等于 1/cosh x——两句是同一句。1840 年那本小册子的最后一段点破了这对仗从哪里来：把 a、b、c 都换成它们乘以根号负一，他的四条公式原样变成球面三角的公式，理由只有一行，cosh(ix) = cos x。也就是说，这门几何就是半径为虚数的那个球面上的几何，他因此叫它虚几何。这个念头不是他起的：兰伯特 1766 年猜过「锐角那一种大概出现在一个虚半径的球面上」，陶里努斯 1826 年照这条路算过一整套公式——只是陶里努斯本人不承认那是真的几何，他始终认为空间是欧氏的。

直角边 a 0.90直角边 b 1.20

同一个直角三角形，三种几何给出三条斜边。球面上短一点，双曲面上长一点，欧氏几何夹在正中间。三条式子的形状也是对齐的：cos c = cos a cos b、c² = a² + b²、cosh c = cosh a cosh b。罗巴切夫斯基 1840 年那本小册子的最后一段点破了这件事——把 a、b、c 都换成它们乘以根号负一，他的公式原样变成球面三角的公式，因为 cosh(ix) = cos x。所以他管自己这套东西叫虚几何：它就是半径为虚数的那个球面上的几何。这个念头兰伯特 1766 年已经猜到过，只是当年那还是一句用来证明「锐角不可能」的俏皮话。把两条直角边一起缩小十倍，三条斜边的差会缩小一千倍——三次方。人的尺度上根本量不出来，下一件展品就是他拿望远镜去量的那一次。

他把这件事交给了望远镜

空间到底弯不弯？他说这只能像别的自然律一样靠观测来定，然后拿天狼星的视差算了个下界。

\tan p = \frac{\sinh(a/k)}{\tanh(D/k)}

关掉第五公设之后，一个问题立刻变得不再是哲学问题：我们住的这个空间，到底是哪一种？他的回答是把它交给天文观测——「像一切别的自然律那样，靠实验来检验」。这句话在 1829 年说出来，本身就是一次立场的转换：几何从此不是先验的真理，而是一件要去量的事。他量的办法很巧。半年之间地球移到轨道的另一头，同一颗恒星的方向会偏一点点，这个偏角叫视差，星越远视差越小。欧氏几何里它一路降到零；而双曲几何里降不到零，它卡在一条下限上，再远的星也降不下去，因为「从地球看过去、刚好还不与太阳那条线相交」的方向本来就张着一个角——正是第一件展品里那个平行角。所以量到一颗星的视差有多小，就等于给空间的曲率半径定了一个下界。他手上有几颗当时报过视差的星，取了天狼星最小的那个值 1.24 角秒，据此断定空间即便是弯的，也弯得量不出来。这个下界复算出来是 16 万 6 千个天文单位，2.6 光年——按今天的眼光小得可怜，何况那时还没有一颗恒星的视差被可靠地测出来，要等到 1838 年贝塞尔才做成。可这是头一回有人把一个几何问题交给望远镜。同一条式子换上今天的精度：Gaia 卫星的二十微角秒给出十六万光年。而这条路今天走到了宇宙学——普朗克卫星 2018 年结合重子声学振荡给出的空间曲率是 0.0007 加减 0.0037，仍然是「平得测不出弯」。有两个数要说清：他自己报的角和偏差是 0.00000372 角秒，那个数按这里的三角形复算不出来，原文的路子没查到，所以只当成「他报的数」记在这里；而今人转述这条曲率下界时印成过 1.66 乘 10 的负 5 次方个天文单位，一个长度的下界不可能是十万分之一个天文单位，按 1.24 角秒复算应是 10 的正 5 次方。

曲率半径 k = 10^5.22 AU

一个新几何要怎么检验？他的回答是：去量星星。半年之间地球移到轨道的另一头，同一颗恒星的方向会偏一点点，这个偏角叫视差。欧氏几何里，星越远视差越小，一路降到零。双曲几何里降不到零——它有一条下限，而下限的高低正好由空间的曲率半径 k 定。所以反过来：量到一颗星的视差有多小，就等于给 k 定了一个下界。他手里最小的那个数是天狼星的 1″.24，于是 k 至少是 1.66×10⁵ 个天文单位，也就是 2.6 光年。按今天的眼光这个下界小得可怜（那时还没有一颗恒星的视差被可靠地测出来，1838 年贝塞尔才做到），可这是头一回有人把一个几何问题交给望远镜。同一条式子用今天的精度跑：Gaia 的二十微角秒给出十六万光年。这条路今天还在走，只是换成了宇宙学——普朗克卫星 2018 年结合重子声学振荡给出的空间曲率是 0.0007 ± 0.0037。

把根一遍遍平方

不猜初值、不逐个去找：把方程的根平方六遍，全部根一次读出来。

|r_k| \approx \left(\frac{b_k}{b_{k-1}}\right)^{1/2^m}

他不只做几何。1834 年那本《代数，或有限量的计算》里有一招解数值方程的办法，今天还在用。想法是：一个多项式的根若大小拉得很开，那么它的系数几乎就把根报出来了——最高次那两项的比是最大的根，接下去一对是第二大的，依此类推。可一般的方程做不到这么开。那就把它弄开：构造一个新方程，它的根正好是原来那些根的平方。这一步只用系数就能做完，不必先知道根是多少。平方一遍，根的比值也平方一遍，差距被拉开；做上六遍，差距被拉成 64 次方，于是每个根都从系数里直接读得出来，开 64 次方回去就是答案。演示里拿 x³ − 6x² + 11x − 6 做例（根是 3、2、1）：第 0 遍读出来是 6.00、1.83、0.55，第 3 遍已经是 3.014、1.991、0.9995，第 6 遍三个根都对到小数点后十位。表上每多一行，对上的位数翻一番——误差按 2 的 m 次方掉，是双指数。代价也摆在明处：系数以同样的速度长，做到第七遍已经是一百位的数，双精度装不住了，得换成多精度算术。这一招通称丹德兰–罗巴切夫斯基–格雷夫法：丹德兰 1826 年先做，他 1834 年独立做出，格雷夫 1837 年又做了一次。它的性格与牛顿法正相反——牛顿法要一个好的初值、一次只追一个根、追得飞快；这一招不要初值、一次把全部根一起交出来，而且只做加减乘。

平方的遍数 3

他不只做几何。1834 年那本《代数》里有一招解数值方程的办法：把方程的根一遍遍平方。根平方之后，大的更大、小的更小，做上几遍，它们的量级就彻底拉开；这时相邻两个系数的比值各自就是一个根的 2 的 m 次方，开回去就把全部根一次读了出来——不用猜初值，也不用一个一个找。表里每多一行，对上的位数翻一番：三次那个例子做到第六遍，三个根都对到小数点后十位。代价明摆着：系数也在按同样的速度长，第七遍已经是一百位的数，再往下双精度就装不住了。这一招今天叫丹德兰–罗巴切夫斯基–格雷夫法——丹德兰 1826 年先做，他 1834 年独立做出，格雷夫 1837 年又做了一次。

一个人对着沉默写了三十年

1826 年他讲了，没有回音；1829 年他印了，被退稿、被嘲笑。他又写了二十年，至死没听到一句公开的赞成。

1826 年 2 月，他在喀山大学物理数学系的例会上宣读了那篇论平行线的文章。三位评审拿走了稿子，报告始终没有交上来，原稿从此不知去向——非欧几何的第一次亮相，留下的只有系里的一条记录。三年后他把内容重写成《论几何原理》，登在《喀山通报》上——这是这门几何第一次作为一门几何印出来，此前陶里努斯 1826 年虽然印过同一套公式，却始终认为空间是欧氏的。1832 年那篇被送到彼得堡科学院，评审是当时俄国最有名的数学家奥斯特罗格拉茨基，意见全盘否定；两年后《祖国之子》上登出一篇匿名文章，讥讽说这书不如改名叫《几何的漫画》。他写了一篇答辩，没能发表。换个人到这里也就停了。他没有停：1837 年的法文《虚几何》、1840 年的德文小册子、1855 年的《泛几何》，同一套东西他换了三种语言、写了三遍，每一遍都更完整。高斯读到了那本德文小册子。他在私人通信里称赞，1842 年提名罗巴切夫斯基当哥廷根科学学会的通讯院士——哥廷根的这个头衔，是他生前从国外得到的少有的一份承认。而高斯一生没有公开说过一句话，理由他 1829 年在给贝塞尔的信里写过：他怕惹起「那帮波奥提亚人的叫喊」。1846 年，五十四岁的罗巴切夫斯基被免去校长与教授之职，名义上是升任学区副督学；此后长子病故，视力一天天坏下去。《泛几何》是他失明之后一句一句口述的。1856 年 2 月他在喀山去世。十二年后，贝尔特拉米指出常负曲率的曲面上的几何正是他那一套，非欧几何这才进了数学的正门；后来克利福德写下那句话——维萨里之于盖伦，哥白尼之于托勒密，罗巴切夫斯基就是之于欧几里得。

故事展签故事展签：三十年里他只收到过两样回应，一份退稿意见和一篇匿名讥讽。

传承

他的工作没有留在十八世纪——每条链的终点，都是你今天正在使用的东西。

关掉第五公设，剩下的仍是一个说得通的世界⟶空间的几何成了一件要靠测量决定的事⟶广义相对论：弯曲时空是今天物理的语言，GPS 的时间修正每天都在用它

平行角把角度与长度绑在一起⟶双曲几何里有一个绝对的长度单位⟶宇宙形状：今天拿微波背景与重子声学振荡去量空间的曲率，问的还是他那个问题

拿天狼星的视差给曲率定下界⟶几何第一次被交给望远镜⟶视差测距与今天的天体测量：Gaia 把这个精度推到了二十微角秒

三角形的亏量就是它的面积⟶负曲率把空间撑得指数地大⟶双曲嵌入：机器学习里用负曲率的空间装树状与层级数据，数据分析里的一支新工具

把方程的根一遍遍平方⟶不用初值，一次读出全部根⟶数值求根：今天多项式求解器里仍留着这一支

一份被退稿、被嘲笑的手稿⟶1868 年贝尔特拉米给它一个曲面，非欧与欧氏从此同生共死⟶相对相容性：今天要证一套公理不自相矛盾，用的还是这一招——形式化地搬进另一套里

语录

「在几何里我发现了几处缺陷；我认为正是它们使这门学问——除了转成分析的那一部分之外——至今还停在欧几里得交给我们的那个样子。」
—— 《平行线理论的几何研究》开篇，柏林，1840 · 大意，据哈尔斯特德 1891 年英译本转译

「在我们量得到的三角形里，三角之和与两直角之差，还不到一秒的百分之一。」
—— 同书末尾 · 他自己给出的理由：这门几何在人的尺度上量不出来，所以不能凭日常经验把它排除

「维萨里之于盖伦，哥白尼之于托勒密，罗巴切夫斯基就是之于欧几里得。」
—— 克利福德语 · 据哈尔斯特德 1891 年英译本的译者序所引。「几何学里的哥白尼」这个说法即出于此