Pafnuty Lvovich Chebyshev · 1821–1894

切比雪夫

他琢磨的是机器怎么走直线，顺手给概率与素数各围上了一道栏杆

P(|X-\mu| \geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2}

切比雪夫不等式 · 1867 · 不问分布长什么样，只要方差有限就成立

切比雪夫 1821 年 5 月 16 日生在卡卢加省的奥卡托沃，父亲是打过拿破仑的军官、也是有地的贵族。他从小一条腿比另一条长，走路跛，要拄杖——这让他玩不了同龄人的游戏，也断了父母替他安排的军旅前程，他转而做了数学。1837 年十六岁进莫斯科大学，1843 年毕业，1846 年的硕士论文写的是概率论；莫斯科时期的老师布拉什曼研究力学、机械工程与水力学，他后来对机器的兴趣多半从这里来。在莫斯科找不到位置，他去了圣彼得堡，1849 年以数论拿到博士，1850 年当上副教授，1860 年正教授。他一生没有结婚，把钱花在做机器上。

他做的事横跨得极开，而底下是同一件：把「最坏能坏到哪儿」算出来。概率上，他证明不管分布长什么样，偏离均值 k 个标准差的概率不会超过 1/k²——这条不等式加三行推导就给出了大数定律，而且第一次不依赖任何具体分布。数论上，他证明了伯特兰假设（n 与 2n 之间总有素数），并把 π(x)/(x/ln x) 夹进两个常数之间，从而证明：这个比值如果有极限，那个极限只能是 1——素数定理还要再等四十四年，可从此没人能猜别的数了。分析上，他问「n 次多项式最好能逼近到多近」，答案是那条误差曲线必须等幅上下摆动，这就是以他命名的多项式与交错定理。而这一串的起点是一台机器：1852 年他去西欧考察了三个月，报告里写的大半是工厂和机器，回来两年后发表《论被称作平行四边形的那类机构的理论》——逼近论就是从「怎样让连杆走得更直」长出来的。他在圣彼得堡教出的学生里有马尔可夫和李雅普诺夫，俄国数学学派由此成形。

纳达尔照相馆摄于巴黎，1875–1895 年间 · 法国国家图书馆，Wikimedia Commons，公有领域。纳达尔的棚子是十九世纪巴黎最有名的一间，雨果、波德莱尔、萨拉·伯恩哈特都在那里留过影。切比雪夫 1860 年当选巴黎科学院通讯院士、1874 年当选外籍院士，那些年常到法国开会——1878 年他就是在巴黎讲的《论衣服的裁剪》，同一年还把会走路的那台机器摆上了世博会。原始扫描是一张双联卡，两个姿势并排，底下有铅笔编号和「Tchebycheff」的签名。

生平

1821
生于奥卡托沃
卡卢加省。父亲是打过拿破仑的军官。他生来一条腿比另一条长，走路要拄杖。
1837
十六岁进莫斯科大学
老师布拉什曼的兴趣在力学、机械工程与水力学——他后来对机器的兴趣多半由此而来。
1847
到圣彼得堡任教
1849 年以数论论文拿到博士，1850 年副教授，1860 年正教授，1859 年成为科学院正院士。
1850
素数的上下界
π(x)/(x/ln x) 被夹进 0.92129 与 1.10555 之间；由此推出伯特兰假设，1852 年发表。
1852
西欧考察三个月
6 月 21 日动身。报告里写工厂与机器的篇幅，远多于写数学家与数学。
1853
给富斯的信里提到一件怪事
4k+3 形的素数，数起来总比 4k+1 形的多——后人叫它切比雪夫偏差。
1854
《论平行四边形机构的理论》
为了让连杆走得更直而写，逼近论与以他命名的那族多项式都是从这里出来的。
1858
交错定理
n 次多项式逼近得最好，当且仅当误差在 n+2 个点上等幅正负交替。
1867
切比雪夫不等式与大数定律
《论平均值》。不依赖任何具体分布，三行推导给出大数定律。
1874
巴黎科学院外籍院士
1860 年已是通讯院士。他常去法国，论文也多用法文发表。
1878
巴黎：一篇论文与一台机器
在法国科学促进会讲《论衣服的裁剪》；同年把会走路的「跖行机」摆进了世界博览会。
1882
从大学退休
此后仍在科学院做研究，直到去世。他一生没有结婚。
1894
卒于圣彼得堡
学生里有马尔可夫与李雅普诺夫；俄国数学学派由他而起。
1896
素数定理被证明
阿达马与德拉瓦莱普桑各自独立证出。他当年夹住的那个比值，极限果然是 1。

展品厅

绝大多数展品都可以亲手把玩——这是本馆的立馆之本；少数以叙述为主的，做成故事展签。

镇馆之宝 · 亲手玩

把转动变成直线

四根杆、两个固定铰，中点画出的那条线，在四个单位的行程里上下只差 0.00975——而误差曲线正好等幅交替五次。

4 : 5 : 2

蒸汽机要把活塞的直线往复变成轮子的转动，反过来也要让某个点走直线。瓦特 1784 年那套「平行运动」是近似的，而且他自己说这是他最得意的发明。切比雪夫 1852 年去西欧考察三个月，报告里写工厂与机器的篇幅远多于写数学；回来两年后他发表《论被称作平行四边形的那类机构的理论》，把这件事变成了一道数学题：在允许的杆长里，怎样让那条轨迹与直线的最大偏差最小。这件演示给的是他那副经典比例——机架 4、两根摇杆各 5、连杆 2，两根摇杆交叉，描点取连杆中点。现算的结果是：在 |x| ≤ 2 这段行程里，描点的高度只在 4.00000 与 4.00975 之间变动，占行程的 0.244%。比例一动就散：连杆改成 1.8 或 2.2，偏差立刻涨到两倍半以上；摇杆改成 4.5，涨到十四倍。更要紧的是误差长什么样——把最佳水平线取在 y = 4.004877，误差就在 x ≈ −2、−1.19、0、+1.19、+1.99 五处交替取到 ±0.004877。等幅、交替、五次。这正是他在多项式那边发现的同一件事，也是下一件展品的内容：一样东西逼近得最好，标志就是误差不肯偏心，每一次都摆到一样远。至于真正精确的直线连杆，他认为造不出来；1864 年波塞利耶、1871 年李普金各自造了出来——李普金是他自己的学生。

拖动连杆与摇杆的长度，看描点的轨迹与放大后的误差曲线；4 : 5 : 2 那一档最直

摇杆 5.0连杆 2.0

两根摇杆交叉着装（这是它和瓦特机构最大的不同），连杆中点画出的那条轨迹，在四个单位的行程里上下只差 0.009754——占行程的 0.244%。杆长稍一动就散：连杆改到 1.8 或 2.2，起伏立刻涨到两倍半以上；摇杆改到 4.5，涨到十四倍。真正要看的是下面那条放大后的误差曲线：它等幅地正负交替五次。一样东西逼近得最好，标志就是误差不肯偏心——切比雪夫从这台机器里看出的，正是下一件展品那条判据。

最好的多项式，误差是等幅摆动的

首一的 n 次多项式里，最大偏差最小的那条正好是 2^(1−n)，而且它的误差要正负交替 n+1 次。

\min_{p \text{ 首一}} \max_{-1 \leq x \leq 1} |p(x)| = 2^{1-n}

问题是这样的：在 −1 到 1 上，首项系数为 1 的 n 次多项式有无穷多条，哪一条的最大绝对值最小？答案是 2^(1−n) 倍的切比雪夫多项式，最大值恰好 2^(1−n)。四次的情形可以现算：x⁴ 的最大值是 1，x⁴ − x² 是 0.25，x⁴ − x² + 0.1 是 0.15，而 x⁴ − x² + 1/8 是 0.125 —— 正是 2^(1−4)，一分不多。为什么是它？因为 T_n(cos θ) = cos nθ，余弦在 −1 与 1 之间来回摆满，换到 x 上就是在 n+1 个点上交替取到 ±1。切比雪夫 1858 年把这件事提炼成了交错定理：一条 n 次多项式是最佳一致逼近，当且仅当误差在 n+2 个点上等幅、正负交替地取到最大值。这句话的分量在于它是判据——拿到一条候选，数一数误差的交替次数就知道它是不是最好的，不必和其余无穷多条比。今天所有做最佳逼近的算法（雷米兹算法是最直接的一个）都在找这组交替点。顺带一提，馆里拉格朗日那件演示里用来治龙格现象的「切比雪夫节点」是同一族多项式的根，但那是另一件事：那里治的是插值点该摆在哪儿，这里问的是逼近能好到什么程度。

次数 4掺进 x^n 的份量 λ = 0.00

两条滑块都不动时画的是 2^(1−n) 倍的切比雪夫多项式：它在 [−1, 1] 上的最大绝对值恰好是 2^(1−n)，而且在 n+1 个点上正负交替地顶到这个值。往 x^n 那边掺一点（λ 往右拉），多项式仍是首一的，可最大偏差立刻抬起来，顶到最大值的点也不够 n+1 个了。四次的情形可以一眼比出来：x⁴ 是 1，x⁴ − x² 是 0.25，x⁴ − x² + 0.1 是 0.15，而 x⁴ − x² + 1/8 正好是 0.125。这条「数一数交替次数」的判据就是 1858 年的交错定理，今天做最佳逼近的算法找的都是这组交替点。它和馆里拉格朗日那件演示里的「切比雪夫节点」是同一族多项式，但问的不是同一件事：那里治的是插值点摆在哪儿，这里问的是逼近能好到什么程度。

不问分布长什么样

偏离均值两个标准差以上的概率，不会超过四分之一——不管这个分布是什么。

P(|X-\mu| \geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2}

1867 年的《论平均值》里有这么一句：只要均值与方差存在，P(|X − μ| ≥ kσ) ≤ 1/k²。证明只要三行（把方差写成积分，把积分限制在尾部那一块，尾部每一点的被积式至少是 k²σ²），而它的分量在于「不问分布」四个字。此前的极限定理都要先假定分布是什么形状——棣莫弗与拉普拉斯做的是二项分布，泊松做的是他那一类。切比雪夫这一条什么都不假定，于是大数定律第一次可以对一般的随机变量来证：n 个独立变量的平均值，方差按 1/n 缩，代进不等式，偏离就被按住了。界看着很松——k = 2 时它说不超过 25%，而正态分布实际只有 4.55%，均匀分布干脆是 0。可这个松是必须的：把 X 摆成只取 −kσ、0、kσ 三个值、概率分别是 1/(2k²)、1 − 1/k²、1/(2k²)，算出来方差正好是 σ²，而超出 kσ 的概率正好是 1/k²。界被取到了，所以一分都改不动。还有一件该说清楚的事：比奈梅早在 1853 年就证过同一条不等式；1867 年切比雪夫的文章要在刘维尔的杂志上发表时，刘维尔特意把比奈梅那篇排在它前面一页。即便这样，这条不等式仍然叫切比雪夫不等式。

k = 2.0

四条分布都已标准化成均值 0、标准差 1。切比雪夫说的是：不管这个分布长什么样，落在 ±kσ 之外的概率都不超过 1/k²。k = 2 时界是 25%，而正态实际只有 4.55%，均匀分布干脆是 0——看着松得离谱。可按「三点」那个按钮：把概率摆成 1/(2k²)、1 − 1/k²、1/(2k²)，方差正好是 1，尾概率正好是 1/k²，界一分也收不动。顺带一件该说的事：同一条不等式比奈梅 1853 年就证过，刘维尔还特意把他那篇排在切比雪夫这篇前面一页——名字仍然归了切比雪夫。

素数不可能稀成别的样子

他没能证出素数定理，但他证明了：那个比值如果有极限，就只能是 1。

c_1 \frac{x}{\ln x} \leq \pi(x) \leq c_2 \frac{x}{\ln x}

十五岁的高斯猜过：小于 x 的素数个数约是 x/ln x。猜了半个世纪没人能证。切比雪夫 1850 年做成了两件事。第一件是把比值夹住：存在两个常数 c₁、c₂，使 π(x) 在 c₁·x/ln x 与 c₂·x/ln x 之间（x 够大时）。他给出的常数不是随手估的，而是算出来的——c₁ = ln(2^(1/2)·3^(1/3)·5^(1/5)/30^(1/30)) = 0.9212920，c₂ = 6c₁/5 = 1.1055504。这对夹逼的用处不在于它有多紧，而在于它把别的可能性全排除了：如果 π(x)/(x/ln x) 有极限，那个极限必须落在 0.92 与 1.11 之间，而由同一套估计可知它只能是 1。素数定理要等到 1896 年才由阿达马与德拉瓦莱普桑证出，但从 1850 年起，没人再能猜别的数。第二件是伯特兰假设：n 与 2n 之间一定有素数。伯特兰 1845 年验到三百万，猜了；切比雪夫从上面那套估计推出了它。要提醒的是「x 够大」不是客气话：x = 1000 时比值是 1.1605，明明白白超出上界；一路扫上去，最后一次冒出上界是在 x = 96097，此后才算彻底站住。

数到 10^5n = 30

上幅是 π(x) 除以 x/ln x。切比雪夫算出两个常数把它夹住：c₁ = ln(2^(1/2)·3^(1/3)·5^(1/5)/30^(1/30)) = 0.92129，c₂ = 6c₁/5 = 1.10555。夹得并不紧，可用处不在紧——在于别的可能性全被排除了：这个比值若有极限，那个极限只能是 1。素数定理要等到 1896 年才被证出，但从 1850 年起没人再能猜别的数。「x 够大」也不是客气话：x = 1000 时比值是 1.1605，明明白白在夹缝外头，最后一次冒出上界要到 x = 96097。下幅是同一套估计的直接推论——伯特兰 1845 年验到三百万才敢猜的那件事：n 与 2n 之间一定有素数。

素数的赛跑：4k+3 为什么老是领先

一百万以内，4k+1 只在五十三小段里领先过，合计三千四百个数；再扫到四百万，一段新的都没有。

\pi_{4,3}(x) - \pi_{4,1}(x)

1853 年他在给富斯的信里提到一件怪事：素数除以 4 余 3 的，数起来总比余 1 的多。这件事看着不该发生——狄利克雷 1837 年已经证明两类各有无穷多个，而且密度相同。可数下去就是一头沉。这件演示把两边的计数并排画出来：起跑之后 4k+3 一路领先，第一次被反超发生在 x = 26861，而且只领先了两个数就被追回去；再往后一直到 616841 才有第二次。一百万以内，4k+1 领先的区间一共五十三段，合计 3406 个 x 值，占整段的 0.34%；再往上扫到四百万，一段新的都没有出现。这不是巧合，也不违反狄利克雷：1914 年利特尔伍德证明了差值会改变符号无穷多次，所以领先权最终要换手无穷多回；但 1994 年鲁宾斯坦与萨纳克在广义黎曼猜想与另一条独立性假设之下算出，4k+3 领先的那部分「时间」的密度约是 0.9959。偏差的根源在于 4k+1 这一边少算了一样东西：素数的平方。p 是 4k+3 时 p² 必是 4k+1，这些平方悄悄地把 4k+1 那一路的「加权计数」垫了上去，真正对称的其实是加权之后的两边。切比雪夫看见的，是这层垫脚露出来的一角。

数到 10^5

狄利克雷 1837 年已经证明这两类素数各有无穷多个、密度相同，可数起来就是一头沉：4k+3 几乎一路领先。第一次被反超发生在 x = 26861，而且只领先了两个数就被追回去；第二次要等到 616841。一百万以内 4k+1 领先的区间一共五十三段，合计 3406 个 x，占 0.34%——再往上扫到四百万，一段新的都没有出现。这不违反狄利克雷：1914 年利特尔伍德证明差值会变号无穷多次。偏差的根源在 4k+1 那一侧多算了一样东西——p 是 4k+3 时 p² 必是 4k+1，这些平方把那一路垫了起来，真正对称的是加权之后的两边。

《论衣服的裁剪》

一块平布能不能裹住一个球？他把这个裁缝的问题变成了一条方程，一百四十年后它被用来铺碳纤维。

1878 年 8 月，切比雪夫在法国科学促进会的年会上宣读了一篇题目怪异的论文：《论衣服的裁剪》。他把织物理想化成一张网：经纬两组线不可伸长，但交角可以变——这正是一块布的真实性状，你揪住一块棉布的对角就能感觉到。问题于是变成：哪些曲面能被这样一张网贴合地铺满，铺的时候网格怎么变形？他算出了用一块布包住半球时那块布该是什么形状。这样的网今天叫切比雪夫网。它没有停在裁缝铺里：铺碳纤维和玻璃纤维时，布必须贴着模具的曲面而不起皱不撕裂，能不能贴、怎么剪，问的正是同一个问题；计算机图形学里给三维模型铺布料、做纹理展开，用的也是它。同一年他还把另一件东西摆进了巴黎世界博览会——一台会走路的机器，靠几副他自己设计的连杆把匀速转动变成脚掌平放的步态，他管它叫「跖行机」。把这两件事摆在一起看，他那套数学的来路就清楚了：他从不把机器当成数学的应用，而是把机器当成数学的题目。逼近论是从连杆里长出来的，微分几何的这一支是从布料里长出来的。

故事展签故事展签：他不是把数学用到机器上，是把机器变成了数学题。

传承

他的工作没有留在十八世纪——每条链的终点，都是你今天正在使用的东西。

机器怎样走得更直⟶最佳一致逼近与交错定理⟶雷米兹算法、滤波器设计与数值逼近

不问分布的尾概率上界⟶大数定律第一次对一般随机变量成立⟶抽样、质检与置信区间

π(x) 被夹进两个常数⟶极限若存在则必为 1⟶1896 年素数定理

4k+3 数起来总比 4k+1 多⟶利特尔伍德：差值变号无穷多次⟶素数赛跑与广义黎曼猜想下的密度

《论衣服的裁剪》与切比雪夫网⟶哪些曲面铺得平⟶碳纤维铺层与三维模型的 UV 展开

圣彼得堡的课堂⟶马尔可夫与李雅普诺夫⟶马尔可夫链与中心极限定理的严格证明

语录

「数学与实践的接近，会给数学带来最有益的影响；而且，从实践提出的问题里，数学得到的并不比它给出的少。」
—— 《论被称作平行四边形的那类机构的理论》（1854）开篇一段的大意 · 他那一辈子的做法就写在这句话里

「求一个多项式，使它在给定区间上与给定函数的偏差为最小。」
—— 最佳一致逼近问题的提法 · 1854 年那篇机构论文里提出，1858 年由交错定理给出判据

「这个定理无论如何都不能推广到不满足这些条件的情形。」
—— 《论平均值》（1867）· 大意。他在文中反复强调不等式成立的条件——只要均值与方差存在，而这也正是它能不问分布的原因