数学群星MATHEMATICAL LUMINARIES

Eudoxus of Cnidus · 约前408–约前355

欧多克索斯

他自己的书一卷也没传下来，可《原本》里最难的那两卷是他的

a:b=c:d  ⟺  (∀m,n)ma≷nb  ⟺  mc≷nda:b = c:d \iff (\forall m,n)\quad ma \gtrless nb \iff mc \gtrless nd
同比的定义 ·《原本》第五卷定义五 · 通篇不提数，也不问两个量能不能公度

欧多克索斯约前 408 年生于小亚细亚的克尼多斯。第欧根尼·拉尔修说他父亲叫埃斯基涅斯，又一口气给他安了四个身份：天文学家、几何学家、医生、立法者。他跟塔壬同的阿尔希塔斯学几何，跟西西里的菲利斯提翁学医；二十三岁上手头拮据，随医生忒俄墨冬渡海去雅典，住在比雷埃夫斯港，每天走上城去听课、再走回来。后来他带着斯巴达王阿格西劳斯写给法老内克塔内布的引荐信去埃及，在赫利奥波利斯的祭司身边待了一年零四个月，剃光了胡须和眉毛；回来在基齐库斯开馆讲学，又带着一大批学生回雅典，最后回克尼多斯给本城立法。第欧根尼说他死在五十三岁那一年。他的生卒年只能由这些碎片倒推，学界并无定论——阿波罗多罗斯把他的盛年系在第 103 届奥林匹亚（前 368–前 364），由此得出约前 408–前 355；另有学者主张晚一辈，约前 390–前 337。

他写的书一卷也没有传下来：《现象》《镜》《论速度》《大地环行》，全部失传。他留下的东西都在别人的书里。《原本》第五卷讲比例、第十二卷讲穷竭法，是全书最难的两卷；一条古代注释说「有人说，这一卷是柏拉图的老师欧多克索斯的发现」——「柏拉图的老师」是抄错了，他比柏拉图小一辈，但希思认为这条归属本身已无可怀疑，只是编排出自欧几里得之手。阿基米德两次在序言里点他的名，说锥体是同底等高柱体的三分之一、棱锥是棱柱的三分之一，德谟克利特先说出了结论却没有证明，第一个给出证明的是欧多克索斯。天文学上他造了一套同心球，二十七个球套在一起绕地球转，其中两个反着转的球让行星在天上画出一条八字形的曲线，古人管它叫「马蹄线」。这套东西同样全靠转述：欧德谟斯的《天文学史》记过它，书佚；辛普利丘在《论天》注里抄了一长段，才留到今天。

欧多克索斯肖像
《原本》第五卷的定义那一页，佩拉尔希腊-拉丁-法文三栏本第 236 页，巴黎 1814 · Wikimedia Commons，公有领域。他没有画像传世，自己的书也一卷未存，连「他留下的那一页书」都没有——所以这里放的是他的东西留下来的地方。左栏希腊文那几条里，有一条说两个量要能相乘超过对方才谈得上有比，紧接着的一条就是同比的定义；这一版比通行本多编了一条，所以页上的第五、第六两条正是今天编号的第四、第五条。佩拉尔据的是梵蒂冈希腊文抄本 190 号，拿破仑战争期间被运到巴黎，他在那里认出它不属于此前印本所依的席翁校本一系。

生平

  1. 约前408
    生于克尼多斯

    小亚细亚卡里亚的海港城。父亲埃斯基涅斯。生卒年只能倒推，另有学者主张约前390–前337。

  2. 约前390
    跟阿尔希塔斯学几何

    塔壬同的毕达哥拉斯派，当时少数能解倍立方的人之一。他的医学则学自西西里的菲利斯提翁。

  3. 约前385
    二十三岁去雅典

    随医生忒俄墨冬渡海，住在比雷埃夫斯港，每天步行进城听课再走回来。

  4. 约前381
    埃及，一年零四个月

    带着阿格西劳斯给法老内克塔内布的信。在赫利奥波利斯随祭司观星，剃了胡须和眉毛。

  5. 约前375
    在基齐库斯开馆

    后来带着一大批学生回到雅典。第欧根尼还说他到过摩索拉斯的宫廷。

  6. 前368–前364
    阿波罗多罗斯所记的盛年

    第 103 届奥林匹亚。今天通行的生卒年就是从这一条与「死在五十三岁那年」推出来的。

  7. 《原本》第五卷
    比例论

    通篇不提数，也不问两个量能不能公度，就定义了「两个比相等」。

  8. 《原本》第十二卷
    穷竭法

    圆与圆之比等于直径平方之比；锥体是同底等高柱体的三分之一。

  9. 《现象》《镜》
    两部星书，均佚

    阿拉托斯把《现象》改写成长诗；喜帕恰斯逐条挑错——他仅存的原话就在那部注里。

  10. 《论速度》
    二十七个同心球

    恒星一个，日月各三个，五大行星各四个。

  11. 约前355
    卒于克尼多斯

    回乡给本城立法。斯特拉波说他那座看星台到自己的时代还在，他从那里看见老人星。

  12. 约前225
    阿基米德两次点他的名

    《论球与圆柱》与《方法》的序言里：德谟克利特先说出锥体那条结论，第一个证明它的是欧多克索斯。

  13. 约530
    辛普利丘抄下那一长段

    同心球的细节全靠他的《论天》注保存，而他转抄的欧德谟斯《天文学史》早已失传。

  14. 1647
    「穷竭法」这个名字

    圣文森特的格里高利在《几何著作》里起的。希腊人没有这个词。

  15. 1875
    斯基亚帕雷利重建同心球

    对木星土星管用，对火星要一个荒唐的倾角，对金星怎么调都退不了行。

  16. 1876
    戴德金回李普希茨的信

    李普希茨说分割本来就是欧几里得第五卷；戴德金回信说，欧几里得里没有连续性原理。

展品厅

绝大多数展品都可以亲手把玩——这是本馆的立馆之本；少数以叙述为主的，做成故事展签。

边与对角线，永远量不到头

拿边去量对角线，剩一段；再拿剩下的去量边……这件事永远停不下来，而且每一轮剩下的图形，和上一轮一模一样。

2s−dd−s=ds\frac{2s-d}{d-s} = \frac{d}{s}

希腊人判断两个量有没有公共的度量单位，办法叫辗转相截：大的减去小的，减到不够减，再拿余下的去减小的，如此往复。这个过程停下来，最后那一段就是公度；停不下来，就没有公度。正方形的边与对角线正是停不下来的那一对。每走一轮，会剩下一个更小的正方形，边长是 d−s、对角线是 2s−d；拿这两个数相除，得到的仍然是原来那个比——这一步可以现算：取 s=1、d=√2，则新的边是 0.414214、新的对角线是 0.585786，两者相除正好又是 1.414214。图形自我复制，所以过程无穷无尽。商也因此永远是同一串：1、2、2、2、2……十二轮之后正方形的边只剩两万分之一，可它还在。要紧的不是「√2 是无理数」这句话，而是它砸掉了什么：在此之前，希腊人谈比例靠的是「两个量各是公度的几倍」，一切命题都建立在公度存在之上。公度一旦可能不存在，相似三角形、面积比、体积比，整套东西的证明全部悬空。亚里士多德在《前分析篇》里拿「对角线可公度会推出奇数等于偶数」当作归谬法的标准例子，说明这件事那时早已人尽皆知。欧多克索斯要解决的就是这个局面，而他的办法不是把无理数造出来，是换一个连公度都不必提的定义。

希腊人判断两个量有没有公共度量，就靠这个：大的减小的，减到不够减，再拿余下的去减小的。停得下来就有公度，停不下来就没有。左边每一轮剩下的三角形，和上一轮完全相似——新的直角边是 d − s，新的斜边是 2s − d，两者相除仍是 1.414214。图形自我复制，所以商列永远是 1、2、2、2……换成可公度的一对，比如 8 与 5，四步就停了（商是 1、1、1、2）。

镇馆之宝 · 亲手玩

同比：不用数，也说得清两个比相等

把两边各放大任意多倍，再拿同一个整数去卡——只要每一次都倒向同一侧，就是同一个比。

ma≷nb  ⟺  mc≷ndma \gtrless nb \iff mc \gtrless nd

《原本》第五卷定义五：a 比 b 等于 c 比 d，当且仅当对任意正整数 m 与 n，ma 与 nb 谁大谁小，mc 与 nd 就谁大谁小，相等时也一起相等。这句话里没有数，没有除法，也没问 a 和 b 能不能公度——它只用「把一个量重复若干次」和「比大小」，而这两件事对任何一类量都做得到。于是同一套比例论一次覆盖了长度、面积、体积、时间、重量，这也是它能活两千年的原因：伽利略的运动学、牛顿的《原理》都是拿它写的。它为什么管用，看反面最清楚：两个比不相等，就一定存在一对 m、n 把它们分开——分开的意思是 n/m 这个有理数恰好落在两个比中间。拿 √2 比 1 和 17 比 12 试，最小的那一对是 m=41、n=58：41×√2 = 57.9828 小于 58，可 41×17/12 = 58.0833 大于 58，一次就分开了。换成 3 比 2，m=7、n=10 就够；换成 99 比 70 这样贴得极近的，要一直找到 m=239、n=338。凡是不等的比，总有这么一对；凡是相等的比，一对也找不出来。这个形状与两千二百年后的戴德金分割几乎一样——都是拿全体有理数去切。但两人的区别要说准：1876 年李普希茨写信给戴德金，说这本来就是欧几里得第五卷里的东西；戴德金回信不同意，理由是欧几里得只会比较已经存在的量，书里没有任何一条保证「每一道分割都对应一个数」——而那条连续性原理，正是戴德金要添的东西。

调右边那个比，看 (m,n) 的方格里哪一格先翻脸；左边两条量尺给出 ma 与 nb 的实际长度

左边固定是 a : b = √2 : 1，按钮换的是 c : d。定义五不问两个量能不能公度，只做一件事：把 a、c 各放大 m 倍，拿 n 个 b、n 个 d 去卡，看两边是不是倒向同一侧。两个比只要不等，就一定有一对 (m, n) 把它们分开——分开的意思是 n/m 这个有理数正好落在两个比中间。越贴近 √2 的比，见证来得越晚：3:2 只要 m=7，99:70 要等到 m=239。取 √2:1 自己，则一对也找不出来。

圆与圆之比，等于直径平方之比

在圆里嵌多边形，边数每翻一倍，剩下的空隙就少掉一半以上——任何差额都会被挤没。

S1S2=d12d22\frac{S_1}{S_2} = \frac{d_1^2}{d_2^2}

《原本》第十二卷命题二。内接正多边形有一条现成的好处：两个圆里各嵌一个边数相同的正多边形，它们相似，面积之比严格等于直径平方之比，边数取多少都一样——半径 1 与 1.6 的两个圆，六边形、十二边形、四十八边形算出来都是 0.390625，正是 (1/1.6)²。难的是从多边形过到圆。欧多克索斯的走法是双重归谬：假设圆的比大于直径平方比，就能嵌进一个多边形把差额吃掉，导出矛盾；假设小于，同理。支撑它的引理是第十卷命题一——两个量，反复从大的那个里拿掉一半以上，剩下的迟早小于任何给定的量。这里可以现看：半径 1 的圆，正六边形面积 2.598076，离 π 差 0.543516；边数翻倍到十二边形，面积正好 3，差额 0.141593，不到上一轮差额的一半（0.271758）；再翻到九十六边形，差额只剩 0.002242。每一步都少掉一半以上，所以差额压得到任意小。要注意这条引理并非白来：它要求两个量「有比」，也就是第五卷定义四说的、相乘之后能互相超过——阿基米德在《论球与圆柱》里把它专门列出来当作前提，后人因此叫它阿基米德公理。顺带说一句，「穷竭法」这个名字是 1647 年圣文森特的格里高利起的，希腊人没有这个词，而且这套办法恰恰不穷尽任何东西：它从不说多边形最后变成了圆，只说差额小得容不下任何反例。三世纪的刘徽在中国独立走了同一条路。

两个圆里各嵌一个边数相同的正多边形，它们相似，面积比严格等于直径平方比，边数取多少都一样。剩下的活是把棕色那一圈月牙压掉：边数每翻一倍，缺额都少掉一半以上（表里最后一列逐档核过），于是它小得容不下任何差额——双重归谬就是这样把圆和多边形接上的。这套办法从不说多边形最后变成了圆。「穷竭法」这个名字是 1647 年圣文森特的格里高利起的，希腊人没有这个词。

锥体是柱体的三分之一

德谟克利特先说出了这个数。阿基米德说，第一个证明它的是欧多克索斯。

V=13πr2hV = \frac{1}{3} \pi r^2 h

阿基米德在《方法》的序言里把这件事讲得很清楚：锥体是同底等高柱体的三分之一、棱锥是棱柱的三分之一，德谟克利特最先说出了结论，却没有证明；第一个证明的是欧多克索斯。为什么非要证不可？因为这个 1/3 和平面上的三角形不一样。三角形是矩形的一半，剪两刀拼一拼就看见了；棱锥却不能靠有限次切割再拼成棱柱——这不是没人想到办法，是办不到：1900 年希尔伯特把它列为第三问题，同年德恩就给出了否定的回答。所以从德谟克利特到欧多克索斯之间那一步，跨的是「看出来」到「证出来」，而中间隔着一道不可能定理。他的走法仍是把差额挤掉：把方锥横切成 n 层，每层各取一个内接的方块和一个外接的方块，得到一个下界和一个上界。以柱体为一，n=10 时是 0.285 与 0.385，n=50 时是 0.3234 与 0.3434，n=100 时是 0.32835 与 0.33835——夹缝恰好是 1/n，也就是最底下那一块板的体积，想多小有多小。1/3 就卡在中间，别的数都卡不进去。这一招此后一直没变过样子：今天微积分第一堂课上的上和与下和，画的就是这张图。

把锥横切成 n 层，每层塞一个圆柱：取顶面半径得到的一摞装得进锥里，是下界；取底面半径的一摞罩得住锥，是上界。以同底等高的柱体为一，两者之差恒等于 1/n，正是最底下那一块板。层数一加，夹缝要多小有多小，而 1/3 始终卡在中间。这件事不能靠剪拼代替：1900 年希尔伯特把「棱锥能否切开再拼成棱柱」列为第三问题，同年德恩证明了不能。

两个球反着转，行星就画一个八字

同速反转的两个球让行星在天上走出一条马蹄线。可要它退行，sin i 必须大过会合周期与黄道周期之比——金星怎么调都过不了这一关。

sin⁡i>T会合T黄道\sin i > \frac{T_{\text{会合}}}{T_{\text{黄道}}}

行星有时会在群星间停住、倒退一段、再往前走。欧多克索斯的答案是纯运动学的：给每颗行星四个同心球，最外两个管周日旋转和沿黄道的年复一年，里面两个轴相交成角 i、同速反向转，行星就骑在最内那个球的赤道上。这两个球合起来，让行星在天球上画出一条封闭的八字形曲线，古人叫它马蹄线（绊马索）。这条曲线可以现算：它正好是天球与一个内切圆柱的交线，柱的半径是 sin²(i/2)；它沿黄道的长度恰好是 ±i，而垂直方向窄得多——i 取 30° 时黄纬只摆动 ±3.84°。整套系统一共二十七个球：恒星一个，日月各三个，五大行星各四个。把八字的来回叠到匀速前行上，只要退得够快，行星在天上就真的会倒走。条件算出来干净得出奇：sin i 要大于会合周期与黄道周期之比。土星只要 2.0°，木星 5.3°，水星 18.5°，都够得着；火星要 75.8°，而那样一来黄纬会摆到 ±22°，火星实际从不超过 7°；金星那个比值是 1.60，比这条曲线所能给出的最大回退还大，任何倾角都退不了行——十九世纪七十年代斯基亚帕雷利重建这套模型时算出的正是这个结果。此外还有一处它根本救不了：同心球把行星永远摆在同样远的地方，可金星和火星的亮度肉眼就看得出变化。辛普利丘记下了这条反驳。也有今人提醒，退行未必是这套模型本来要解决的问题，我们可能把后来的标准套了上去。

行星骑在最内那个球的赤道上，里面两个球轴交成 i 角、同速反转，合起来就让它在天上画一条封闭的八字——古人叫马蹄线（绊马索）。它沿黄道的长度恰好是 ±i，上下却窄得多。把这个来回叠到匀速前行上，只要退得够快，行星就真的会倒走。条件干净得出奇：sin i 要大过会合周期与黄道周期之比。土星只要 2.0°、木星 5.3°、水星 18.5°；火星要 75.8°，那样黄纬会摆到 ±22°，而它实际从不超过 7°；金星那个比值比这条曲线所能给出的最大回退还大，怎么调都退不了行。

写着他名字的那卷纸草，不是他写的

书全佚，原话只剩别人引的几句，而唯一一件古代实物挂着他的名，内容却浅得不可能出自他手。

欧多克索斯的书一卷也没传下来，这件事本身不稀奇——古代大半的书都是这个下场。稀奇的是他丢得如此彻底，却又如此难以抹去。《现象》被阿拉托斯改写成一首长诗，诗传了下来，书没有；喜帕恰斯给那首诗和它依据的欧多克索斯逐条挑错，写了三卷注，那部注是喜帕恰斯唯一传世的书，也是欧多克索斯原话唯一的存身之处——馆里喜帕恰斯的肖像位放的正是那部注的第一叶。他的天文模型靠欧德谟斯记录，欧德谟斯的书也佚了，靠辛普利丘转抄才留下一长段。他那部七卷的《大地环行》，据今人辑录只剩后人征引的百来条残篇。他的数学进了《原本》，而《原本》通篇不提他的名字，要到一条古代注释才补上一句「有人说，这一卷是……欧多克索斯的发现」，那句话还把他误记成柏拉图的老师——他其实比柏拉图小一辈。人也只剩侧影：第欧根尼·拉尔修记下他二十三岁那年手头拮据，住在比雷埃夫斯港，每天走进雅典听课再走回来；又记下他在埃及剃光胡须和眉毛，在祭司身边待了一年零四个月。斯特拉波说，他在克尼多斯那座看星台到自己的时代还立着，并不比周围的民房高多少，而他就是从那里看见老人星的——那颗星在希腊的纬度上几乎贴着地平线。至于实物，卢浮宫存着一卷公元前二世纪初的纸草，背面十四行诗的首字母连起来读作「欧多克索斯之术」，它因此被叫作《欧多克索斯之术》——可内容浅近，学界普遍认为不是他的书，那个名字多半是后人挂上去招徕读者的。真正属于他本人、又确凿无疑的，大概只剩一句话，还是普鲁塔克转述的：他说他情愿走到太阳旁边去，弄清它的形状、大小和模样，然后像法厄同那样被烧掉。今天在图片库里搜他的名字，翻出来的几乎全是月球上那座以他命名的环形山——名字挂在了天上，人却连一张脸都没留下。

故事展签故事展签：一个人可以被完整地保存下来，却一个字都不剩。

传承

他的工作没有留在十八世纪——每条链的终点，都是你今天正在使用的东西。

边与对角线量不到头⟶第五卷定义五：同比不必公度⟶实数与戴德金分割
第五卷的比例论⟶伽利略的运动学与牛顿《原理》都用它写⟶今天任何一类量都能谈比例
差额压到任意小⟶阿基米德的球与抛物弓形⟶刘徽割圆、卡瓦列里、黎曼和与极限
锥体是柱体三分之一⟶希尔伯特第三问题：拼不出来⟶微积分第一堂课的上和与下和
同心球与马蹄线⟶本轮与偏心圆⟶托勒密《天文学大成》
《现象》⟶阿拉托斯的长诗与喜帕恰斯的注⟶他仅存的原话

语录

「他情愿走到太阳旁边去，弄清那颗星的形状、大小和模样，然后像法厄同那样被它烧掉。」

—— 普鲁塔克《道德论集·伊壁鸠鲁派不可能有快乐的生活》第 11 节（1094B）· 大意，据珀尔修斯数字图书馆所收英译本转译。这是他留下的最著名的一句话，而它是转述

「有人说，这一卷是柏拉图的老师欧多克索斯的发现。」

—— 《原本》第五卷的一条古代注释 · 大意。「柏拉图的老师」是抄错了——他比柏拉图小一辈；希思认为归属本身已无可怀疑，只是第五卷的编排出自欧几里得

「他的论证之所以被人信服，与其说靠它本身，不如说靠他的人品：大家都认为他格外自制，所以他这样说并不是因为偏爱快乐，而是事情确实如此。」

—— 亚里士多德《尼各马可伦理学》第十卷第二章（1172b）· 大意，据罗斯英译本转译。说的是他主张快乐是善这件事