Yang Hui · 约1238–约1298

杨辉

那张三角形的数表不是他画的，他只是抄了下来——原书后来失传，于是它叫了他的名字

1 + 3 + 6 + \cdots + \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}

三角垛 ·《乘除通变本末》，1274 ·「本位不加，中加一，下加二，取一位可以六除者六除讫，三位相乘为积」

杨辉字谦光，钱塘（今浙江杭州）人。关于他这个人，能确定的事少得出奇：正史无传，生卒年都只能推，通行的写法是约1238–约1298；一般说他在南宋做过地方官，足迹在苏杭一带，此外几乎一无所知。可他留下的书是同时代最多的——五种二十一卷，从 1261 年到 1275 年，十五年里一本接一本：《详解九章算法》十二卷（1261）、《日用算法》二卷（1262，已佚）、《乘除通变本末》三卷（1274）、《田亩比类乘除捷法》二卷与《续古摘奇算法》二卷（都是 1275）。后三种合称《杨辉算法》。最后两种的序署「乙亥德祐改元小暑节」——那是 1275 年夏天，第二年临安就降了。

宋元数学的四位大家里，秦九韶、李冶、朱世杰各有一门自己的发明，杨辉的位置不一样：他几乎不宣称什么是自己的。开方作法本源图注明出自贾宪的《释锁算书》，带从开方的那批题注明抄自刘益的《议古根源》，纵横图里的洛书是几千年的老图，垛积的源头是沈括的隙积术。他做的是另一件事——把这些东西说清楚，并且排出学的次序。《详解九章算法》的自序把办法一条条列了出来：「恐问隐而添题，解见法隐而续释」，「注刊大小字以明法草」，「凡题法解白不明者，别图而验之」；书后附《九章算法纂类》，把《九章算术》二百四十六问按方法重排成九类；《乘除通变本末》卷首那篇《习算纲目》，干脆排成一份带日程的课程表。他最爱说的一句是「算无定法，惟理是用」——法子没有一定的，看道理该用哪个就用哪个。这些书后来在东亚流传极广，朝鲜与日本都翻刻过；而他转录下来的那张表，今天在中文里叫杨辉三角。

《杨辉算法》宜稼堂丛书本，《算法通变本末》卷上第一页 · 浙江大学 CADAL 藏本，Wikimedia Commons，公有领域。杨辉没有画像传世，流传的像都是今人所绘，所以这里放他自己的那一页书。卷端首行题「算法通变本末卷上」，右起第二行是署名「钱塘杨辉编集」，接着就是《习算纲目》——已知最早的一份数学课程表。正文头一句「先念九九合数，一一如一到九九八十一，自小至大，用法不出于此」，下面几行已经在排日程：「学相乘起例并定位，功课一日」「温习乘法题目，功课五日」「学商除起例并定位，功课一日」。左边版心下端印着「宜稼堂丛书」，与馆里秦九韶那本《数书九章》同一套丛书、同一个刻书人。

生平

约1238
约生于钱塘
生卒年都没有确据，1238 与 1298 是从书的年代与序跋推出来的。字谦光。正史无传。
1261
《详解九章算法》十二卷
自序署「景定二年辛酉岁正月十七日己卯，钱塘杨辉谨序」。他的办法写在序里：问得不清楚就添一道题，解法说得不明白就再释一遍，还不明白就画图验它。
1261
附《九章算法纂类》
把《九章算术》二百四十六问按方法重排成九类：乘除、分率、合率、互换、衰分、叠积、盈不足、方程、勾股。原书按「田、粟、税、工」分，学的人却要按「用什么法」找。
卷五少广
转录开方作法本源图
注明「出《释锁算书》，贾宪用此术」。贾宪的原书失传，这张表能留到今天，靠的就是这一次转录。
1262
《日用算法》二卷
给日常用的算书，已佚。《乘除通变本末》里讲三角垛时写着「日用有图」，说明那本书里画过果子堆的图。
1274
《乘除通变本末》三卷
卷上《算法通变本末》（含《习算纲目》）、卷中《乘除通变算宝》（加法五术、减法四术、求一、九归）、卷下《法算取用本末》（一至三百的乘除各三百题）。
卷上
习算纲目
一千多字，从背九九表排到《九章》二百四十六问，每一步都标着「功课几日」。全部加起来二百五十多天。
1275
《田亩比类乘除捷法》二卷
序署「乙亥德祐改元小暑节」。卷下抄刘益《议古根源》的题：同一块八百六十四步的田，换八种问法，列出八个不同的方程。
1275
《续古摘奇算法》二卷
卷上是二十来幅纵横图——三阶到十阶的幻方，外加攒九、聚五、连环这一类圆环上的图，并且给出了造法。
1276
临安降元
他最后两本书写完的第二年。此后再无关于他的记载。
1303
朱世杰《四元玉鉴》
同一张表以「古法七乘方图」之名重印，垛积也往上推了一层。中国的高阶等差级数求和到此成形。
1378
余氏勤德堂刊《杨辉算法》
洪武十一年。中国的本子后来亡了。
1408
《永乐大典》抄存
《详解九章算法》此时已散，卷一六三四三、一六三四四抄下了残存的部分——开方作法本源图就在其中。这一册今存剑桥大学图书馆。
1433
朝鲜庆州府翻刻
宣德八年，据洪武十一年余氏本翻刊。这一部反倒成了《杨辉算法》现存最早的本子。日本方面则说关孝和在 1661 年见到后亲手传写了足本。
1842
《宜稼堂丛书》刻本
郁松年刻，与《数书九章》同一套丛书、同一个刻书人。《详解九章算法》的残本与《杨辉算法》六卷，都由这一次刻印传下来。

展品厅

绝大多数展品都可以亲手把玩——这是本馆的立馆之本；少数以叙述为主的，做成故事展签。

镇馆之宝 · 亲手玩

九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出

十六个字，把洛书摆了出来——图是几千年的老图，做法是他写下来的。

1 + 2 + \cdots + n^2 = \frac{n^2(n^2+1)}{2} \quad \Longrightarrow \quad \frac{n(n^2+1)}{2}

《续古摘奇算法》卷上开头是二十来幅「纵横图」，也就是今天说的幻方：数填进方格，每行、每列、每条对角线加起来都是同一个数。三阶那一幅就是洛书。它本身极古老，《大戴礼记·明堂》里已经写着「二九四、七五三、六一八」，汉代以来的书里也一再出现；可两千年传下来的只有这张图，没有人说它是怎么摆出来的。杨辉补上的正是这一步，而且只用了十六个字：九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出。照着做：一到九斜着排成一个菱形，是为九子斜排；把顶上的 1 与底下的 9 对换，是为上下对易；把左边的 7 与右边的 3 对换，是为左右相更；这时 2、4、6、8 四个正悬在四个角外，各自往里一挺，落进方阵的四角，是为四维挺出——洛书就成了，「戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足」。四阶那一幅他叫花十六图，做法同样是两句话：十六个数依次写成四行，先把外面四个角对换（1 换 16、4 换 13），再把里面四个角对换（6 换 11、7 换 10），四行四列加两条对角线，十个和全是 34。他的书里从三阶一路排到十阶，另有攒九、聚五、聚六、连环这一类摆在圆环上的图。要紧的不是图多，是他给了造法：一张图是一个答案，一条造法是一整类答案。欧洲要到 1612 年巴谢那本《有趣而好玩的数学问题》才有同一类的斜排构造，晚了三百三十多年。至于幻和为什么是那个数，一行就算得出来：1 到 n² 加起来是 n²(n²+1)/2，分给 n 行，每行 n(n²+1)/2——三阶 15，四阶 34，十阶 505。

照那十六个字走一遍：斜排、对易、相更、挺出；再看四阶的花十六图怎么两次换角就成

第 4 步：四维挺出

三阶那幅图就是洛书，它本身极古老；两千年里传下来的只有图，没有做法。杨辉补上的正是这一步，而且只用了十六个字：九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出。一到九斜排成菱形，顶上的 1 与底下的 9 对换，左边的 7 与右边的 3 对换，剩下 2、4、6、8 四个正悬在四角上，各自往外一挺，落进方阵——洛书就成了，八条线全是 15。四阶那幅他叫花十六图：十六个数顺着写成四行，先换外面四个角（一换十六、四换十三），再换里面四个角（六换十一、七换十），十条线全是 34。要紧的不是图多，是一张图只是一个答案，一条造法是一整类答案。欧洲要到 1612 年巴谢那本《有趣而好玩的数学问题》才有同一类的斜排构造。

不用乘法的乘法

把乘数凑成 1 开头，乘法就变成加法——他为这件事写了三卷书，末卷还列了六百道现成的。

a \times 9 = 10a - a \qquad a \times 56 = \frac{a}{2} \times 112

1274 年的《乘除通变本末》三卷，讲的只有一件事：怎么少做乘除。算筹摆一次乘法要逐位相乘再相加，位数一多就容易错；他把常见的乘数除数分门别类，凑成「以加代乘、以减代除」。最基本的一档叫身外加：乘 1.3 就是把原数写下来，再在低一位上加三成。足钱九十六贯二百五十文折成七十七陌，本来是除以 0.77，他的做法是先加三得 125125，再「望贯除一」减掉千分之一，正好 125000——一次乘除都没有做。乘数不是 1 开头怎么办？那就「求一」：倍它或者折它，直到首位成 1，同时把另一个数反着折或倍。他为此编了一首歌诀：「五六七八九，倍之数不走；二三须当半，遇四两折纽……倍法必折实，倍实必折法，用加以代乘，斯数足可守。」237 乘 56：56 倍成 112，237 折成 118.5，再加一二，得 132.72，也就是 13272。反过来还有「损」：「九乘者损一，十去其一即九；八乘者损二……五乘者折半，四乘者损六，三乘者损七，二乘者损八」——乘 9 就是退一位再减去自己一遍，正是今天芯片里那句移位加法。除法那边对应的是九归，一位数的除法全部背成口诀；他还嫌当时通行的口诀只念四十五句，说「算家惟恐无数可致，岂得有数不用者乎」，把九九合数八十一句全收了回来。卷下《法算取用本末》把一到三百的乘与除逐条列成现成的办法，加因代乘三百题、归减代除三百题。这一套是算筹的最后一程，也是算盘的第一程：九归与求一的口诀后来原封不动进了珠算。他自己给这件事写了一句话：算无定法，惟理是用。

算筹摆一次乘法要逐位相乘再对位相加，位数一多就容易错。杨辉用三卷书讲的只有一件事：怎么少做乘除。法数在九九合数之内就拆成两遍「因」；不在的话就「求一」——把法倍它或折它，直到首位成一，同时把实反着折或倍，剩下的就只是「加」了。他为此编了一首歌诀：「五六七八九，倍之数不走；二三须当半，遇四两折纽……倍法必折实，倍实必折法，用加以代乘，斯数足可守。」最后一题干脆是除法：七十七乘一点三正好是一点〇〇一，所以「身下加三，望贯除一」，一次除也没有做。右边那两个数是本件自己的记法，不是史料里的数，只为把省下来的东西摆到台面上。

一堆果子有多少个

底面七个的三角垛是八十四个——他给的口诀是三个数相乘再六除，而那正是贾宪三角的第四条斜线。

1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = \frac{n\left(n+\frac{1}{2}\right)(n+1)}{3}

《乘除通变本末》里夹着两道看着不起眼的题：「三角垛底面七个，问积几何？答曰八十四个。」「四隅垛底层六个，问积几何？答曰九十一个。」三角垛是把果子摞成三棱锥，最上一个，第二层三个，第三层六个，第 k 层是 1+2+⋯+k；四隅垛是方底的，第 k 层 k 行 k 列。两样都不是等差数列，逐层加要加 n 次，而杨辉给的是一次就算完的口诀。三角垛：「置底面数张三位，本位不加，中加一，下加二，于内取一位可以六除者六除讫，三位相乘为积」——摊开就是 n(n+1)(n+2)/6。底面七个：摆出 7、8、9，其中 9 能被 3 整除、8 能被 2 整除，他取 9 先除掉六分之一得 1.5，7×8×1.5 = 84；底面四个那一题他顺手说了一句「遇六数不用」——4、5、6 里的 6 正好除尽，于是「直以五四相因」，5×4 = 20，连除都省了。四隅垛：「上不加，中加半，下加一，内取一位可三除者除讫」——n(n+½)(n+1)/3。底层六个：6÷3 = 2，2×6.5×7 = 91，也就是 1²+2²+⋯+6² = 91。这一路的源头是沈括：《梦溪笔谈》里那条隙积术问的是酒坛堆成的刍童垛，他说旧法算不了，于是自己造了一个；杨辉把它扩成一系列，朱世杰 1303 年再往上推一层。还有一件事值得并排看：三角垛的答数 1、4、10、20、35、56、84 正是贾宪三角第四条斜线上那串数，也就是 C(n+2, 3)——同一张表，一条斜线是开方要用的系数，另一条斜线是果子堆的个数。而那张表，也是靠杨辉的转录才留下来的。

底面 7 个

果子摞成一堆，一共几个？逐层加是老实办法，底面 n 个就要加 n 次；杨辉给的是一次算完的口诀。三角垛：「本位不加，中加一，下加二，于内取一位可以六除者六除讫，三位相乘为积」——也就是 n(n+1)(n+2)/6。底面七个：摆出 7、8、9，取 9 六除得一个半，7 × 8 × 1.5 = 84，正是他书上的答数；底面四个那一题他顺手说了句「遇六数不用」，因为 4、5、6 里的 6 正好除尽，五四相因就是 20。四隅垛换成「上不加，中加半，下加一，内取一位可三除者除讫」，底层六个：2 × 6.5 × 7 = 91，也就是 1²+⋯+6²。这一路的源头是沈括的隙积术，往后由朱世杰 1303 年再推一层。还有一件事值得并排看：三角垛的答数 1、4、10、20、35、56、84，正是贾宪三角第四条斜线上那串数——同一张表，一条斜线是开方要用的系数，另一条是果子堆的个数。

同一块田，他问了八遍

长三十六步、阔二十四步、积八百六十四步——换八种问法，就得到八个不一样的方程。

x^2 - 12x - 864 = 0 \qquad 60x - x^2 = 864 \qquad 8x^2 - 312x + 864 = 0

《田亩比类乘除捷法》卷下抄的是刘益《议古根源》里的题。刘益是十二世纪的人，杨辉在《习算纲目》里写：「刘益以勾股之术治演段锁方，撰《议古根源》二百问，带益隅开方，实冠前古。」带益隅的意思是方程里允许出现负的二次项系数；一般认为这在中国数学里是头一回，比秦九韶的正负开方术还早。杨辉挑出的那一组题，来来回回都在说同一块田：长三十六步，阔二十四步，积八百六十四步。可问法一换，列出来的方程就全变了。「阔少长十二步，问长几步」：x² − 12x − 864 = 0，他叫益积开方；同一题换一条路走，把负从先减进方法里，叫减从开方，答数一样。「长阔共六十步，先求阔」：60x − x² = 864，二次项是负的，他叫益隅。同一个方程改问长，逐位商到三十的时候实数不够减、整个翻了号，他就管这一档叫翻积——正是秦九韶「翻法」的那个字。再往下：「三长五阔共二百二十八步」给出 5y² − 228y + 2592 = 0，「一长二阔三和四较共三百一十二步」先化成 8x + y = 312，配上 xy = 864 得 y² − 312y + 6912 = 0，两个根 288 与 24——另一个根对应的是一块长三步、阔二百八十八步的田，它同样满足题设，他取的是二十四。最后一题干脆换成一个方田加一个圆田共二千二百六十八步、方面等于圆径，按当时的古率（圆周取三）四因积步、七为隅算，开出来还是 36。每一题他都先画一幅演段图：把方程的每一项摆成一块矩形，看着图就知道为什么该添一块、该减一块——代数的每一步在图上都有一个对应的动作。这是一套教材的写法：换的不是题，是问法；要学的不是答案，是同一件事怎么化成方程。

第 1 种问法：益积开方

《田亩比类乘除捷法》卷下抄的是刘益《议古根源》的题。杨辉在《习算纲目》里写：「刘益以勾股之术治演段锁方，撰《议古根源》二百问，带益隅开方，实冠前古。」带益隅的意思是方程里容得下负的二次项系数，一般认为这在中国数学里是头一回。他挑出的那一组题，来回都在说同一块田——长三十六步，阔二十四步，积八百六十四步——可问法一换，方程就全变了：益积、减从、益隅、翻积各配一档解法。「翻积」那一档最值得看：商到三十的时候，该减的九百比实有的八百六十四还多，实整个翻成正的三十六——秦九韶《数书九章》里那个「翻法」，用的正是这个字。每一题他都先画一幅演段图，把方程的每一项摆成一块面积：代数的每一步，图上都有一个对应的动作。这是一套教材的写法——换的不是题，是问法。

一份八百年前的课程表

学乘法一日、温习五日，学除法一日、温习半月……已知最早的一份数学学习纲要，逐条标着功课几天。

《乘除通变本末》卷上开头有一篇《习算纲目》，一千多字，从头到尾在排课。第一句是「先念九九合数，一一如一至九九八十一，自小至大，用法不出于此」——九九表背熟，后面所有的法都出不了它。接着逐项写明功课几日：学相乘的起例与定位一日，温习乘法题目五日；学商除一日，温习半月；《五曹》《应用算法》两本书每天做两三问，两个月；加法一日、温习三日；减法一日、温习五日——他还顺手说了为什么减法要贴着加法学：「加法乃生数也，减法乃去其数也，有加则有减，凡学减必以加法题答考之，庶知其源。」九归本来要背四十四句口诀，「非五七日不熟」，他说照《详解算法》里的注文看一遍用意，一日可记。分数那一段最长：日习一法，不旬日而周知，再用两个月温习，因为「治分乃用算之喉襟也」。开方是大节目，例有七体——开平方、开平圆、开立方、开立圆、开分子方、开三乘以上方、带从开方——一日学一法，两个月演习，而且「须讨论用法之源，庶久而无失忘矣」。最后是《九章》二百四十六问：方田、粟米一日过一遍；衰分功在立衰，少广全类合分，商功皆是折变，均输取用衰分互乘，每章三日；盈不足、方程、勾股用法颇杂，每章四日。全部加起来二百五十多天，不到一年。这不是一张书单，是一张带工时的课程表——什么时候学新的、什么时候只是练熟、哪一步必须追问道理，都写了出来。十三年前编《详解九章算法》时，他已经做过同一件事的另一半：把《九章》那二百四十六问按方法重新分成九类（乘除、分率、合率、互换、衰分、叠积、盈不足、方程、勾股），附在书后叫《纂类》。理由是一样的：书原来按田、粟、税、工分，学的人却要按「用什么法」找。

第 10 段：开方七体

这不是一张书单，是一张带工时的课程表。学相乘一日、温习五日；学商除一日、温习半月；《五曹》《应用算法》两本书每天做两三问，两个月。他还顺手写明了为什么减法要贴着加法学：「加法乃生数也，减法乃去其数也，有加则有减，凡学减必以加法题答考之，庶知其源。」分数那一段排得最长，理由是「治分乃用算之喉襟也」；开方是大节目，例有七体，一日学一法，再用两个月演习，而且「须讨论用法之源，庶久而无失忘矣」——练熟不算完，还得追问这个法子为什么行。最后是《九章》二百四十六问，按章排日：方田、粟米一日过一遍，衰分、少广、商功、均输每章三日，盈不足、方程、勾股用法颇杂，每章四日。日数都是原文里的，加起来 257 天；他自己没有加总过这个数。

这张表为什么没有失传

贾宪的开方作法本源图，原书早就没了——它留到今天，中间隔着一次转录、一部类书和一次朝鲜刻本。

今天中文里叫杨辉三角的那张表，杨辉自己说得很清楚不是他的：在《详解九章算法》里他把它抄了下来，注明「出《释锁算书》，贾宪用此术」。贾宪是十一世纪的人，一般说他是北宋天文学家楚衍的学生，做过左班殿直；《释锁算书》与《黄帝九章算经细草》都失传了，连生卒年都没有留下。所以这张表能到今天，靠的是一条极细的线：贾宪写下，杨辉 1261 年转录进《详解九章算法》；可这部书本身后来也散了，明初《永乐大典》卷一六三四三、一六三四四把残存的部分抄了进去；《永乐大典》大半毁于兵火与劫掠，而恰好留下的这一册今天藏在剑桥大学图书馆；清代从中辑出，1842 年郁松年刻进《宜稼堂丛书》。他的另外三种书走的是另一条路：1378 年余氏勤德堂刻过一次，中国的本子后来也亡了，1433 年朝鲜庆州府照着翻刻的那一部反倒成了现存最早的本子；日本方面则说关孝和 1661 年见到之后亲手传写了足本。一个人一辈子写了五种二十一卷，两条路各断过一次，两次都是靠别处的抄手接住的。他被记住的那个名字，其实是一次转录的名字。他自己大概不会太在意这件事。那部书的序里，他把自己做的事说得明明白白：恐问隐而添题，解见法隐而续释——题目问得不清楚就添一道，解法说得不明白就再释一遍；凡题法解白不明者，别图而验之。

故事展签故事展签：他被记住的那个名字，其实是一次转录的名字。

传承

他的工作没有留在十八世纪——每条链的终点，都是你今天正在使用的东西。

贾宪的开方作法本源图（原书失传）⟶杨辉 1261 年把它转录进《详解九章算法》⟶二项式系数与组合计数：抽样方案、纠错码里挑校验位，都要数这张表

沈括的隙积术⟶三角垛、四隅垛：高阶等差级数一次求和⟶今天的算法复杂度与数值积分里那句「n 立方除以六」

刘益的带益隅开方⟶同一块田问八遍，八个方程配八种解法⟶今天的求解器：先把问题化成方程，再逐位逼近——数值求根的日常

算筹的逐位乘除⟶求一、九归、加减代乘除，六百道现成的题⟶珠算口诀，以及芯片里用移位和加法代替乘法的器件设计

洛书⟶二十来幅纵横图，以及它们的造法⟶组合设计与实验设计：正交表排出质检与 A/B 测试的方案

语录

「先念九九合数，一一如一至九九八十一，自小至大，用法不出于此。」
—— 《乘除通变本末》卷上《习算纲目》开篇 · 肖像位那一页的正文头一句就是它

「恐问隐而添题，解见法隐而续释……凡题法解白不明者，别图而验之。」
—— 《详解九章算法》自序，景定二年（1261）· 他把自己的编书办法一条条写在了序里

「矧此算无定法，惟理是用已矣。」
—— 《乘除通变算宝》卷中《算无定法详说》 · 法子没有一定的，看道理该用哪个就用哪个

「治分乃用算之喉襟也。」
—— 《习算纲目》论分数 · 所以那一段他排了最长的课：日习一法，不旬日而周知，再用两个月温习