一块正方形，剥一层就是一个立方
1³+2³+⋯+n³ 等于 (1+2+⋯+n)²。他的证法是把边长 1+2+⋯+n 的正方形一层层剥开——剥下的每一层，正好是一个立方数。
这是他留下的最漂亮的一件东西，也是数学归纳法最早的一处骨架。结论本身很好写：前 n 个立方数之和，等于前 n 个数之和的平方；n = 10 时，两边都是 3025，而 3025 = 55²。难的是证。他的走法是画一个边长 S(10) = 1+2+⋯+10 = 55 的正方形，然后从两条边上剥掉一层宽 10 的曲尺形。这一层由两个长方形加一个小正方形拼成，面积是 2×10×(1+2+⋯+9) + 10² = 900 + 100 = 1000，正好是 10³。剥掉它，剩下的还是一个正方形，边长 1+2+⋯+9；同一句话再说一遍，剥下 9³；一直剥到只剩一个 1×1 的格子，那是 1³。于是整个正方形被切成了 1³ 到 10³ 这十块——这就是结论。换个算法更省事：S(n) + S(n−1) = n²，S(n) − S(n−1) = n，两者相乘就是 S(n)² − S(n−1)² = n³，一行就完了，可那样就看不见那一层层的曲尺了。要紧的是论证的形状：起点（n = 1 时 1 = 1³）成立，而由第 n 格能退到第 n−1 格——今人（卡茨）指出，现代归纳法的两个基本部件都在这里，只是方向是从 10 往回退，不是从 1 往前推。还有一点值得说清：他写的是 n = 10 这一个具体情形，可整段论证里一步也没有用到「10」这个数，换成任何一个数都照走不误——这正是它够得上「证明」而不只是「验算」的地方。馆里另有一处用了同样的手法：同一代人海什木为了求一个抛物体的体积算到四次方之和，走的是另一条递推的路，也只拿 n = 4 一步步做完，末了说对任何数都一样。没有证据表明两人读过对方的书。原书已经失传，今天读到的是一百多年后萨马瓦尔在《光辉》里的转述。六百年后帕斯卡在《论算术三角形》里把这套推理写成了一种方法、并给了它名分，那是馆里的另一件展品；两件事的分别不在于谁先用，而在于谁先把「这是一种方法」说出口。
拖动 n：看正方形一层层剥下去，每剥一层，右边的账上就多出一个立方数
每一层曲尺由两个 n × (1+2+⋯+(n−1)) 的长方形与一个 n × n 的方角拼成，合起来正好是 n³——所以剥一层就记下一个立方数，剥到最后一格是 1³，整块正方形刚好被分完。 他写的是 n = 10 那一个情形（3025 = 55²），可论证里一步也没有用到「10」，换成任何一个数都照走不误。 还有一条一行就完的算法：相邻两个三角形数满足 S(n) + S(n−1) = n² 与 S(n) − S(n−1) = n，两式相乘就是 S(n)² − S(n−1)² = n³；只是那样就看不见这一层层的曲尺了。