Felix Klein · 1849–1925

克莱因

他问的不是「这是什么图形」，而是「你许我动它到什么地步」

\text{几何} = \text{一个变换群下的不变量}

爱尔兰根纲领 · 1872 ·《对新近几何研究的比较考察》。群越大，活下来的量越少：等距保长度，相似只保角，仿射连角也不保、只保同一条线上的比，射影连比也不保、只剩交比

费利克斯·克莱因 1849 年 4 月 25 日生于杜塞尔多夫。他自己爱提这个日子：25 是 5 的平方，4 是 2 的平方，49 是 7 的平方——连 1849 也是 43 的平方。他在波恩跟普吕克做线几何，1868 年拿到博士；同年普吕克去世，《空间新几何学》的下卷由这个十九岁的学生续完。1870 年他在巴黎结识索菲斯·李，两人一起读群论，普法战争一起把他们赶回各自的国家。1872 年他二十三岁，当上爱尔兰根的教授，就职时印发了一本小册子《对新近几何研究的比较考察》——后世叫它爱尔兰根纲领。有一件事常被说错：那不是他的就职演说。演说讲的是数学教育；纲领只是随讲散发的一份印刷品，当时几乎没有引起反响，要过二十多年才被人一再重印、译成六种文字。此后他换过三处讲席：慕尼黑工业高等学校（1875）、莱比锡（1880）、哥廷根（1886）。1875 年他娶了安娜·黑格尔——哲学家黑格尔的孙女。

1881 到 1882 年，他和庞加莱赛了一场跑。两人几乎同时在做自守函数，一封接一封地通信，都想拿下那条把一切收口的单值化定理。1882 年秋天，他的身体整个垮掉，接着是一两年的抑郁；他的研究生涯实际上到此为止，那年他三十三岁。此后四十年，他改行做另一件事，而且做得比谁都好：办《数学年刊》，1895 年把希尔伯特从柯尼斯堡请到哥廷根，1902 年请来闵可夫斯基，1915 年与希尔伯特一起把诺特请来；1893 年代表德国去芝加哥世博会的数学大会；1898 年拉来企业的钱办应用数学的研究所；1905 年主持梅兰教学大纲，要把函数概念与微积分的头几步放进中学课堂；1908 年在罗马当选国际数学教育委员会的第一任主席。「打起背包，到哥廷根去」这句话之所以成立，是他办出来的。1925 年 6 月 22 日，他在哥廷根去世。

1885 年那本相册的第 30 页 · 摄影 Georg Brokesch，Wikimedia Commons，公有领域。这本相册是三百多位学生、同行与友人凑给魏尔斯特拉斯的七十岁生日礼物，后来在柏林一家博物馆里压了七十年，1994 年才由勃林整理刊布——馆里正好也有魏尔斯特拉斯，这张照片本身就是一条链子。照片上的克莱因三十六岁，在莱比锡，离那场把他拖垮的赛跑刚过去三年。

生平

1849
生于杜塞尔多夫
4 月 25 日。25 = 5²、4 = 2²、49 = 7²，而 1849 = 43²——这个巧合他自己常提。
1868
波恩博士，导师当年去世
论文讲线几何。普吕克同年过世，《空间新几何学》下卷由他续完。
1870
巴黎，遇见索菲斯·李
两人一起读若尔当的置换论，随后普法战争把他们各自赶回国。
1871
《论所谓非欧几何》
两篇。把欧氏与非欧几何一起装进「射影几何加一条二次曲线」的框架里。圆盘模型 1868 年贝尔特拉米已经做出，克莱因加的是射影这一层：距离写成交比。
1872
爱尔兰根纲领
二十三岁就任教授时散发的小册子，不是就职演说本身；当时几乎没有反响。
1875
慕尼黑工业高等学校；成婚
娶安娜·黑格尔，哲学家黑格尔的孙女。
1880
莱比锡
在这里开始做自守函数与椭圆模函数。
1882
克莱因瓶
在《论黎曼的代数函数理论》里描述。同年秋天他的健康整个垮掉。
1881–82
与庞加莱的赛跑
两人几乎同时做自守函数，通信往来，都想证出单值化定理。这场消耗直接拖垮了他。
1884
《正二十面体讲义》
副题是「与五次方程的解法」：不用根式，用二十面体的对称去解一般五次方程。
1886
哥廷根
此后二十七年，他把一个系办成了世界的数学中心。
1893
芝加哥
世博会期间的数学大会，他代表德国出席，会后在埃文斯顿做了十二场讲演。
1895
请来希尔伯特；第一位女博士
同一年，格雷丝·奇泽姆·杨在他名下拿到学位——第一个走完正常考试程序、在德国拿到博士的女性。
1905
梅兰教学大纲
把函数概念与微积分的头几步放进中学。这是他后半生用力最多的一件事。
1908
国际数学教育委员会
罗马国际数学家大会上当选第一任主席。同年出版《高观点下的初等数学》。
1925
卒于哥廷根
6 月 22 日。

展品厅

绝大多数展品都可以亲手把玩——这是本馆的立馆之本；少数以叙述为主的，做成故事展签。

镇馆之宝 · 亲手玩

几何是一个群的不变量

你许我动它到什么地步，它就还剩多少性质。群越大，活下来的量越少——这就是爱尔兰根纲领的全部内容。

\text{交比} = \frac{\overline{CA}}{\overline{CB}} \div \frac{\overline{DA}}{\overline{DB}}

1872 年之前，几何是一堆彼此不相干的学问：欧氏几何、仿射几何、射影几何、刚出生的非欧几何，各有各的公理、各有各的定理，谁也说不清它们是什么关系。克莱因在一本小册子里给了一句话：「一门几何，就是一个变换群，加上这个群动不了的那些量」。于是关系一目了然——群是套在一起的，等距群装在相似群里，相似群装在仿射群里，仿射群装在射影群里；群越往上走，允许你做的动作越多，能活下来的性质就越少。演示里四个群逐档放开，每一档的读数都是现算的：等距下长度 2.0000 还是 2.0000、角 70.560° 还是 70.560°；换成相似，长度从 2.0000 变成 3.2000，角一度不差；换成仿射，角从 70.560° 塌成 37.835°，可一条直线上「这个点把这段分成几比几」仍然是 0.333333；再换成射影，连这个比也变了（0.333333 → 0.419913），只剩一个数一动不动：交比 0.2500000000。四个点的交比是射影几何里最后的守财奴，往后要再退，就退到拓扑——那里连直线是不是直的都不问了，只剩下连通与洞。这个看法后来跑出了几何：物理学里的相对论说的是洛伦兹群的不变量，晶体学按对称群分类，今天机器学习里所谓「等变网络」，讲的还是同一句话——先说清你许它动到什么地步。

逐档放开变换群：看长度、角、同一条线上的比一个接一个失守，而交比一直不动

四个群是套在一起的：等距 ⊂ 相似 ⊂ 仿射 ⊂ 射影，每往上一档，允许你做的动作更多，能活下来的量更少。长度在「相似」那一档失守，角在「仿射」那一档失守，连「同一条线上分成几比几」也在「射影」那一档失守—— 而四个点的交比一档也没动，它是射影几何里最后的守财奴。再往上退就是拓扑：那里连直线是不是直的都不问，只剩下连通与洞。

把非欧几何搬进一个圆盘

圆盘里面就是整个双曲平面：直线是弦，过一点能画出无穷多条不与已知直线相交的线。而两点之间的距离，是一个交比。

d(P,Q) = \frac{1}{2}\left|\ln \frac{\overline{AQ}\cdot\overline{BP}}{\overline{AP}\cdot\overline{BQ}}\right|

罗巴切夫斯基与波尔约写下了非欧几何，可有一件事一直悬着：这套东西自己会不会哪天推出矛盾？回答的办法是把它整个搬家。取欧氏平面上一个圆盘，规定「点」就是圆盘内部的点，「直线」就是圆盘的弦（两端开着，不含端点）。这么一解释，欧几里得的前四条公设条条成立，而第五条当场失效：给一条弦与弦外一点，过这点的弦里有一整片都不与它相交——演示里那把扇子就是它们，两条边界叫平行线，中间那些叫超平行。要紧的不是画得出来，而是这意味着什么：整个非欧几何被翻译成了关于圆盘与弦的普通欧氏陈述，所以「非欧几何若有矛盾，欧氏几何也必有矛盾」。两千年的疑案就此了结——不是证明非欧几何为真，是证明它和老几何一样可靠。距离怎么定？这里是这件展品与上一件接上的地方：取弦与圆周的两个交点 A、B，两点 P、Q 之间的距离就是 ½|ln (A,B;P,Q)|，一个交比的对数。也就是说，双曲几何是射影几何的一个子几何——射影变换里保住那个圆的那些，正好就是双曲平面的运动群，这是爱尔兰根纲领的第一个大战果。现算核过：在直径上，这条公式给出的正是 artanh(r)（r = 0.8 时两边都是 1.098612288668）；圆盘里任取两点，它与闭式 cosh d =（1 − P·Q）/√((1−|P|²)(1−|Q|²)) 逐位相同，差在 1e−16。这里要把功劳分清楚：把双曲平面装进一个圆盘、直线就是弦，是 1868 年贝尔特拉米先做的，相容性那一步也由他用微分几何走完；克莱因 1871 年加的是另一层——把这个模型读成射影几何，距离用凯莱 1859 年那套「绝对形」写成交比，于是双曲平面的运动群成了射影群里保住一条二次曲线的那一部分。正因为这一层，它才接得上第二年的爱尔兰根纲领；也正因为这一层，这个模型后来挂在了克莱因名下。贝尔特拉米 1872 年 7 月 5 日给乌埃尔的信里说得很坦白：射影这一路的材料他早就攒了，只是没当回事，让克莱因走到了前面。还有一处不同意见：凯莱本人不接受克莱因的用法，认为论证绕了圈子；今天的看法是克莱因对。要说代价也有一个：这个模型不保角，图上量出来的角不是真角——保角的那个模型是庞加莱的，馆里黎曼那件用的就是它。

弦 ℓ 的位置 0.45P 的位置 -0.35扇子里挑一条

「点」是圆盘内部的点，「直线」是弦——两端开着，圆周本身不算点，它是无穷远。这么一解释，欧几里得的前四条公设条条成立，第五条当场失效：过 P 不与 ℓ 相交的弦有整整一扇，两条虚线是它的边界（各过 ℓ 的一个理想端点），中间那些叫超平行。要紧的不是画得出来，而是：非欧几何被整个翻译成了关于圆盘与弦的普通欧氏陈述，所以它若有矛盾，欧氏几何也必有矛盾。距离也在这套语言里——它是一个交比的对数，而交比正是射影几何里那个动不了的量：这一层是克莱因 1871 年加的，圆盘本身 1868 年贝尔特拉米已经做出来了。这个模型不保角：图上量出来的角不是双曲角。

正二十面体里藏着五次方程

把二十面体转回它自己，办法正好有 60 种。这个 60 与「五次方程没有求根公式」是同一件事。

|\,\mathrm{Rot}(\text{二十面体})\,| = 6\times 4 + 10\times 2 + 15 + 1 = 60 = |A_5|

一个正二十面体，转到与原来重合，有多少种转法？数一遍：十二个顶点配成六对，每对给一条五重轴，每条轴上有 4 个非平凡的转角，得 24 种；二十个面配成十对，每对给一条三重轴，各 2 种，得 20 种；三十条棱配成十五对，每对给一条二重轴，各 1 种，得 15 种；加上「不动」，合计 24 + 20 + 15 + 1 = 60。演示里这三类轴可以逐条点开，转给你看，也可以试试绕顶点轴转 60°——那一档转完对不上，因为顶点轴是五重的，不是六重的。60 这个数不是巧合：这个旋转群与五个字母的偶置换群 A₅ 同构，而 A₅ 正是馆里伽罗瓦那件展品的主角——它是最小的非交换单群，没有真正规子群，所以五次方程的伽罗瓦群一般解不下来，根式公式不存在。克莱因 1884 年那本《正二十面体讲义》做的是反过来的事：既然根式解不出来，那就换一样工具。他证明一般五次方程可以化成一个与二十面体挂钩的标准方程，再用二十面体的对称与椭圆模函数把根写出来——不是用根式解开了五次方程，而是指出根式本来就不是唯一的解法。这件事在今天的形状是：解高次方程的「特殊函数解」与计算机代数里那一支，源头都在这本书里。顺带一提，那本书的另一半讲的是二十面体群的全部子群与不变式——那一套写法后来成了整个有限群表示论的样板。

十二个顶点配成六对，每对一条五重轴，各 4 个非平凡转角；二十个面配成十对，各 2 个；三十条棱配成十五对，各 1 个；加上「什么也不动」——24 + 20 + 15 + 1 = 60。这个群与五个字母的偶置换群 A₅ 同构，而 A₅ 没有真正规子群，所以一般五次方程没有根式公式（馆里伽罗瓦那件讲的就是这件事）。克莱因 1884 年那本书做的是反过来的事：既然根式解不出来，就用二十面体的对称加上椭圆模函数把根写出来——根式本来就不是唯一的解法。最后那一档是反例：顶点轴是五重的，转 60° 落不回去。

走一圈回来，你成了自己的镜像

一块方布，左右边直接粘上，上下边翻个面再粘——缝出来的东西没有里外，走一圈回来左右手对调。

a\,b\,a^{-1}\,b \quad (\text{克莱因瓶}) \qquad a\,b\,a^{-1}\,b^{-1} \quad (\text{环面})

取一块方布。左右两边对齐粘上，得到一个筒；再把筒的上下两个口对齐粘上，得到一个轮胎面。这是环面，一切正常。现在换一种缝法：上下两个口粘之前先翻一个面。缝出来的东西就是克莱因瓶，它有一个环面没有的毛病——不可定向。演示里那面小旗子沿着一条路一直走，每次走出边界就从对面回来；碰上「翻过面」的那条边，它回来时旗面朝向就反了。走完那样一圈，一个右手系变成了左手系，而它自始至终没有离开过这个面。这不是画错，这正是这个面的性质：在它上面，「左」和「右」不是全局说得清的事情。莫比乌斯带早一步说明了同一件事，但莫比乌斯带有边，克莱因瓶没有边也没有里外——它是一个闭合的面，却围不出一个「内部」，因为「内」与「外」同样是定向的说法。第三件事常被误解：书上画的克莱因瓶总是自己穿过自己，那是三维空间容不下它，不是它本身有洞；在四维里它可以不自交，就像一个画在纸上必须交叉的结，在三维里解得开。最后是名字。他自己写的德文是 Kleinsche Fläche，「克莱因面」；一般认为是后来有人把 Fläche 看成了 Flasche（瓶子），译成英文时成了 Klein bottle，再回译成德文也跟着叫瓶子了。这个说法本身也只是推测，没有一份确证的转译现场；不过瓶子这个形象太顺口，改不回去了。

同一块方布，换一种缝法就是另一个面。小旗子的旗面在行进方向的哪一侧，是一个手征；越过标着「翻个面」的那条边，旗面就换一侧——走完那样一圈，右手系成了左手系，而它自始至终没有离开过这个面。这不是画错，正是不可定向的意思：在这个面上，「左」和「右」不是全局说得清的事情。莫比乌斯带早一步说明了同一件事，但它有边；克莱因瓶没有边，也没有里外——「内」与「外」同样是定向的说法。

一块基本域，铺满整个上半平面

两个动作——左右平移一格、对单位圆做反演——就能把上半平面铺成无穷多块全等的砖。任给一个点，几步就能送回那块原砖。

T: z \mapsto z+1 \qquad S: z \mapsto -\tfrac{1}{z}

这是他 1882 年垮掉之前最后那几年做的事，也是他与庞加莱赛跑的那个题目。取复平面的上半部分，看两个变换：T 把 z 移到 z+1，S 把 z 送到 −1/z。它们生成的群叫模群，也就是行列式为 1 的整数二阶方阵的作用。这个群把上半平面切成无穷多块全等的砖，每一块都是同一块「基本域」的副本——演示里画的正是这张镶嵌图，那块原砖是 |z| > 1 且 |Re z| ≤ ½ 的那一片，一个顶点跑到无穷远的双曲三角形。拖动一个点，右边会把约化的每一步记下来：先平移到 |Re z| ≤ ½，再看模长够不够，不够就做一次反演，如此反复。这个过程一定会停——演示里几档的实测是 1 到 7 步。为什么要这样切：在这个群下不动的函数就叫模函数，克莱因给出的那一个今天记作 j，德国人至今叫它克莱因绝对不变量。它把每一块砖映成整个复平面，于是「所有椭圆曲线」这件事被装进了一个数里。同一时期庞加莱把这一路推广到更一般的群（他管它们叫富克斯群），两人为此通信不断——那既是合作也是竞赛，而这场竞赛的代价是克莱因 1882 年秋天的垮掉。这套东西今天的下落最容易说清：模形式，费马大定理的证明就架在它上面。

实部 1.618虚部 0.220

T 把整张图往右挪一格，S 把它对单位圆翻过来；两个动作生成的群就是模群，也就是行列式为 1 的整数二阶方阵。它把上半平面切成无穷多块全等的砖，每块都是那块基本域的一个副本——所有的砖在双曲度量下一样大，靠近实轴只是看上去小。约化的走法很直白：先平移到 |Re z| ≤ ½，模长不够 1 就翻一次，如此反复，一定会停。在这个群下不动的函数叫模函数；克莱因给出的那一个今天记作 j，德国人至今叫它克莱因绝对不变量——费马大定理的证明就架在这一支上。

把一个系办成世界的中心

三十三岁那年他不再做研究了。此后四十年他做的是另一件事——请人、办刊、拉钱、改中学课本。

1882 年秋天他垮掉之后，克莱因很清楚自己回不到第一线了。他做的选择是把力气整个换一个方向。1886 年到哥廷根，他先立规矩：每周一次讨论班，建一间数学阅览室，把杂志和手稿摊在桌上让人随便翻——这在当时是新鲜事。然后是请人。1895 年，他顶着院系的阻力把希尔伯特从柯尼斯堡请来，那是他做过的最划算的一件事；1902 年请来闵可夫斯基；1915 年与希尔伯特一起把诺特请来，学部以性别为由拒绝授她任教资格，希尔伯特在评议会上反问「这里是大学，不是澡堂」——馆里诺特那一页写的就是这一段。1893 年，哥廷根向女性开放，两年后格雷丝·奇泽姆·杨在他名下拿到博士学位，论文写球面三角的代数群论。这里要说准：柯瓦列夫斯卡娅 1874 年已由哥廷根授予博士学位，但那是免试、缺席授予的；此后规矩收紧，杨是第一个修完课程、通过口试、走完整套程序在德国拿到博士的女性，而克莱因很为这件事自豪。钱也是他去拉的：1898 年他促成「哥廷根联合会」，让工业界出钱办应用数学与力学的研究所——数学家去找企业要钱，当时被同行视为有失体面。最后是中学。1905 年的梅兰大纲要把函数概念与微积分的头几步放进中学课堂，1908 年他在罗马当选国际数学教育委员会第一任主席，同年出版《高观点下的初等数学》——一本写给中学老师的书，告诉他们自己教的那些东西，站在高处看是什么。一个人不做研究了还能做什么，这一页是个答案。

故事展签故事展签：一个不再做研究的人，用四十年把哥廷根办成了世界的数学中心。

传承

他的工作没有留在十八世纪——每条链的终点，都是你今天正在使用的东西。

几何 = 一个群的不变量⟶对称群成了分类的工具⟶晶体学的 230 个空间群，以及今天机器学习里的等变网络

圆盘里的非欧几何⟶非欧与欧氏同生共死⟶公理系统的相对相容性：今天形式化证明的标准做法

二十面体的 60 个旋转⟶A₅ 单群与五次方程⟶有限群表示论，以及计算机代数里那些求解算法

一块方布换一种缝法⟶不可定向的闭曲面⟶曲面分类定理：今天计算机图形里的网格与纹理坐标

模群把上半平面铺成砖⟶模函数 j 与自守形式⟶模形式与椭圆曲线：费马大定理的证明架在它上面，椭圆曲线密码用的也是同一批曲线

把希尔伯特请到哥廷根⟶1898 年拉企业的钱办应用数学研究所⟶工程数学与今天的产学合作

语录

「给定一个流形，以及作用在它上面的一个变换群；要研究的是那些属于这个流形、而在群的变换下保持不变的性质。」
—— 《对新近几何研究的比较考察》，1872 · 大意，据哈斯凯尔 1893 年英译本转译。这一句就是爱尔兰根纲领的全部

「永远不要枯燥。」
—— 他讲课的座右铭 · 据同事与学生的回忆，麦克塔特传记引

「这里是大学，不是澡堂。」
—— 希尔伯特 1915 年在哥廷根评议会上的话 · 大意。为的是诺特的任教资格；把她请来的是克莱因与希尔伯特两个人