Yi Xing · 683–727

一行

量天的老规矩用了近千年——他派人沿一条南北线摆了四张表，把它量废了

r(t) = \frac{\Delta_1 + \Delta_2}{l_1 + l_2} + \left(\frac{\Delta_1}{l_1} - \frac{\Delta_2}{l_2}\right)\left(1 - \frac{2t}{l_1 + l_2}\right)

步日躔术 ·《大衍历经》727 · 两个节气不一样长也照样内插：把这条日率从 0 积到 l₁，分毫不差地还原成那一气的盈缩分 Δ₁

一行俗姓张，本名遂，魏州昌乐（今河南南乐）人，襄州都督、郯国公张公谨之孙，父张擅做过武功令。《旧唐书》本传说他少聪敏，博览经史，尤精历象、阴阳、五行之学，还留了一则故事：道士尹崇藏书极富，一行去借扬雄的《太玄经》，几天就送了回来；尹崇说这书我钻研多年还没读通，你怎么这么快就还？一行答「究其义矣」，随手拿出自己写的《大衍玄图》与《义决》——「大衍」这两个字，在他造历之前就已经在他笔下了。武三思慕名要与他结交，他躲了出去，随即出家，隐在嵩山，师事沙门普寂；睿宗即位下敕征他，他称病不应，反倒步行去了荆州当阳山。开元五年（717），玄宗派他的族叔、礼部郎中张洽带着敕书到荆州，把他硬请了出来。

开元九年（721），麟德历接连报错日食，玄宗诏他改历。他做的是一整套：先造仪器，再测天，最后才立法——与率府长史梁令瓒造黄道游仪，开元十三年铸成，又造水运浑天铜仪；开元十二年（724）派太史监南宫说等人分赴各地测影，南到交州、林邑，北到蔚州横野军，其中河南平地上那四张表，是已知最早的一次专为求「北极高一度合地上多少里」而组织的实地丈量——往前埃拉托色尼与波西多尼乌斯都用两地的天象算过地球的大小，可两地之间有多远，他们取的是行旅与航程的估数。开元十五年（727）历稿草成，他就死了，年四十五，谥大慧禅师；书由张说与历官陈玄景整理成历术七篇、略例一篇、历议十篇，开元十七年颁行。《新唐书·历志》给了他一句几乎没给过别人的话：「自太初至麟德，历有二十三家，与天虽近而未密也。至一行，密矣，其倚数立法固无以易也。后世虽有改作者，皆依仿而已。」他留下的数学，一半在那部历里：二十四个长短不等的节气之间怎么逐日内插、一张按天顶距逐度给值的晷影表、一个要同时装下朔望月与回归年的分母；另一半在他把旧办法推翻的那几段议论里。

《大衍历经》卷端 ·《新唐书》卷二十八上，百衲本二十四史影宋本，商务印书馆 1936 年 · Wikimedia Commons，公有领域。一行没有画像传世，《大衍历经》七篇也没有单行本传世，所以这里放的是他留下的那一页书——他的历经只靠两唐书的历志抄存，而这一页正是它正文的开头。右起第一行题「曆志第十八上」「唐書二十八上」，第二行署的却是「翰林學士……歐陽脩奉敕撰」；接下来一行是上元积年「積九千六百九十六萬一千七百四十筭」，再往下「一曰步中朔術」，第一个常数就是通法三千四十。

生平

683
生于魏州昌乐
俗姓张，名遂。祖父张公谨是唐初功臣，封郯国公；父张擅，武功令。生年由「开元十五年卒，年四十五」倒推。
约景龙年间
出家，隐于嵩山
武三思要与他结交，他逃匿以避之，随即出家，师事沙门普寂。后往荆州当阳山依沙门悟真习梵律。
求算法于天台山
国清寺
《旧唐书》本传所记，年份不详：他为穷大衍之数访师，到天台山国清寺，院僧正在庭中布算，说「今日当有弟子自远求吾算法」。
717
奉敕入长安
开元五年，玄宗令其族叔、礼部郎中张洽赍敕书就荆州强起之。此后屡以政事进言。
721
诏改历
开元九年，麟德历署日食比不效——预报的日食接连落空。玄宗诏他作新历，他「推《周易》大衍之数，立衍以应之」。
723
黄道游仪
与率府长史梁令瓒同造。旧仪只有赤道，量不了黄道上的度数；这一架的黄道环可以沿赤道环挪动，开元十三年铸成。后又造水运浑天铜仪，以水轮驱动，能自击时辰。
724
天下测影
开元十二年，太史监南宫说等人分赴十余处测影。河南平地上那四张表——滑州白马、浚仪岳台、扶沟、上蔡武津——是这一批里最要紧的一组。
724
大率三百五十一里八十步，而极差一度
四站南北相距五百二十六里二百七十步，两头北极出地差一度半，除得每度三百五十一里八十步。旧说「千里差一寸」同时被量废。
《大衍历经》七篇
步中朔、发敛、日躔、月离、轨漏、交会、五星
通法三千四十，策实一百一十一万零三百四十三，揲法八万九千七百七十三。上元积年九千六百九十六万一千七百四十。
727
草成而卒，年四十五
开元十五年。玄宗亲制碑文书于石，出内库钱五十万为起塔于铜人之原，赐谥大慧禅师。
729
《大衍历》颁行
张说与历官陈玄景整理成历术七篇、略例一篇、历议十篇上进，开元十七年起颁于有司。
733
「大衍写九执历」那场官司
开元二十一年，瞿昙譔与陈玄景奏告大衍历抄袭印度的九执历，南宫说也附议。诏李麟、桓执圭取灵台候簿逐条核对：大衍十得七八，麟德才三四，九执一二。于是治了告状人的罪。
1247
大衍求一术
秦九韶《数书九章》立「大衍总数术」，把一次同余方程组一并收拾干净。他说「历家演法颇用之」——历家用它推的正是上元积年。

展品厅

绝大多数展品都可以亲手把玩——这是本馆的立馆之本；少数以叙述为主的，做成故事展签。

镇馆之宝 · 亲手玩

大率三百五十一里八十步，而极差一度

四张八尺表沿一条南北线摆开，量出来的不是「地有多大」，是「北极高一度，地上要走多远」。

\frac{158070\,\text{步}}{1.5\,\text{度}} = 105380\,\text{步} = 351\,\text{里}\,80\,\text{步}

开元十二年（724），太史监南宫说奉命在河南的平地上摆了四张表。选址与丈量都写在《新唐书·天文志》里：「择河南平地，设水准绳墨植表而以引度之」——先用水准与绳墨把地找平，再拉绳一段一段量过去。四站自北而南是滑州白马、汴州浚仪岳台、许州扶沟、豫州上蔡武津，差不多落在同一条子午线上。每站记两样东西：夏至日中八尺表的影长，和用覆矩斜望北极量到的「极出地」。四组数是：白马晷一尺五寸七分、极高三十五度三分；岳台一尺五寸三分、三十四度八分；扶沟一尺四寸四分、三十四度三分；武津一尺三寸六分半、三十三度八分。站间距离逐段量出：一百九十八里一百七十九步、一百六十七里二百八十一步、一百六十里一百一十步。唐制一里三百步，三段相加正是十五万八千零七十步，也就是五百二十六里二百七十步——与原文「大率五百二十六里二百七十步」一步不差。两头的极高差一度半，除一下：158070 除以 1.5 得 105380 步，正是三百五十一里八十步。那句「大率三百五十一里八十步，而极差一度」的全部来历就是这一除，一个字的误差也没有。这个数今天看偏大约五分之一（换算先要认定唐尺多长，各家不一：按唐小尺约 0.245 米折，一唐度合 129 公里，折成角度的一度是 131 公里，而今测北纬三十四度处子午线一度是 110.9 公里）。可这件事的分量不在数准。分量在它顺手量废的那条老规矩。《周礼》的土圭法说「日至之景，尺有五寸，谓之地中」，郑玄注得更死：「日景于地，千里而差一寸」——南北相距一千里，正午影子就差一寸。这条规矩用了近千年，是当时一切「由影子推天地大小」的公因子。四站的数一摆，它就散了：全程五百二十六里九，影差二寸零五厘，合二百五十七里差一寸，不是一千里；而且它根本不是个常数——北边那一段四百九十七里才差一寸，中间一段一百八十七里就差一寸，南边一段二百一十四里，三段相差近三倍。反过来看极高：同样三段，每半度分别走了三百九十七里、三百三十六里、三百二十一里，散布在一成多以内。一行自己把这层意思写明了：「其北极去地，虽秒分微有盈缩，难以目校，大率三百五十一里八十步，而极差一度。」——极高的读数也有出入，只是小得眼睛校不出来，所以取个总率。影差散得没法用，极差稳得可以立率，这才是四张表真正量出来的东西。这一批数还能自己对自己：每站另记了「定春秋分」的影长，而春分那天太阳赤纬为零，影长直接给出纬度。拿八尺表反算，白马是北纬 34.80 度、武津 33.43 度；把他们的极高度数按周天三百六十五度四分之一折成角度，是 34.79 度与 33.32 度——四站对下来最大只差 0.21 度。覆矩量的角和圭表量的影，是两件独立的观测，它们互相对得上。往前数，埃拉托色尼与波西多尼乌斯都用两地的天象算过地球的大小，而两地之间有多远，他们取的是行旅与航程的估数；这一次不同的地方只有一条：距离是人一段一段量出来的。

四张表摆在一条线上。挑任意两站，看这一段量出的是多少里差一度、多少里差一寸；旧规矩那条「千里一寸」在旁边比着

四站自北而南是滑州白马、浚仪岳台、扶沟、上蔡武津，差不多在同一条子午线上。每站记两样：夏至日中八尺表的影长，和用覆矩斜望北极量到的「极出地」；站与站之间的距离是拉绳一段段量出来的——「设水准绳墨植表而以引度之」。三段相加十五万八千零七十步，正是五百二十六里二百七十步，与原文一步不差；两端极高差一度半，除得每度三百五十一里八十步，也与原文一字不差。要看的是两把尺子的对比。极高那一把：三段分别是每度 397.2、335.9、320.7 里，散布在一成多以内，可以拿来立一个总率——一行自己也这么说：「其北极去地，虽秒分微有盈缩，难以目校，大率三百五十一里八十步，而极差一度。」影长那一把就散了：同样三段，每寸分别要走 496.5、186.6、213.8 里，最大与最小差 2.66 倍，全程折下来是 257.0 里差一寸——而《周礼》郑玄注用了近千年的规矩说的是「千里而差一寸」，大了 3.89 倍，而且它根本不是个常数。「而旧说，王畿千里，影差一寸，妄矣」这句话，是这么量出来的。这批数还能自己对自己：每站另记了定春秋分的影长，而春分那天太阳赤纬为零，影长直接给纬度。拿八尺表反算，白马是北纬 34.80 度、武津 33.43 度；把他们的极高度数按周天三百六十五度四分之一折成角度，是 34.79 度与 33.32 度——四站对下来最大只差 0.21 度。覆矩量的角和圭表量的影是两件独立的观测，它们互相对得上。至于这个率今天准不准：换算要先认定唐尺多长，各家不一，按唐小尺约 0.245 米折，一唐度合 129.2 公里，折成角度的一度是 131.1 公里，而今测北纬三十四度处是 110.9 公里，大了约五分之一。

以蠡测海

同一套影差公式，拿四站里不同的两站去代，算出的天高从一万四千里到近四万里——差了两倍半。

H = g\,\frac{d_2 - d_1}{s_1 - s_2} \qquad (g = 8\,\text{尺})

在他之前，中国人由影子推天地大小走的是《周髀》那条路：日下无影，影长每差一寸南北就差一千里，于是阳城夏至影一尺五寸，「戴日之下」——太阳正当头的那个地方——就在正南一万五千里；再用勾股，八尺之表配一尺五寸之影，太阳离地便是八万里。三国的王蕃拿这条路一直算到了整个天：由阳城斜射到戴日之下，得日去人八万一千三百九十四里，再按他自己用的周径率一百四十二比四十五折成周天，一度合一千四百零六里余（《新唐书》记作一千四百六里二十四步；照上面的办法复算是一千四百六里一百二十步，差九十六步，万分之二，多半是他中间取舍所致）。一行把这条路整个拆了，用的是新测回来的数。第一击是自相矛盾：「千里差一寸」若是真的，那么任取两站都该算出同一个天高。四站两两相配有六对，代进同一套勾股：白马与岳台那一对给三万九千七百一十九里，岳台与扶沟给一万四千九百二十八里，扶沟与武津一万七千一百零五里，两端相配二万零五百六十二里——最大与最小差两倍半，而《周髀》说的是八万里。同一片天，量一次得一个数。第二击更干脆。开元十二年同时测了交州：夏至那天，影子落在表的南边三寸三分——太阳已经在天顶以北了。也就是说，「戴日之下」比交州还近；而按他自己的率，交州离阳城不过五千里出头（这个数是拿一度三百五十一里八十步乘极高差十四度三分折出来的，不是量出来的）。旧法却说戴日之下在一万五千里外。他于是写道：「今测日晷，距阳城五千里已在戴日之南，则一度之广皆三分减二，南北极相去八万里，其径五万里。宇宙之广，岂若是乎？然则蕃之术，以蠡测海者也。」——照新数把尺度缩到三分之一，整个宇宙就只剩八万里宽，这像话吗？拿葫芦瓢去量海，说的就是这种事。他还讲了个道理，说的是「远了就看不准」：「古人所以恃句股术，谓其有证于近事。顾未知目视不能及远，远则微差，其差不已，遂与术错。」——勾股术在近处验得通，人就以为处处通；可眼睛望远处本来就有微差，微差积下去，术就错了。他打了两个比方。一个是水：在方圆不满百里的湖上，日月早晚出没于湖中；漂到不知几千万里的大海上，日月照样早晚出没于海中——两处都用重差去望，得出来的会是同一套数，根本分不开远近。另一个是两座塔：南北相距十里，各高数十里，在南塔顶点一把大炬，塔底立八尺之木应当无影；而从南塔底下仰望北塔之顶，微分之差积起来，望上去会与南塔顶重合——于是把炬移到北塔顶，塔底也该无影。数十里之高与十里之广，斜射的影与仰望的方向已经分不出来了，「今欲凭晷差以推远近高下，尚不可知，而况稽周天里步于不测之中，又可必乎」。开元十三年封禅泰山，他又添了一条实测：从山脚到山顶不过二十里，山下夜漏未尽，山上的太阳已经升得老高，昼夜之差抵得上一个节气。二十里的高差就把日出时刻搅动到这个地步，八尺高的一根表又凭什么去推天？（今天算，一千五百米的山顶地平线下沉约 1.26 度，日出只提前六七分钟，不到半刻——他报的三刻余偏大；但「高度会改变日出时刻、而勾股术里根本没有这一项」这件事，他说的是对的。）

旧办法是这样的：地是平的，影长每差一寸南北就差一千里，于是阳城夏至影一尺五寸，太阳正当头的那个地方（戴日之下）在正南一万五千里；再用勾股，八尺之表配一尺五寸之影，太阳离地八万里。三国的王蕃拿这条路一直算到整个天，得周天一度合一千四百零六里余。这条路有一个自己就能验的要求：任取两站，算出的天高应当一样。拿开元十二年四站的实测数代进去，六对两两相配得到的却是六个天：白马与岳台那一对 39719 里，岳台与扶沟 14928 里，扶沟与武津 17105 里，白马与扶沟 22556 里，岳台与武津 15918 里，两端相配 20562 里——最大与最小差 2.66 倍，而旧说给的是八万里。同一片天，量一次得一个数。真正把这条路堵死的是同年测的交州：夏至那天影子落在表的南边三寸三分，太阳已经在天顶以北了，也就是说戴日之下比交州还近；而交州离阳城不过五千里出头。旧法却说它在一万五千里外。一行由此写下：「今测日晷，距阳城五千里已在戴日之南，则一度之广皆三分减二，南北极相去八万里，其径五万里。宇宙之广，岂若是乎？然则蕃之术，以蠡测海者也。」——照新数把尺度缩成三分之一，周天一度只剩四百六十九里，半个周天八万五千里，直径五万四千里，整个宇宙就这么点大。拿葫芦瓢去量海，说的就是这种事。

二十四个长短不等的气

冬至那一气十四天半，夏至那一气十六天——两段不一样长，中间怎么逐日补？他给了一条今天叫二次内插的式子。

\int_0^{l_1} r(t)\,dt = \Delta_1

唐代的历法要先算「气」。平气是把一年二十四等分，每气十五日多一点（大衍的三元之策是十五日余六百六十四秒七，合 15.2185 日）；定气是把黄道二十四等分，太阳实走十五度算一气。太阳走得有快有慢，于是定气一长一短：冬至那一气只有 14.4445 日，夏至那一气 15.9925 日，两头差一天半还多。这个差别不是小数点后的事——《大衍历经》的日躔表把它逐气列了出来，叫盈缩分，冬至盈二千三百五十三（单位是通法分之一日，也就是 1/3040 日），一路缩到惊蛰的二百一十四，过春分转成缩，到芒种又是二千三百五十三。表只给二十四个格子，可历法要算的是「某月某日太阳在哪里」，得逐日补。等间距的二次内插，隋朝刘焯在《皇极历》（604）里已经用上了；可那套办法要求相邻两段一样长，定气一长一短，它就不管用。一行补上的正是这一句。他的术文十来个字一顿：「以所入气并后气盈缩分，倍六爻乘之，综两气辰数除之，为末率。又列二气盈缩分，皆倍六爻乘之，各如辰数而一，以少减多，余为气差。至后以差加末率，分后以差减末率，为初率。倍气差，亦倍六爻乘之，复综两气辰数除，为日差。」翻成今天的话：一日十二辰，所以辰数就是日数的十二倍，「倍六爻」正是那个十二。本气与后气的盈缩分各除以各自的日数，得两个平均日率；两率的加权平均是本气末尾那一天的日率（末率），两率之差是气差，初率等于末率加气差，此后每天匀减一个日差，日差等于两倍气差除以两气日数之和。也就是说，日率在一气之内是一条直线，累加起来就是一条抛物线——不等间距的二次内插。这条式子好在它不是凑的：把这条日率从零积到本气的日数，得到的正好是表上那个盈缩分，一分不差。这一点可以代数验出来，也可以逐气算一遍：二十四气里有二十个严丝合缝，误差是零。剩下四个是他特意另立的一档——「距四正前一气，在阴阳变革之际，不可相并」：惊蛰、芒种、白露、大雪各自紧挨着二分二至，前后两气的盈缩一个盈一个缩，并起来会互相抵消，所以改用前一气的末率当初率。这四个的还原值差 1.5 到 3.0，相对本气的盈缩分是万分之一到万分之十三。至于这张表本身准不准，今天可以逐格核：二十四气的长短与今推最多差 0.278 日（六小时四十分），平均差 0.11 日。差在哪里也看得出来——他把太阳走得最快的那一点放在冬至，而 725 年那一点其实在冬至之前八点九度；另外他这一摆的幅度偏大两成：表上盈缩累计的摆幅是前后各 2.423 日，今推是 +1.68 与 −2.28 日。模型左右对称，而天不对称，这是那 0.278 日的来处。

第 1 气 · 冬至并排画出「一气之内日率不变」的阶梯

平气是把一年二十四等分，每气 15.2185 日；定气是把黄道二十四等分，太阳实走十五度算一气。太阳走得有快有慢，定气就一长一短：冬至那一气只有 14.4445 日，夏至那一气 15.9925 日，差一天半还多。日躔表只给二十四个格子，而历法要算的是「某月某日太阳在哪里」，中间得逐日补。等间距的二次内插隋朝刘焯已经有了，可它要求相邻两段一样长；定气一长一短，那套办法就用不上。一行补的就是这一句。翻成今天的话：本气与后气的盈缩分各除以各自的日数得两个平均日率，两率的加权平均是交界那一天的日率（末率），两率之差是气差，初率 = 末率 + 气差，此后每天匀减一个日差 = 2 气差 ÷ 两气日数之和。日率在一气之内是一条直线，累加起来就是一条抛物线。这条式子的好处是它恰好，不是凑的：把日率从零积到本气的日数，得到的正是表上那个盈缩分，一分不差——二十四气里有二十个还原误差为零。剩下四个是他另立的一档：「距四正前一气，在阴阳变革之际，不可相并，皆因前末为初率」——惊蛰、芒种、白露、大雪各自紧挨着二分二至，前后两气一盈一缩，并起来会互相抵消，所以改取前一气的末率当初率；这四个的还原值差 1.5 到 3.0，相对本气的盈缩分是万分之一到万分之十三。至于这张表本身准不准：拿 725 年的轨道要素逐气核一遍，二十四气的长短与今推最大差 0.2781 日（六小时四十分），平均差 0.11 日。差在哪里也看得出来——他把太阳走得最快的那一点放在冬至，而那一年它其实在冬至之前八点九度；另外这一摆的幅度偏大两成：表上盈缩累计的摆幅是前后各 2.423 日，今推是 +1.68 与 −2.28 日。模型左右对称，天不对称，那 0.28 日就是从这儿来的。

戴日之北每度晷数

太阳离天顶一度，八尺表的影子一寸三分七厘九——这张逐度给值的表，今天叫正切表。

s(z) = 8\tan z \qquad z = 1\,\text{度} \Rightarrow s = 0.1379\,\text{尺}

此前的晷影表都是一个地方的一年：何承天、祖冲之都造过阳城二十四气的影长表，出了阳城就不管用。《大衍历经》的步轨漏术里另有一张表，问的不是「哪一天」而是「太阳离天顶几度」：「南方戴日之下，正中无晷。自戴日之北一度，乃初数千三百七十九。自此起差，每度增一，终于二十五度……」这个一千三百七十九的单位是「满百为分，分十为寸」，也就是万分之一尺，所以它说的是：天顶距一度时，八尺表的影长是 0.1379 尺。今天算 8 乘以一唐度的正切，得 0.13764 尺——差千分之二。这就是一张正切表，只是唐朝人不这么叫它。造法是二阶差分：每度晷差从初数起，逐度加一个「每度差」，而每度差本身逐度递增，头二十五度每度增一。这条递增规律自己就说明它对：今天把 8 乘正切的二阶差分列出来，第二十六度正好是 26.3，与文里那句「计增二十六分」对得上。照传世文本把整张表复原出来，与 8 乘正切对照，五十度以内差在百分之一上下；更有说服力的是拿一行自己那张阳城晷影表去核——那张表给每个定气的中晷常数，而它与这张表之间隔着一句换算（天顶距等于黄道去极度减去五十六度八二五）。代进去：春分那一格他给五尺四寸三分一九，复原表给 5.4470 尺；惊蛰他给六尺七寸三分八四，复原表给 6.7369 尺；雨水 8.2106 对 8.2143。三格都在一分五厘以内。可到了五十度以外就对不上了：立春那一格差九分半，冬至那一格差五寸一分。问题出在抄下来的那串增量上，而不是他的办法——传世文本在这一段本来就乱：新唐书作「又每度增二，终于五十度。又每度增七，终于五十五度」，旧唐书作「每度增二，终于五十五度」，两处互异；更要紧的是，「每度增六」之后忽然回落到「每度增二」，这条曲线的二阶差分不可能往回走。文中还留了三处校验数——四十四度「增六十八」、六十度「增百六十」、七十二度「增二百六十」——按传世增量复原出来分别是 78、220、643，按正切真值算是 79、301、1294，三处都对不上任何一边。所以这串数至少有一处讹误，而讹在哪里，光靠这两部书是定不下来的。反过来，他自己那张阳城表倒是一直站得住：冬至那一格（天顶距 58.4 度）给一丈二尺七寸一分半，8 乘正切给 12.575 尺，差一个百分点。真正丢掉的只有一串抄坏了的增量。

戴日之北 25 度

此前的晷影表都是一个地方的一年：何承天、祖冲之都造过阳城二十四气的影长表，出了阳城就不管用。这一张问的不是「哪一天」而是「太阳离天顶几度」——「南方戴日之下，正中无晷。自戴日之北一度，乃初数千三百七十九」。那个单位是万分之一尺，所以它说的是：天顶距一唐度时，八尺表的影长 0.1379 尺。今天算 8 乘一唐度的正切是 0.13764 尺，差千分之二。这就是一张正切表，只是唐朝人不这么叫它。造法是二阶差分：晷差逐度累加一个「每度差」，而每度差本身逐度递增，头二十五度每度增一。这条规律自己就说明它对——今天把 8 乘正切的二阶差分列出来，第二十六度正好是 26.3，与文里那句「计增二十六分」对得上。照传世文本复原出来，五十度以内与 8 乘正切差在百分之一上下。更有说服力的是拿一行自己那张阳城晷影表去核（图上的黑点）：春分他给 5.4319 尺，复原表给 5.4470；惊蛰 6.7384 对 6.7369；雨水 8.2106 对 8.2143——三格都在一分五厘以内。可到了五十度以外就散了：立春差九分半，冬至差五寸一分。问题出在抄下来的那串增量上，不是他的办法。传世文本在这一段本来就乱：「每度增六」之后忽然回落到「每度增二」，而二阶差分不可能往回走；新旧两唐书在这一段互异；文中留的三处校验数「增六十八」「增百六十」「增二百六十」，按传世增量复原是 78、220、643，按正切真值是 79、301、1294，三处都对不上任何一边，所以这串数至少有一处讹误，而讹在哪里，光靠这两部书定不下来。反过来看，他自己那张阳城表一直站得住：冬至那一格（戴日之北 58.4 度）给一丈二尺七寸一分半，8 乘正切给 12.575 尺，只差一个百分点。真正丢掉的只是一串抄坏了的增量。

通法三千四十

分母是从《易》里推出来的，可它得同时装下朔望月与回归年——月差零点二六秒，年长了整三分钟。

\frac{89773}{3040} = 29.5305921 \qquad \frac{1110343}{3040} = 365.244408

中国历法的一切数都写成「若干分之若干日」，那个共同的分母叫日法，大衍叫它通法，取三千零四十。这个数的来历，《旧唐书》本传说得明白：「一行推《周易》大衍之数，立衍以应之。」《历本议》里一步一步推：天地中积一千二百，「揲之以四」得爻率三百，「以十位乘之」得二章之积三千；另一头「以五材乘八象」得二微之积四十；「兼章微之积，则气朔之分母也」——三千加四十，三千零四十。同一篇里还顺着推出辰法七百六十（三千零四十乘三除以十二）、刻法三百零四（乘十再除以倍大衍五十）、气余七百四十三（三千零四十的四分之一减去八气九精的十七）。这一套读起来像数字命理，而它接下来要干的是实事：一个分母一旦定死，朔望月与回归年就只能各取一个整数分子去凑。朔那一头他取得极准——揲法八万九千七百七十三除以三千零四十等于 29.5305921 日，今值 29.5305891，差 0.0000030 日，也就是 0.26 秒；而在三千零四十这个分母下，最接近朔望月的整数分子正是八万九千七百七十三，他一个不差地取到了。恒星年也准：乾实一百一十一万零三百七十九又四分之三除以三千零四十等于 365.256497 日，今值 365.256363，差 11.6 秒。可回归年就不然：策实一百一十一万零三百四十三除以三千零四十等于 365.244408 日，而 725 年的回归年是 365.242324 日，长了 0.002084 日——整整一百八十秒，三分钟；同一个分母本来能做到 9.5 秒。差得这么远，不是分母的错。把岁差摆出来就清楚了：乾实减策实等于三十六又四分之三，除以通法是每年 0.0120888 日，折成角度是每年 42.9 角秒（约八十二年七退一度），而今值是 50.29 角秒，少了 7.39 角秒。这 7.39 角秒折成时间是多少？太阳每日行一度弱，算下来正好 180.0 秒。年长多出来的那三分钟，一秒不多一秒不少，就是岁差少算的那一截。所以这一组数里准的那一半和不准的那一半各有出处：朔望月是数出来的，几百年的朔日记录一核就死；恒星年也是数出来的，星宿每年回到原处同样好核；而回归年要认定分点的那一刻，本来就难测，一旦岁差取偏，年长跟着偏，而且偏得分毫不差地等于岁差那一截。

日法 3040

中国历法不写小数，一切数都摊在同一个分母上，那个分母叫日法，大衍叫通法，取三千零四十。它的来历《旧唐书》说得明白：「一行推《周易》大衍之数，立衍以应之。」《历本议》一步一步推给你看：天地中积一千二百，「揲之以四」得爻率三百，「以十位乘之」得二章之积三千；另一头「以五材乘八象」得二微之积四十；「兼章微之积，则气朔之分母也」——三千加四十。同一篇还顺着推出辰法七百六十、刻法三百零四、气余七百四十三，逐字都能核出来。这一套读起来像数字命理，而它接下来要干的是实事：分母一旦定死，朔望月与回归年就只能各取一个最接近的整数分子。朔那一头他取得极准——揲法八万九千七百七十三除以三千零四十等于 29.5305921 日，今值 29.5305891，差 0.26 秒；而这个分母下最接近朔望月的整数分子正是八万九千七百七十三，他一个不差地取到了。恒星年也准：乾实除以通法得 365.256497 日，差 11.6 秒。可回归年不然：策实一百一十一万零三百四十三除以三千零四十等于 365.244408 日，比 725 年的回归年长了整整一百八十秒——而同一个分母本来能做到 9.5 秒。差得这么远不是分母的错。把岁差摆出来就清楚了：乾实减策实等于三十六又四分之三，折成每年 42.9 角秒（约八十二年七退一度），而今值是 50.29 角秒，少了 7.39 角秒；这 7.39 角秒折成时间，正好 180.0 秒。年长多出来的那三分钟，一秒不多一秒不少，就是岁差少算的那一截。所以这一组数里准的那一半和不准的那一半各有出处：朔望月与恒星年都是数出来的——几百年的朔日记录、星宿每年回到原处，一核就死；回归年要认定分点的那一刻，本来就难测，一旦岁差取偏，年长跟着偏。

上元积年九千六百九十六万一千七百四十

一个九千六百多万年前的起点，代回来算开元十二年的冬至——得戊寅日，今天推的也是戊寅日，差五十分钟。

《大衍历经》的第一句是：「开元大衍历演纪上元阏逢困敦之岁，距开元十二年甲子，积九千六百九十六万一千七百四十算。」阏逢困敦就是甲子，所以上元是个甲子年，距开元十二年九千六百九十六万一千七百四十年。历法为什么要这么一个起点？因为那一刻要「齐」：日月同度、冬至与合朔同时、还得落在甲子日的夜半。《历本议》把这几重周期都算了出来——气朔相会要八万九千七百七十三年，叫章率（正好就是揲法那个数）；再要合于夜半，得等蔀率；连年的干支也一并归位，才是元率，一百六十三亿七千四百五十九万五千二百年。这三个数今天可以逐个核：章率就是揲法八万九千七百七十三，对；元率等于蔀率乘六十，也对；而蔀率应当是八万九千七百七十三乘三千零四十，等于二亿七千二百九十万九千九百二十，传世文本却作「二亿七千二百九十万零九百二十」——比正确值少了整整九千，是抄脱了「九千」两个字，用元率反推一下就能补回来。真正有意思的是：他实际用的九千六百九十六万一千七百四十，并不是这几个周期的倍数。也就是说，大衍的上元并非一个货真价实的「七曜齐元」，它是解出来的——要让算出来的开元十二年天正冬至，落在实测的那一天、那一刻上。这是一道什么题？把常数代进去就看得见：中积分等于策实乘上元积年，除以通法得积日三百五十四亿一千四百七十三万三千三百一十四，余数二千二百六十；积日除以六十，余十四，从甲子起算是戊寅日；余数二千二百六十除以三千零四十是 0.7434 日，合戌初，约十七时五十分。今天推 723 年的冬至（洛阳地方时，ΔT 取一千九百到二千三百秒），落在戊寅日十八时四十到四十七分之间。同一天，差五十分钟。上元积年要同时满足的正是这一类条件：某某数除以某某数余某某——一组一次同余式。五百二十年后，秦九韶在《数书九章》里把这类题一并收拾干净，立的术叫「大衍求一术」，而他自己在序里说「历家演法颇用之」，历家拿它推的正是上元积年。两个「大衍」同出《易·系辞》那一句「大衍之数五十」，不是一个名字传给另一个名字；只是做的恰好是同一件事的两头——一个要解这道题，一个给出了解法。最后还有一段收尾。开元二十一年（733），善算的瞿昙譔因为没能参与改历而怀恨，与陈玄景一同上奏，说「大衍写九执历，其术未尽」——告它抄袭印度传来的九执历；连当年主持测影的南宫说也附议。玄宗下诏让侍御史李麟、太史令桓执圭调出灵台的观测簿逐条核对。结果是：大衍十得七八，麟德才三四，九执一二。于是治了告状人的罪。这大概是最早的一次把几种理论摊在同一批观测记录上、按命中率判高下的事。

故事展签故事展签：一个九千六百多万年前的起点，是从「今年冬至是哪一天」倒着解出来的。

传承

他的工作没有留在十八世纪——每条链的终点，都是你今天正在使用的东西。

开元十二年河南平地上的四张表⟶北极高一度，地上三百五十一里八十步⟶今天的大地测量与经纬度：一个坐标先要落到一个椭球上，而椭球的形状仍是靠一段段弧长量出来的

定气长短不一，等间距的内插用不了⟶一行的不等间距二次内插，郭守敬再推到三次⟶数值逼近里的插值多项式：传感器补点、动画补帧，中间那一段都是这么补出来的

戴日之北每度晷数：按天顶距逐度给值⟶阿拉伯与欧洲各自造出正切表与影表⟶今天的工程测量与测量平差：一台全站仪读出的每一个高差，底下都是这条正切

通法三千四十：一个分母同时逼近朔望月与回归年⟶分母定死，分子只能取最接近的整数⟶今天的历法与置闰：公历的闰法、农历的朔望月，仍是同一道有理逼近题

上元积年：一组一次同余式⟶秦九韶 1247 年的大衍求一术把它一并解开⟶中国剩余定理与 RSA：今天的加密库里，那一步还写作 CRT

语录

「大衍为天地之枢，如环之无端，盖律历之大纪也。」
—— 《大衍历议·历本议》· 通法三千四十正是从这一段的数里推出来的

「宇宙之广，岂若是乎？然则蕃之术，以蠡测海者也。」
—— 《新唐书·天文志一》· 评王蕃由晷影推天的大小：照新测的数折算，整个宇宙只剩八万里宽

「古人所以恃句股术，谓其有证于近事。顾未知目视不能及远，远则微差，其差不已，遂与术错。」
—— 同上 · 接着是那两个比方：湖上与海上都见日月出没其中，两座十里外的高塔望上去塔顶会重合

「究其义矣。」
—— 《旧唐书·一行传》· 他向道士尹崇借扬雄《太玄经》，几天就送回来。尹崇说我钻研多年尚不能晓，你怎么这么快就还？