Aryabhata · 476–约550

阿耶波多

他二十三岁写完一本一百二十一行的书，里面有半弦表、粉碎法，和一句「地在转」

\Delta_{n+1} = \Delta_n - \frac{S_n}{225}, \quad S_n = \Delta_1 + \cdots + \Delta_n

造半弦表的那条差分规则 · 算术章第十二颂 · 照它一路算下去末项落在 0，而他表上写的是 7

阿耶波多生于 476 年。这个年份是他自己给的：《阿耶波多历书》时间章第十颂写着「三个瑜伽足与六十乘六十年过去时，我这一生过了二十三年」，算下来成书在 499 年，往回推二十三年正是 476。除此之外，他的生平几乎全是空白。他在算术章开篇说自己讲的是「拘苏摩补罗所尊奉的学问」——拘苏摩补罗一般认为是华氏城（今巴特那）一带，但那是他求学或任教的地方，还是出生地，说不准。十五世纪的尼拉坎塔说他出身南方的阿湿摩迦，今人多认为那是把他与注者婆什迦罗一世弄混了。关于他的出生地，至今没有定论。

他只留下一本书，一百二十一行诗，分四章：十歌章给出天文常数，算术章三十三颂是数学，时间章二十五颂讲历法与行星，球章五十颂讲天球与交食。全书没有一处证明，只有规则——印度数学的老传统是把结论编成能背下来的诗。分量却压得很实：半弦表（今天的正弦表）与造表的差分规则、粉碎法（解一次不定方程）、圆周率 62832/20000、平方根与立方根的逐位算法、等差级数求项数、三角形与圆锥的体积（这两条他给错了）、地球自转、以及月食是地影所致。后来的人对它的态度很分裂：一百三十年后，婆罗摩笈多用整整一章逐条驳他，骂得相当难听，却又照抄他的粉碎法；而帕拉梅什瓦拉、尼拉坎塔这些喀拉拉学派的人，一路注到十六世纪——马德哈瓦那张精到「三」的正弦表，注的正是这本书。九世纪它译成阿拉伯文，阿尔·花拉子米的代数书里就提到了他那个圆周率。

克恩刊本《阿耶波多历书》第 6 页，莱顿 E.J. Brill，1874 · Wikimedia Commons，公有领域。他没有画像传世，流传的塑像都是二十世纪所造；这一部是《阿耶波多历书》第一次付印，正文下带帕拉梅什瓦拉十五世纪的注。选这一页是因为它正在做本馆一件展品要做的事：注文把行星的公转数一个个从字母里解出来——土星那个词拆成「十四万、五百、六千、四、六十」——末行落在「太阳的公转数就是 khyughṛ」，也就是 2 + 3 配元音 u、4 配元音 ri，合起来 4320000。

生平

476
生
由他自己那句「成书时我二十三岁」倒推。出生地无定论：拘苏摩补罗（今巴特那一带）是他自述的学问所在，南方阿湿摩迦一说出自十五世纪的尼拉坎塔，今人多认为是与注者婆什迦罗一世弄混了。
499
《阿耶波多历书》成书
一百二十一行诗，四章：十歌章、算术章（三十三颂）、时间章（二十五颂）、球章（五十颂）。行数各家所记不一，也有作一百一十八行的。
十歌章第一颂
一劫的行星公转数
太阳 4320000、月亮 57753336、地球自转 1582237500、土星 146564、木星 364224、火星 2296824。全部用他自己那套字母记数法写成词。
十歌章第十颂
半弦表：二十四个差分
मखि भखि फखि धखि णखि ञखि ङखि हस्झ स्ककि किष्ग श्घकि किघ्व ॥ घ्लकि किग्र हक्य धकि किच स्ग झश ङ्व क्ल प्त फ छ कला अर्धज्यास् ॥ 二十四个音节就是二十四个数，写法是他自己那套字母记数法：makhi 拆开是 ma 25 加 khi 200，得 225。225、224、222、219……22、7，累加到 3438。半径取 3438 分，因为整个圆周定作 21600 角分。
算术章第十颂
圆周率 62832/20000
चतुरधिकं शतं अष्टगुणं द्वाषष्टिस्तथा सहस्राणाम् ॥ अयुत द्वयविष्कम्भस्य आसन्नस्वृत्तपरिणाहस् ॥ 算出来周长 62832、直径 20000，比值 3.1416。他用的词是 āsanna——近于，不是等于。
算术章第十二颂
造表的差分规则
「后面的正弦比第一个正弦小，小的量是前一差与前面各正弦之和除以第一个正弦。」照这条严格算，与他自己给的那张表对不上——克拉克 1930 年的注里点明了这件事。
算术章第三十二至三十三颂
粉碎法
kuṭṭaka，意思是「捣碎」。两个除数辗转相除，商列成一条链，再从底下往上乘加，解一次不定方程。
球章第九颂
船与岸
「人在行船上看不动的东西向后退，楞伽的人看不动的星宿向西退，正是这样。」
球章第三十七至四十八颂
交食
月食是月亮走进地影，日食是月影落到地上，不再归给罗睺。他给出地影锥在月轨处的宽度，用来算食分与食延。
628
婆罗摩笈多逐条驳他
《婆罗摩历算书》第十一章整章挑《阿耶波多历书》的错，连地球直径一并骂进去；可同一本书里，粉碎法照收不误，还推广了它。
9世纪
译成阿拉伯文
阿尔·艾赫瓦兹的阿拉伯文注是已知最早的域外注本。花拉子米的代数书里提到了 62832/20000 这个值。
1874
第一次付印
克恩在莱顿刊行梵文本，附帕拉梅什瓦拉的注——肖像位那一页就出自这一部。1930 年克拉克出英译本。

展品厅

绝大多数展品都可以亲手把玩——这是本馆的立馆之本；少数以叙述为主的，做成故事展签。

镇馆之宝 · 亲手玩

一条规则，一张表，两者对不上

他给了造半弦表的差分规则，也给了那张表；照规则一路算下去，末项落在 0，而表上写的是 7。

\Delta_{n+1} = \Delta_n - \frac{S_n}{225}, \quad S_n = \Delta_1 + \cdots + \Delta_n

印度的「正弦」不是今天那个介于 0 与 1 之间的小数，而是半弦：把整个圆周定作 21600 角分，半径就是 21600 除以 2 倍圆周率，取整 3438 分；一段弧对应的半条弦，有多长就报多长。这一步换得极关键——希腊人列的是整条弦（喜帕恰斯与托勒密都是），而半弦才是今天三角函数的形状。他把四分之一圆二十四等分，每 3 度 45 分一个值，在十歌章第十颂里列出二十四个差分：225、224、222、219、215、210、205、199、191、183、174、164、154、143、131、119、106、93、79、65、51、37、22、7，累加起来正是 3438。而那一颂不是用数字写的，是用他自己那套字母记数法写的——मखि भखि फखि धखि णखि ञखि ङखि हस्झ……一个音节就是一个数：makhi 是 ma 25 加 khi 200，得 225；hasjha 是 ha 100 加 sa 90 加 jha 9，得 199。所以这张表与本馆第三件展品讲的是同一件事的两面，画布下沿那一行印的就是这二十四个音节。这张表准得离谱：逐项与 3438 乘以真正的正弦比，最大偏差只有 0.70 分，四舍五入之后二十四个里有十九个一模一样，其余五个各差 1。可真正有意思的是算术章第十二颂那条造表的规则：प्रथमात्चापज्या अर्धात्यैरूनं खण्डितं द्वितीय अर्धम् ॥ तद् प्रथमज्या अर्धांशैस्तैस्तैसूनानि शेषाणि ॥。他说：后面的差比第一个正弦小，小的量是前一个差与前面各正弦之和除以第一个正弦。写成算式就是每一步用前面所有正弦的和去减——本质上是说二阶差分正比于函数自身，也就是今天写作正弦的二阶导数等于它自己的相反数的那件事，出现在公元五世纪。麻烦在于除数。他写的是 225，也就是第一个正弦；而二阶差分那个系数要求的除数是 233.53，两者差 3.8 个百分点。差这么一点，一路累到第二十四项就成了大事：照他的规则严格算，差分走成 225、224、222、219、215、210、204、197、189……最后一项是 0，累加只到 3368，比 3438 少了 70。克拉克 1930 年英译本的注里把这件事写明了：照这条规则严格算，会与十歌章那张表出现若干处分歧。所以这一页真正说的是：他手里那张表不是照这条规则算出来的，规则只是一条便于记诵的近似，表另有来路——而那条来路，他没有写下来。算术章第十一颂倒是提了另一条路：把四分之一圆分成想要的那么多份，从三角形与四边形上把半弦一个个取下来。那是几何作图，克拉克的注里只写了一句「确切怎么做，不得而知」。

拨一拨除数，看照规则算出来的表怎样一点点爬回他写下的那一张

除数 = 225.00每步取最近的整数商（注里就是这么算的）

他在十歌章第十颂里报出二十四个差分，累加起来正是半径 3438；这张表准到 0.70 分——逐项与 3438·sin 比，四舍五入之后二十四个里十九个一模一样。可算术章第十二颂那条造表的规则，照着算出来的却是另一张表：默认这一档（除数 225、每步取整）末项差分掉到 0，累加只有 3368，比 3438 少了 70。克拉克 1930 年的英译本在这一页的注里写着：照这条办法严格算下去，会与那张表出现若干处分歧。亏空是两笔叠起来的。第一笔在除数：二阶差分的准确关系要求除以 233.53（那是 1 除以 4sin²(ε/2)），而他写的是「第一个正弦」225，小了 3.7%，每一步都多减一点，一路累成 62；把除数拖到 233.53，缺口立刻收到 19。第二笔在取整：注里每一步都取最近的整数商，丢掉的零头同样只朝一个方向积累；把取整关掉，末项落在 3440.20，只比 3438 多 2.20——那张表基本就回来了。所以这一件要说的不是「他算错了」，而是规则与表本来就是两样东西：规则是一条便于背诵的近似，而表另有来路。算术章第十一颂提过另一条路——把四分之一圆分成想要的份数，从三角形与四边形上把半弦一个个取下来；那是几何作图，克拉克在注里只写了一句「确切怎么做，不得而知」。让末累加正好落回 3438 的除数是 234.97（取整时）或 233.23（不取整时），两个都不等于 233.53，因为取整的偏差自己也要占一份。画布下沿那一行印的是那一颂本身：मखि भखि फखि धखि णखि ञखि ङखि हस्झ स्ककि किष्ग श्घकि किघ्व ॥ घ्लकि किग्र हक्य धकि किच स्ग झश ङ्व क्ल प्त फ छ कला अर्धज्यास् ॥（makhi bhakhi phakhi dhakhi ṇakhi ñakhi ṅakhi hasjha skaki kiṣga śghaki kighva ghlaki kigra hakya dhaki kica sga jhaśa ṅva kla pta pha cha kalā ardhajyās，末两个词的意思是「以角分计的半弦」）。他没有用数字写这张表，用的是自己那套字母记数法——本馆第三件展品讲的正是它：makhi 拆开是 ma 25 配元音 a 落在个位、khi 里的 kh 是 2 配元音 i 落在百位，25 加 200 得 225；hasjha 三个辅音共用一个 a，ha 100 加 sa 90 加 jha 9，得 199。二十四个音节逐个解出来正是上面那一行数，相加 3438。所以这张表与那套记数法，本来就是同一页纸上的东西。

把大数捣碎，解出整数解

粉碎法：两个除数辗转相除，商排成一条链，再从底下往上乘加——解一次不定方程的通法。

N \equiv 15 \pmod{29}, \quad N \equiv 11 \pmod{45} \quad\Longrightarrow\quad N = 1001

算术章第三十二颂起首一句是अधिकाग्रभागहारं छिन्द्यातूनाग्रभागहारेण ॥ शेषपरस्परभक्तं मतिगुणं अग्रान्तरे क्षिप्तम् ॥——两个除数辗转相除，商排成一列，再取一个随意的乘数。给的是这样一道题：一个数，除以某数余若干，除以另一个数又余若干，这个数是多少。他管办法叫 kuṭṭaka，意思是捣碎——把两个大数反复相除，碎成越来越小的数，直到碎不动为止。帕拉梅什瓦拉的注里举的例子是：8 倍某数除以 29 余 4，17 倍它除以 45 余 7。做法分三遍，每遍动作一样。第一遍处理 29 与 8：29 除以 8 商 3 余 5，8 除以 5 商 1 余 3，5 除以 3 商 1 余 2，3 除以 2 商 1 余 1——商 3、1、1、1 自上而下排成一列，这列数印度人叫 vallī，藤蔓。再找一个数，使它乘上最后的余数 1、加减原来的余数 4 之后正好被最后的除数 2 除尽，取 6；把 6 与商 1 添在藤蔓底下，然后自下而上：倒数第二个数乘上它上面那个再加它下面那个，一路乘加到顶，得 73，用 29 除它余 15。这个 15 就是满足第一个条件的数。第二遍如法炮制 45 与 17，得 11。第三遍把 15 与 11 当成两个新的余数、29 与 45 当成两个新的除数，再走一遍，得 34；34 乘 29 得 986，加上 15 得 1001。验一下：8 乘 1001 是 8008，29 乘 276 是 8004，余 4；17 乘 1001 是 17017，45 乘 378 是 17010，余 7。两个条件都合，而且 1001 比 29 与 45 的最小公倍数 1305 小，是最小的那一个。这套「辗转相除，再倒着乘回去」的动作，就是今天的扩展欧几里得算法。天文学上它是刚需：要问「再过多少天，月亮与太阳同时回到某个位置」，问的正是这类同余。这条线后来走得很长——婆罗摩笈多 628 年收了它并加以推广，十二世纪的婆什迦罗二世写进《莉拉沃蒂》，而中国这边《孙子算经》早有一道「物不知数」却只给了一组数的口诀，要到 1247 年秦九韶的大衍求一术，才把不互素的一组除数也一并收拾干净。

8 倍它除以 29 余 417 倍它除以 45 余 7

算术章第三十二、三十三颂给的是一条通法：一个数，除以某数余若干、除以另一个数又余若干，把它找回来。他管这办法叫 kuṭṭaka，意思是捣碎——两个大数反复相除，碎成越来越小的数，直到碎不动为止。帕拉梅什瓦拉的注里举的就是画布上这道题，答数 1001。每一遍三个动作：辗转相除，商自上而下排成一列（这列数印度人叫藤蔓）；取一个数乘上最后的余数，加或减原来的余数，使它正好被最后的除数除尽；把这两个数添在藤蔓底下，再自下而上乘加到顶。顶上那个数除一除，本遍的答数就出来了。前两遍各自解决一个条件，第三遍把两个答数当成新的余数再走一次，合出同时满足两者的那个。原文管那个乘数叫「随意取的数」，意思是取哪个都行。点「换一个乘数」就能看见：藤蔓整条换掉，三个答数一个不变。注里第一遍取的是 6（减），藤蔓长成 73、20、13、7，除以 29 余 15；本演示默认取最小的那个 2（加），藤蔓是 43、12、7、5，除以 29 余 14，取 29 减 14 同样是 15。这一套「辗转相除，再倒着乘回去」就是今天的扩展欧几里得算法；婆罗摩笈多 628 年收下并推广了它，而中国那边要到 1247 年秦九韶的大衍求一术，才把除数不互素的情形也一并收拾干净。

一个词，装下一个十位数

他把 1582237500 写成一个梵文词。辅音管数值，元音管位数，两个九位一共排到十的十八次方。

\text{kh}(2)\cdot 10^4 + \text{y}(3)\cdot 10^5 + \text{gh}(4)\cdot 10^6 = 4320000

十歌章要在诗里报出一串十位数的天文常数，而梵文诗有格律，数字写不进去。他于是造了一套字母记数法，只在这一章用。规矩是这样：三十三个辅音里，ka 到 ma 这二十五个叫 varga（方），依次代表 1 到 25；ya 到 ha 这八个叫 avarga（非方），依次代表 30 到 100。九个元音 a、i、u、ri、li、e、ai、o、au 不表示数，只表示位置：配在方辅音上分别指向个位、百位、万位……配在非方辅音上则指向十位、千位、十万位……一个元音管住两个位，九个元音就管到第十八位。辅音可以叠在一起共用一个元音，各自按各自的类别落到自己的位上。于是太阳一劫的公转数 4320000 写成 khyughṛ 一个词：kh 是 2、y 是 3，共用元音 u——2 落在万位得 20000，3 落在十万位得 300000；gh 是 4，配元音 ri 落在百万位，得 4000000。三项相加正好 4320000。月亮的 57753336 写成 cayagiyiṅuśuchlṛ，八个音节从个位一路排到千万位。地球一劫自转 1582237500 写成 ngishibunlrishkhri。要紧的是这套东西编不起来除非已经有位值制：每个元音指一个位、位与位之间差十倍、空位就不写任何辅音——这正是位值记数的三条骨架。他这一套后来没有人接着用（喀拉拉学派用的是另一套叫 kaṭapayādi 的、能把数编成有意义的句子的办法），可它留下了五世纪印度已在用位值制的一份硬证据。

任取一个数 4,320,000

十歌章要在诗里报出一串十位数的天文常数，而梵文诗有格律，数字塞不进去。他于是造了一套字母记数法：辅音管数值，元音管位数。ka 到 ma 这二十五个方辅音表 1 到 25，落在个位、百位、万位……；ya 到 ha 这八个非方辅音表 30 到 100，落在十位、千位、十万位……；九个元音本身不表示任何数，只说明该落到第几对位上。辅音可以叠在一起共用一个元音，各按各的类别落位。太阳一劫公转 4320000 于是写成一个词 khyughṛ：kh 是 2、y 是 3，共用元音 u，一个落到万位得 20000，一个落到十万位得 300000；gh 是 4，配元音 ri 落到百万位得 4000000。三项相加正好。本馆肖像位那一页，做的正是这件事的反面：帕拉梅什瓦拉的注在那里逐字拆土星那个词——十四万、五百、六千、四、六十——点一下「土星一劫公转」，画布上这五项与那一页上印的一模一样。要紧的是：这套东西编不起来，除非已经有位值制。每个元音指一个位、位与位之间差十倍、空位就什么辅音也不写——这正是位值记数的三条骨架，而它出现在公元五世纪的一首诗里。他这一套后来没有人接着用，喀拉拉学派用的是另一套能把数编成有意义句子的办法；可它留下了一份硬证据。这套东西不只用来报天文常数。他那张半弦表也是这么写的：十歌章第十颂那二十四个差分，原文是 मखि भखि फखि धखि णखि ञखि ङखि हस्झ…… 二十四个音节，一个音节一个数。点一下「半弦表第一差」，画布上拆出来的正是书上的第一个词 makhi——ma 25 加 khi 200，得 225。本馆第一件展品的画布下沿印着这二十四个音节，与它们各自的那个数排在一起。

不动的是星，转的是地

由他一劫里那个自转数折出来的一日长度，是 23 时 56 分 4.101 秒——与今测的星际日差 0.002 秒。

\frac{1577917500}{1582237500} \times 86400 = 86164.1012\ \text{s}

球章第九颂：अनुलोमगतिस्नौस्थस् पश्यति अचलं विलोमगं यद्वत् ॥ अचलानि भानि तद्वत्समपश्चिमगानि लङ्कायाम् ॥——人在行船上往前走，看不动的东西向后退；楞伽的人看不动的星宿向西退，正是这样。这是他解释周日视运动的话，意思相当直白——转的是地，不是天。这在当时是异端，后来的注家很不舒服：帕拉梅什瓦拉一路论证他其实没这么说，克拉克在注里说那是「用错了地方的机巧」。有意思的是，这句话背后是一个可以核的数。十歌章第一颂给出一劫（432 万年）里地球向东自转 1582237500 次，太阳公转 4320000 次；印度历算的老规矩是民用日数等于自转数减公转数，也就是 1577917500 日。于是一日的长度就定死了：1577917500 除以 1582237500，再乘 86400 秒，得 86164.1012 秒，也就是 23 时 56 分 4.101 秒。今天的星际日——地球相对恒星真正转一圈的时间——是 86164.0989 秒。差 0.002 秒。这里要当心一个坑：常被拿来比的「恒星日」86164.0905 秒是相对春分点的，因为岁差，它比星际日短 0.0084 秒；他数的是星宿，该比的是星际日。同一组数字里，年却没有这么准：一劫的民用日除以公转数得 365.258681 日，也就是 365 日 6 时 12 分 30 秒，而今测的恒星年是 365.256363 日，长了 200 秒，合 3 分 20 秒。日准而年不准，不是巧合：日长是两个大数的比值，星宿每天回到原处这件事，几百年的记录一核就核得很死；而年长要靠分点或至点，那是个难测得多的时刻。他的数只准在他量得到的地方。

走过 91.31 个民用日

球章第九颂里那句船与岸，是他对周日视运动的解释：转的是地，不是天。这在当时是异端，后来的注家很不舒服——帕拉梅什瓦拉一路论证他其实没这么说，克拉克在注里评了一句「用错了地方的机巧」。有意思的是这句话背后有一个可以核的数。十歌章第一颂给出一劫里地球自转 1582237500 次、太阳公转 4320000 次；两者相减就是民用日 1577917500。一日的长度于是被这两个数定死了：1577917500 除以 1582237500，再乘 86400 秒，得 86164.1012 秒，也就是 23 时 56 分 4.101 秒。今天地球相对恒星真正转一圈是 86164.0989 秒——差 0.0023 秒。这里有个容易比错的地方：常被拿来对照的「恒星日」86164.0905 秒是相对春分点的，因为岁差比前者短 0.0084 秒；他数的是星宿，该比的是星际日。同一组数字里，年却没有这么准：一劫的民用日除以公转数得 365.258681 日，比今测的恒星年长了 200 秒，合 3 分 20 秒。日准而年不准，不是巧合：日长是两个大计数的比值，星宿每天回到原处这件事，几百年的记录一核就核得很死；年长却要认定分点或至点那一刻，那是难测得多的东西。他的数只准在他量得到的地方。

他的太阳只比地球大四倍，可地影的宽窄他算对了

日月的真实大小与远近他全错了，而凡是能被观测校住的量——视直径、地影的宽度——都对到百分之几。

L = \frac{d_e \cdot r_s}{d_s - d_e}, \quad w = d_e\left(1 - \frac{r_m}{L}\right)

十歌章第五颂给出一套尺寸：一由旬等于八千个人的身高，地球直径 1050 由旬，太阳 4410，月亮 315。太阳只比地球大 4.2 倍，实际是 109 倍——错得离谱；月亮与地球之比 0.300，实际 0.2725，倒是相当近。第四颂又给出各天体轨道的长度：整个虚空的周长除以它在一劫里的公转数。按他自己给的换算，月亮每走一角分是 10 由旬，所以月轨周长正好 216000 由旬，半径 34378 由旬。于是月亮的视直径是 315 除以 34378，折合 31.50 角分，今测均值 31.1；太阳算下来 32.99 角分，今测 31.99。两个都对到一角分以内。太阳与月亮的距离之比，他给的是 13.4 倍，真值是 389 倍——又错得离谱。这不是他一个人的毛病：从阿利斯塔克起，古代一切测日距的办法都严重偏小，因为要量的那个角小到量不出来。球章第三十八颂起讲交食：月食是月亮走进地影。地影是一个锥，锥长由日地距离与日地大小定；照他的数算，锥长 143620 由旬，是月轨半径的 4.18 倍，锥在月轨处的截面直径 798.7 由旬，合 2.53 个月亮直径。今天按实测值算是 2.65 个。也就是说，他把日月的真身弄错了两个数量级，可食的宽窄只差百分之四——因为地影的宽窄只取决于那几个比值，而那几个比值正是观测校住的。顺带一条自洽的检验：拿地球直径 1050 由旬去对今测的 12742 公里，一由旬合 12.14 公里；再除以他说的八千，一个人身高 1.52 米。

月心离影心 0.40 个月直径换成今测的影径（2.647 个月径）

十歌章第五颂给出一套尺寸：一由旬等于八千个人的身高，地球直径 1050 由旬，太阳 4410，月亮 315。太阳只比地球大 4.2 倍，实际是 109 倍；日距与月距之比他给 13.4，真值 389——这不是他一个人的毛病，从阿利斯塔克起，古代一切测日距的办法都严重偏小，因为要量的那个角小到量不出来。可换个方向看就不一样了。第四颂那条换算等价于说月亮每走一角分是 10 由旬，于是月轨周长正好 216000 由旬、半径 34377；照他自己的圆周率 3.1416 算下来，月亮的视直径 31.50 角分（今测均值 31.08），太阳 32.99（今测 32.00）。球章第三十八颂起讲月食：影是一个锥，锥长由日地的大小与距离定，照他的数是 143620 由旬，也就是月距的 4.18 倍；锥在月轨处的截面直径 798.7 由旬，合 2.535 个月亮直径，而今天按实测值算是 2.647。勾上「换成今测的影径」，两个圆几乎不动。这件事值得想一想：他把日月的真身弄错了两个数量级，交食却算得住。因为食的宽窄只取决于几个比值，而那几个比值正是观测校得住的——视直径量得到，食的起讫时刻记得下来，错的部分（真实的远近）根本不进这道算式。顺带一条自洽的检验：拿地球直径 1050 由旬去对今测的 12742 公里，一由旬合 12.14 公里；再除以八千，一个人身高 1.52 米。

他写下的那个圆周率，刘徽两百三十六年前就写过

62832/20000 约掉就是 3927/1250，一字不差是刘徽的那个数；而他加的那个词是 āsanna——近于。

算术章第十颂：चतुरधिकं शतं अष्टगुणं द्वाषष्टिस्तथा सहस्राणाम् ॥ अयुत द्वयविष्कम्भस्य आसन्नस्वृत्तपरिणाहस् ॥——「四加一百，乘以八，再加六万二千，就近于直径两万的圆的周长。」算出来周长 62832、直径 20000，比值 3.1416。这个数常被拿来夸，说五世纪的印度已经把圆周率算到小数点后四位。事情要说准一点：约掉公因子，62832/20000 就是 3927/1250——而这正是刘徽 263 年在《九章算术注》里给出的那个数，比他早两百三十六年；同时代的祖冲之更已把它夹在 3.1415926 与 3.1415927 之间，比他多了三位。托勒密二世纪给的 377/120 是 3.14167，也在同一个量级。所以 3.1416 不是一个纪录，而是那个时代好几处各自够得着的高度。真正值得看的是他用的那个词：āsanna，近于。梵文里另有一个 sthūla，意思是粗、约莫；他没有用那个，用的是 āsanna。有人由此推想他知道这个比值永远写不成一个分数——那是十八世纪兰伯特才证出来的事，把这份见识安给他，证据不够。稳妥的说法只到这里：他清楚这是一个近似值，并且特意用了一个表示「逼近」而不是「差不多」的词。还有一件常被说反的事：他这个 3.1416 在印度后来并没有通行，多数历算家沿用的是更方便的 10 的平方根，也就是 3.1623——比他自己给的差得多。一个更好的数被写了下来，却没有被用起来，这在数学史上不算罕见。

故事展签故事展签：一个更好的数被写了下来，却没有被用起来。

传承

他的工作没有留在十八世纪——每条链的终点，都是你今天正在使用的东西。

半弦表：半径 3438 分，每 3 度 45 分一个值⟶二阶差分正比于函数自身——造表的那条规则⟶今天的数值逼近与差分法

粉碎法解一次不定方程⟶婆罗摩笈多推广，秦九韶写成大衍求一术⟶RSA 解密要用的扩展欧几里得与椭圆曲线密码

一劫里地球自转 1582237500 次⟶折出的一日长 23 时 56 分 4.101 秒⟶今天由原子钟守着的世界时与闰秒

地影是一个锥，月亮走进去就是月食⟶算食分与食延，不再归给罗睺⟶今天的星历、掩星预报与深空探测

半弦 ardha-jyā，简称 jyā⟶阿拉伯文写成 jiba，克雷莫纳的杰拉德读成 jaib（衣袋），拉丁文译作 sinus⟶今天计算器上的 sin 键

语录

「人在行船上往前走，看不动的东西向后退；楞伽的人看不动的星宿向西退，正是这样。」
—— 《阿耶波多历书》球章第九颂，499 · 原文 अनुलोमगतिस्नौस्थस् पश्यति अचलं विलोमगं यद्वत् ॥ अचलानि भानि तद्वत्समपश्चिमगानि लङ्कायाम् ॥ · 汉译据克拉克 1930 年英译本转出，是大意 · 楞伽是他设在赤道上的基准点

「四加一百，乘以八，再加六万二千，就近于直径两万的圆的周长。」
—— 《阿耶波多历书》算术章第十颂 · 原文 चतुरधिकं शतं अष्टगुणं द्वाषष्टिस्तथा सहस्राणाम् ॥ अयुत द्वयविष्कम्भस्य आसन्नस्वृत्तपरिणाहस् ॥ · 「近于」原文作 āsanna，不是表示粗略的那个 sthūla

「三个瑜伽足与六十乘六十年过去时，我这一生过了二十三年。」
—— 《阿耶波多历书》时间章第十颂 · 原文 षष्टिअब्दानां षष्टिस्यदा व्यतीतास्त्रयस्च युगपादास् ॥ त्रिअधिका विंशतिसब्दास्तदा इह मम जन्मनसतीतास् ॥ · 同上 · 他的生年 476 就是从这一句倒推出来的

「真知是沉在海里的宝珠，那片海一半是真知一半是妄知；我凭自己那条知识的小船，把它捞了上来。」
—— 《阿耶波多历书》球章第四十九颂 · 原文 सतसत्ज्ञानसमुद्रात्समुद्धृतं ब्रह्मणस्प्रसादेन ॥ सत्ज्ञानौत्तमरत्नं मया निमग्नं स्वमतिनावा ॥ · 同上 · 全书倒数第二行，又一次用了船