Posidonius of Apamea · 约前135–约前51

波西多尼乌斯

他量出的地球偏小，而偏小的那个数被托勒密取走，一直用到哥伦布

C = \frac{360^\circ}{7.5^\circ} \times 5000 = 240000 \quad \text{斯塔德}

老人星在罗得岛擦着地平线，在亚历山德里亚高 7.5 度 · 一个角配一段距离就量得地球，而这一算里的两个错几乎互相抵消

约前 135 年生于叙利亚的阿帕梅亚，奥龙特斯河畔的一座希腊化城市。他到雅典跟帕奈提乌斯学斯多噶哲学；老师死后走了很多年路——西班牙的加的斯、高卢、利古里亚、西西里、北非、意大利，一路记潮水、记矿坑、记风俗。约前 95 年他定居罗得岛开馆讲学，从此又被称作「罗得岛的波西多尼乌斯」，还做过本城的执政官，前 86 年作为使节去过罗马。西塞罗前 78 至前 77 年在罗得岛听他的课，此后一直称他「我们的朋友」，还把自己用希腊文写的执政纪交给他看。庞培从叙利亚回师时两次登门；西塞罗记下了那一次——他正犯着痛风，仍旧躺在床上讲了一场，题目是「除了德性没有什么是善的」，每逢痛处袭来就冲着它说一句：疼痛啊，你白费力气。

他一部书也没有传下来。《论海洋》《论天象》《论日之大小》，以及那部接着波利比乌斯写的五十二卷《历史》，全部失传。今天读到的每一句都是别人引的：地理靠斯特拉波大段引录，天文靠克莱奥迈季斯的《论天体的圆周运动》，几何定义靠普罗克洛斯的《几何原本第一卷注》，哲学靠西塞罗、塞涅卡与盖伦。斯特拉波一边说他是「我们这个时代最博学的哲学家」，一边抱怨他身上「有太多的追究原因、太多的亚里士多德味道，而这正是我们这一派要避开的」——那句抱怨恰好说出了他与别的斯多噶派不同的地方。他不是职业数学家，可他把量的办法用在了三件事上：量地球有多大、太阳有多远、潮水跟着什么走；此外他还给平行线换了一个定义，并写过一部书专驳伊壁鸠鲁派的西顿人芝诺——芝诺说《原本》连第一条命题都藏着没证过的假设，他逐条反驳回去。

克莱奥迈季斯《论天体的圆周运动》第 52 叶背，马克西莫斯·普拉努德斯抄本，苏格兰国家图书馆 Adv. 18.7.15 · Wikimedia Commons，公有领域。他没有画像传世，自己的书也一部未存，所以这里放的是他的东西留下来的地方：地球周长那一算（第一卷第十节）与太阳大小那一算（第二卷第一节），今天全靠这部书保存。抄手普拉努德斯是十三世纪末那位拜占庭学者，丢番图的《算术》也是靠他的本子传下来的。另一个可选项是那不勒斯国家考古博物馆 6142 号胸像——原作约前100至前50年、奥古斯都时期摹刻，是唯一够得上「同时代肖像」的一张，但它是谁只是沿用旧说，照片又是 CC BY 3.0，而公有领域里既然挑得出能用的，本馆就不放宽许可

生平

约前135
生于阿帕梅亚
叙利亚奥龙特斯河畔。生卒年由西塞罗等人的记载倒推，学界通常写作约前135–约前51。
约前115
在雅典跟帕奈提乌斯学
帕奈提乌斯是中期斯多噶的领袖。老师约前110年去世，他随后动身远行。
约前110起
长途旅行
西班牙、高卢、利古里亚、西西里、北非、意大利、亚得里亚海东岸。在加的斯守过潮水，在西班牙看过矿。
约前95
定居罗得岛开馆
从此被称作「罗得岛的」。他还做过本城的执政官。
前86
作为使节去罗马
据普鲁塔克，他在罗马见过垂死的马略。
《论海洋》
地带、潮汐与地球周长
全佚。斯特拉波《地理学》第二、三卷大段引它，才留下他的地带划分与加的斯的潮汐观测。
《论天象》
日月与天球
全佚。盖米努斯为它写过一部解说，克莱奥迈季斯的书里那些署他名的说法多半出自这一部。
《论日之大小》
单独一卷讲太阳多大
全佚。太阳是地球三十九倍这个数，就是从这一路推算来的。
《历史》五十二卷
接波利比乌斯往下写
从前146年写到前88年。全佚，只剩后人征引的残篇。
前78–前77
西塞罗在罗得岛听他的课
《论神性》第二卷里那架天球、那些天文说法，多半出自他。
约前62
庞培登门
他正犯痛风，躺在床上讲了一场——西塞罗《图斯库鲁姆论辩集》第二卷记下了这件事与那句「疼痛啊，你白费力气」。
约前51
卒
据说享年八十四。他的学生里有他的外孙、雅典的杰米努斯，以及罗得岛一脉的学者。
约150–前后
克莱奥迈季斯抄下那两笔账
《论天体的圆周运动》第一卷第十节记老人星量地球，第二卷第一节记太阳的大小——年代不确，学界从前一世纪到公元四世纪都有人主张。
约450
普罗克洛斯记下他的平行线定义
《几何原本第一卷注》第 176 页：处处等距的那种线。同一部注里还有他对「图形」的定义与七种四边形的分法。
1810
巴克第一次辑他的残篇
莱顿版《罗得岛的波西多尼乌斯残篇》。今天通行的是埃德尔施泰因与基德 1972–1999 年那部辑本。
1900–1901
安提基西拉沉船
打捞出一套青铜齿轮，年代与西塞罗说的那架球相当。有人把它与他对上，但无法确证。

展品厅

绝大多数展品都可以亲手把玩——这是本馆的立馆之本；少数以叙述为主的，做成故事展签。

镇馆之宝 · 亲手玩

老人星擦着地平线，他就量出了地球

一个角配一段距离，48 乘 5000 得 240000 斯塔德——只比真值小百分之五。可那是两个错几乎抵消的结果，而他自己偏取了另一个数。

C = \frac{360^\circ}{\theta} \times s

克莱奥迈季斯《论天体的圆周运动》第一卷第十节记下了这一算：老人星在希腊看不见，在罗得岛刚刚擦着地平线升起又落下；同一颗星在亚历山德里亚上中天时，高出地平线「一个宫的四分之一，也就是黄道圈的四十八分之一」，即 7.5 度。两地当作同一条子午线上，相距「一般认为是 5000 斯塔德」。于是地球周长是 48 乘 5000，等于 240000 斯塔德。办法本身与埃拉托色尼同一路，只是把日影换成了一颗星。这一算可以逐项核。老人星今天赤纬 −52.70 度，把自行与岁差一起推回前 100 年是 −52.67 度，几乎没动；在罗得城（北纬 36.43 度）它的上中天高度只有 0.90 度，确实是擦着地平线——这一头他没有编。可另一头对不上：在亚历山德里亚（北纬 31.20 度）它该升到 6.13 度，而两地的纬差只有 5.23 度，他取的 7.5 度比后者大了三分之一还多。这里有两层错：星在罗得岛并非恰好为零，方法本身就把纬差多算了 0.90 度；而 7.5 度这个数又比实测该有的 6.13 度还大——它是黄道十二宫的四分之一，一个太圆整的数，今人因此有指出，克莱奥迈季斯这一节整个是教科书式的示范，未必记录了一次真实的测量。距离那一头也偏大：罗得城到亚历山德里亚的大圆距离是 603 公里，按一斯塔德 157.5 米折算是 3827 斯塔德，而他用的 5000 是水手给的上限（另有人说 4000），埃拉托色尼靠日影量出的是 3750。妙处在于两个错的方向相反：角大了 1.43 倍，距离大了 1.31 倍，商几乎不变——240000 斯塔德若按 157.5 米算是 37800 公里，只比真值 40008 公里小 5.5%。而斯特拉波说，他偏取的是「最新测量里把地球算得最小的那个数，约 180000 斯塔德」；那正是 48 乘 3750，也就是把距离换成埃拉托色尼的对数、却留着自己那个错的角。两个错不再抵消，地球于是缩掉六分之一——托勒密取走的正是这个数，《地理学》里每一度只剩九十来公里，一千三百年后哥伦布往西算出的那片海也就窄了一半。

拨角度与距离，看周长怎么变；下面那条误差带标出两个错在哪一档正好抵消

亚历山德里亚的星高 7.50°两地距离 5000 斯塔德

他的两个输入都在克莱奥迈季斯书里：老人星在罗得岛刚刚擦着地平线，同一颗星在亚历山德里亚上中天时高「一个宫的四分之一，即黄道圈的四十八分之一」，也就是 7.5°；两地「一般认为」相距 5000 斯塔德。于是 48 乘 5000 得 240000。擦地平那一头是真的：老人星今天赤纬 −52.70°，连自行带岁差推回前 100 年是 −52.67°，两千一百年几乎没动，在罗得城的上中天高度只有 0.90°。另一头却不对：同一颗星在亚历山德里亚该升到 6.13°，而两地纬差只有 5.23°——星在罗得岛并非恰好为零，这个办法本身就把纬差多算了 0.90°，而他用的 7.5° 比 6.13° 还大，它是黄道一宫的四分之一，一个太圆整的数。距离那一头同样偏大：两地大圆距离 603 公里，按 157.5 米一斯塔德是 3827，而埃拉托色尼用日影量出的 3750 与真值只差 2%。妙处是两个错方向相反。角大了 1.43 倍、距离大了 1.31 倍，商几乎不变：下面那张图里，5000 那条曲线与真值线交在 7.09°，而他站在 7.50°——只差 0.41°，于是 240000 斯塔德按 157.5 米折算是 37800 公里，只比真值小 5.5%。按 185 米折算则大 11.0%，一斯塔德到底多长至今没有定论，这也是这一算永远说不出「他有多准」的原因。可他偏取的是另一个数：斯特拉波说他取的是「最新测量里把地球算得最小的那个数，约 180000 斯塔德」，那正是 48 乘 3750——把距离换成了对的，却留着自己那个错的角。两个错不再抵消，地球缩掉六分之一，而托勒密取走的正是这一个。

他把太阳推到六千万公里以外

日轮的圆取地球大圆的一万倍，赛伊尼那个三百斯塔德的无影圈给出日面的大小——算出来太阳是地球的三十九倍，古代所有答案里最接近的一个。

d_{\odot} = 10000 \times 300 = 3000000 \quad \text{斯塔德}

克莱奥迈季斯第二卷第一节记下他推太阳大小的办法，只有两个输入。一是日轮所在的那个圆是地球大圆的一万倍——希思推测这条来自阿基米德《数沙者》，那里证明的是「日轮直径不到地球直径的一万倍」，他把上界当成了真值。二是埃拉托色尼说过的一件事：在赛伊尼，也就是夏至日太阳正过天顶的那条线上，直径 300 斯塔德的一圈地面之内，正午的日影全都消失。他的推理是：太阳圆面在它自己那个圆上所占的份额，与那 300 斯塔德在地球大圆上所占的份额相同。于是日面直径等于一万乘 300，即 3000000 斯塔德。逐项算出来：以他的 240000 斯塔德为地球周长，地球直径是 76394 斯塔德，太阳便是它的 39.3 倍；日轮圆周 24 亿斯塔德，半径 3.82 亿斯塔德——按一斯塔德 157.5 米折算是 6016 万公里，是真值 1.496 亿公里的四成。这个数在古代是个异数。同一个比值，阿里斯塔克斯给 6.75 倍，喜帕恰斯 12.3 倍，托勒密 5.5 倍，五世纪的阿耶波多只给 4.2 倍，而真值是 109 倍——他一个人比所有人都大了一个量级，也因此近得多。更值得看的是那 300 斯塔德本身：它其实是在量太阳的视直径。照他的数折出来是 0.45 度，合 27.0 角分，而今测的日面平均视直径是 31.97 角分——差 16%，比他那些倍数错得少得多。这不奇怪：视直径是地面上量得到的东西，而「日轮是地球的一万倍」是猜的。顺带一个反讽：若把地球周长换成他自己偏取的 180000 斯塔德，太阳反而变成 52.4 个地球直径、视直径 36.0 角分——地球算得越小，太阳就显得越大。

日轮是地球大圆的 10,000 倍无影圈直径 300 斯塔德

他只用了两个输入。一是日轮所在的那个圆是地球大圆的一万倍——希思推测这条取自阿基米德《数沙者》，那里证明的是「日轮直径不到地球直径的一万倍」，是个上界，他把上界当成了真值。二是埃拉托色尼说过的一件事：在赛伊尼，直径 300 斯塔德的一圈地面之内，夏至正午的日影全都消失。他那一步推理是：日面在日轮那个圆上所占的份额，与那 300 斯塔德在地球大圆上所占的份额相同。于是日面直径 = 10000 × 300 = 3000000 斯塔德。注意这一步里地球周长约掉了，日面的斯塔德数与地球多大无关；地球周长只决定「这相当于几个地球」。取他的 240000，地球直径是 76394 斯塔德，太阳便是 39.3 倍；取他偏取的 180000，同一个太阳变成 52.4 倍。这个数在古代是个异数：阿里斯塔克斯给 6.8 倍，喜帕恰斯 12.3，托勒密 5.5，五世纪的阿耶波多只给 4.2，而真值是 109 倍——他一个人比所有人都大了一个量级，也因此近得多。日地距离按他的数是 3.82 亿斯塔德，折 6016 万公里，是真值 1.496 亿公里的四成。更值得看的是那 300 斯塔德本身：它其实是在量太阳的视直径，照他的数折出来是 27.0 角分，今测平均 31.97——只差 16%，比那些倍数准得多。道理不难：视直径是地面上量得到的东西，而「日轮是地球的一万倍」是猜的。

他给平行线换了个定义，而那个定义就是第五公设

「处处等距」听起来比欧几里得的「永不相交」清楚得多。可等距的那条线在非欧几何里根本不是直线——它比脚下那条直线长 cosh 倍。

\ell_{\text{等距}} = b \cosh h

普罗克洛斯《几何原本第一卷注》第 176 页记下他的定义：平行线是「同在一个平面内、既不收拢也不散开的那些线，从一条上的各点向另一条所引的垂线全都相等；而使垂线越来越短的那些线，则是彼此收拢的——因为垂线本来就足以定出面的高与线间的距离」。这个定义看起来是个改进：欧几里得第 23 定义说的是「延长下去永不相交」，是一句否定的话，还要人想象无穷远；他改成一句可以当下检验的话，量几条垂线就是了。海伦的《定义集》收了它，辛普利丘与那位「阿加尼斯」又把它改写成「距离处处相同」，并拿它去证第五公设。问题恰恰在这里。希思在《原本》英译本里把历代替代第五公设的命题列成一张单子，第二条就是「存在处处等距的直线」，署的名是波西多尼乌斯与盖米努斯——它不是公设的替代证明，它就是公设本身。为什么，双曲平面里一眼看得见：在庞加莱圆盘里取一条测地线当底，向同一侧截取等长的垂线，把垂足连起来是直线，把垂线的顶端连起来却不是——那条等距线是一条圆弧，叫超圆。它有多不直，可以算：底下那段测地线长 b、垂线长 h，等距弧的长度正好是 b 乘 cosh h。h 取一个绝对长度单位时，cosh 1 等于 1.5431，等距线比它脚下的直线长出 54.3%；h 取两个单位就长出 276%。真正的直线呢：过顶端那两点的测地线会向底线塌下去，b 等于 2.7726、h 等于 1 时，它在中点处离底线只有 0.3750 个单位，而两端是 1.0000，亏掉 0.6250；它与垂线的夹角是 43.96 度，不是直角。这正是萨凯里与兰伯特一千七百年后要处理的那个四边形的顶角。所以他那句听起来更清楚的话，偷偷预设了「等距线是直线」，而那件事在欧氏平面之外不成立。换个说法：他定义的不是平行线，是欧几里得几何。

垂线长 h = 1.00（cosh h = 1.5431）底边长 b = 2.77换回欧氏平面

普罗克洛斯记下他的定义：平行线是「同在一个平面内、既不收拢也不散开的那些线，从一条上的各点向另一条所引的垂线全都相等」。这看着是个改进——欧几里得说的是「延长下去永不相交」，要人想象无穷远；他改成一句当下就能检验的话，量几条垂线即可。海伦的《定义集》收了它，辛普利丘与那位「阿加尼斯」又把它改写成「距离处处相同」，并拿它去证第五公设。问题就在这里。希思把历代替代第五公设的命题列成一张单子，第二条是「存在处处等距的直线」，署名波西多尼乌斯与盖米努斯——它不是公设的证明，它就是公设。双曲平面里一眼看得见：向底线同一侧截取九条等长的垂线，垂足在一条直线上，顶端却不在。顶端那条等距线（叫超圆）是一段圆弧，长度正好是底边长乘 cosh h：h 取一个绝对长度单位时 cosh 1 = 1.5431，它比脚下那条直线长出 54.3%；h 取两个单位就长出 276%。真正的直线在哪儿？过两端的测地线向底线塌了下去：b = 2.77、h = 1 时，它在中点处离底线只有 0.3750，而两端是 1.0000，亏掉 0.6250；它与垂线的夹角是 43.96°，不是直角——这正是萨凯里与兰伯特一千七百年后要处理的那个四边形的顶角。勾上「换回欧氏平面」，三个读数一齐退化成 1、0、90°：他那句话在欧氏平面里毫无破绽，因为它说的就是欧氏平面。旁边两个读数各由两条路算出（闭式与数值积分、闭式与圆盘距离公式），四位小数上逐项相同。

他在加的斯守着潮水，记下三个周期

日周期与月周期他记对了：潮跟着月亮的时角走，朔与望时最大。年周期他猜夏至最大，而按太阳的赤纬该是春秋分——这一条他自己守了几天也没看出来。

\frac{\text{大潮}}{\text{小潮}} = \frac{1+r}{1-r}, \quad r = 0.4596

斯特拉波《地理学》第三卷第五节转述了他在加的斯（今西班牙的加的斯）的观测：海水的运动「像天体一样有周期，因为它跟着月亮走」，而周期有三个，第一是日的，第二是月的，第三是年的。日周期他描述得很细：月亮升到离地平线一个宫（30 度）时海开始涨，一直涨到月亮上中天；然后退，退到月亮离落点还有一个宫；再停住，等月亮落下去、又走到地平线下一个宫，海第二次涨，涨到月亮过下中天。这套说法的骨架是对的——潮跟的是月亮的时角，不是太阳的。算出来：一个太阴日 24 小时 50.5 分，所以每天两次高潮，比前一天晚 50.5 分钟；半日潮的周期 12 小时 25.2 分。他说的「一个宫」折成月时是 2 小时 4 分。月周期他也对：斯特拉波记他说，涨落在朔那一带最大，到上弦减到最小，到望又最大，到下弦再最小。这正是大潮小潮，而且原因今天写得出来——太阳的引潮力是月亮的 0.4596 倍（两者之比就是质量比乘距离比的立方），朔望时两股力同向相加、上下弦时相减，平衡潮的大潮潮差因此是小潮的 2.70 倍，一轮 14.77 日，正是一个朔望月的一半。年周期则是他栽的地方。他说这是加的斯当地人告诉他的：涨退都在夏至那一带最大；他自己顺着推出一套「至日大、分日小」的图式。可太阳那一份的强弱随它的赤纬走，正比于赤纬的余弦平方——分日赤纬为零，至日赤纬 23.7 度，余弦平方只有 0.838，所以一年里最大的大潮该在春秋分，而不是夏至。斯特拉波紧接着记了一笔，让这件事更有意思：他自己在加的斯的赫拉克勒斯神庙守了好几天，正是夏至前后、又逢望，却「看不出那些年周期的差别」。今天算得出他为什么看不出——至日的大潮只比分日的小 5.1%，一次涨落里看不出来。他记对的两个周期，都是几天之内就能反复看见的；记错的那一个，要一年才走一遍。

朔后第 0.0 日

斯特拉波转述他的原话：海的运动「像天体一样有周期，因为它跟着月亮走」，而周期有三个——日的、月的、年的。日周期他描述得极细：月亮升到离地平线一个宫（30°）时海开始涨，涨到月亮上中天；然后退，退到月亮离落点还有一个宫；再停住，等月亮落下、又走到地平线下一个宫，海第二次涨，涨到月亮过下中天。骨架是对的：潮跟的是月亮的时角，不是太阳的。算出来太阴日 24 小时 50.5 分，所以每天两次高潮、比前一天晚 50.5 分钟；他说的「一个宫」折成月时是 2 小时 4 分。月周期他也对：朔那一带涨落最大，到上弦减到最小，到望又最大，到下弦再最小。今天写得出原因——太阳的引潮力是月亮的 0.4596 倍（质量比乘距离比的立方），朔望时两股同向相加、两弦时相减，平衡潮的大潮潮差因此是小潮的 2.70 倍，一轮 14.77 日，正是一个朔望月的一半。上面那条曲线还顺带露出一件他没说的事：因为太阳那一份的周期是 12 小时整而月亮是 12 小时 25 分，高潮并不总在月中天：朔、望与两弦这四处它正落在月中天，而在它们之间能错开近一小时（最大 56.6 分钟，在朔后第 4.8 与 24.7 日）。年周期是他栽的地方。他说这是加的斯当地人告诉他的：涨退在夏至那一带最大；他据此推出一套「至日大、分日小」的图式。可太阳那一份的强弱随它的赤纬走，正比于赤纬的余弦平方——分日赤纬为零，至日 23.7°，余弦平方只剩 0.838，所以一年里最大的大潮该在春秋分。斯特拉波紧接着记了一笔：他自己在加的斯的赫拉克勒斯神庙守了好几天，正逢夏至前后又遇望，却「看不出那些年周期的差别」。今天算得出他为什么看不出——至日的大潮只比分日的小 5.1%。他记对的两个周期，几天之内就能反复看见；记错的那一个，要一年才走一遍。

烧焦的那一带不在赤道，在南北回归线上

他把「热得住不了人」那一带收窄到两回归线之间的十一分之二十一，又指出真正的焦土是回归线下那两条窄带——因为太阳在那里要停十七天。

|\delta(t) - \varphi| \le 0.2665^\circ

斯特拉波《地理学》第二卷第二节整节在讲他怎么重划地带。此前有两套说法：巴门尼德把「炎热带」画得几乎有实际的两倍宽，越过两条回归线伸进温带；亚里士多德则把两回归线之间整个叫炎热带。他两家都不同意，理由是「炎热带」只该指热得住不了人的那一片，而两回归线之间有一半以上是住得了人的——住在埃及以南的埃塞俄比亚人就是证据。他的账这样算：赛伊尼在夏至线上，从赛伊尼到麦罗埃 5000 斯塔德，从麦罗埃到产肉桂之国那条线 3000 斯塔德，炎热带从那里才开始；再往南到赤道，靠埃拉托色尼的地球测量算出来是 8800 斯塔德。三段相加 16800 斯塔德，按埃拉托色尼每度 700 斯塔德正好是 24 度——那就是他们那一派用的黄赤交角。于是炎热带的半宽是 8800，与 16800 之比是 11 比 21：炎热带只占两回归线之间的 52.4%，宽约 25 度，而不是 48 度。同一节里他还说了一件更细的事：真正焦干的是回归线底下那两条窄带，沙质、无雨、除了阿魏什么都长不出来，「每年有半个多月太阳正当头」；而比它们更靠南的地方，气候反而温和、水土也好。这一条今天算得出来。判太阳「当头」的自然尺度是它自己的圆面，视半径 0.2665 度；按他那个年代的黄赤交角 23.72 度，太阳赤纬一年里落在某纬度正负 0.2665 度之内的天数是：赤道上 2.61 天（分两次经过），北纬 20 度 4.86 天，而回归线上是 17.44 天——正是「半个多月」，且是赤道的 6.7 倍。原因是赤纬按正弦摆动，在赤道附近走得最快、在回归线上几乎停住。所以他把焦土从赤道挪到回归线，不是猜的：那里的太阳确实赖着不走。顺带一句，回归线自那时起已经往赤道挪了 0.28 度，约 31 公里——今天的黄赤交角是 23.44 度。

纬度 23.7°判据角 0.2665°用今天的黄赤交角

此前有两套说法：巴门尼德把炎热带画得几乎有实际的两倍宽，越过两条回归线伸进温带；亚里士多德把两回归线之间整个叫炎热带。他两家都不同意，理由是「炎热带」只该指热得住不了人的那一片，而两回归线之间有一半以上住得了人——埃及以南的埃塞俄比亚人就是证据。他的账是：赛伊尼在夏至线上，到麦罗埃 5000 斯塔德，麦罗埃到产肉桂之国那条线 3000 斯塔德，炎热带从那里才开始；再往南到赤道，靠埃拉托色尼的地球测量算出是 8800 斯塔德。三段相加 16800 斯塔德，按每度 700 斯塔德正好 24°，那就是他们那一派用的黄赤交角——这一步自洽得漂亮。于是炎热带只占两回归线之间的 8800 比 16800，即 11 比 21、52.4%。同一节里还有一句更细的：真正焦干的是回归线底下那两条窄带，沙质、无雨、除了阿魏什么都长不出来，「每年有半个多月太阳正当头」；而比它们更靠南的地方，气候反而温和、水土也好。这一条今天算得出来。判「太阳当头」的自然尺度是它自己的圆面，视半径 0.2665°；按他那个年代的黄赤交角 23.72°，太阳赤纬一年里落在某纬度上下 0.2665° 之内的天数是：赤道上 2.61 天（分两次经过），北纬 20° 4.86 天，而回归线上 17.44 天——正是「半个多月」，且是赤道的 6.7 倍。道理在于赤纬按正弦摆动：过赤道时走得最快，到回归线上几乎停住。曲线上还看得见一件他没说、也不必说的事：最长的一档并不在回归线上，而在它内侧 0.27°——那里太阳过天顶两次而且挨得极近，合计 24.7 天；正在回归线上只过一次，17.4 天。所以他把焦土从赤道挪到回归线，不是随口说的，那里的太阳确实赖着不走。拨「正好半个月的判据角」可以看见另一头：要让回归线上不多不少是半个月，判据得收到 0.2029°，比太阳的视半径略小一点——他那句话的分寸，恰好落在太阳自己的圆面上。顺带一句，黄赤交角自那时起减了 0.28°，回归线已经往赤道挪了约 31 公里。

他做过一架能演天体的球

西塞罗说，这架球每转一圈，日、月与五颗行星就走完天上一昼夜。书全佚，球也不见了；一百多年后从安提基西拉的沉船里捞上来的那套齿轮，有人把它与他对上，但无法确证。

《论神性》第二卷第三十四章里，西塞罗正在论证世界不可能出于偶然，随手举了一件他熟悉的东西：「假如有人把我们的朋友波西多尼乌斯新近做成的那架球带到斯基泰或不列颠去，它每转一圈，都让日、月与五颗行星走出天上每个昼夜所走的那一段，那么在那些蛮荒之地，谁会怀疑这架球是靠理性做成的呢？」紧接着他抱怨有些人「竟以为阿基米德在模仿天球的运转上比自然造出天球更高明」——那是指阿基米德那两架被马尔凯路斯从叙拉古带回罗马的球。这段话值得逐字读，因为它把一件事说死了：公元前一世纪的地中海，确实有人做得出能同时演日、月与五大行星的机械。西塞罗前 78 年在罗得岛听过他的课，说「新近做成」，是当事人的口证。那架球一个零件也没留下。但 1900 年至 1901 年间，希腊安提基西拉岛外一艘沉船里捞上来一堆青铜残块，后来认出是一套至少三十几个齿轮的仪器，能算日月的位置、月相、日月食的周期，还有五颗行星的名字刻在上面；沉船的年代定在公元前一世纪中叶，与西塞罗写下那句话的时间只差一二十年，而有学者主张它出自罗得岛一带。于是这两件事常被接在一起说。但要说准：西塞罗没有描述过那架球的构造，沉船里也没有任何一件东西署名，把两者对上只是一个合理的猜想，并非已被证明。能确证的只有一句——他这一派做得出来这样的东西，而我们今天能看见的那一套，不是他的那一架。至于他本人的书，《论海洋》《论天象》《论日之大小》《历史》五十二卷，一部也没有传下来；他量的地球、他的太阳、他的潮水、他的平行线定义，全靠引他的人各留一段。

故事展签故事展签：一个能演天体的机器，和一个一部书都没留下的人。

传承

他的工作没有留在十八世纪——每条链的终点，都是你今天正在使用的东西。

老人星量地球：48 乘 5000⟶斯特拉波记他偏取 180000 斯塔德⟶托勒密《地理学》每度只剩九十来公里⟶哥伦布往西算出的海窄了一半⟶今天任何一张地图上的经纬度

日轮取地球大圆的一万倍⟶太阳是地球的三十九倍——古代最接近的一个数⟶喜帕恰斯与托勒密的视差法仍严重偏小⟶十七世纪金星凌日重测日地距离⟶今天靠视差定星的距离与天文单位

平行线是处处等距的线⟶辛普利丘与阿加尼斯拿它去证第五公设⟶萨凯里与兰伯特的四边形⟶罗巴切夫斯基：等距线不是直线⟶曲率可以不为零，于是有了广义相对论

加的斯的潮水跟着月亮走⟶潮有日、月、年三个周期⟶牛顿的引潮力与大潮小潮⟶调和分析与潮汐表⟶今天港口的潮汐预报与船舶进出的窗口

炎热带不是两回归线之间那一整片⟶焦干的是回归线下那两条窄带⟶太阳在回归线上停十七天⟶日照随纬度与季节的分布⟶今天天气预报模型里那一项太阳辐射

语录

「平行线是同在一个平面内、既不收拢也不散开的那些线，从一条上的各点向另一条所引的垂线全都相等。」
—— 普罗克洛斯《几何原本第一卷注》第 176 页 6–10 行 · 大意，据希思《欧几里得原本十三卷》英译本转译。希思把「存在处处等距的直线」列为第五公设的等价命题之二，署的名就是他与盖米努斯

「假如有人把我们的朋友波西多尼乌斯新近做成的那架球带到斯基泰或不列颠去，它每转一圈，都让日、月与五颗行星走出天上每个昼夜所走的那一段，那么在那些蛮荒之地，谁会怀疑这架球是靠理性做成的呢？」
—— 西塞罗《论神性》第二卷第 88 节 · 大意，据扬格英译本对照拉丁原文转译。西塞罗前78年在罗得岛听过他的课，「新近做成」是当事人的口证

「疼痛啊，你白费力气；你再怎么烦人，我也绝不承认你是一件恶。」
—— 西塞罗《图斯库鲁姆论辩集》第二卷第 61 节 · 大意，据扬格英译本转译。庞培从叙利亚回师时到罗得岛想听他讲学，正遇他痛风发作；他就躺在床上讲了一场，题目是「除了德性没有什么是善的」