Jia Xian · 约1010–约1070

贾宪

他把开方变成一套只会「随乘随加」的动作——开几次方都是这一套；而他自己的两部书，一卷未存

(a+b)^n = a^n + \binom{n}{1}a^{n-1}b + \cdots + \binom{n}{n-1}ab^{n-1} + b^n

开方作法本源 ·《永乐大典》卷一万六千三百四十四引《详解九章算法》·「左袤乃积数。右袤乃隅算。中藏者皆廉。」——两头的一是积与隅，中间那些数就是开方时要摆的廉

贾宪，北宋人，生卒年没有确据，通行的写法是约1010–约1070，两头都是推的。正史无传，《宋史·艺文志》历算类的末尾只著录了一行：「贾宪《黄帝九章算经细草》九卷」；郑樵《通志》另记他有《算法斅古集》二卷。两部书一卷未存。他的身世只剩一条转述：当时司天监里算得最好的是楚衍，楚衍老了、眼也昏了，门下两个弟子出了名，一个是贾宪，一个是朱吉；贾宪做的是右班殿直，三班使臣里的低阶武职，朱吉在太史局——这几句见黄钟骏《畴人传四编》卷五，所据是郑樵《通志》、《宋史·艺文志》与王钦臣《王氏谈录》（那部书记的是他父亲王洙的谈话）。楚衍是开封胙城人，《宋史·方技传》说他「于《九章》《缉古》《缀术》《海岛》诸算经尤得其妙」，天圣初年（1023）与历官宋行古等九人同造崇天历。杨辉《详解九章算法纂类》卷首引的那篇「黄帝九章古序」把这部经的传承排成一行：魏景元元年刘徽等注，唐李淳风等注释，「圣宋右班直贾宪撰草」——撰草，就是把《九章算术》二百四十六问的解法一步一步演出来给人看。

他在细草里做成的事，比补注大得多。《九章算术》的开方术只管开平方与开立方，一次方一套话；贾宪给出的是一套能开任意次方的动作：算筹分行摆开，最下一行叫下法，往上是下廉、上廉、方，最上是实。商出一位，就自下而上扫一遍——「乘下法入廉，乘廉入方」——再拿方去减实；扫够遍数，各行按一、二、三、四的级差退位，接着商下一位。全程只有乘和加，所以叫增乘开方法。开平方摆两行，开立方摆三行，开三乘方摆四行，口诀一个字都不用改；而这套动作，正是六百多年后鲁菲尼与霍纳那套综合除法。他另给了一条现成的近路叫立成释锁——立成就是现成的表，释锁是开方的旧称：先备一张表，表上第几行就是开几次方要摆的廉。那张表就是开方作法本源图，七行，最下一行一、六、十五、二十、十五、六、一。今天中文里叫它杨辉三角，因为杨辉 1261 年把它抄进了《详解九章算法》，注明「出《释锁算书》，贾宪用此术」——而这一次转录，是他全部存世文字的来路。

《永乐大典》卷一万六千三百四十四第六叶正面 · 剑桥大学图书馆藏（今存的《永乐大典》都是嘉靖副本，1562–1567 重抄），Wikimedia Commons，公有领域。贾宪没有画像传世，两部书也一卷未存，所以这里放他的东西留下来的那一页。右下角是开方作法本源图：七行圈码，最下一行一、六、十五、二十、十五、六、一；右上题「右隅」，左上题「左积」，逐行还标着这一行是开几次方要用的——商除、平方、立方、三乘、四乘、五乘。图下五句是它的用法：「左袤乃积数。右袤乃隅算。中藏者皆廉。以廉乘商方。命实而除之。」左边整半叶是「增乘方求廉法草」，把那一行怎么只用加法造出来，逐轮写了下来。前一叶的末行注明「出释锁筭书，贾宪用此术」。朱丝栏与红色句读是《永乐大典》的原貌，书名（「杨辉详解」「杨辉纂类」）一律用朱笔标出

生平

约1010
约生
生卒年都没有确据。MacTutor 与多数工具书作约1010–约1070，本馆从之。正史无传，连籍贯也没有留下。
1023
他老师那一年在造历
《宋史·方技传》楚衍条：天圣初造新历，「众推衍明历数，授灵台郎，与掌历官宋行古等九人制崇天历」。楚衍开封胙城人，「于《九章》《缉古》《缀术》《海岛》诸算经尤得其妙」。
师承
楚衍门下，官右班殿直
黄钟骏《畴人传四编》卷五：「贾宪、朱吉，皆楚衍之弟子也。宋世司天算者以衍为首，既老且昏，有弟子二人贾宪、朱吉著名。宪为右班殿值，吉隶太史。」注明所据是郑樵《通志》、《宋史·艺文志》与王钦臣《王氏谈录》。右班殿直是三班使臣里的低阶武职。
约1050
《黄帝九章算经细草》九卷
《宋史·艺文志》历算类著录。细草即逐题演出解法。杨辉引的「黄帝九章古序」称「圣宋右班直贾宪撰草」，与刘徽注、李淳风注释并列为这部经的三层。
另有
《算法斅古集》二卷
郑樵《通志·艺文略》著录。同样一卷未存，连佚文也没有留下。
开方作法本源
七行的那张表
圈码画成三角，逐行标着商除、平方、立方、三乘、四乘、五乘。图下五句：「左袤乃积数。右袤乃隅算。中藏者皆廉。以廉乘商方。命实而除之。」
增乘方求廉法
只用加法造出那一行
「列所开方数，如前五乘方，列五位，隅算在外。以隅算一，自下增入前位，至首位而止……复以隅算如前升增，递低一位求之。」四轮加法，末轮得六、十五、二十、十五、六。
立成释锁
查表开方：平方一套，立方另一套
《详解九章算法纂类》两次题他的名字：「贾宪立成释锁平方法曰」「贾宪立成释锁立方法曰」。两套口诀不一样——这正是增乘开方法要解决的事。
增乘开方法
随乘随加，开几次方都是一套
「以上商乘下法置廉，乘廉为方，除实讫。复以上商乘下法入廉，乘廉入方，又乘下法入廉。其方一廉二，下三退。」开立方一百八十六万〇八百六十七得一百二十三，草文里的每一个中间数都能复算出来。
1148
荣棨刻板
绍兴十八年八月，「寓临安府汴阳学算荣棨」得一善本，「谨命工镂板，庶广其传」。序里说靖康以来旧本罕有，「或隐问答以欺众，或添歌彖以衒己」。他刻的就是带贾宪细草的那个本子。
1261
杨辉转录
《详解九章算法》卷首注明「出《释锁算书》，贾宪用此术」，《纂类》两处题「贾宪立成释锁……法曰」。杨辉自己在这一处不争首创：他的话是「贾宪细草编为活法」。
1408
《永乐大典》修成
《详解九章算法》此时已散，卷一六三四三、一六三四四抄下了残存的开方诸法。今存的《永乐大典》都是嘉靖副本（1562–1567 重抄）。
1819
霍纳那篇
《伦敦皇家学会哲学汇刊》第 109 卷 308–335 页。同一套「随乘随加」在欧洲印出来，比贾宪晚了七百六十多年；鲁菲尼 1804 年已有，也晚七百五十年。
1900·6·23
翰林院大火
围攻使馆区那一天，翰林院被点着，存放《永乐大典》的那一进屋子里书被倒进院里。次年 4 月 16 日，被围者之一、二十二岁的使馆学生译员兰斯洛特·翟理斯把「算」字那一册赠给了剑桥大学图书馆。

展品厅

绝大多数展品都可以亲手把玩——这是本馆的立馆之本；少数以叙述为主的，做成故事展签。

镇馆之宝 · 亲手玩

随乘随加：一套动作开任意次方

开立方一百八十六万〇八百六十七得一百二十三——全程只有乘和加，而且开几次方都是同一套动作。

c_3 b^3 + c_2 b^2 + c_1 b = ((c_3 b + c_2) b + c_1) b

《九章算术》的开方术，开平方一套话，开立方另一套话，再往上就没有了。贾宪给的是一套通法。算筹分行摆开：最下一行叫下法（恒为一），往上是下廉、上廉……再往上是方，最上面是被开的实。商出第一位，就自下而上扫一遍——以上商乘下法，得数并入廉；以上商乘廉，得数并入方——然后拿上商乘方去减实；再照样扫，一遍比一遍少走一格，扫够次数为止；最后各行按一、二、三、四的级差退位，接着商第二位。《永乐大典》里那一段开立方的草文，中间数一个不缺：积一百八十六万〇八百六十七，第一位商一百，「以上商乘下法置廉一百，乘廉为方一万」，除实一百万，余八十六万〇八百六十七；再扫两遍，廉得三百，方得三万；商第二位二十，「以乘下法入廉共三百二十，乘廉入方共三万六千四百」，除实七十二万八千，「余一十三万二千八百六十七」；商第三位三，方得四万四千二百八十九，除实适尽，得一百二十三。开三乘方也是这一套：积一百三十三万六千三百三十六，商三十之后板上是方十万八千、上廉五千四百、下廉一百二十、下法一，「方一上廉二下廉三下法四退」，续商四，「乘上廉并为立方一十三万一千五百八十四」，除实适尽，得三十四。这四个数不是随手的：一十万八千是四乘三十的立方，五千四百是六乘三十的平方，一百二十是四乘三十——四、六、四正是开方作法本源图上「三乘方」那一行中间的三个数。所以这套动作与那张表本来就是一件事。今天这套走法叫综合除法，或者霍纳法：鲁菲尼 1804 年、霍纳 1819 年。秦九韶 1247 年把它推到了任意正负系数的高次方程，那是另一件事；一位一位地开出任意次方根，从这里开始。

选开平方、开立方还是开三乘方，一遍一遍地看算筹怎么走：乘下法入廉、乘廉入方、命上商除实

第 0 步（共 13 步）

《九章算术》的开方术只管开平方与开立方，一次方一套话。贾宪给的是一套通法：算筹分行摆开，最下一行叫下法，往上是廉，再往上是方，最上是实。商出一位，就自下而上扫一遍——「乘下法入廉，乘廉入方」——再拿方去减实；照样再扫，一遍比一遍少走一格，扫够次数为止；然后各行按一、二、三、四的级差退位，接着商下一位。全程只有乘和加。开平方摆两行，开立方摆三行，开三乘方摆四行，口诀一个字都不用改——这是它与「立成释锁」最不一样的地方。草文里的每一个中间数都能复算出来：开立方那一题余实 860867 → 132867 → 0，开三乘方那一题 526336 → 0。

左袤乃积数，右袤乃隅算，中藏者皆廉

那张三角形的数表画出来不是为了数组合——每一行左边都标着它是开几次方要摆的廉。

c_k = \binom{n}{k}\, a^{\,n-k} \qquad (k = 1, 2, \ldots, n)

《永乐大典》卷一万六千三百四十四第六叶上画着一个由圈码摆成的三角，七行：一；一一；一二一；一三三一；一四六四一；一五十十五一；一六十五二十十五六一。它的名字是开方作法本源，前一叶的末行注明「出释锁筭书，贾宪用此术」。图上还有四层标注，是它的说明书：右上角题「右隅」，左上角题「左积」，图下五句写着「左袤乃积数。右袤乃隅算。中藏者皆廉。以廉乘商方。命实而除之。」——两条斜边上那一串一，左边的是积、右边的是隅；夹在中间的全是廉；把廉乘上商、乘上方，拿去减实。这不是一张组合数表，是一张开方的系数表。逐行左边还标着这一行管什么：商除、平方、立方、三乘、四乘、五乘——也就是开一次到六次方。要开立方，就取「立方」那一行一三三一：左端的一是积那一位，右端的一是隅（下法），中间的三和三就是要摆的两行廉。贾宪据此给了一条不必自己推的近路，叫立成释锁法：立成就是现成的表，释锁是当时管开方叫的名字，拿现成的表把锁打开。近路有近路的代价——这张表只画到五乘方，照表开方也就只能开到六次方根。而增乘开方法不必查表：多开一次方，板上只多摆一行廉，没有上限。这张表能传到今天是另一段故事：贾宪的书失传了，是杨辉 1261 年把它抄进《详解九章算法》，所以今天中文里管它叫杨辉三角。巴格达的卡拉吉与撒马尔罕的阿尔·卡西也各自有同一张表，用处一样是开方——而卡拉吉那一张的遭遇与这一张几乎一模一样：原书失传，今天读到的是一百多年后萨马瓦尔在《光辉》里的转录。

看第 4 行（立方）已定出的商 a = 20

这张三角形的数表画出来不是为了数组合。它的名字是开方作法本源——开方这件事的本源；每一行左边都标着它管什么：本积、商除（一次方）、平方、立方、三乘、四乘、五乘。要开立方，就取「立方」那一行 1 3 3 1：左端的一是积那一位，右端的一是隅（也就是下法），中间的三和三，正是算筹板上要摆的两行廉——这就是图下那五句「左袤乃积数。右袤乃隅算。中藏者皆廉。以廉乘商方。命实而除之。」贾宪据此给了一条不必自己推的近路，叫立成释锁法。近路有近路的代价：这张表只画到五乘方，照表开方也就只能开到六次方根；而增乘开方法多开一次方，只是板上多摆一行廉。

只用加法，造出那一行

一、六、十五、二十、十五、六、一——四轮加法就摆了出来，一次乘法都没有。

表是现成的，可表是哪来的？贾宪把造表的办法也写下来了，叫增乘方求廉法。原文这样起头：「列所开方数，如前五乘方，列五位，隅算在外。以隅算一，自下增入前位，至首位而止。首位得六，第二位得五，第三位得四，第四位得三，下一位得二。复以隅算如前升增，递低一位求之。」摆法是：五乘方要五个廉，就竖着摆五个一，另有一个「隅算一」摆在外头。第一轮，拿隅算那个一从最下面往上逐格加进去——最下得二，再往上得三、得四、得五，最上得六，于是一列是六、五、四、三、二。第二轮照样从下往上加，但是停在第二位；原文逐格记着：「旧数五加十而止，四加六为十，三加三为六，二加一为三」——读下来是六、十五、十、六、三。第三轮停在第三位：「十加十而止，六加四为十，三加一为四」，得六、十五、二十、十、四。第四轮停在第四位：「十加五而止，四加一为五」，得六、十五、二十、十五、五。第五轮只动最下一格：「五加一为六」，得六、十五、二十、十五、六——正是本源图最下一行中间的五个数，原文最后一句就标着「上廉、二廉、三廉、四廉、下廉」。全程加了十五次，一次乘法都没有；n 乘方要加 n(n+1)/2 次。更要紧的是：这一列数每一轮「自下增入前位、逐低一位」的走法，与他开方时在算筹板上做的那一遍一遍扫，是同一套动作——只不过开方时乘的是商，造表时乘的是一。名字也是同一个：增乘。

五乘方第 5 轮（共 5 轮）

表是现成的，可表是哪来的？贾宪把造表的办法也写下来了。摆法是：五乘方要五个廉，就竖着摆五个一，另有一个隅算一摆在外头。第一轮，拿隅算那个一从最下面往上逐格加进去，「至首位而止」——最下得二，往上得三、四、五，最上得六。第二轮照样从下往上加，但停在第二位；原文逐格记着「旧数五加十而止，四加六为十，三加三为六，二加一为三」。就这样一轮比一轮少走一格，第五轮只动最下一格，得六、十五、二十、十五、六——正是本源图最下一行中间的五个数，原文最后一句标着「上廉、二廉、三廉、四廉、下廉」。全程只有加法。

一张现成的表，还是一套现成的动作

七万一千八百二十四开平方，两条路都到二百六十八；可换成开立方，释锁的口诀整个变了，增乘一字没改。

《详解九章算法纂类》里，两套办法是挨着抄的。先是「贾宪立成释锁平方法曰：置积为实，别置一算名曰下法，于实数之下自末位常超一位，约实至首位尽而止。实上商第一位得数，下法之上亦置上商，名曰方法，命上商除实。二乘方法，一退为廉，下法再退。于上商之次续商第二位得数，于廉法之次照上商置隅，以方廉二法皆命上商除实。二乘隅法并入廉法，一退，下法再退。商置第三位得数……」紧接着是「增乘开平方法曰：第一位上商得数，以乘下法为平方，命上商除实。上商得数以乘下法入平方，一退为廉。第二位再商得数，以乘下法为隅，命上商除实讫，以上商得数乘下法入隅，皆名曰廉，一退，下法再退，以求第三位商数。第三位如第二位用法求之。」拿《九章算术》少广章那道题试：积七万一千八百二十四，问为方几何。两条路都是商二百、商六十、商八；商二百除实四万，余三万一千八百二十四；商六十除实二万七千六百，余四千二百二十四；商八除实四千二百二十四，适尽——二百六十八。同一个数，同一条路径，只是记账的方式不同：释锁法说「二乘方法」「二乘隅法并入廉法」，那个二是平方专有的；增乘法说「乘下法入平方」「乘下法入隅」，没有二。差别要到立方才看得见。释锁立方法的口诀整个换了一套：「三因平方一退，亦三因从方面二退为廉，下法三退」——三因是立方专有的，退位也从一、二变成一、二、三。而增乘的口诀一个字没动，只是板上多了一行廉，多扫一遍。再往上，四次方、五次方，释锁要一套新口诀配一行新表，增乘还是那句话。一张现成的表与一套现成的动作，在这里分了岔。

《详解九章算法纂类》里，两套办法是挨着抄的：先「贾宪立成释锁平方法曰」，紧接着「增乘开平方法曰」。拿《九章算术》少广章那道题试——积七万一千八百二十四，问为方几何——两条路都是商二百、商六十、商八，减掉的也是同一串数，答数都是二百六十八。差别要到立方才看得见：释锁立方法的口诀整个换了一套，「二乘」变成「三因」，退位从一、二变成一、二、三，还多出一个「又乘置平方」；而增乘的口诀一个字没动，只是板上多了一行廉、多扫一遍。再往上，四次方、五次方，释锁要一套新口诀配一行新表，增乘还是那句话。一张现成的表与一套现成的动作，在这里分了岔。

方、廉、隅：把一个立方切开

三个平方、三条廉、一个隅——六十万加十二万加八千，正好是增乘那一步减掉的七十二万八千。

(a+b)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3

增乘开方法里那些数为什么是那些数，杨辉在贾宪那条立方法前面先画了一遍。原话是：「今问积中第一位是一立方，自方百尺。第二位有三平方，各方一百尺、高二十尺；其三廉各长一百尺、方二十尺；其一隅立方二十尺。第三位积有三平方，各方一百二十尺、高三尺；及三廉各长一百一十尺、方三尺；其一隅立方三尺。」照着算：第一位一百的立方是一百万，减掉；第二位那层壳分三样，三个扁平方三乘一百乘一百乘二十得六十万，三条廉三乘一百乘二十乘二十得十二万，一个隅二十的立方得八千，合起来七十二万八千——正是增乘那一步「命上商除实」减掉的数。第三位同理：三个扁平方三乘一百二十乘一百二十乘三得十二万九千六百，一条隅三的立方得二十七，三条廉三乘一百二十乘三乘三得三千二百四十，合起来一十三万二千八百六十七，正是上一步剩下的余实，适尽。方、廉、隅这三个字就是这么来的：方是那几片扁的，廉是那几条棱边上的长条，隅是角上那一小块；本源图上那一行一三三一，说的正是一个方、三个平方、三条廉、一个隅。这里还有一处要说明：抄本上第三位的三廉写作「各长一百一十尺」，照这个数算是二千九百七十，合计一十三万二千五百九十七，比余实少二百七十；照他自己上一句的「一百二十尺」算才正好对上。多半是抄手把二写成了一——《永乐大典》是嘉靖年间重抄的本子，这类脱误并不少见。还有一件事：切到四次方就画不出来了，三维里没有第四条棱。开方作法本源图与增乘开方法接手的，正是从这里往上的部分。

b = 20

增乘开方法里那些数为什么是那些数，杨辉在贾宪那条立方法前面先画了一遍：「今问积中第一位是一立方，自方百尺。第二位有三平方，各方一百尺、高二十尺；其三廉各长一百尺、方二十尺；其一隅立方二十尺。」照着算：三个扁平方六十万，三条廉十二万，一个隅八千，合起来七十二万八千——正是增乘那一步「命上商除实」减掉的数。第三位同理，合起来一十三万二千八百六十七，正是上一步剩下的余实，适尽。方是那几片扁的，廉是棱边上的长条，隅是角上那一小块；本源图上那一行 1 3 3 1，说的就是一个方、三个平方、三条廉、一个隅。再往上就画不出来了——三维里没有第四条棱，开方作法本源图与增乘开方法接手的，正是从这里往上的部分。

一九〇〇年六月二十三日

他的书一卷未存。今天读得到的贾宪合起来九百二十六字，而载着这些字的那一册，是从翰林院的大火里出来的。

贾宪存世的文字有多少，是数得出来的。照《永乐大典》卷一万六千三百四十四的转录本，直接题着他名字的有三处——注明「出释锁筭书，贾宪用此术」的开方作法本源图连图注与增乘方求廉法草、「贾宪立成释锁平方法曰」、「贾宪立成释锁立方法曰」——加上紧跟其后不另题名、历来归他的增乘开平方法与增乘方法，去掉标点，合计九百二十六字。这个数是本馆数的，古人没有数过。九卷的《黄帝九章算经细草》与二卷的《算法斅古集》，剩下的就是这些。这些字能留下来，靠的是一条极细的线，而且中间断过两次。第一次：他的书亡了，幸亏杨辉 1261 年抄进《详解九章算法》，注明了出处与他的名字。第二次：《详解九章算法》本身也散了，幸亏明初《永乐大典》把残存的开方诸法抄进了卷一六三四三、一六三四四；而今存的《永乐大典》连正本都没有了，我们读的是嘉靖年间（1562–1567）重抄的副本。副本贮在北京翰林院。1900 年 6 月 23 日，围攻使馆区的一方在翰林院放火，想把火引进相邻的英国使馆；救火的人把存书那一进屋子里的箱子倒进院里，书散了一地，有的被扔进荷花池里泡着，后来烂了就堆土埋掉。被围者之一是二十二岁的使馆学生译员兰斯洛特·翟理斯——剑桥基督学院毕业，父亲赫伯特·翟理斯是剑桥的汉学教授。次年 4 月 16 日，他把「算」字那一册赠给了剑桥大学图书馆，扉页上至今贴着那张赠书票。今天要看贾宪那张表的原件，就到那里去看。他自己大概想不到：一个人一生的算学，最后是靠别人转录他的名字、再靠一场大火里剩下的一册，才走到今天。

故事展签故事展签：一个人一生的算学，最后剩下九百二十六字，装在一册从火里出来的书里。

传承

他的工作没有留在十八世纪——每条链的终点，都是你今天正在使用的东西。

《九章算术》只给了开平方与开立方⟶增乘开方法：同一套动作开任意次方⟶定点开方与逐位逼近——今天每一条 sqrt 指令背后的数值逼近

贾宪的增乘开方法⟶秦九韶 1247 年推到任意正负系数的高次方程⟶嵌套乘法：今天的多项式求值与数值求根，从编译器生成的代码到求解器

开方作法本源：那一行就是开方要摆的廉⟶商每定一位，就把系数换成以新商为准的——多项式挪一次原点⟶曲线求交与细分：一条贝塞尔曲线一分为二，做的正是同一件事，计算几何里到处是它

增乘方求廉法：只用加法造出一整行系数⟶逐差造表——一张表从上一张表加出来⟶巴贝奇的差分机，以及计算机图形里的增量求值：光栅化一条线只用加法

立成释锁：先备一张现成的表⟶增乘开方：不备表，边算边把廉生出来⟶查表还是现算——今天从电路里的三角函数表到器件设计，仍是同一道取舍

语录

「左袤乃积数。右袤乃隅算。中藏者皆廉。以廉乘商方。命实而除之。」
—— 开方作法本源图的图注 ·《永乐大典》卷一万六千三百四十四第六叶正面 · 肖像位那一叶上的五句，就是它

「列所开方数，如前五乘方，列五位，隅算在外。以隅算一，自下增入前位，至首位而止……复以隅算如前升增，递低一位求之。」
—— 增乘方求廉法草 · 只用加法造出那一行的全部办法，一句不多

「以上商乘下法置廉，乘廉为方，除实讫。复以上商乘下法入廉，乘廉入方，又乘下法入廉。其方一廉二，下三退。」
—— 增乘方法（开立方）·《详解九章算法纂类》· 这一段就是今天说的综合除法

「圣宋右班直贾宪撰草。」
—— 杨辉《详解九章算法纂类》卷首引「黄帝九章古序」· 与「魏景元元年刘徽等注」「唐李淳风等注释」并列的第三层。除了这七个字，正史里关于他的官职再无别的记载