柯瓦列夫斯卡娅

方程写成了法向形式：对 x 的最高阶导数单独在左边。于是把解写成 x 与 y 的双重幂级数之后，每一个系数都被逼着定下来——初值给出第 0 层（表里那一行金色的）， 方程把第 0 层换算成第 1 层，第 1 层换算成第 2 层，一层一层往下，一个自由度也不剩。 存在与唯一由此一并得到，而且是构造性的：拨滑块就是在一层层地算。 当前这一档的递推是 c(m+1, n) = 1/(m+1) · Σ c(i,j)·(l+1)·c(k,l+1)，求和取遍 i+k = m、j+l = n。 右上那张图是 |c(m, 0)| 取对数——它最后长成一条直线，斜率就是收敛半径的倒数。 三个初值给出三种斜率：1/(1−y) 那一档的系数正好是卡塔兰数（1、1、2、5、14、42、132、429……），半径 1/4；eʸ 那一档是 (m+1)^m/(m+1)!，半径 1/e ≈ 0.36788。 最值得看的是中间那一档：初值 1 + y 是个多项式，规矩得不能再规矩，半径却只有 1——闭式解是 (1+y)/(1−x)，奇点是方程自己造出来的，与初值无关。 定理只保证半径是正的，从不保证它有多大。 下面那张图里，细线是前若干项的部分和、粗线是闭式解：在那道金色的墙之内它们贴着走，越过去就分道扬镳。 她证收敛用的是优级数：把方程与初值里每个系数都换成一个正的、不小于它绝对值的数， 新问题的系数逐项压住原问题的系数，而新问题解得出来。这一步她在文里写明是从魏尔斯特拉斯的讲义里学来的。

方程是热传导方程，x 是时间、y 是位置。沿 x 展开就是在 x = 0 上给一个初值、 再一层层往时间方向摊——正是上一件那条定理的做法。她取的初值是 1/(1−y)，一个再平常不过的解析函数； 算出来第 ν 项是 (2ν)!/ν! 乘 x 的 ν 次方，再除以 (1−y) 的 2ν+1 次方。 相邻两项之比等于 2(2ν+1) 乘 x 除以 (1−y) 的平方——它跟着 ν 线性增长， 再小的 x 也挡不住，只是把爆炸往后推。她的原话：容易看出它是发散的，不论 x 与 y 取得多小。 把滑块拨到最左边就看得见这件事最迷惑人的地方：前面几十项确实在一路变小， 看上去像在收敛；下面那张比值图上的曲线只要越过那条虚线，后面就再也收不住了（图上换成了另一种颜色）。 毛病不在初值刁钻。她同时指出：只有极特别的初值才让这个级数有一块收敛区域，一般的解析函数一个值都凑不出来。 毛病在方向——对 x 而言这个方程不是法向的：左边只有一阶 x 导数，右边却有二阶 y 导数。 换一个方向就全变了：对 y 而言它是法向的，在 y = 0 上给出函数值与一阶 y 导数， 同一族初值算出来的第 ν 项变成 ν!/(2ν)! 乘 y 的 2ν 次方，比值趋于零，对每一个 y 都收敛——把滑块推到最右端也照样收敛，只是项要先涨后落。 一个方程，一个初值面，两个方向，一个摊得开一个摊不开。 这不是说方程没有解：热方程当然有解，不存在的是「把解写成 x 的幂级数」这件事—— 热传导把初值抹平，解沿时间方向并不解析。今天的说法是：特征方向上的初值问题不适定。

跑的是上一件那只陀螺，同一组方程、同一档 A = B = 2C。 她把 p+qi 与 p−qi 记作 x₁、x₂，再拿四个守恒量凑出一个二次方程，两个根就是这里的 s₁ 与 s₂。算出它们满足什么方程，出来的是一条五次曲线 R₁(s) = −(4s³ − g₂s − g₃)(s − k₁)(s − k₂)。这一档上的五个根是 −0.181612、−0.170873、−0.018635、0.200247、0.600040。 五是奇数，所以无穷远也是一个分支点，一共六个——2g + 2 = 6，亏格正是 2。 左边那个圆就是 s 所在的直线连上无穷远点：正右方是 s = 0，正左方那一个点是 ±∞ 合到一起。 粗弧是 R₁ > 0 的那几段，两个点只能在里面跑：s₁ 在 0.200247 与 0.600040 之间来回，s₂ 一路往左跑到 −2.2e9，绕过无穷远再回来——中间那一段从头到尾空着。 右下角是当场的核对：(s₁−s₂)² 乘 (ds/dt)² 应当等于 R₁(s)，两栏读数比到末位。 （整段轨迹上把步长减半，偏差降到四分之一，正是中心差分该有的二阶收敛——剩下的是差商自己的误差。） 这就是欧拉与拉格朗日那两档与她这一档的分水岭：那两档拆完剩下的是椭圆积分，一个变量、一只钟； 她这一档剩下的是亏格 2 的超椭圆积分，两个点、两只钟。 单看一只，刻度乱得没法用；两只加起来，一种组合恒为零，另一种组合恰好就是时间本身。 解要用两个变量的 θ 函数才写得出来，她在文里管它叫「罗森海因先生的函数」。 这也就是这件事拖了一百年的道理：拉格朗日那一代手里只有椭圆函数，而这只陀螺不住在那里。

拉普拉斯在《天体力学》里设截面为椭圆，又把环上离得远的部分当成一根无穷长的椭圆柱来算引力势。 她对这两步的意见写得客气也写得准：拿柱来代替环，没法直接判断这样犯下的误差是不是真的属于他说的那个量级； 而且照他的算法看不出来，把椭圆截面再改一点，究竟能让那个本该等于零的表达式真的等于零，还是只能让它任意接近零。 她的办法是不假定形状：到转轴的距离写成 1 − a·cos t，高度写成 a 乘上 β·sin t + β₁·sin 2t + β₂·sin 3t 一直下去。只留第一项就正好是拉普拉斯的椭圆（画面上的虚线）； 她把第二项 β₁ = a·γ 那一档完整算完，截面于是不再前后对称（实线）。 她要的结论不是一个数而是一句话：由于阶数可以取得任意高，可以断定「一个使那个表达式在环面上真正取常值的截面形状，确实存在」。 下面那条曲线是她文中那个只留一档的方程。它在 β = 0.3855 处有个极大， 于是质量比 M 不得超过 0.6824，也就是 M/4π 不得超过 0.0543——她注明这个上限拉普拉斯已经指出过；上限之下每个 M 对应两个 β，也就是两种形状， 上面那两幅画的就是它们。把 a 拨小，实线就会贴回虚线：修正项是 a 的二次量，环越薄它越不重要。 再往上还有一道浅色的线：小根那一支的一阶修正在 M = 0.5775 处分母过零，越过去这个展开本身就失效了，所以滑块停在那之前。 最后是她自己在文末补的一刀：没有把截面算得更精确，除了算起来难，还因为麦克斯韦 1859 年讨论土星环稳定性的那篇之后，拉普拉斯这套液体环的图景是否还站得住，本身已成疑问。